多目標(biāo)決策層次法介紹

層次分析法AnalyticHierarchyProcessAHP層次分析法建模一問(wèn)題的提出日常生活中有許多決策問(wèn)題。決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)（一個(gè)或多個(gè)）選擇某一種方案。例1購(gòu)物

買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。食堂買飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選擇某種飯菜。例2旅游假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。例3擇業(yè)

面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。例4科研課題的選擇由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開(kāi)展幾個(gè)課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。

面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過(guò)程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題帶來(lái)不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了一種能有效處理這類問(wèn)題的實(shí)用方法。層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過(guò)去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過(guò)大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。層次分析法的基本思路：與人們對(duì)某一復(fù)雜決策問(wèn)題的思維、判斷過(guò)程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€(gè)鋼筆的質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆二層次分析法的基本步驟買鋼筆質(zhì)量顏色價(jià)格外形實(shí)用可供選擇的筆1建立層次結(jié)構(gòu)模型

一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1的層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層選擇旅游地景色費(fèi)用居住飲食旅途蘇州、杭州、桂林例2層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層A方案層B目標(biāo)層Z若上層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。目標(biāo)層合理選擇科研課題A成果貢獻(xiàn)B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B3課題D1課題D2課題D3應(yīng)用價(jià)值

c1科學(xué)意義

c2難易程度c3研究周期c4財(cái)政支持c5方案層準(zhǔn)則層1例3層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層2構(gòu)建了層次結(jié)構(gòu)模型，決策就轉(zhuǎn)化為待評(píng)方案關(guān)于具有層次結(jié)構(gòu)的目標(biāo)準(zhǔn)則體系的排序問(wèn)題，AHP方法采用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案優(yōu)劣程度的指標(biāo)。優(yōu)先權(quán)重是一種相對(duì)度量數(shù)，表示方案相對(duì)優(yōu)劣的程度，其數(shù)值介于0和1之間。在給定的決策準(zhǔn)則之下，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各方案關(guān)于目標(biāo)準(zhǔn)則體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過(guò)遞階層次從上到下逐層計(jì)算得到的。這個(gè)過(guò)程稱為遞階層次權(quán)重解釋過(guò)程。遞階層次權(quán)重解釋的基礎(chǔ)，是測(cè)算每一層各元素關(guān)于上一層次某元素的優(yōu)先權(quán)重。這種測(cè)算是通過(guò)構(gòu)造判斷矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)的，也就是以相鄰上一層某元素為準(zhǔn)則，該層次元素兩兩比較判斷，按照特定的比例標(biāo)度將判斷結(jié)果數(shù)量化，形成判斷矩陣。