即正四面體課件

第四十六講(第四十七講(文))多面體與球1共57頁(yè)第四十六講1共57頁(yè)2共57頁(yè)2共57頁(yè)回歸課本1.多面體和正多面體(1)多面體：若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．(2)凸多面體：把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體．(3)正多面體：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體．正多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．3共57頁(yè)回歸課本3共57頁(yè)2．球(1)球面和球的概念半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球．球也可以看作與定點(diǎn)(球心)的距離等于或小于定長(zhǎng)(半徑)的所有點(diǎn)的集合(軌跡)．(2)球的截面的性質(zhì)①用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；②球心到截面圓心的連線垂直于截面；4共57頁(yè)2．球4共57頁(yè)5共57頁(yè)5共57頁(yè)點(diǎn)評(píng)：(1)在球的有關(guān)計(jì)算中，由球的半徑R，截面圓的半徑及球心到截面距離O′O構(gòu)成的直角三角形，是常用的關(guān)鍵圖形．(2)球面上兩點(diǎn)間的距離是指過(guò)這兩點(diǎn)的球的大圓上兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)，其計(jì)算思路：如圖所示，解△O′AB得AB的長(zhǎng)，解△OAB得∠AOB的弧度數(shù)；利用l＝|α|R得球面上A，B兩點(diǎn)間的球面距離．6共57頁(yè)點(diǎn)評(píng)：(1)在球的有關(guān)計(jì)算中，由球的半徑R，截面圓的半徑及球7共57頁(yè)7共57頁(yè)答案：C8共57頁(yè)答案：C8共57頁(yè)答案：B9共57頁(yè)答案：B9共57頁(yè)3．設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點(diǎn)，且NP＝MN＝OM，分別過(guò)N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為()A．356 B．368C．579 D．58910共57頁(yè)3．設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點(diǎn)，且NP＝MN＝OM，分別解析：作出球的軸截面圖如下圖．答案：D11共57頁(yè)解析：作出球的軸截面圖如下圖．11共57頁(yè)4．(2011·名校模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，過(guò)正方體中兩條互為異面直線的棱A1A、BC的中點(diǎn)P、Q作直線，該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)為()12共57頁(yè)4．(2011·名校模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－解析：答案：D點(diǎn)評(píng)：本題著重考查空間想象能力和運(yùn)算能力，添加適當(dāng)?shù)妮o助線并結(jié)合平面幾何知識(shí)可圓滿(mǎn)解決．13共57頁(yè)解析：13共57頁(yè)14共57頁(yè)14共57頁(yè)答案：B15共57頁(yè)答案：B15共57頁(yè)16共57頁(yè)16共57頁(yè)17共57頁(yè)17共57頁(yè)18共57頁(yè)18共57頁(yè)【典例1】已知A—BCD是棱長(zhǎng)為a的正四面體．(1)求證：AB⊥CD；(2)求二面角A—BC—D的余弦值；(3)求正四面體的體積．19共57頁(yè)【典例1】已知A—BCD是棱長(zhǎng)為a的正四面體．19共57[解析](1)證明：過(guò)A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，DO并延長(zhǎng)，分別交DC，BC于E、F，由題知四面體A—BCD為正四面體，故O為△BCD的中心，E、F分別為CD、BC的中點(diǎn)．∴BE⊥CD，而B(niǎo)E是AB在平面BCD上的射影，∴AB⊥CD.(2)∵DF⊥BC，∴AF⊥BC，∴∠AFD為二面角A—BC—D的平面角．20共57頁(yè)[解析](1)證明：過(guò)A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，21共57頁(yè)21共57頁(yè)探究1：已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等，把它們拼起來(lái)，使一個(gè)表面重合，所得的多面體有多少個(gè)面？22共57頁(yè)探究1：已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等，把它們拼起點(diǎn)評(píng)：本題若不經(jīng)過(guò)計(jì)算，憑想象，很可能會(huì)得到拼成的多面體為十面體，這是錯(cuò)誤的．23共57頁(yè)點(diǎn)評(píng)：本題若不經(jīng)過(guò)計(jì)算，憑想象，很可能會(huì)得到拼成的多面體為十類(lèi)型二球面距離解題準(zhǔn)備：求球面距離的方法：設(shè)球面上兩點(diǎn)間的球心角為α弧度，球半徑為R，則球面上兩點(diǎn)間的距離為|α|·R，所以計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是確定球心角．1．兩點(diǎn)在同一經(jīng)線圈上，可直接計(jì)算兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度；2．兩點(diǎn)在同一緯線圈上，先求弦長(zhǎng)，由余弦定理求球心角，化為弧度，再用l＝|α|·R來(lái)求．24共57頁(yè)類(lèi)型二球面距離24共57頁(yè)【典例2】如圖，地球半徑為R，地面上三點(diǎn)A，B，C的經(jīng)緯度分別是：A點(diǎn)是東經(jīng)20°，北緯60°；B點(diǎn)是東經(jīng)140°，北緯60°；C點(diǎn)是東經(jīng)140°，北緯30°，試求A，B與B，C兩點(diǎn)的球面距離．25共57頁(yè)【典例2】如圖，地球半徑為R，地面上三點(diǎn)A，B，C的經(jīng)緯度分26共57頁(yè)26共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)]

