人教全國中考數(shù)學(xué)平行四邊形的綜合中考真題分類匯總及詳細(xì)答案

一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC.BD相交于點O,AO=CO,BO=DO,且ZABC+ZADC=180°.求證：四邊形ABCD是矩形.若ZADF：ZFDC=3：2,DF丄AC,求ZBDF的度數(shù).蟲03卞C【答案】⑴見解析；(2)18°.【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出ZABC=90。，根據(jù)矩形的判定得出即可；求出ZFDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ZDCO,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC，求出ZCD0,即可求出答案.【詳解】(1)證明：TA0=C0,B0=D0??四邊形ABCD是平行四邊形，ZABC=ZADC,TZABC+ZADC=180°，ZABC=ZADC=90°，?四邊形ABCD是矩形；(2)解：TZADC=90°，ZADF：ZFDC=3：2，ZFDC=36°，TDF丄AC,ZDCO=90°-36°=54°,T四邊形ABCD是矩形,0C=0D,Z0DC=54°ZBDF=Z0DC-ZFDC=18°.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵,注意：矩形的對角線相等,有一個角是直角的平行四邊形是矩形.2.如圖1,在厶ABC中，AB=AC,AD丄BC于D,分別延長AC至E,BC至F,且CE=EF,延長FE交AD的延長線于G.

求證:AE=EG；如圖2,分別連接BG,BE,求證:AE=EG；如圖2,分別連接BG,BE,若BG=BF,求證：BE=EG；如圖3,取GF的中點M,若AB=5,求EM的長.CDEFB￡0G@2S3Jfs5【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)2【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：乙CAD=ZG,可得AE=EG；作輔助線，證明△BE思△GEC(SAS)，可得結(jié)論；如圖3,作輔助線，構(gòu)建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得EM=DN=12AC,計算可得結(jié)論.【詳解】證明：(1)如圖1,過E【詳解】證明：(1)如圖1,過E作EH丄CF于H,ADBGHl篇F-AD丄BC,.EHIIAD,?乙CEH=ZCAD,ZHEF=ZG,-CE=EF,.ZCEH=ZHEF,.ZCAD=ZG,.AE=EG；2)如圖2,連接GC,TAC=BC,AD丄BC,BD=CD,??AG是BC的垂直平分線，.GC=GB,ZGBF=ZBCG,TBG=BF,GC=BE,TCE=EF,ZCEF=180°-2ZF,TBG=BF,ZGBF=180°-2ZF,ZGBF=ZCEF,ZCEF=ZBCG,TZBCE=ZCEF+ZF,ZBCE=ZBCG+ZGCE,ZGCE=ZF,在厶BEF和厶GCE中，'CE=EF<ZGCE=ZF,CG=BF△BEF竺△GEC(SAS),BE=EG；(3)如圖3,連接DM,取AC的中點N,連接DN,由(1)得AE=EG,/.厶GAE=ZAGE,在RtAACD中，N為AC的中點，1二dn=_AC=AN,ZDAN=ZADN,2ZADN=ZAGE,DNIIGF,在RtAGDF中，M是FG的中點，1.DM=_FG=GM,ZGDM=ZAGE,2ZGDM=ZDAN,.DMIAE,.四邊形DMEN是平行四邊形,1EM=DN=—AC,TAC=AB=5,.EM=52?【點睛】本題是三角形的綜合題,主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊中線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)和判定,平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識,解題的關(guān)鍵是作輔助線,并熟練掌握全等三角形的判定方法,特別是第三問,輔助線的作法是關(guān)鍵．3.正方形ABCD，點E在邊BC上，點F在對角線AC上，連AE.⑴如圖1,連EF,若EF丄AC,4AF=3AC,AB=4,求厶AEF的周長；(2)如圖2,若AF=AB,過點F作FG丄AC交CD于G,點H在線段FG上(不與端點重合),連AH.若ZEAH=45°,求證：EC=HG+J2FC.圖1U2【答案】(1)2J54邁；(2)證明見解析【解析】【分析】(1)由正方形性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD=4,ZB=ZD=90°,ZACB=ZACD=ZBAC=ZACD=45°，得出AC=邁AB=4邁，求出AF=3邁,CF=AC-AF=、遼，求出△CEF是等腰直角三角形，得出EF=CF=邁,CE=邁CF=2,在RtAAEF中，由勾股定理求出AE,即可得出厶AEF的周長；(2)延長GF交BC于M,連接AG,貝仏CGM和厶CFG是等腰直角三角形，得出CM=CG,CG=J2CF,證出BM=DG,證明RtAAFG竺RtAADG得出FG=DG,BM=FG，再證明厶ABE^△AFH,得出BE=FH，即可得出結(jié)論.