高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

第7節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布第7節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[考綱展示]1.了解條件概率的概念,了解兩個事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布.3.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.4.能解決一些簡單問題.[考綱展示]1.了解條件概率的概念,了解兩個事件相互獨(dú)立的概積累必備知識提升關(guān)鍵能力培育學(xué)科素養(yǎng)積累必備知識提升關(guān)鍵能力培育學(xué)科素養(yǎng)積累必備知識知識梳理(2)條件概率具有的性質(zhì)①

;②如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=

.P(B|A)0≤P(B|A)≤1P(B|A)+P(C|A)積累必備知識知識梳理(2)條件概率具有的性質(zhì)P(B|A)0≤2.相互獨(dú)立事件(1)對于事件A,B,若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響,則稱事件A,B是相互獨(dú)立事件.(2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=

,P(AB)=P(B|A)P(A)=

.(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立.P(B)P(A)P(B)2.相互獨(dú)立事件(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與重要結(jié)論相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響,計(jì)算公式為P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一試驗(yàn)中,兩個事件不會同時發(fā)生,計(jì)算公式為P(A∪B)=P(A)+P(B).重要結(jié)論相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的,各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有

種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=

,此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記為

,并稱p為成功概率.X～B(n,p)兩3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布X～B(n,p)兩(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸

,與x軸不相交;②曲線是單峰的,它關(guān)于直線

對稱;④曲線與x軸之間的面積為

;上方x=μx=μ1(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)④曲線與x軸之間的面積為;上⑤當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著

的變化而沿x軸平移,如圖甲所示;⑥當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ

,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ

,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖乙所示.μ越小越大⑤當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著的變化而②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈

;

③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈

.

X～N(μ,σ2)0.68270.95450.9973②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈;

X重要結(jié)論(1)P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c,則事件A,B,C至少有一個發(fā)生的概率為1-(1-a)(1-b)(1-c).重要結(jié)論(1)P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c,則事基礎(chǔ)自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)條件概率一定不等于它的非條件概率.(

)(2)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.(

)(3)對于任意兩個事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)(4)二項(xiàng)分布是一個概率分布,其公式相當(dāng)于(a+b)n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),其中a=p,b=1-p.(

)(5)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時發(fā)生的概率.(

)(6)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值,σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√(6)√基礎(chǔ)自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).答案:(1CCB3.已知隨機(jī)變量X+η=8,若X～B(10,0.6),則E(η),D(η)分別是(

)(A)6,2.4 (B)2,2.4 (C)2,5.6 (D)6,5.6解析:由已知隨機(jī)變量X+η=8,所以η=8-X.因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.故選B.B3.已知隨機(jī)變量X+η=8,若X～B(10,0.6),則EDD5.(舊教材選修2-3P55練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報(bào),在元旦假期期間甲地降雨概率是0.2,乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為

.

答案:0.385.(舊教材選修2-3P55練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報(bào),在元旦假答案:32答案:32提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一條件概率(基礎(chǔ)性)題組過關(guān)提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一條件概率(基礎(chǔ)性)題組過關(guān)2.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個,白球3個,黃球1個,甲從中不放回地逐一取球,已知第一次取得紅球,則第二次取得白球的概率為

.

2.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個,白球3個,黃球1個,甲3.如圖,四邊形EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則P(B|A)=

.

3.如圖,四邊形EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方4.高三畢業(yè)時,甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念,已知甲、乙兩人相鄰,則甲、丙兩人相鄰的概率是

.

