即正四面體課件

第四十六講(第四十七講(文))多面體與球1共57頁第四十六講1共57頁2共57頁2共57頁回歸課本1.多面體和正多面體(1)多面體：若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．(2)凸多面體：把多面體的任何一個面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體．(3)正多面體：每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體．正多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．3共57頁回歸課本3共57頁2．球(1)球面和球的概念半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球．球也可以看作與定點(球心)的距離等于或小于定長(半徑)的所有點的集合(軌跡)．(2)球的截面的性質(zhì)①用一個平面去截球，截面是圓面；②球心到截面圓心的連線垂直于截面；4共57頁2．球4共57頁5共57頁5共57頁點評：(1)在球的有關(guān)計算中，由球的半徑R，截面圓的半徑及球心到截面距離O′O構(gòu)成的直角三角形，是常用的關(guān)鍵圖形．(2)球面上兩點間的距離是指過這兩點的球的大圓上兩點間的劣弧長，其計算思路：如圖所示，解△O′AB得AB的長，解△OAB得∠AOB的弧度數(shù)；利用l＝|α|R得球面上A，B兩點間的球面距離．6共57頁點評：(1)在球的有關(guān)計算中，由球的半徑R，截面圓的半徑及球7共57頁7共57頁答案：C8共57頁答案：C8共57頁答案：B9共57頁答案：B9共57頁3．設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點，且NP＝MN＝OM，分別過N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三個圓，則這三個圓的面積之比為()A．356 B．368C．579 D．58910共57頁3．設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點，且NP＝MN＝OM，分別解析：作出球的軸截面圖如下圖．答案：D11共57頁解析：作出球的軸截面圖如下圖．11共57頁4．(2011·名校模擬)如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，過正方體中兩條互為異面直線的棱A1A、BC的中點P、Q作直線，該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()12共57頁4．(2011·名校模擬)如圖，在棱長為a的正方體ABCD－解析：答案：D點評：本題著重考查空間想象能力和運算能力，添加適當(dāng)?shù)妮o助線并結(jié)合平面幾何知識可圓滿解決．13共57頁解析：13共57頁14共57頁14共57頁答案：B15共57頁答案：B15共57頁16共57頁16共57頁17共57頁17共57頁18共57頁18共57頁【典例1】已知A—BCD是棱長為a的正四面體．(1)求證：AB⊥CD；(2)求二面角A—BC—D的余弦值；(3)求正四面體的體積．19共57頁【典例1】已知A—BCD是棱長為a的正四面體．19共57[解析](1)證明：過A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，DO并延長，分別交DC，BC于E、F，由題知四面體A—BCD為正四面體，故O為△BCD的中心，E、F分別為CD、BC的中點．∴BE⊥CD，而BE是AB在平面BCD上的射影，∴AB⊥CD.(2)∵DF⊥BC，∴AF⊥BC，∴∠AFD為二面角A—BC—D的平面角．20共57頁[解析](1)證明：過A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，21共57頁21共57頁探究1：已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等，把它們拼起來，使一個表面重合，所得的多面體有多少個面？22共57頁探究1：已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等，把它們拼起點評：本題若不經(jīng)過計算，憑想象，很可能會得到拼成的多面體為十面體，這是錯誤的．23共57頁點評：本題若不經(jīng)過計算，憑想象，很可能會得到拼成的多面體為十類型二球面距離解題準(zhǔn)備：求球面距離的方法：設(shè)球面上兩點間的球心角為α弧度，球半徑為R，則球面上兩點間的距離為|α|·R，所以計算球面距離的關(guān)鍵是確定球心角．1．兩點在同一經(jīng)線圈上，可直接計算兩點間的劣弧長度；2．兩點在同一緯線圈上，先求弦長，由余弦定理求球心角，化為弧度，再用l＝|α|·R來求．24共57頁類型二球面距離24共57頁【典例2】如圖，地球半徑為R，地面上三點A，B，C的經(jīng)緯度分別是：A點是東經(jīng)20°，北緯60°；B點是東經(jīng)140°，北緯60°；C點是東經(jīng)140°，北緯30°，試求A，B與B，C兩點的球面距離．25共57頁【典例2】如圖，地球半徑為R，地面上三點A，B，C的經(jīng)緯度分26共57頁26共57頁[點評]