(1)為求A、B兩點(diǎn)間的球面距離，要組織到△AOB中去分析，關(guān)鍵是求得球心角∠AOB的度數(shù)，結(jié)合弧長(zhǎng)公式．注意余弦定理的應(yīng)用．(2)緯度相當(dāng)于球半徑與赤道平面所成的角，經(jīng)度相當(dāng)于二面角的平面角．27共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)](1)為求A、B兩點(diǎn)間的球面距離，要組織到△AOB28共57頁(yè)28共57頁(yè)29共57頁(yè)29共57頁(yè)誤區(qū)指津：通過(guò)已知條件求得∠AO′B＝90°是關(guān)鍵，但易忽視點(diǎn)B的位置有兩種可能情況．點(diǎn)評(píng)：在解決球的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到與地球的經(jīng)線、緯線、經(jīng)度、緯度有關(guān)的問(wèn)題．緯線：是與地軸垂直的截面截地球表面所得到的圓．緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓．經(jīng)線：是地球表面上從北極到南極的半個(gè)大圓．經(jīng)線圈是過(guò)地軸的截面截地球表面所得到的圓，它們都是大圓．30共57頁(yè)誤區(qū)指津：通過(guò)已知條件求得∠AO′B＝90°是關(guān)鍵，但易忽視緯度：某地點(diǎn)的緯度，就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球的半徑與赤道所在平面所成角的度數(shù)．緯度角是一個(gè)線面角．經(jīng)度：某地點(diǎn)的經(jīng)度，就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線及地軸確定的半平面與0°經(jīng)線及地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)．經(jīng)度角是一個(gè)二面角．0°經(jīng)線也叫做本初子午線．東經(jīng)180°經(jīng)線和西經(jīng)180°經(jīng)線是同一條經(jīng)線，即180°經(jīng)線.0°經(jīng)線和180°經(jīng)線合成一個(gè)通過(guò)南北兩極的大圓．31共57頁(yè)緯度：某地點(diǎn)的緯度，就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球的半徑與赤道所在平面所成32共57頁(yè)32共57頁(yè)[解析]如圖所示，△SAC的外接圓是外接球的一個(gè)大圓，所以只要求出這個(gè)外接圓的半徑即可，而內(nèi)切球的球心O到棱錐的各個(gè)面的距離相等，可由正四棱錐的體積求出其半徑．33共57頁(yè)[解析]如圖所示，△SAC的外接圓是外接球的一個(gè)大圓，所以34共57頁(yè)34共57頁(yè)35共57頁(yè)35共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)]

本題為我們提供了一個(gè)尋求正棱錐外接球半徑和內(nèi)切球半徑的思路．讀者可考慮如何求一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球半徑．36共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)]本題為我們提供了一個(gè)尋求正棱錐外接球半徑和內(nèi)切球半類(lèi)型四球的組合體問(wèn)題解題準(zhǔn)備：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖．37共57頁(yè)類(lèi)型四球的組合體問(wèn)題37共57頁(yè)【典例4】在三棱錐S—ABC中，SA⊥底面ABC，側(cè)面SBA和側(cè)面SBC成直二面角．(1)求證：側(cè)面SBC為直角三角形；(2)若∠BSC＝45°，SB＝a，求三棱錐S—ABC的外接球的體積．[分析](1)欲證側(cè)面是直角三角形即證明BC⊥SB即可．(2)求外接球的體積關(guān)鍵是找到球心的位置，求出半徑，然后利用體積公式求解．38共57頁(yè)【典例4】在三棱錐S—ABC中，SA⊥底面ABC，側(cè)面SB[解析](1)證明：過(guò)A作AD⊥SB于點(diǎn)D，∵平面SBA⊥平面SBC，∴AD⊥平面SBC.∵BC?平面SBC，∴BC⊥AD.∵SA⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴SA⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥SB.∴側(cè)面SBC為直角三角形．(2)取SC的中點(diǎn)為O，連結(jié)AO、BO.在Rt△SAC與Rt△SBC中，OA＝SO＝OC＝OB，即O到三棱錐S—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴O為球心．39共57頁(yè)[解析](1)證明：過(guò)A作AD⊥SB于點(diǎn)D，39共57[點(diǎn)評(píng)]

