直角和圓位置關(guān)系第二課時(shí)

第24章 圓24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系（第二課時(shí)）典型例題精析

例1 (2015畢節(jié))如圖24-2-23，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于點(diǎn)F，AC=FC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(1)證明：連接OA、OD.∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°.∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA.∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO.∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODF,∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切線.(2)已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長(zhǎng)．1．下列說(shuō)法正確的是( ) A．和圓的半徑垂直的直線一定是圓的切線

B．經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)的直線是圓的切線

C．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)，且垂直于這條半徑的直線一定是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線一定是這個(gè)圓的切線變式練習(xí)D2．如圖24-2-24，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E.要使DE是⊙O的切線，還需補(bǔ)充一個(gè)條件，則補(bǔ)充的條件不正確的是( ) A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥ODA3．(2016漳州)如圖24-2-25，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，C為 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線CD⊥AE于D，連接AC、BC．

(1)試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；解：(1)CD與⊙O相切．理由如下：連接OC．例2 如圖24-2-26，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于點(diǎn)T，AC⊥PQ于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D. (1)求證：AT平分∠BAC；證明：連接OT.∵PQ切⊙O于點(diǎn)T，∴OT⊥TQ.又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC＝∠ATO.又∵OT＝OA，∴∠ATO＝∠OAT,∴∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC.4．(2016湖州)如圖24-2-27，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，∠A=25°，過(guò)點(diǎn)C作圓O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)是( ) A．25° B．40° C．50° D．65°變式練習(xí)B5．(2016哈爾濱)如圖24-2-28，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥l，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E，連接OC、BE．若AE=6，OA=5，則線段DC的長(zhǎng)為

．46．(2015菏澤)如圖24-2-29，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，BC的延長(zhǎng)線與⊙O的切線AF交于點(diǎn)F．

(1)求證：∠ABC=2∠CAF；(1)證明：連接BD．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切線，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．∴∠ABC=2∠CAF.1．下列說(shuō)法正確的是( ) A．垂直于切線的弦必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

B．垂直于半徑的直線是圓的切線

C．圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑

D．垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心基礎(chǔ)過(guò)關(guān)精練C2．(2016無(wú)錫)如圖24-2-30，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，BC交⊙O于點(diǎn)D.若∠C=70°，則∠AOD的度數(shù)為( ) A．70° B．35° C．20° D．40°D3．(2015內(nèi)江)如圖24-2-31，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，過(guò)D點(diǎn)的切線PD與直線AB交于點(diǎn)P，則∠ADP的度數(shù)為( ) A．40° B．35° C．30° D．45°C4．如圖24-2-32，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn) 于點(diǎn)D,DE⊥AC于點(diǎn)E,連接AD,則下列結(jié)論正確的 有( ) ①AD⊥BC; ②∠EDA=∠B; ③ ④DE是⊙O的切線．

A．1個(gè) B．2個(gè)

C．3個(gè) D．4個(gè)D5．如圖24-2-33，C為⊙O外一點(diǎn)，CA與⊙O相切，切點(diǎn)為A，AB為⊙O的直徑，連接CB．若⊙O的半徑為2，∠ABC=60°，則BC=

．86．(2016齊齊哈爾)如圖24-2-34，若以平行四邊形ABCD的一邊AB為直徑的圓恰好與對(duì)邊CD相切于點(diǎn)D，則∠C=

．45°7．如圖24-2-35是一個(gè)古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的兩點(diǎn)A、B，并使AB與車輪內(nèi)圓相切于點(diǎn)D，作CD⊥AB交外圓于點(diǎn)C，測(cè)得CD=10cm，AB=60cm，則這個(gè)車輪的外圓半徑 為

cm．508．(2016資陽(yáng))如圖24-2-36，在⊙O中，點(diǎn)C是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，切點(diǎn)為D，連接BD．

(1)求證：∠A=∠BDC；證明：(1)連接OD．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°.又∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠CDB+∠ODB=90°．∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC.(2)若CM平分∠ACD，且分別交AD、BD于點(diǎn)M、N，當(dāng)DM=1時(shí)，求MN的長(zhǎng)．(2)解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM．又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM．∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，9．如圖24-2-37，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫半圓，分別交AB、AC于點(diǎn)E、D，DF是圓的切線，過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線交BC于點(diǎn)G．若AF的長(zhǎng)為2，則FG的長(zhǎng)為( )能力提升演練B10．(2015寧波)如圖24-2-38，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，過(guò)A、D兩點(diǎn)的⊙O與BC邊相切于點(diǎn)E，則⊙O的半徑為

．6．2511．如圖24-2-39，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DC，且AC=DC，BC=BD. (1)求證：DC是⊙O的切線；(1)證明：連接OC，如圖①.∵AC=DC，BC=BD，∴∠CAD=∠D，∠D=∠BCD，∴∠CAD=∠D=∠BCD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.∵AO=OC,∴∠CAO=∠ACO,∴∠OCD=∠OCB+∠DCB=∠OCB+∠OAC=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°,∴OC⊥CD.∵OC為半徑，∴DC是⊙O的切線.(2)作CD的平行線AE交⊙O于點(diǎn)E，已知DC= ，求圓心O到AE的距離.12．如圖24-2-40，已知直線交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥PA，垂足為D．

(1)求證：CD為⊙O的切線；拓展探究訓(xùn)練(1)證明：連接OC.∵點(diǎn)C在⊙O上，∴OA=OC，∴∠OCA=∠OAC.∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°．∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO.∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.又∵點(diǎn)C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，∴CD為⊙O的切線.(2)若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長(zhǎng)度．(2)解:過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四邊形OCDF為矩形，∴OC=FD,OF=CD.∵DC+DA=6，設(shè)AD=x,則OF=CD=6-x.∵⊙O的直徑為10，