【詳解】T四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=4,ZB=ZD=90°,ZACB=ZACD=ZBAC=ZACD=45°,二AC=\：'2AB=4\；'2,T4AF=3AC=12J2,.AF=3邁,.CF=AC-AF=邁,TEF±AC,.△CEF是等腰直角三角形，.EF=CF=邁,CE=邁CF=2,在RtAAEF中，由勾股定理得：AE^AFTTEF^=2J5，.△AEF的周長=AE+EF+AF=2、遼T、詔+3、律=2Q+4、：；2；證明：延長GF交BC于M,連接AG,如圖2所示：則厶CGM和厶CFG是等腰直角三角形,.CM=CG,CG=邁CF,.BM=DG，TAF=AB，.AF=AD，在RtAAFG和RtAADG中，JAG二AG{AF二AD，RtAAFG竺RtAADG(HL),.FG=DG，.BM=FG，TZBAC=ZEAH=45°，.ZBAE=ZFAH，TFG丄AC,ZAFH=90°,在厶ABE和厶AFH中，‘ZB二ZAFH二90。<AB二AF,ZBAE二ZFAH.△ABE^△AFH(ASA),.BE=FH,TBM=BE+EM,FG=FH+HG,EM=HG,TEC=EM+CM,CM=CG=巨CF,.EC=HG+邁FC.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì),證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.點O點O為AC的中點.4.點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(點P不與點A,C重合)，分別過點A,C向直線BP作垂線,垂足分別為點E,F如圖1當(dāng)點P與點O重合時，請你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系；當(dāng)點P運動到如圖2所示位置時，請你在圖2中補全圖形并通過證明判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立；若點P在射線OA上運動，恰好使得ZOEF=30。時，猜想此時線段CF,AE,OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論不必證明.【答案】(1)OE=OF.理由見解析；(2)補全圖形如圖所示見解析，OE=OF仍然成立；(3)CF=OE+AE或CF=OE-AE.【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定AAOE=ACOF(AAS)，得出OE=OF；先延長EO交CF于點G,通過判定AAOE=ACOG(ASA)，得出OG=OE,再根據(jù)1RtAEFG中，OF=-EG,即可得到OE=OF；2根據(jù)點P在射線OA上運動，需要分兩種情況進行討論：當(dāng)點P在線段OA上時，當(dāng)點P在線段OA延長線上時，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進行推導(dǎo)計

算即可．【詳解】OE=OF.理由如下：如圖1．T四邊形ABCD是矩形，二OA=OC.???AE丄BP,CF丄BP,ZAEO=ZCFO=90。.'ZAEO=ZCFO在AAOE和ACOF中，JzAOE=ZCOFAAOE=ACOF(AAS)oe=OF；OA=OC補全圖形如圖2,OE=OF仍然成立.證明如下：延長E0交CF于點G.?AE丄BP,CF丄BP,?AE//CF,?ZEAO=AGCO.又??點0為AC的中點，?A0=C0.'ZEAO=AGCO在AAOE和ACOG中，｛AO=CO,?AAOE=ACOG(ASA),?0G=0E,AAOE=COG?RtAEFG?RtAEFG中,OF二2EG,0E=0F；(3)CF=0E+AE或CF=0E-AE.證明如下：①如圖2,當(dāng)點P在線段0A上時.?AOEF=30。,aefg=90。,?AOGF=60。，由(2)可得：0F=0G,?AOGF是等邊三角形，?FG=0F=0E,由(2)可得：AAOE=ACOG,?CG=AE.又?CF=GF+CG,?CF=0E+AE；②如圖3當(dāng)點P在線段0A延長線上時.AOEF=30°,AEFG=90。,?AOGF=60°，同理可得：AOGF是等邊三角形,FG=0F=0E,同理可得：AAOE仝ACOG,?CG=AE.又?CF=GF-CG,?CF=0E-AE.【點睛】本題屬于四邊形綜合題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等利用矩形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件根據(jù)線段的和差關(guān)系使問題得以解決.5．