然后，計(jì)算判斷矩陣的最大特征值和相應(yīng)的特征向量，以特征向量各分量表示該層次元素相對(duì)相鄰上一層某元素的優(yōu)先權(quán)重，整個(gè)計(jì)算沿著遞階層次結(jié)構(gòu)，從上到下逐層進(jìn)行。最后，計(jì)算出方案層各方案關(guān)于整個(gè)目標(biāo)準(zhǔn)則體系的優(yōu)先權(quán)重。層次分析法因此而得名。設(shè)某層有個(gè)因素，2構(gòu)構(gòu)造成對(duì)對(duì)比較矩矩陣要比較它它們對(duì)上上一層某某一準(zhǔn)則則（或目目標(biāo)）的的影響程程度，確確定在該層中中相對(duì)于于某一準(zhǔn)準(zhǔn)則所占占的比重重。（即即把個(gè)個(gè)因素對(duì)對(duì)上層某一目目標(biāo)的影影響程度度排序））用表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的比較結(jié)果，則則稱為成對(duì)比較較矩陣。上述比較是兩兩兩因素之間間進(jìn)行的比較較，比較時(shí)取取1-9尺度。。１３５７９尺度第個(gè)因素與與第個(gè)個(gè)因素的影響響相同第個(gè)因素素比第個(gè)個(gè)因素的影影響稍強(qiáng)第個(gè)因因素比第個(gè)個(gè)因素的的影響強(qiáng)第個(gè)因因素比第個(gè)個(gè)因素的的影響明強(qiáng)第個(gè)因素素比第個(gè)個(gè)因素的影影響絕對(duì)地強(qiáng)強(qiáng)含義比較尺度：（1-9尺度的含義）2,4,6,8表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的影響介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。由上述定義知知，成對(duì)比較較矩陣則稱為正互反陣。比如，例2的的旅游問(wèn)題中中，第二層A的各因素對(duì)目目標(biāo)層Z的影響兩兩比比較結(jié)果如下下：滿足以下性質(zhì)質(zhì)ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費(fèi)用、、居住、飲食、、旅途。由上表，可得得成對(duì)比較矩矩陣旅游問(wèn)題的成成對(duì)比較矩陣陣共有6個(gè)（（一個(gè)5階，，5個(gè)3階））。問(wèn)題：兩兩進(jìn)行比較較后，怎樣才才能知道，下下層各因素對(duì)對(duì)上層某因素的影影響程度的排排序結(jié)果呢？？3層次單排排序及一致性性檢驗(yàn)層次單排序：：確定下層各因因素對(duì)上層某某因素影響程程度的過(guò)程。。用權(quán)值表示影影響程度，先先從一個(gè)簡(jiǎn)單單的例子看如如何確定權(quán)值值。例如一塊塊石頭重量記記為1，打碎碎分成各各小塊，各各塊的重量分別記為：則可得成對(duì)比比較矩陣由右面矩陣可可以看出，即，但在例2的成對(duì)比較矩矩陣中，在正互反矩陣陣中中，若,則則稱為為一致陣。。一致陣的性質(zhì)質(zhì)：5.的的任一列(行)都是對(duì)對(duì)應(yīng)于特征根根的的特征向量。。若成對(duì)比較矩矩陣是一致陣陣，則我們自自然會(huì)取對(duì)應(yīng)應(yīng)于最大特征根的的歸一化化特征向量若成對(duì)比較矩矩陣不是一致致陣，Saaty等人建議用其其最大特征根對(duì)應(yīng)的的歸一化特征征向量作為權(quán)權(quán)向量W，則這樣確定權(quán)向向量的方法稱稱為特征根法.由于連連續(xù)的依賴賴于，，則比比大大的越多多，的的不一致性越嚴(yán)重重。用最大特特征值對(duì)應(yīng)的的特征向量作作為被比較因素對(duì)上層某某因素影響程程度的權(quán)向量量，其不一致致程度越大，，引起的判斷誤誤差越大。因因而可以用數(shù)數(shù)值值的大小來(lái)衡衡量的不一致程度度。定義一致性指標(biāo)其中為為的的對(duì)角線元元素之和，也也為的的特征根之之和。則可得一致性性指標(biāo)定義隨機(jī)一致性指指標(biāo)隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比比較矩陣隨機(jī)一致性指指標(biāo)RI的的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51一致性檢檢驗(yàn)：利用一一致性指指標(biāo)和一一致性比比率<0.1及隨機(jī)一一致性指指標(biāo)的數(shù)數(shù)值表，，對(duì)進(jìn)進(jìn)行行檢驗(yàn)的的過(guò)程。。一般，當(dāng)當(dāng)一致性性比率的不一致致程度在在容許范范圍之內(nèi)內(nèi)，可用用其歸一一化特征征向量作為權(quán)向向量，否否則要重重新構(gòu)造造成對(duì)比比較矩陣陣，對(duì)加加以調(diào)整。。時(shí)，認(rèn)為為4層次次總排序序及其一一致性檢檢驗(yàn)確定某層層所有因因素對(duì)于于總目標(biāo)標(biāo)相對(duì)重重要性的的排序權(quán)權(quán)值過(guò)程程，稱為層次總排排序從最高層層到最低低層逐層層進(jìn)行。。