理想電容器中的能量守恒問題探討

理想電容器中的能量守恒問題探討范應(yīng)云（玉溪師范學(xué)院理學(xué)院物理系2009級物理學(xué)云南玉溪653100）

指導(dǎo)教師：賈正林摘要：在理想條件下兩電容器連接在一起能量應(yīng)該是守恒的。可是，在能量計算時，我們會發(fā)現(xiàn)有能量損失了。在這里，本文提出一個解決方案，通過對能量計算的重新解讀我們實現(xiàn)沒有能量損失從而遵守能量守恒定律。關(guān)鍵詞：電容器；能量守恒；類比1.引言3a3a圖1兩電容器的連接前后的電路。在理想條件下，兩個電容器連接在一起前后的能量應(yīng)該是守恒的，因為理想電容器只是一個儲能元件，而不是耗能零件［1］。在圖1中，C1=C2=C為理想的電容器，開關(guān)和導(dǎo)線也是理想的元件，圖1a表示，在開關(guān)K閉合前電容器C1已被充電至電壓為V、帶電量為Q，C2不帶電，此時（t=0）代入能量公式：E=1CV2（1）2得到電路a中共有能量為：E=2CV2（2）圖b表示，開關(guān)K閉合時C1向C2充電，當(dāng)VC1+VC=V2時電路達到平衡，此時（t=0+）代入（1）式得到電路b中共有能量為：C11八(V:C11八(V:21八(V)-C—+—C—2L2J2L2)CV22C2（3）CV2△E=Eb-E=（4）即能量似乎損失了一半，顯然違反了能量守恒定律。本文擬對這一“佯謬”進行分析和澄清，并試圖通過一種類比方法來講清這一問題。這將有助于我們加深對能量守恒律和電容器充放電過程中能量轉(zhuǎn)化關(guān)系的認(rèn)識。2.兩電容串聯(lián)或并聯(lián)電路中的能量守恒現(xiàn)在跟大家介紹一些關(guān)于兩個電容器電路的資料［2,3,4,5］，這些資料中都提出：在理想的情況下兩個電容器連接在一起前后的能量是有損失的。如圖1所示，這個電路圖所描述的是電容器中的能量在開關(guān)關(guān)閉之前和之后似乎并不是相同的。在這里盡管所有的組成元件都是理想的（即理想的電線，理想的開關(guān)，和理想的電容器），但能量還是神秘的損失了一半。電路中的總電荷、總電壓都是守恒的，所以能量也應(yīng)該是滿足守恒原理的，能量減少一半與這相悖，是不合理的。過去的幾十年里，因為在理想的條件下這一“佯謬”沒有得到合理的解釋，導(dǎo)致許多焦點一直集中在因現(xiàn)實條件的限制來把損失的能量合理化，如通過在電路中增加電阻等方法來把失去的能量合理化［6、7、8、9、10、11、12］?，F(xiàn)在，我們再次探討兩個電容器連接在一起前后的能量關(guān)系，以便更好地理解兩個電容器在串聯(lián)或并聯(lián)后的能量守恒。我們知道電容器電路中的能量和電壓關(guān)系為：TOC\o"1-5"\h\z氣=2。總匕⑸式中E總是電容器中的總能量，Q總是電容器中的總電荷量，匕是電容器的總電壓。M于N個電容都為C的電容器相連時，我們有電容器的總電荷量與電壓的關(guān)系為［13］：Q總=NCV|（6）這里v|是通過每個電容器兩端的電壓大小。圖"1表示一帶有電壓為V的帶電電容器-1和另一不帶電電容器—連接在一起，即-1為C2充電，這個過程可以用圖2的電路圖來實現(xiàn)。2KiK2圖2表示電容器的充放電電路。KiK2如圖2所示，圖中C1、C2、K1、K2、導(dǎo)線均為理想元件。在電源（電壓大小*V）^C1充電的過程中，K1閉合、K2斷開，當(dāng)C1的帶電量達到Q值、電壓達到V值時系統(tǒng)第一次達到平衡狀態(tài)，此時此時容器中的初始總電荷和總電壓分別為：TOC\o"1-5"\h\z〃始“⑻把（7）、（8）式代入公式（5）求出電容器中的總能量為：E=-QV=-QV=-CV2（9）始2始始22當(dāng)K1斷開、K2閉合時，C1給C2充電，直到C1和C2中的電荷和電壓都相等時系統(tǒng)達到第二次平衡。在該過程中C1的電量、電壓逐漸減少，C2的電量、電壓逐漸增加，最終實現(xiàn)C1和C2中的電量相等且為Q、C1和C2兩端的電壓也相等，2大小為V。下面我們用（5）式中的能量電壓關(guān)系和（6）式中的電荷量與電壓2關(guān)系來對兩個電容器并聯(lián)和串聯(lián)情況下的能量損失“佯謬”進行解釋。2.1兩電容器并聯(lián)電路中的能量守恒ab圖3表示電容器C1、C2的并聯(lián)電路。如圖3所示，兩電容器并聯(lián)有兩種方式，a圖表示兩電容器并聯(lián)時極性相反，