4.高三畢業(yè)時,甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念,已知甲反思?xì)w納條件概率的三種求法反思?xì)w納條件概率的三種求法考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率(綜合性)遷移探究考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率(綜合性)遷移探究(2)求3人中至少有1人被選中的概率.(2)求3人中至少有1人被選中的概率.反思?xì)w納求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解;(2)正面計(jì)算較繁瑣或難以入手時,可從其對立事件入手計(jì)算,即正難則反的思想方法.反思?xì)w納求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有[典例遷移1]在本例條件不變下,求3人均未被選中的概率.[典例遷移1]在本例條件不變下,求3人均未被選中的概率.高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(綜合性、應(yīng)用性)[例2]某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià),每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi),超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi),從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖,并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列.考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(綜合性、應(yīng)用性)[例2]某(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù);(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù);(2)根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米,應(yīng)將w定為多少?(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位)(2)根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方(3)若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量,將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記為X,求其分布列及均值.(3)若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量,反思?xì)w納獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的類型及解題策略(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時,首先要確定好n和k的值,再準(zhǔn)確利用公式求概率.(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時,關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系,確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率,求得概率.反思?xì)w納獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的類型及解題策略[對點(diǎn)訓(xùn)練1]為全面貫徹黨的教育方針,堅(jiān)持立德樹人,適應(yīng)經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展對多樣化高素質(zhì)人才的需要,按照國家統(tǒng)一部署,某省高考改革方案從2018年秋季進(jìn)入高一年級的學(xué)生開始正式實(shí)施.新高考改革中,明確高考考試科目由語文、數(shù)學(xué)、英語3科,及考生在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個科目中自主選擇的3科組成,不分文理科.假設(shè)6個自主選擇的科目中每科被選擇的可能性相等,每位學(xué)生選擇每個科目互不影響,甲、乙、丙為某中學(xué)高一年級的3名學(xué)生.(1)求這3名學(xué)生都選擇物理的概率;[對點(diǎn)訓(xùn)練1]為全面貫徹黨的教育方針,堅(jiān)持立德樹人,適應(yīng)經(jīng)(2)設(shè)X為這3名學(xué)生中選擇物理的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)設(shè)X為這3名學(xué)生中選擇物理的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期考點(diǎn)四正態(tài)分布(應(yīng)用性、創(chuàng)新性)[例3](2017·全國Ⅰ卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;解:(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,故X～B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=16×0.0026=0.0416.考點(diǎn)四正態(tài)分布(應(yīng)用性、創(chuàng)新性)[例3](2017·全國(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;解:(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布反思?xì)w納(1)正態(tài)分布的核心是正態(tài)分布密度曲線的對稱性,利用對稱性,可以由已知區(qū)間上的概率求未知區(qū)間上的概率;(2)正態(tài)分布在三個標(biāo)準(zhǔn)差范圍的概率都有固定值(如果需要試題會給出);(3)如果某個總體服從正態(tài)分布,則某個個體在指定區(qū)間內(nèi)的概率就是一個固定值,若干個個體在該區(qū)間上出現(xiàn)的情況就是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).反思?xì)w納(1)正態(tài)分布的核心是正態(tài)分布密度曲線的對稱性,利用[對點(diǎn)訓(xùn)練2]某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管,質(zhì)檢員從中抽出若干根對其直徑(單位:mm)進(jìn)行測量,得出這批鋼管的直徑X服從正態(tài)分布N(65,4.84).(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢時,測得一根鋼管的直徑為73mm,他立即要求停止生產(chǎn),檢查設(shè)備,請你根據(jù)所學(xué)知識,判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理,并說明判斷的依據(jù);[對點(diǎn)訓(xùn)練2]某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管,質(zhì)檢員從中抽出若(2)如果鋼管的直徑X滿足60.6～69.4mm為合格品(合格品的概率精確到0.01),現(xiàn)要從60根該種鋼管中任意挑選3根,求次品數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.(2)如果鋼管的直徑X滿足60.6～69.4mm為合格品(所以E(Y)=3×0.05=0.15.Y0123P0.8573750.1353750.0071250.000125所以E(Y)=3×0.05=0.15.Y0123P0.857培育學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)探索——二項(xiàng)分布與正態(tài)分布綜合應(yīng)用中的核心素養(yǎng)以生活中的實(shí)際應(yīng)用問題為依托,以頻率分布直方圖、頻率分布折線圖和莖葉圖為載體,以彼此互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式以及期望、方差的計(jì)算公式為工具,以二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、超幾何分布等概率分布模型為核心綜合命題,概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相互滲透,背景新穎,不可多得.