設(shè)：對(duì)總目標(biāo)標(biāo)Z的排排序?yàn)榈膶哟螁螁闻判驗(yàn)闉榧磳訉拥诘趥€(gè)個(gè)因因素對(duì)總總目標(biāo)的的權(quán)值為為：層的層次次總排序序?yàn)椋築層的層次總排序AB層次總排排序的一一致性檢檢驗(yàn)設(shè)層層對(duì)對(duì)上層層(層層)中中因素的層次單單排序一一致性指指標(biāo)為，，隨隨機(jī)一致致性指為為，，則層次總總排序的的一致性性比率為為：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。1.建立立層次結(jié)結(jié)構(gòu)模型型該結(jié)構(gòu)圖圖包括目目標(biāo)層，，準(zhǔn)則層層，方案案層。層次分析析法的基本步驟驟歸納如下下3.計(jì)算算單排序序權(quán)向量量并做一一致性檢檢驗(yàn)2.構(gòu)造造成對(duì)比比較矩陣陣從第二層層開(kāi)始用用成對(duì)比比較矩陣陣和1~9尺度度。對(duì)每個(gè)成成對(duì)比較較矩陣計(jì)計(jì)算最大大特征值值及其對(duì)對(duì)應(yīng)的特特征向量量，利用用一致性性指標(biāo)、、隨機(jī)一一致性指指標(biāo)和一一致性比比率做一一致性檢檢驗(yàn)。若若檢驗(yàn)通通過(guò)，特特征向量量（歸一一化后））即為權(quán)權(quán)向量；；若不通通過(guò)，需需要重新新構(gòu)造成成對(duì)比較較矩陣。。計(jì)算最下下層對(duì)最最上層總總排序的的權(quán)向量量。4.計(jì)算算總排序序權(quán)向量量并做一一致性檢檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn)。若通通過(guò)，則則可按照照總排序序權(quán)向量量表示的的結(jié)果進(jìn)進(jìn)行決策策，否則則需要重重新考慮慮模型或或重新構(gòu)構(gòu)造那些些一致性性比率較較大大的成對(duì)對(duì)比較矩矩陣。利用總排排序一致致性比率率三層層次分析析法建模模舉例旅游問(wèn)題題(1)建建模分別分別別表示景景色、費(fèi)費(fèi)用、居住、飲飲食、旅旅途。分別表示示蘇杭、、北戴河河、桂林林。（2）構(gòu)構(gòu)造成對(duì)對(duì)比較矩矩陣(3)計(jì)計(jì)算層次次單排序序的權(quán)向向量和一一致性檢檢驗(yàn)成對(duì)比較較矩陣的的最大特特征值表明通通過(guò)了了一致性性驗(yàn)證。。故則該特征值值對(duì)應(yīng)的的歸一化化特征向向量對(duì)成對(duì)比比較矩陣陣可可以以求層次次總排序序的權(quán)向向量并進(jìn)進(jìn)行一致致性檢驗(yàn)驗(yàn)，結(jié)果果如下：：計(jì)算可可知知通通過(guò)一致致性檢驗(yàn)驗(yàn)。對(duì)總目標(biāo)標(biāo)的權(quán)值值為：（4）計(jì)計(jì)算層次次總排序序權(quán)值和和一致性性檢驗(yàn)又決策層對(duì)對(duì)總目標(biāo)標(biāo)的權(quán)向向量為：：同理得，對(duì)對(duì)總目標(biāo)標(biāo)的權(quán)值分分別為：故，層次總排排序通過(guò)一致致性檢驗(yàn)。可作為最后的的決策依據(jù)。。故最后的決策策應(yīng)該去桂林。又分分別表示蘇杭杭、北戴河、、桂林，即各方案的權(quán)權(quán)重排序?yàn)樗膶哟畏治鑫龇ǖ膬?yōu)點(diǎn)和和局限性1系統(tǒng)性層次分析法把把研究對(duì)象作作為一個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)，按照分解解、比較判斷斷、綜合的思思維方式進(jìn)行行決策，成成為繼機(jī)理分分析、統(tǒng)計(jì)分分析之后發(fā)展展起來(lái)的系統(tǒng)統(tǒng)分析的重要要工具。2實(shí)用性層次分析法把把定性和定量量方法結(jié)合起起來(lái)，能處理理許多用傳統(tǒng)的最最優(yōu)化技技術(shù)無(wú)法法著手的的實(shí)際問(wèn)問(wèn)題，應(yīng)應(yīng)用范圍圍很廣，，同時(shí)，這種種方法使使得決策策者與決決策分析析者能夠夠相互溝溝通，決決策者甚至可可以直接接應(yīng)用它它，這就就增加了了決策的的有效性性。3簡(jiǎn)潔潔性具有中等等文化程程度的人人即可以以了解層層次分析析法的基基本原理并掌掌握該法法的基本本步驟，，計(jì)算也也非常簡(jiǎn)簡(jiǎn)便，并并且所得得結(jié)果簡(jiǎn)單單明確，，容易被被決策者者了解和和掌握。。以上三點(diǎn)點(diǎn)體現(xiàn)了了層次分分析法的的優(yōu)點(diǎn)，，該法的的局限性主要表表現(xiàn)在以以下幾個(gè)個(gè)方面：：第一只能從原原有的方方案中優(yōu)優(yōu)選一個(gè)個(gè)出來(lái)，，沒(méi)有辦辦法得出出更好的的新方案案。第二該法中的的比較、、判斷以以及結(jié)果果的計(jì)算算過(guò)程都都是粗糙糙的，不適適用于精精度較高高的問(wèn)題題。第三從建立層層次結(jié)構(gòu)構(gòu)模型到到給出成成對(duì)比較較矩陣，，人主觀觀因素對(duì)整整個(gè)過(guò)程程的影響響很大，，這就使使得結(jié)果果難以讓讓所有的決決策者接接受。