=0，即C1和C2中的正負(fù)電荷相互中和，造成兩并聯(lián)電容器的總電壓為22導(dǎo)致電荷量為0，所以不能用于能量計算。b圖的兩并聯(lián)電容器極性相同，此時總電荷量為：=0，即C1和C2中的正負(fù)電荷相互中和，?？偅?%=?？偅?%=土冷。=Q末（7）、（10）式得Q始=Q末=Q，滿足電荷量守恒。由圖3b可知等效電壓為：V匕效Wq=匕2=萬把（10）和（11）式代入（5）式得電路中的總能量為:11（V\1氣=2"等效=2q（萬卜4CV2(10)（11）(12)顯然違反了能量守恒，這是不正確的，所以不能用等效電壓來計算電路中的總能量。這里的解決方案是先計算出每個電容里的電荷，然后求和作為總電荷量。這樣對每個電容器先使用Q=CV的關(guān)系，就意味著始終用每個電容器的電壓大小來計算電荷量（Q=C|V|）。不管兩個電容為C電容器如何并聯(lián)，都有一個電壓V/2穿過它們，即QV/2穿過它們，即Q=C2Q=CI，AC2總電荷為：（13）（14）VVQ=Q+Q=C-+C-=CV=Q22因為C1=C2=C，所以也可用公式（6）計算得:（13）（14）=C|V|=CV=Q末由（7）、（14）得。始=@末=Q，滿足電荷守恒。我們也可以計算出并聯(lián)時總電壓為：（15）v總=VC1+VC這是通過對每個電容器兩端的電壓大小之和作為總電壓得到的，即電容器電壓的極性對總電荷量和總電壓的計算是不重要的，它也不應(yīng)該對能量計算起到重要的“一.CV2..…一一一,一、（15）作用（這個關(guān)系與Q=2一致），由（8）、（15）式得V始=—末=V，滿足電壓守恒。把（14）、（15）代入（5）式，我們可以計算出并聯(lián)電容器在開關(guān)閉合后的總能量為：

E=1QV=1QV=1CV2=E（16）總2總總22末由（9）、（16）式可知：E始=歸末=2CV2，滿足能量守恒定律。所以在理想情況下，兩電容器并聯(lián)組合前后的總能量滿足能量守恒定律。2.2兩電容器串聯(lián)電路中的能量守恒圖4表示圖4表示C1與C2串聯(lián)的電路圖。兩個電容器串聯(lián)電路如圖4所示，此時等效電容為C，每個電容為C的電2容器兩端的電壓為V，a圖表示兩電容器串聯(lián)時極性相反，在這種情況下C1和2C2兩端的電壓相互抵消，導(dǎo)致總電路中的電壓為V-V=0，代入Q=CV時得到22電荷量為零，所以不能用于電荷計算。b圖表示兩電容器串聯(lián)時極性相同，此時兩個電容器的電壓是疊加的，即電容器兩端的總電壓為：TOC\o"1-5"\h\zV=V+V=V+V=V=V（17）總c1c222末由（8）、（17）式得V始=/末=V，滿足電壓守恒。把等效電容和（17）式代入Q=CV得總電荷為：Q總=C等效V=2CV=QQ（18）這里因等效電容減少為。2，計算得出的總電荷也減少一半，違反了電荷守恒，