培育學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)探索——二項(xiàng)分布與正態(tài)分布綜合應(yīng)用中的核心素[典例]某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù),結(jié)果這100人的體重全部介于45kg到75kg之間,現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組:第一組[45,50),第二組[50,55),…第六組[70,75),得到如圖①所示的頻率分布直方圖,并發(fā)現(xiàn)這100人中,其體重低于55kg的有15人,這15人體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖②所示,以樣本的頻率作為總體的概率.[典例]某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)(1)求頻率分布直方圖中a,b,c的值;(1)求頻率分布直方圖中a,b,c的值;(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記X為體重在[55,65)的人數(shù),求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記X為體重在[55,65(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重ξ近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ=60,σ2=25.若P(μ-2σ≤ξ<μ+2σ)>0.9545,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.解:(3)由題意知ξ服從正態(tài)分布N(60,25),其中σ=5,則P(μ-2σ≤ξ<μ+2σ)=P(50≤ξ<70)=0.96>0.9545,所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重ξ近似服從正態(tài)試題情境:生活實(shí)踐情境、探索創(chuàng)新情境必備知識:統(tǒng)計(jì)、概率、分布列關(guān)鍵能力:數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力學(xué)科素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)用、數(shù)學(xué)探索試題情境:生活實(shí)踐情境、探索創(chuàng)新情境[素養(yǎng)演練]當(dāng)前,以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試,是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動,保證學(xué)生健康成長的有效措施.某市2018年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測試,三項(xiàng)考試滿分為50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲實(shí)心球15分,1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試,得到如圖所示頻率分布直方圖,且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如表:[素養(yǎng)演練]當(dāng)前,以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于35分的概率;每分鐘跳繩個數(shù)[155,165)[165,175)[175,185)[185,)得分17181920(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中,任意選取2人,求兩人得分之和(2)若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差,已知樣本方差σ2≈169(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn),該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練,正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步,假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個,現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型:①預(yù)估全年級恰好有2000名學(xué)生時,正式測試時每分鐘跳182個以上的人數(shù);(結(jié)果四舍五入到整數(shù))(2)若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ,高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布②若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人,記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望.附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.②若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人,記正式測試時每分鐘跳19E(ξ)=3×0.5=1.5.ξ0123P0.1250.3750.3750.125E(ξ)=3×0.5=1.5.ξ0123P0.1250.37備選例題備選例題高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布答案:(1)D答案:(1)D高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[例3](2020·宜昌模擬)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為p(0<p<1),并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長(單位:min),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時長/min[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.(1)試估計(jì)p的值;[例3](2020·宜昌模擬)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10(2)設(shè)X表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X);附:①某盞燈在某一時刻亮燈的概率p等于亮燈時長與燈光展總時長的商;(2)設(shè)X表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[例4]某部門為了解一企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量情況,對其每天的用水量做了記錄,得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:噸).若用水量不低于95噸,則稱這一天的用水量超標(biāo).(1)從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個,至多有1天的用水量超標(biāo)的概率;[例4]某部門為了解一企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量情況,對其每(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率視為概率,估計(jì)該企業(yè)未來3天中用水量超標(biāo)的天數(shù),記隨機(jī)變量X為未來這3天中用水量超標(biāo)的天數(shù),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率視為概率,估計(jì)該高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布第7節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布第7節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[考綱展示]1.了解條件概率的概念,了解兩個事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布.3.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.4.能解決一些簡單問題.[考綱展示]1.了解條件概率的概念,了解兩個事件相互獨(dú)立的概積累必備知識提升關(guān)鍵能力培育學(xué)科素養(yǎng)積累必備知識提升關(guān)鍵能力培育學(xué)科素養(yǎng)積累必備知識知識梳理(2)條件概率具有的性質(zhì)①