(1)關(guān)于與球組合的組合體題型，關(guān)鍵是尋找球與其他幾何體的聯(lián)系，確定球心位置，利用多面體中的線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系及球中R、r、d的關(guān)系求出半徑，從而使問(wèn)題得以解決．(2)注意：球與正方體的組合體，當(dāng)球是正方體的內(nèi)切球時(shí)，球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)；當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)．40共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)](1)關(guān)于與球組合的組合體題型，關(guān)鍵是尋找球與其他41共57頁(yè)41共57頁(yè)42共57頁(yè)42共57頁(yè)名師作業(yè)·練全能

點(diǎn)擊進(jìn)入word43共57頁(yè)名師作業(yè)·練全能點(diǎn)擊進(jìn)入word43共57頁(yè)第四十六講(第四十七講(文))多面體與球44共57頁(yè)第四十六講1共57頁(yè)45共57頁(yè)2共57頁(yè)回歸課本1.多面體和正多面體(1)多面體：若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．(2)凸多面體：把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體．(3)正多面體：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體．正多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．46共57頁(yè)回歸課本3共57頁(yè)2．球(1)球面和球的概念半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球．球也可以看作與定點(diǎn)(球心)的距離等于或小于定長(zhǎng)(半徑)的所有點(diǎn)的集合(軌跡)．(2)球的截面的性質(zhì)①用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；②球心到截面圓心的連線垂直于截面；47共57頁(yè)2．球4共57頁(yè)48共57頁(yè)5共57頁(yè)點(diǎn)評(píng)：(1)在球的有關(guān)計(jì)算中，由球的半徑R，截面圓的半徑及球心到截面距離O′O構(gòu)成的直角三角形，是常用的關(guān)鍵圖形．(2)球面上兩點(diǎn)間的距離是指過(guò)這兩點(diǎn)的球的大圓上兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)，其計(jì)算思路：如圖所示，解△O′AB得AB的長(zhǎng)，解△OAB得∠AOB的弧度數(shù)；利用l＝|α|R得球面上A，B兩點(diǎn)間的球面距離．49共57頁(yè)點(diǎn)評(píng)：(1)在球的有關(guān)計(jì)算中，由球的半徑R，截面圓的半徑及球50共57頁(yè)7共57頁(yè)答案：C51共57頁(yè)答案：C8共57頁(yè)答案：B52共57頁(yè)答案：B9共57頁(yè)3．設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點(diǎn)，且NP＝MN＝OM，分別過(guò)N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為()A．356 B．368C．579 D．58953共57頁(yè)3．設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點(diǎn)，且NP＝MN＝OM，分別解析：作出球的軸截面圖如下圖．答案：D54共57頁(yè)解析：作出球的軸截面圖如下圖．11共57頁(yè)4．(2011·名校模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，過(guò)正方體中兩條互為異面直線的棱A1A、BC的中點(diǎn)P、Q作直線，該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)為()55共57頁(yè)4．(2011·名校模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－解析：答案：D點(diǎn)評(píng)：本題著重考查空間想象能力和運(yùn)算能力，添加適當(dāng)?shù)妮o助線并結(jié)合平面幾何知識(shí)可圓滿(mǎn)解決．56共57頁(yè)解析：13共57頁(yè)57共57頁(yè)14共57頁(yè)答案：B58共57頁(yè)答案：B15共57頁(yè)59共57頁(yè)16共57頁(yè)60共57頁(yè)17共57頁(yè)61共57頁(yè)18共57頁(yè)【典例1】已知A—BCD是棱長(zhǎng)為a的正四面體．(1)求證：AB⊥CD；(2)求二面角A—BC—D的余弦值；(3)求正四面體的體積．62共57頁(yè)【典例1】已知A—BCD是棱長(zhǎng)為a的正四面體．19共57[解析](1)證明：過(guò)A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，DO并延長(zhǎng)，分別交DC，BC于E、F，由題知四面體A—BCD為正四面體，故O為△BCD的中心，E、F分別為CD、BC的中點(diǎn)．∴BE⊥CD，而B(niǎo)E是AB在平面BCD上的射影，∴AB⊥CD.(2)∵DF⊥BC，∴AF⊥BC，∴∠AFD為二面角A—BC—D的平面角．63共57頁(yè)[解析](1)證明：過(guò)A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，64共57頁(yè)21共57頁(yè)探究1：已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等，把它們拼起來(lái)，使一個(gè)表面重合，所得的多面體有多少個(gè)面？65共57頁(yè)探究1：已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等，把它們拼起點(diǎn)評(píng)：本題若不經(jīng)過(guò)計(jì)算，憑想象，很可能會(huì)得到拼成的多面體為十面體，這是錯(cuò)誤的．66共57頁(yè)點(diǎn)評(píng)：本題若不經(jīng)過(guò)計(jì)算，憑想象，很可能會(huì)得到拼成的多面體為十類(lèi)型二球面距離解題準(zhǔn)備：求球面距離的方法：設(shè)球面上兩點(diǎn)間的球心角為α弧度，球半徑為R，則球面上兩點(diǎn)間的距離為|α|·R，所以計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是確定球心角．1．兩點(diǎn)在同一經(jīng)線圈上，可直接計(jì)算兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度；2．兩點(diǎn)在同一緯線圈上，先求弦長(zhǎng)，由余弦定理求球心角，化為弧度，再用l＝|α|·R來(lái)求．67共57頁(yè)類(lèi)型二球面距離24共57頁(yè)【典例2】如圖，地球半徑為R，地面上三點(diǎn)A，B，C的經(jīng)緯度分別是：A點(diǎn)是東經(jīng)20°，北緯60°；B點(diǎn)是東經(jīng)140°，北緯60°；C點(diǎn)是東經(jīng)140°，北緯30°，試求A，B與B，C兩點(diǎn)的球面距離．68共57頁(yè)【典例2】如圖，地球半徑為R，地面上三點(diǎn)A，B，C的經(jīng)緯度分69共57頁(yè)26共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)]