這是不正確的，所以我們不能用等效電容的方法來計算總電荷。在這種情況下的解決方案是利用重新定義的能量電壓關(guān)系，先計算出每個電容器理的電荷量，然后相加作為總電荷量，這樣對每個電容器先使用Q=CV的關(guān)系，就意味著始終用每個電容器的電壓來計算電荷量（Q=CV），即QcjC|，Qc「CI，所以總電荷量為:（19）（20）VVTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Q=Q+Q=c-+c-=cv=Q總c1c222末由于C1=C2=C，也可以直接用公式（6）計算得：（19）（20）Q=2cV=cV=Q總2:（21）由（7）、（19）式得Q始=。末=Q電荷量守恒。把（17）、（19）代入能量公式（5）得到電容器串聯(lián)中的總能量為：（21）E=-QV=-QV=-cV2=E總2總總22末由（9）、（21）得了末=2cv2，由此可以看出在兩電容器串聯(lián)過程中，電容器連接前后的總能量滿足能量守恒定律。3與容器盛水的類比分析從以上的分析我們知道，在理想條件下兩電容器連接在一起前后的能量是守恒的。通過對電容器內(nèi)部能量的重新解讀，我們重新定義了能量電壓關(guān)系，使能量方程可以適用于任何電容器組合的基本電路分析。為了更好地理解兩個電容器連接前后的能量計算，我把電容器與水槽進行了以下類比。Kz主槽電源blb2圖5表示電容器電路的水容器類比摸形。Kz主槽電源bl如圖5所示，這個想法可以使用水容器類比電容來表示。根據(jù)圖5a的電路圖模型，繪制了圖5b的水容器模型。圖5b1中的主槽類似于電壓V源=V的電源，圖5b2中的副水槽是類似于電容為C的電容器，主槽和副水槽是一模一樣的水容器。不論兩個電容器如何連接，電容器組合的總電荷量和總電壓在開關(guān)K2關(guān)閉之前和之后應(yīng)該是相同的，換句話說，主槽中水的體積應(yīng)該等于兩個副水槽中水的體積之和，主槽中水的高度應(yīng)該等于兩個副水槽中水的高度之和。在這里水的體積對應(yīng)電容器中的電荷量，水的高度對應(yīng)電容器中的電壓，水箱的形狀和裝水的能力與電容的大小有關(guān)。在水的存儲過程中我們采取理想的假設(shè)，保持電容電路中的所有組件模型是理想化的。如圖5a所示，即當(dāng)K1閉合、K2斷開時，水（電荷）從一個主槽完全泵到一個副水槽（電容C1）達到V的高度，此時水的體積為Q。即初始電壓和電荷量分別為：V"（22）Q始-CV=Q（23）式中V為初始電壓。把（22）、（23）式代入（5）式，我們可以計算出電容器中的初始能量為：

E=1QV=1QV=1CV2（24）始2始始22當(dāng)兩個電容器連接在一起時，即K1斷開、K2閉合（如圖5a所示），此時主槽被移除，帶電電容器C1開始為新連接的電容器C2充電，最終兩個電容器的電壓和電荷都相等，且值為V2和Q始/2，此時副水槽C1.C2中水的體積都為Q]2，水的高度都為V：2。下面我們用類比的方法來分析兩個電容器并聯(lián)和串聯(lián)兩種情況下的能量守恒。3.1兩電容器并聯(lián)時與水容器類比分析頂視圖側(cè)祝圖頂視圖側(cè)祝圖圖6顯示并聯(lián)電容器的水容器類比模型。圖6顯示并聯(lián)電容器的水容器類比模型。類比電容器的水槽占地面積和高度是成一定比率的，且類比模型總電容的大小和水槽的總高度成反比，和水槽的總占地面積成正比。如圖6a所示水箱水平放置在一起，這種組合水槽的總高度不變、總占地面積增加為原來的兩倍，因此等效電容也增加為原來的兩倍，即C等效=2C，水容器模型的頂視圖損失了高度信息，如圖6b1所示，結(jié)果導(dǎo)致總電壓為V-V=0，因而不能用于計算電荷量。水容器模型的側(cè)視圖中，水的高度22是可見的，是不疊加的（如圖6b2所示），所以水的等效電壓為V!2。如圖6a可知每個水槽中的電荷為QQ，即總電荷為：(25)Q=QC1+QQ冷Q=^^"^2末把等效電壓和（25）式代入公式（5）式得總能量為:

(25)11（V\1氣=2"等疽井匚卜;叫(26)k2J由（24）、（26）式不難看出，用等效電壓的方法來計算總能量是不遵守能量守恒原理的，現(xiàn)在的解決方案是利用重新定義的能量電壓關(guān)系來解決這個問題，即把兩個電容器中的電荷（水的體積）相加作為總電荷量（總體積）。把兩個電容器中電壓的大?。ㄋ母叨龋┫嗉幼鳛榭傠妷海ㄋ目偢叨龋?。不管兩個電容為C電容器如何并聯(lián)，每個電容器中水的高度為V..；2（如圖6a11（V\1氣=2"等疽井匚卜;叫(26)V總=VC+VC（27）這是通過對每個水容器內(nèi)水的高度求和得到的，即電容器電壓的極性對總電荷量和總電壓的計算是不重要的，此時V始=V^=V，滿足電壓守恒。把（25）、（27）代入（5）式，我們可以計算出并聯(lián)電容器在開關(guān)閉合后的總能量為：（27）E=1QV=1QV=1CV2=E（28）總2總總22末由（24）式和（28）式可以看出，兩電容器并聯(lián)時能量是守恒的，它滿足E始='末=2CV2。圖7顯示串聯(lián)電容器的水容器類比模型。3.2圖7顯示串聯(lián)電容器的水容器類比模型。兩個串聯(lián)的電容器電路，不管怎么串聯(lián)，每個單獨的電容器都有一個電容C和電位差K-2。在圖7中的水容器類比模型和等效電路模型就說明了這種情況。在水容器類比電容器模型中，兩個副水槽的放置方式是一個高于另一個（如圖7a所示）。因為在水容器模型中水槽組合的總占地面積保持不變，而總高度翻倍，所以等效電容為C;2?，F(xiàn)在，等效電容的大小減少為原來單個電容的二分之一，即C等效=C。通過頂視圖，水（電荷量）的高度信息是不可見的、是丟失的（如等效電路模型圖7b所示），即等效電壓為：=0，所以不能用于電荷量計算。22然而通過側(cè)視圖我們看到水的高度信息是可見的，是增加的，所以得到的總電壓為：V=V+V=-+-=V=V（29）總qC222末這是通過對每個水槽內(nèi)水的高度求和得到的，滿足了電壓守恒（V始=V^=V）。在計算電荷量時，如果我們只考慮水容器模型的總電壓V和等效電容C2，代入Q=CV時，就會因電容減少為C/2，計算得出的總電荷也減少一半，出現(xiàn)最終總電荷量與初始總電荷量不相等的矛盾，違反了電荷守恒，這是不正確的，所以我們不能用等效電容的方法來計算總電荷。在這種情況下的解決方案是利用重新定義的能量電壓關(guān)系，即把每個水槽里的電荷量（水的體積）求和作為總電荷量（水的總體積）。如圖7a所示，兩個副水槽中水的體積相同，因此它們所儲存的電荷數(shù)量相同，且為QQ，即Q=Q=Q，這樣就意味著總電荷量為：TOC\o"1-5"\h\zc1C22Q=Q+Q=—+—=Q=Q（30）總c1c222末從而滿足電荷守恒Q始=。末=Q。把（29）、（30）式代入（5）式，我們可以計算出電容器串聯(lián)電路中開關(guān)閉合后的總能量為：E=-QV=-QV=-CV2=E（31）總2總總22末由（24）式和（31）式可以看出，兩電容器串聯(lián)時能量是守恒的，它滿足E始='末=2CV2。在理想條件下，兩個理想的電容器并聯(lián)和串聯(lián)時的能量應(yīng)該是守恒的，但直接應(yīng)用E=-CV2來計算電路中的總能量時，能量似乎損失了一半。本文通過對2電容器組合能量的重新解讀，重新定義了兩個電容器連接在一起時的能量電壓關(guān)系，從而滿足了能量守恒，并且提出一個類比方案來直觀形象的呈現(xiàn)出兩個電容器連接前后的能量守恒。致謝論文寫作過程中得到賈正林老師的關(guān)心、耐心的指導(dǎo)和幫助，在此我表示衷心的感謝。參考資料：程榮龍，楊春蘭.關(guān)于電容器連接中能量損失問題的討論[J].滁州學(xué)院學(xué)報，第12卷，第2期，2010.F.W.SearsandM.W.Zemansky.UniversityPhysics[M].page601.Addison-Wesley,Reading,1964.KirkT.McDonald.ACapacitorParadox[J].arXiv:physics/0312031v1,2003.D.HallidayandR.Resnick.Physics[M].page656.Wiley,NewYork,1978.M.