;②如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=

.P(B|A)0≤P(B|A)≤1P(B|A)+P(C|A)積累必備知識知識梳理(2)條件概率具有的性質(zhì)P(B|A)0≤2.相互獨(dú)立事件(1)對于事件A,B,若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響,則稱事件A,B是相互獨(dú)立事件.(2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=

,P(AB)=P(B|A)P(A)=

.(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立.P(B)P(A)P(B)2.相互獨(dú)立事件(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與重要結(jié)論相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響,計(jì)算公式為P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一試驗(yàn)中,兩個事件不會同時發(fā)生,計(jì)算公式為P(A∪B)=P(A)+P(B).重要結(jié)論相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的,各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有

種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=

,此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記為

,并稱p為成功概率.X～B(n,p)兩3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布X～B(n,p)兩(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸

,與x軸不相交;②曲線是單峰的,它關(guān)于直線

對稱;④曲線與x軸之間的面積為

;上方x=μx=μ1(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)④曲線與x軸之間的面積為;上⑤當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著

的變化而沿x軸平移,如圖甲所示;⑥當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ

,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ

,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖乙所示.μ越小越大⑤當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著的變化而②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈

;

③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈

.

X～N(μ,σ2)0.68270.95450.9973②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈;

X重要結(jié)論(1)P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c,則事件A,B,C至少有一個發(fā)生的概率為1-(1-a)(1-b)(1-c).重要結(jié)論(1)P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c,則事基礎(chǔ)自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)條件概率一定不等于它的非條件概率.(

)(2)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.(

)(3)對于任意兩個事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)(4)二項(xiàng)分布是一個概率分布,其公式相當(dāng)于(a+b)n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),其中a=p,b=1-p.(

)(5)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時發(fā)生的概率.(

)(6)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值,σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√(6)√基礎(chǔ)自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).答案:(1CCB3.已知隨機(jī)變量X+η=8,若X～B(10,0.6),則E(η),D(η)分別是(

)(A)6,2.4 (B)2,2.4 (C)2,5.6 (D)6,5.6解析:由已知隨機(jī)變量X+η=8,所以η=8-X.因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.故選B.B3.已知隨機(jī)變量X+η=8,若X～B(10,0.6),則EDD5.(舊教材選修2-3P55練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報(bào),在元旦假期期間甲地降雨概率是0.2,乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為

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答案:0.385.(舊教材選修2-3P55練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報(bào),在元旦假答案:32答案:32提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一條件概率(基礎(chǔ)性)題組過關(guān)提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一條件概率(基礎(chǔ)性)題組過關(guān)2.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個,白球3個,黃球1個,甲從中不放回地逐一取球,已知第一次取得紅球,則第二次取得白球的概率為

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2.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個,白球3個,黃球1個,甲3.如圖,四邊形EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則P(B|A)=

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3.如圖,四邊形EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方4.高三畢業(yè)時,甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念,已知甲、乙兩人相鄰,則甲、丙兩人相鄰的概率是