(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,點E.F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上/EAF=45°,連接EF、則EF=BE+DF,試說明理由；(2)類比引申如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,ZBAD=90°,點E.F分別在邊BC.CD上,ZEAF=45°,若ZB,ZD都不是直角，則當(dāng)ZB與ZD滿足等量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF；⑶聯(lián)想拓展如圖3,在厶ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上，且ZDAE=45°,猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過程。圖1郢圖mc【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)詳見解析.【解析】試題分析：(1)把厶ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG^△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；把厶ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至厶ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE^△AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；把厶ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE竺△AFG(SAS)，則EF=FG，ZC=ZABF=45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．試題解析：(1)理由是：如圖1，5,A圉1TAB=AD，??把厶ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至ADG，可使AB與AD重合，如圖1,TZADC=ZB=90。，ZFDG=180。,點F.D.G共線，則ZDAG=ZBAE,AE=AG,ZFAG=ZFAD+ZGAD=ZFAD+ZBAE=90°-45°=45。=ZEAF,即ZEAF=ZFAG,在厶EAF和厶GAF中，AF=AF,ZEAF=ZGAF,AE=AG,△AFG竺△AFE(SAS),EF=FG=BE+DF；(2)ZB+ZD=180。時，EF=BE+DF；TAB=AD,.把厶ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至ADG，可使AB與AD重合，如圖2,.ZBAE=ZDAG,TZBAD=90。,ZEAF=45。,.ZBAE+ZDAF=45。,.ZEAF=ZFAG，TZADC+ZB=180。，.ZFDG=180。,點F.D.G共線，在厶AFE和厶AFG中，AE=AG，ZFAE=ZFAG，AF=AF，.△AFE竺△AFG(SAS),.EF=FG，即：EF=BE+DF,故答案為：ZB+ZADC=180。；BD2+CE2=DE2.理由是：把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF,則ZFAB=ZCAE.TZBAC=90。,ZDAE=45。，.ZBAD+ZCAE=45。，又TZFAB=ZCAE,.ZFAD=ZDAE=45。，貝^在厶ADF和厶ADE中，AD=AD,ZFAD=ZDAE,AF=AE,△ADF竺△ADE,DF=DE,ZC=ZABF=45。,ZBDF=90。,.△BDF是直角三角形,.BD2+BF2=DF2，.BD2+CE2=DE2.6.已知：在矩形ABCD中，AB=10,BC=12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩如圖②，當(dāng)四邊形EFGH為菱形，且BF=a時，求△GFC的面積(用a表示)；在(2)的條件下，△GFC的面積能否等于2?請說明理由.【答案】(1)10；(2)12-a；(3)不能【解析】解：(1)過點G作GM丄BC于M.在正方形EFGH中，ZHEF=90°,EH=EF,ZAEH+ZBEF=90°.TZAEH+ZAHE=90°,ZAHE=ZBEF.又:ZA=ZB=90°,AHE竺△BEF.同理可證厶MFG竺△BEF.GM=BF=AE=2..FC=BC-BF=10.11S^gfc-X10X2-10???(2)過點G作GM丄BC交BC的延長線于M,連接HF.TADIIBC,???ZAHF=ZMFH.TEHIFG,???ZEHF=ZGFH.ZAHE=ZMFG.又TZA=ZGMF=90°,EH=GF,AHE竺△MFG.???GM=AE=2.11S&gfc—-Ff-GAf--(12-a)x2--a(3)△GFC的面積不能等于2.說明一:?若沐gfc=2,則12—a=2,???a=10.此時，在△BEF中，EF=斗時+麗=-2尸+在厶AHE中，AH=尹mF=+麗匸石F=J!麗-^=\1(?°>12AH〉A(chǔ)D,即點H已經(jīng)不在邊AD上，故不可能有S=2.