當(dāng)當(dāng)然采取取專家群群體判斷斷的辦法法是克服這這個(gè)缺點(diǎn)點(diǎn)的一種種途徑。。五正互互反陣最最大特征征值和特特征向量量實(shí)用算算法用定義計(jì)計(jì)算矩陣陣的特征征值和特特征向量量相當(dāng)困困難，特特別是階階數(shù)較高高時(shí)；成對(duì)比較較矩陣是是通過(guò)定定性比較較得到的的比較粗粗糙的結(jié)結(jié)果，對(duì)對(duì)它的精精確計(jì)算算是沒(méi)有有必要的的。尋找簡(jiǎn)便便的近似似方法。。定理對(duì)于正矩矩陣A（A的所有元元素為正正）1）A的最大特特征根為為正單根根；；2）對(duì)對(duì)應(yīng)正正特征向向量w（w的所有分分量為正正）；3）其中是對(duì)應(yīng)的的歸一化化特征向向量。1冪法法步驟如下下a)任任取n維維歸一化化初始向向量b)計(jì)算c)歸歸一化，即令d)對(duì)于預(yù)先先給定的的精度，，當(dāng)下下式成立立時(shí)即為所求求的特征征向量；；否則返返回b；；e)計(jì)計(jì)算最最大特征征值這是求特特征根對(duì)對(duì)應(yīng)特征征向量的的迭代代方方法法，其其收收斂性性由由定定理理的的3））保保證證。。2和和法法步驟驟如如下下a)將將A的每每一一列列向向量量歸歸一一化化得得b)對(duì)c)歸歸一一化化按行行求求和和得得d)計(jì)計(jì)算算3根根法法步驟驟與與和和法法基基本本相相同同，，只只是是將將步步驟驟b改改為為對(duì)對(duì)按行行求求積積并并開(kāi)開(kāi)n次次方方，，即即三方方法法中中，，和和法法最最為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)便便。。看看下下列列例例子子。。e)計(jì)計(jì)算算，最最大大特特征征值值的的近近似似值值。。列向向量量歸歸一一化化求和和歸一一化化精確確計(jì)計(jì)算算，，得得9、靜夜四無(wú)無(wú)鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。12月-2212月月-22Friday,December23,202210、雨中中黃葉葉樹(shù)，，燈下下白頭頭人。。。09:06:2609:06:2609:0612/23/20229:06:26AM11、以我獨(dú)沈沈久，愧君君相見(jiàn)頻。。。12月-2209:06:2609:06Dec-2223-Dec-2212、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。09:06:2609:06:2609:06Friday,December23,202213、乍見(jiàn)見(jiàn)翻疑疑夢(mèng)，，相悲悲各問(wèn)問(wèn)年。。。12月月-2212月月-2209:06:2709:06:27December23,202214、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國(guó)見(jiàn)青青山。。23十二月月20229:06:27上午09:06:2712月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。十二二月月229:06上上午午12月月-2209:06December23,202216、行動(dòng)出成果果，工作出財(cái)財(cái)富。。2022/12/239:06:2809:06:2823December202217、做前，能夠夠環(huán)視四周；；做時(shí)，你只只能或者最好好沿著以腳為為起點(diǎn)的射線線向前。。9:06:28上午9:06上上午09:06:2812月-229、沒(méi)沒(méi)有有失失敗敗，，只只有有暫暫時(shí)時(shí)停停止止成成功功！！。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒(méi)沒(méi)有有。。。。09:06:2809:06:2809:0612/23/20229:06:28AM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小小努力力的積積累。。。12月月-2209:06:2809:06Dec-2223-Dec-2212、世間成事事，不求其其絕對(duì)圓滿滿，留一份份不足，可可得無(wú)限完完美。。09:06:2809:06:2809:06Friday,December23,202213、不知香積積寺，數(shù)里里入云峰。。。12月-2212月-2209:06:2809:06:28December23,202214、意志堅(jiān)堅(jiān)強(qiáng)的人人能把世世界放在在手中像像泥塊一一樣任意意揉捏。。23十十二月20229:06:28上午午09:06:2812月-2215、楚楚塞塞三三湘湘接接，，荊荊門門九九派派通通。。。。。十二二月月229:06上上午午12月-2209:06December23,202216、少年十十五二十十時(shí)，步步行奪得得胡馬騎騎。。2022/12/239:06:2909:06:2923December202217、空山新新雨后，，天氣晚晚來(lái)秋。。。9:06:29上午午9:06上午午09:06:2912月-229、楊柳柳散和和風(fēng)，，青山山澹吾吾慮。。。12月月-2212月月-22Friday,Dec