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4.高三畢業(yè)時,甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念,已知甲反思?xì)w納條件概率的三種求法反思?xì)w納條件概率的三種求法考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率(綜合性)遷移探究考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率(綜合性)遷移探究(2)求3人中至少有1人被選中的概率.(2)求3人中至少有1人被選中的概率.反思?xì)w納求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解;(2)正面計(jì)算較繁瑣或難以入手時,可從其對立事件入手計(jì)算,即正難則反的思想方法.反思?xì)w納求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有[典例遷移1]在本例條件不變下,求3人均未被選中的概率.[典例遷移1]在本例條件不變下,求3人均未被選中的概率.高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(綜合性、應(yīng)用性)[例2]某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià),每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi),超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi),從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖,并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列.考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(綜合性、應(yīng)用性)[例2]某(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù);(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù);(2)根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米,應(yīng)將w定為多少?(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位)(2)根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方(3)若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量,將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記為X,求其分布列及均值.(3)若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量,反思?xì)w納獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的類型及解題策略(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時,首先要確定好n和k的值,再準(zhǔn)確利用公式求概率.(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時,關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系,確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率,求得概率.反思?xì)w納獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的類型及解題策略[對點(diǎn)訓(xùn)練1]為全面貫徹黨的教育方針,堅(jiān)持立德樹人,適應(yīng)經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展對多樣化高素質(zhì)人才的需要,按照國家統(tǒng)一部署,某省高考改革方案從2018年秋季進(jìn)入高一年級的學(xué)生開始正式實(shí)施.新高考改革中,明確高考考試科目由語文、數(shù)學(xué)、英語3科,及考生在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個科目中自主選擇的3科組成,不分文理科.假設(shè)6個自主選擇的科目中每科被選擇的可能性相等,每位學(xué)生選擇每個科目互不影響,甲、乙、丙為某中學(xué)高一年級的3名學(xué)生.(1)求這3名學(xué)生都選擇物理的概率;[對點(diǎn)訓(xùn)練1]為全面貫徹黨的教育方針,堅(jiān)持立德樹人,適應(yīng)經(jīng)(2)設(shè)X為這3名學(xué)生中選擇物理的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)設(shè)X為這3名學(xué)生中選擇物理的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期考點(diǎn)四正態(tài)分布(應(yīng)用性、創(chuàng)新性)[例3](2017·全國Ⅰ卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;解:(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,故X～B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=16×0.0026=0.0416.考點(diǎn)四正態(tài)分布(應(yīng)用性、創(chuàng)新性)[例3](2017·全國(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;解:(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布高三總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布反思?xì)w納(1)正態(tài)分布的核心是正態(tài)分布密度曲線的對稱性,利用對稱性,可以由已知區(qū)間上的概率求未知區(qū)間上的概率;(2)正態(tài)分布在三個標(biāo)準(zhǔn)差范圍的概率都有固定值(如果需要試題會給出);(3)如果某個總體服從正態(tài)分布,則某個個體在指定區(qū)間內(nèi)的概率就是一個固定值,若干個個體在該區(qū)間上出現(xiàn)的情況就是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).反思?xì)w納(1)正態(tài)分布的核心是正態(tài)分布密度曲線的對稱性,利用[對點(diǎn)訓(xùn)練2]某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管,質(zhì)檢員從中抽出若干根對其直徑(單位:mm)進(jìn)行測量,得出這批鋼管的直徑X服從正態(tài)分布N(65,4.84).(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢時,測得一根鋼管的直徑為73mm,他立即要求停止生產(chǎn),檢查設(shè)備,請你根據(jù)所學(xué)知識,判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理,并說明判斷的依據(jù);[對點(diǎn)訓(xùn)練2]某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管,質(zhì)檢員從中抽出若(2)如果鋼管的直徑X滿足60.6～69.4mm為合格品(合格品的概率精確到0.01),現(xiàn)要從60根該種鋼管中任意挑選3根,求次品數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.(2)如果鋼管的直徑X滿足60.6～69.4mm為合格品(所以E(Y)=3×0.05=0.15.Y0123P0.8573750.1353750.0071250.000125所以E(Y)=3×0.05=0.15.Y0123P0.857培育學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)探索——二項(xiàng)分布與正態(tài)分布綜合應(yīng)用中的核心素養(yǎng)以生活中的實(shí)際應(yīng)用問題為依托,以頻率分布直方圖、頻率分布折線圖和莖葉圖為載體,以彼此互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式以及期望、方差的計(jì)算公式為工具,以二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、超幾何分布等概率分布模型為核心綜合命題,概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相互滲透,背景新穎,不可多得.培育學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)探索——二項(xiàng)分布與正態(tài)分布綜合應(yīng)用中的核心素[典例]某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù),結(jié)果這100人的體重全部介于45kg到75kg之間,現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組:第一組[45,50),第二組[50,55),…第六組[70,75),得到如圖①所示的頻率分布直方圖,并發(fā)現(xiàn)這100人中,其體重低于55kg的有15人,這15人體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖②所示,以樣本的頻率作為總體的概率.[典例]某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)(1)求頻率分布直方圖中a,b,c的值;(1)求頻率分布直方圖中a,b,c的值;(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記X為體重在[55,65)的人數(shù),求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記X為體重在[55,65(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重ξ近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ=60,σ2=25.若P(μ-2σ≤ξ<μ+2σ)>0.9545,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.解:(3)由題意知ξ服從正態(tài)分布N(60,25),其中σ=5,則P(μ-2σ≤ξ<μ+2σ)=P(50≤ξ<70)=0.96>0.9545,所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重ξ近似服從正態(tài)試題情境:生活實(shí)踐情境、探索創(chuàng)新情境必備知識:統(tǒng)計(jì)、概率、分布列關(guān)鍵能力:數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力學(xué)科素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)用、數(shù)學(xué)探索試題情境:生活實(shí)踐情境、探索創(chuàng)新情境[素養(yǎng)演練]當(dāng)前,以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試,是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動,保證學(xué)生健康成長的有效措施.某市2018年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測試,三項(xiàng)考試滿分為50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲實(shí)心球15分,1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時要掌握全年級學(xué)生