2011年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類試題解答

第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

201）

（本題小題，每2分）計算

2 x()e2 xx

2

()x(1))

n()

m

…3

lim

ln(1x)

2e

2

ln(1x)2

ex

x

2

2e

1

e,

2x0

2x0

2

2x

5

2 x

lim

1

=0.

設(shè)a

2sn,ma

n

2

2

n

解：若0,則man1

n

若0，則當(dāng)n充分大，使得|時，

1

sin

nan2sn=2snn

sin

n2

cos

1sin

1

.

4

2

n1 n1

2

2

2

2

2

sin

ns

n

1

2

2n2 2 22

n

2n

n

n

n

這時,

liman

n

6

n2nsin

n2

1

xy

23.

( 1dxd，其,

2

y解：

D,

2

1D,

x

2

1

y

}

20

2 2 1 ,|

2x,

2

…………

dxdy12dx

dxd

……

DD

D1 2D

s

12

3

dxd

Dg n

D

( 2n22

n

x y

x

n1 2

n

解：令Sx)

2n2(t)d2tn

dtx

x

x

22n1

2n1

2n1x

)

0 01ndxdy

dx

2

dy

4.求冪級數(shù)

n

的和.

2,22,2

2 22

2

………4

n1

n . 2

2

二（本兩問，每分，1分）a} 為數(shù)列為有限數(shù)，求證

n0

aaa

1 2

n

n

n

n

.

2

n

2

n 2

.

…………………

2x

于是，S

22x

(2，(2,

2)

2n1

2n11

110

2

2n 1n

nn

n如ma a，

np(

np

)，則an

n

n1.m

|aM0N，當(dāng)>

時，

n n 1 1

|ana

2N2

N(M|a

1 ，當(dāng)>2

1 1 aa1

N(M|a

(nN

aaa

8

2對于0,1,，令

)a

pipi

i)

a

n

(1)

npi

n

np n

A

由(

a)，知mA

，從而

2i)

ni)

np

n

nn

a

a

而AiAiAa

所以

1)i i

2 n

1)

pi

n

a

a

i

)

12n

n

a

n

從

1)i m (n)i 1)

1i n

,n,,(1n

a

a

……………………16mm

1分）設(shè)函

1,1，f，

求證：在開區(qū)(1,x，使得(x3

0 0

f((0

(0

x

x1…

和,

1

f(0

f(0

, 1

1 1f(0

f

,

2 2兩式相減，得

12

12

0

1,1

1

(f(1

2 1

1

2

1 202再由連續(xù)函數(shù)的介值定理，至少存在x02

, 1,1

11

1x

()

………1

0 1 22

3

1分）一條從,0向右的射.0（h>

.求射線對該質(zhì)點的引.

解：在軸的處取一小段d,d，到質(zhì)點的距離為h

,

d

Gd（為引力常數(shù)..

5

xFx

Gmxdx

.從而

3

Gm

dx

Gm

F

2

21/2

x3

h223/Gmhx

……1

而dF在豎直方向的分量dF

Gmhdx

,故

y

3

Gmhdx

G2d

Gm

a

F

rctan

y x3/

h3

a

arctan

arctan所求引力向量F,F

1

x y

1 15分）,

, F

xy

x

2 x

且,,

x

y

x2

x

y

1

解：在方

, 兩邊分別關(guān)于、求偏導(dǎo)，

x

1

F

0z

F

(

2

F

)

x

x

x

v

u由此解得

2

2

v2

F

)

yF

u v u v

x

0

所以，

y

10

和分別求偏導(dǎo)，

4

2

2

z

2 2 ， xxy

y

y

，并注意

y

x

2

x 2 x 2

y

z

z

15x2

y2

1分）,,xyz.一型曲面積

Ia

dS.If

)du

cz

a b c2u

1

4可見：當(dāng),,都為零時，等式成

當(dāng)它們不全為零abc0

||

ababc

abc

:

ac

.則

|

的