(1)為求A、B兩點(diǎn)間的球面距離，要組織到△AOB中去分析，關(guān)鍵是求得球心角∠AOB的度數(shù)，結(jié)合弧長(zhǎng)公式．注意余弦定理的應(yīng)用．(2)緯度相當(dāng)于球半徑與赤道平面所成的角，經(jīng)度相當(dāng)于二面角的平面角．70共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)](1)為求A、B兩點(diǎn)間的球面距離，要組織到△AOB71共57頁(yè)28共57頁(yè)72共57頁(yè)29共57頁(yè)誤區(qū)指津：通過(guò)已知條件求得∠AO′B＝90°是關(guān)鍵，但易忽視點(diǎn)B的位置有兩種可能情況．點(diǎn)評(píng)：在解決球的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到與地球的經(jīng)線、緯線、經(jīng)度、緯度有關(guān)的問(wèn)題．緯線：是與地軸垂直的截面截地球表面所得到的圓．緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓．經(jīng)線：是地球表面上從北極到南極的半個(gè)大圓．經(jīng)線圈是過(guò)地軸的截面截地球表面所得到的圓，它們都是大圓．73共57頁(yè)誤區(qū)指津：通過(guò)已知條件求得∠AO′B＝90°是關(guān)鍵，但易忽視緯度：某地點(diǎn)的緯度，就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球的半徑與赤道所在平面所成角的度數(shù)．緯度角是一個(gè)線面角．經(jīng)度：某地點(diǎn)的經(jīng)度，就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線及地軸確定的半平面與0°經(jīng)線及地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)．經(jīng)度角是一個(gè)二面角．0°經(jīng)線也叫做本初子午線．東經(jīng)180°經(jīng)線和西經(jīng)180°經(jīng)線是同一條經(jīng)線，即180°經(jīng)線.0°經(jīng)線和180°經(jīng)線合成一個(gè)通過(guò)南北兩極的大圓．74共57頁(yè)緯度：某地點(diǎn)的緯度，就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球的半徑與赤道所在平面所成75共57頁(yè)32共57頁(yè)[解析]如圖所示，△SAC的外接圓是外接球的一個(gè)大圓，所以只要求出這個(gè)外接圓的半徑即可，而內(nèi)切球的球心O到棱錐的各個(gè)面的距離相等，可由正四棱錐的體積求出其半徑．76共57頁(yè)[解析]如圖所示，△SAC的外接圓是外接球的一個(gè)大圓，所以77共57頁(yè)34共57頁(yè)78共57頁(yè)35共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)]

本題為我們提供了一個(gè)尋求正棱錐外接球半徑和內(nèi)切球半徑的思路．讀者可考慮如何求一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球半徑．79共57頁(yè)[點(diǎn)評(píng)]本題為我們提供了一個(gè)尋求正棱錐外接球半徑和內(nèi)切球半類(lèi)型四球的組合體問(wèn)題解題準(zhǔn)備：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖．80共57頁(yè)類(lèi)型四球的組合體問(wèn)題37