(1)為求A、B兩點間的球面距離，要組織到△AOB中去分析，關(guān)鍵是求得球心角∠AOB的度數(shù)，結(jié)合弧長公式．注意余弦定理的應(yīng)用．(2)緯度相當(dāng)于球半徑與赤道平面所成的角，經(jīng)度相當(dāng)于二面角的平面角．27共57頁[點評](1)為求A、B兩點間的球面距離，要組織到△AOB28共57頁28共57頁29共57頁29共57頁誤區(qū)指津：通過已知條件求得∠AO′B＝90°是關(guān)鍵，但易忽視點B的位置有兩種可能情況．點評：在解決球的問題時，經(jīng)常遇到與地球的經(jīng)線、緯線、經(jīng)度、緯度有關(guān)的問題．緯線：是與地軸垂直的截面截地球表面所得到的圓．緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓．經(jīng)線：是地球表面上從北極到南極的半個大圓．經(jīng)線圈是過地軸的截面截地球表面所得到的圓，它們都是大圓．30共57頁誤區(qū)指津：通過已知條件求得∠AO′B＝90°是關(guān)鍵，但易忽視緯度：某地點的緯度，就是經(jīng)過這點的球的半徑與赤道所在平面所成角的度數(shù)．緯度角是一個線面角．經(jīng)度：某地點的經(jīng)度，就是經(jīng)過這點的經(jīng)線及地軸確定的半平面與0°經(jīng)線及地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)．經(jīng)度角是一個二面角．0°經(jīng)線也叫做本初子午線．東經(jīng)180°經(jīng)線和西經(jīng)180°經(jīng)線是同一條經(jīng)線，即180°經(jīng)線.0°經(jīng)線和180°經(jīng)線合成一個通過南北兩極的大圓．31共57頁緯度：某地點的緯度，就是經(jīng)過這點的球的半徑與赤道所在平面所成32共57頁32共57頁[解析]如圖所示，△SAC的外接圓是外接球的一個大圓，所以只要求出這個外接圓的半徑即可，而內(nèi)切球的球心O到棱錐的各個面的距離相等，可由正四棱錐的體積求出其半徑．33共57頁[解析]如圖所示，△SAC的外接圓是外接球的一個大圓，所以34共57頁34共57頁35共57頁35共57頁[點評]

本題為我們提供了一個尋求正棱錐外接球半徑和內(nèi)切球半徑的思路．讀者可考慮如何求一個棱長為a的正四面體的外接球半徑．36共57頁[點評]本題為我們提供了一個尋求正棱錐外接球半徑和內(nèi)切球半類型四球的組合體問題解題準(zhǔn)備：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖．37共57頁類型四球的組合體問題37共57頁【典例4】在三棱錐S—ABC中，SA⊥底面ABC，側(cè)面SBA和側(cè)面SBC成直二面角．(1)求證：側(cè)面SBC為直角三角形；(2)若∠BSC＝45°，SB＝a，求三棱錐S—ABC的外接球的體積．[分析](1)欲證側(cè)面是直角三角形即證明BC⊥SB即可．(2)求外接球的體積關(guān)鍵是找到球心的位置，求出半徑，然后利用體積公式求解．38共57頁【典例4】在三棱錐S—ABC中，SA⊥底面ABC，側(cè)面SB[解析](1)證明：過A作AD⊥SB于點D，∵平面SBA⊥平面SBC，∴AD⊥平面SBC.∵BC?平面SBC，∴BC⊥AD.∵SA⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴SA⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥SB.∴側(cè)面SBC為直角三角形．(2)取SC的中點為O，連結(jié)AO、BO.在Rt△SAC與Rt△SBC中，OA＝SO＝OC＝OB，即O到三棱錐S—ABC的四個頂點的距離相等，∴O為球心．39共57頁[解析](1)證明：過A作AD⊥SB于點D，39共57[點評]