△GFC說明二：△GFC的面積不能等于2.T點H在AD上,?菱形邊EH的最大值為■■■■/-，?BF的最大值為d又:函數(shù)、△gfc=12—a的值隨著a的增大而減小，saGFC的最小值為又???「'fGFC的面積不能等于2.7.已知ABC，以AC為邊在ABC外作等腰ACD，其中AC=ad.如圖①，若AB=AE，ZDAC=ZEAB=60。，求ZBFC的度數(shù).如圖②，ZABC=a，ZACD=卩，BC=4，BD=6.△△△若a=30。，卩二60。，AB的長為.若改變a，卩的大小，但幺+若改變a，卩的大小，但幺+卩=90。，ABC的面積是否變化？若不變，求出其值;若變化，說明變化的規(guī)律.EBCBC①【答案】(1)120°；(2)①2*：5；②2帯5【解析】試題分析：(1)根據(jù)SAS，可首先證明△AEC』△ABD，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等，根據(jù)三角形的外角的定理，可求出ZBFC的度數(shù)；(2)①如圖2,在△ABC外作等邊△BAE，連接CE,利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC』△BAD，可證ZEBC=90°,EC=BD=6，因為BC=4，在RtABCE中，由勾股定理求BE即可；②過點B作BEIIAH,并在BE上取BE=2AH,連接EA,EC.并取BE的中點K,連接AK,仿照(2)利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC』△BAD,求得EC=DB，利用勾股定理即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）TAE=AB,AD=AC,TZEAB=ZDAC=60°,ZEAC=ZEAB+ZBAC,ZDAB=ZDAC+ZBAC,ZEAC=ZDAB,AE二AB在厶AEC和厶ABD中｛ZEAC二ZBADAC二AD△AEC竺△ABD（SAS）,.ZAEC=ZABD,TZBFC=ZBEF+ZEBF=ZAEB+ZABE,.ZBFC=ZAEB+ZABE=120°,故答案為120°；(2)①如圖2,以AB為邊在△ABC外作正三角形ABE,連接CE.由（1）可知△EAC竺△BAD..EC=BD．.EC=BD=6,TZBAE=60°,ZABC=30°,.ZEBC=90°.在RTAEBC中，EC=6,BC=4,.EB=\：EC2—BC2「62-42=2AB=BE=2丫5.②若改變a,B的大小，但a+B=90°,△ABC的面積不變化，以下證明：如圖2,作AH丄BC交BC于H,過點B作BEIIAH,并在BE上取BE=2AH,連接EA,EC.并取BE的中點K,連接AK.TAH丄BC于H,ZAHC=90°.TBEIIAH,.ZEBC=90°.TZEBC=90°,BE=2AH,.EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2.TK為BE的中點,BE=2AH,.BK=AH.TBKIAH,.四邊形AKBH為平行四邊形.又TZEBC=90°,.四邊形AKBH為矩形.ZABE=ZACD,.ZAKB=90°..AK是BE的垂直平分線..AB=AE.TAB=AE,AC=AD,ZABE=ZACD,.ZEAB=ZDAC,.ZEAB+ZEAD=ZDAC+ZEAD,即ZEAC=ZBAD,在厶EAC與厶BAD中AB二AE{ZEAC=ZBADAC=AD.△EAC竺△BAD..EC=BD=6.在RTABCE中，BE=QEC2-BC2=2<5,1.AH=-be=*5,.S“bc=2BC?AH=2春5考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)8如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點B坐標(biāo)為(3,3).將正方形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<90°)，得到正方形ADEF,ED交線段OC于點G,ED的延長線交線段BC于點P,連AP、AG.求證：△AOG竺△ADG；求ZPAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；當(dāng)Z1=Z2時，求直線PE的解析式；在(3)的條件下，直線PE上是否存在點M,使以M、A、G為頂點的三角形是等腰33三角形？若存在，請直接寫出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2）ZPAG=45°,PG=OG+BP.理由見解析（3）y=Tx-3.（4）【解析】試題分析：（1）由AO=AD,AG=AG,根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，判斷出厶AOG^△ADG即可.（2）首先根據(jù)三角形全等的判定方法，判斷出△ADP竺△ABP，再結(jié)合厶AOG竺△ADG，可得ZDAP=ZBAP，Z1=ZDAG；然后根據(jù)Z1+ZDAG+ZDAP+ZBAP=90°,求出ZPAG的度數(shù)；最后判斷出線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系即可.