(1)關(guān)于與球組合的組合體題型，關(guān)鍵是尋找球與其他幾何體的聯(lián)系，確定球心位置，利用多面體中的線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系及球中R、r、d的關(guān)系求出半徑，從而使問題得以解決．(2)注意：球與正方體的組合體，當(dāng)球是正方體的內(nèi)切球時，球的直徑等于正方體的棱長；當(dāng)球是正方體的外接球時，球的直徑等于正方體的對角線長．40共57頁[點評](1)關(guān)于與球組合的組合體題型，關(guān)鍵是尋找球與其他41共57頁41共57頁42共57頁42共57頁名師作業(yè)·練全能

點擊進(jìn)入word43共57頁名師作業(yè)·練全能點擊進(jìn)入word43共57頁第四十六講(第四十七講(文))多面體與球44共57頁第四十六講1共57頁45共57頁2共57頁回歸課本1.多面體和正多面體(1)多面體：若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．(2)凸多面體：把多面體的任何一個面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體．(3)正多面體：每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體．正多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．46共57頁回歸課本3共57頁2．球(1)球面和球的概念半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球．球也可以看作與定點(球心)的距離等于或小于定長(半徑)的所有點的集合(軌跡)．(2)球的截面的性質(zhì)①用一個平面去截球，截面是圓面；②球心到截面圓心的連線垂直于截面；47共57頁2．球4共57頁48共57頁5共57頁點評：(1)在球的有關(guān)計算中，由球的半徑R，截面圓的半徑及球心到截面距離O′O構(gòu)成的直角三角形，是常用的關(guān)鍵圖形．(2)球面上兩點間的距離是指過這兩點的球的大圓上兩點間的劣弧長，其計算思路：如圖所示，解△O′AB得AB的長，解△OAB得∠AOB的弧度數(shù)；利用l＝|α|R得球面上A，B兩點間的球面距離．49共57頁點評：(1)在球的有關(guān)計算中，由球的半徑R，截面圓的半徑及球50共57頁7共57頁答案：C51共57頁答案：C8共57頁答案：B52共57頁答案：B9共57頁3．設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點，且NP＝MN＝OM，分別過N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三個圓，則這三個圓的面積之比為()A．356 B．368C．579 D．58953共57頁3．設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點，且NP＝MN＝OM，分別解析：作出球的軸截面圖如下圖．答案：D54共57頁解析：作出球的軸截面圖如下圖．11共57頁4．(2011·名校模擬)如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，過正方體中兩條互為異面直線的棱A1A、BC的中點P、Q作直線，該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()55共57頁4．(2011·名校模擬)如圖，在棱長為a的正方體ABCD－解析：答案：D點評：本題著重考查空間想象能力和運算能力，添加適當(dāng)?shù)妮o助線并結(jié)合平面幾何知識可圓滿解決．56共57頁解析：13共57頁57共57頁14共57頁答案：B58共57頁答案：B15共57頁59共57頁16共57頁60共57頁17共57頁61共57頁18共57頁【典例1】已知A—BCD是棱長為a的正四面體．(1)求證：AB⊥CD；(2)求二面角A—BC—D的余弦值；(3)求正四面體的體積．62共57頁【典例1】已知A—BCD是棱長為a的正四面體．19共57[解析](1)證明：過A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，DO并延長，分別交DC，BC于E、F，由題知四面體A—BCD為正四面體，故O為△BCD的中心，E、F分別為CD、BC的中點．∴BE⊥CD，而BE是AB在平面BCD上的射影，∴AB⊥CD.(2)∵DF⊥BC，∴AF⊥BC，∴∠AFD為二面角A—BC—D的平面角．63共57頁[解析](1)證明：過A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，64共57頁21共57頁探究1：已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等，把它們拼起來，使一個表面重合，所得的多面體有多少個面？65共57頁探究1：已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等，把它們拼起點評：本題若不經(jīng)過計算，憑想象，很可能會得到拼成的多面體為十面體，這是錯誤的．66共57頁點評：本題若不經(jīng)過計算，憑想象，很可能會得到拼成的多面體為十類型二球面距離解題準(zhǔn)備：求球面距離的方法：設(shè)球面上兩點間的球心角為α弧度，球半徑為R，則球面上兩點間的距離為|α|·R，所以計算球面距離的關(guān)鍵是確定球心角．1．兩點在同一經(jīng)線圈上，可直接計算兩點間的劣弧長度；2．兩點在同一緯線圈上，先求弦長，由余弦定理求球心角，化為弧度，再用l＝|α|·R來求．67共57頁類型二球面距離24共57頁【典例2】如圖，地球半徑為R，地面上三點A，B，C的經(jīng)緯度分別是：A點是東經(jīng)20°，北緯60°；B點是東經(jīng)140°，北緯60°；C點是東經(jīng)140°，北緯30°，試求A，B與B，C兩點的球面距離．68共57頁【典例2】如圖，地球半徑為R，地面上三點A，B，C的經(jīng)緯度分69共57頁26共57頁[點評]