⑶首先根據(jù)厶AOG^△ADG，判斷出ZAGO=ZAGD；然后根據(jù)Z1+ZAGO=90°，Z2+ZPGC=90°，判斷出當(dāng)Z1=Z2時，ZAGO=ZAGD=ZPGC，而ZAGO+ZAGD+ZPGC=180°,求出Z1=Z2=30°；最后確定出P、G兩點坐標(biāo)，即可判斷出直線PE的解析式．⑷根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點M在x軸的負(fù)半軸上時；②當(dāng)點M在EP的延長線上時；根據(jù)以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形，求出M點坐標(biāo)是多少即可.試題解析：⑴在RtAAOG試題解析：⑴在RtAAOG和RtAADG中,AO=AD[AG=AG(HL)△AOG竺△ADG.⑵在RtA⑵在RtAADP和RtAABP中,AD二.45二二一二.△ADP竺△ABP,則ZDAP=ZBAP；T△T△AOG竺△ADG,J.Z1=ZDAG；又TZ1+ZDAG+ZDAP+ZBAP=90°,.2ZDAG+2ZDAP=90°，.ZDAG+ZDAP=45°，TZPAG=ZDAG+ZDAP，.ZPAG=45°；T△AOG竺△ADG,.JDG=OG,T△ADP竺△ABP,.DP=BP,.PG=DG+DP=OG+BP.⑶解：T△AOG竺△ADG,J.ZAGO=ZAGD,又TZ1+ZAGO=90°,Z2+ZPGC=90°,Z1=Z2，ZAGO=ZPGC,又TZAGO=ZAGD,.ZAGO=ZAGD=ZPGC,又TZAGO+ZAGD+ZPGC=180°,.ZAGO=ZAGD=ZPGC=180°=3=60°,Z1=Z2=90°-60°=30°；在RtAAOG中，TAO=3,.OG=AOtan30°=3^1=:,3CG—庁.G點坐標(biāo)為(JJ,0),CG=3-JJ,在RtAPCG中，PC===3Q?-''tan30'——'1），???P點坐標(biāo)為：（3,3頁-3）,設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+b,貝VJ壓+0=0\3k+b=3^-3'農(nóng)=屈廠解得：仁'，二直線PE的解析式為嚴(yán)啟x-3.0=—3⑷①如圖1,當(dāng)點M在x軸的負(fù)半軸上時，，TAG=MG,點A坐標(biāo)為（0,3）,?點M坐標(biāo)為（0,-3）.D71D/2②如圖2,當(dāng)點M在EP的延長線上時，，由（3），可得ZAGO=ZPGC=60°,?EP與AB的交點M,滿足AG=MG,TA點的橫坐標(biāo)是0,G點橫坐標(biāo)為JJ,?M的橫坐標(biāo)是2JJ，縱坐標(biāo)是3,?點M坐標(biāo)為（2JJ,3）.綜上，可得點M坐標(biāo)為（0,-3）或（2JJ,3）.考點：幾何變換綜合題.9.如圖1,在菱形ABCD中，，ABC=60°，若點E在AB的延長線上，EFIIAD,EF=BE,點P是DE的中點，連接FP并延長交AD于點G.HH（1）過D作DH一AB,垂足為H,若DH八',BE」AB，求DG的長;

（2）連接CP，求證：CP-FP；（3）如圖2,在菱形ABCD中，‘ABC=60°，若點E在CB的延長線上運動，點F在AB的延長線上運動，且BE=BF，連接DE，點P為DE的中點，連接FP、CP，那么第（2）問的結(jié)論PF成立嗎？若成立，求出'''的值；若不成立，請說明理由.【答案】（1）1；（2）見解析；（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形得出DAIIBC，CD=CB，ZCDG=ZCBA=60°，貝VZDAH=ZABC=60°，根據(jù)DH丄AB得出ZDHA=90°,根據(jù)RtAADH的正弦值得出AD的長度，然后得出BE的長度，然后證明△PDG竺△PEF，得出DG=EF,根據(jù)EFIIAD，ADIIBC得出EFIIBC，則說明△BEF為正三角形，從而得出DG的長度；（2）連接CG、CF，根據(jù)△PDG竺△PEF得出PG=PF，然后證明厶CDG竺△CBF，從而得到CG=CF，根據(jù)PG=PF得出垂直；（3）過D作EF的平行線，交FP延長于點G,連接CG、CF證厶PEF^△PDG，然后證明△CDG^△CBF，從而得出ZGCE=120°，根據(jù)RtACPF求出比值.試題解析：（1）解：T四邊形ABCD為菱形二DAIIBCCD="CB"ZCDG=ZCBA=60°ZDAH=ZABC=60°TDH丄ABTDH丄ABZDHA=90°在RtAADH中sinZDAH=DHDH.AD=,niBE=：AB=：x4=1TEFIIAD.ZPDG=ZPEBTP為DE的中點.PD=PE44TZDPG=ZEPF△PDG竺△PEF.DG=EFTEFIIADADIIBC.EFIIBCZFEB=ZCBA=60°TBE=EF.△BEF為正三角形.EF=BE=1.DG=EF=1、證明：連接CG、證明：連接CG、CF由（1）知△PDG竺△PEFPG=PF在厶CDG與厶CBF中易證：ZCDG=ZCBF=60°CD=CBBF=EF=DG.△CDG竺△CBFC