(1)為求A、B兩點間的球面距離，要組織到△AOB中去分析，關(guān)鍵是求得球心角∠AOB的度數(shù)，結(jié)合弧長公式．注意余弦定理的應(yīng)用．(2)緯度相當(dāng)于球半徑與赤道平面所成的角，經(jīng)度相當(dāng)于二面角的平面角．70共57頁[點評](1)為求A、B兩點間的球面距離，要組織到△AOB71共57頁28共57頁72共57頁29共57頁誤區(qū)指津：通過已知條件求得∠AO′B＝90°是關(guān)鍵，但易忽視點B的位置有兩種可能情況．點評：在解決球的問題時，經(jīng)常遇到與地球的經(jīng)線、緯線、經(jīng)度、緯度有關(guān)的問題．緯線：是與地軸垂直的截面截地球表面所得到的圓．緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓．經(jīng)線：是地球表面上從北極到南極的半個大圓．經(jīng)線圈是過地軸的截面截地球表面所得到的圓，它們都是大圓．73共57頁誤區(qū)指津：通過已知條件求得∠AO′B＝90°是關(guān)鍵，但易忽視緯度：某地點的緯度，就是經(jīng)過這點的球的半徑與赤道所在平面所成角的度數(shù)．緯度角是一個線面角．經(jīng)度：某地點的經(jīng)度，就是經(jīng)過這點的經(jīng)線及地軸確定的半平面與0°經(jīng)線及地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)．經(jīng)度角是一個二面角．0°經(jīng)線也叫做本初子午線．東經(jīng)180°經(jīng)線和西經(jīng)180°經(jīng)線是同一條經(jīng)線，即180°經(jīng)線.0°經(jīng)線和180°經(jīng)線合成一個通過南北兩極的大圓．74共57頁緯度：某地點的緯度，就是經(jīng)過這點的球的半徑與赤道所在平面所成75共57頁32共57頁[解析]如圖所示，△SAC的外接圓是外接球的一個大圓，所以只要求出這個外接圓的半徑即可，而內(nèi)切球的球心O到棱錐的各個面的距離相等，可由正四棱錐的體積求出其半徑．76共57頁[解析]如圖所示，△SAC的外接圓是外接球的一個大圓，所以77共57頁34共57頁78共57頁35共57頁[點評]

本題為我們提供了一個尋求正棱錐外接球半徑和內(nèi)切球半徑的思路．讀者可考慮如何求一個棱長為a的正四面體的外接球半徑．79共57頁[點評]本題為我們提供了一個尋求正棱錐外接球半徑和內(nèi)切球半類型四球的組合體問題解題準(zhǔn)備：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖．80共57頁類型四球的組合體問題37