信號與線性系統(tǒng)全套課件

信號與線性系統(tǒng)課程意義“信號與線性系統(tǒng)”這門課程也已發(fā)展成為工科類專業(yè)的一門共同的技術(shù)基礎(chǔ)課程。在已學(xué)習(xí)電工技術(shù)基本知識的基礎(chǔ)上加深、拓寬信號分析、系統(tǒng)分析方面的基本理論和方法，從而掌握21世紀(jì)信息時(shí)代有關(guān)信息獲取、信息傳輸、信息處理和信息重現(xiàn)所涉及的基本概念、基本理論和相關(guān)技術(shù)的必備知識，更有信心地迎接未來新技術(shù)的挑戰(zhàn)。二、主要內(nèi)容(共４８學(xué)時(shí),3學(xué)分)理論教學(xué)（4２學(xué)時(shí)）1．信號與系統(tǒng)的基本概念(４)2．連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析(６) 3．連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析(8)

4．連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析(10)5．離散系統(tǒng)時(shí)域分析

(６)6．離散系統(tǒng)的z域分析(6)總復(fù)習(xí)(2)實(shí)驗(yàn)(６學(xué)時(shí))三、主要參考書目

1.鄭君里應(yīng)啟衍楊為理信號與系統(tǒng)北京：高等教育出版社，

2.管致中夏恭恪信號與線性系統(tǒng)北京：高等教育出版社，3.陳生潭郭寶龍李學(xué)武馮宗哲信號與系統(tǒng)(第二版).西安：西安電子科技大學(xué)出版社4段哲民范世貴信號與系統(tǒng).西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社參見教材最后一頁。四、考核方法與聽課要求

考核方法：平時(shí)作業(yè)、課堂練習(xí)：20%

實(shí)驗(yàn)：10%

期末考試：70%聽課要求：適當(dāng)預(yù)習(xí)，盡量做筆記（特別是書上沒有的例題），跟隨老師課堂練習(xí)，及時(shí)復(fù)習(xí)；作業(yè)認(rèn)真、獨(dú)立、按時(shí)完成；準(zhǔn)確、靈活掌握規(guī)律、技巧。通過習(xí)題鞏固知識、發(fā)現(xiàn)問題有問題及時(shí)記下來，以便通過相互討論或答疑來解決。第一章

信號與系統(tǒng)的基本概念

§1–1信號的概念

一、信號的定義與描述信息（或消息）—含有一定內(nèi)容或意義的語言、文字、圖畫、編碼、數(shù)據(jù)等等。信號—帶有信息的隨時(shí)間和空間變化的物理量或物理現(xiàn)象，信號是信息的載體與表現(xiàn)形式，如聲信號、光信號、電信號等。

各種信號中電信號是最便于傳輸、控制與處理的信號，實(shí)際中許多非電信號也可以通過適當(dāng)?shù)膫鞲衅髯儞Q成電信號，本課程主要以電壓與電流或電荷與磁鏈等應(yīng)用廣泛的電信號來介紹信號與系統(tǒng)的基本概念和理論的。二、信號的分類

1．按信號的確定性可分類為：確定信號—能夠表示為確定的時(shí)間函數(shù)的信號。隨機(jī)信號—給定t的某一個(gè)值時(shí)，信號值并不確定，而只知道此信號取某一數(shù)值的概率。2．按信號是否連續(xù)可分類為：連續(xù)信號—信號在某一時(shí)間段內(nèi)的所有時(shí)間點(diǎn)上(除了有限個(gè)斷點(diǎn)之外)都有定義。離散信號—信號僅在離散時(shí)刻上有定義。間隔相等的離散信號也稱為序列。利用二進(jìn)制或十六進(jìn)制數(shù)碼加以量化的離散信號稱為數(shù)字信號。3．按信號值隨時(shí)間變化的規(guī)律可以分為：周期性信號與非周期信號兩個(gè)周期分別為T1和T2的周期信號之和仍為周期信號的條件是T1/

T2的值為不可約的整數(shù)比,此時(shí)周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。離散時(shí)間周期性信號滿足：

最小的正整數(shù)稱為周期連續(xù)時(shí)間周期性信號滿足：4．按信號的能量特性可以分類為：

連續(xù)信號f(t)的能量定義為：

連續(xù)信號f(t)的平均功率定義為：

能量信號：信號的總能量為有限值。

功率信號：信號的總能量為無窮大但平均功率為有限值。5．按信號定義的時(shí)間區(qū)間可以分類:無時(shí)限信號：6．有始信號與有終信號

有始信號：有終信號：有時(shí)限信號：7．因果信號與反因果信號因果信號:反因果信號:按信號的特點(diǎn)，還可以被分類為正弦信號與非正弦信號；一維信號與二維或多維信號等等。

本課程介紹的是確定的一維連續(xù)和離散的因果信號?！?–2基本的連續(xù)信號及其時(shí)域特性一、直流信號當(dāng)A為1時(shí)稱之為單位直流信號。直流信號是無時(shí)限信號。

f(t)A0t二、正弦信號

t0A2A

正弦信號表示式中式中A，，分別稱為正弦信號的振幅、角頻率和初相角，三者均為實(shí)常數(shù)。本書中正弦信號仍用cosine的形式表示。正弦信號有如下性質(zhì)：

1．是T=2/

的無時(shí)限周期信號，當(dāng)T→∞時(shí)就變?yōu)榉侵芷诘闹绷餍盘枴?/p>

2．其導(dǎo)函數(shù)仍然是同頻率的正弦信號，振幅變?yōu)锳，相位增加了/2

。3．滿足如下形式的二階微分方程：

(t)t01

在(t)=0時(shí)從(0-)=0躍變到(0+)=1，躍變了一個(gè)單位。信號(t-t0)發(fā)生階躍的時(shí)刻為t=t0

無時(shí)限信號f(t)乘以(t)得到因果信號f(t)(t)

利用階躍信號可以將分段定義的信號表示為定義在(-,)上的閉形表達(dá)式。

三、單位階躍信號(t)是個(gè)奇異函數(shù)，在t

=0時(shí)發(fā)生躍變，左極限不等于右極限，從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上講不可微分求導(dǎo)。其定義式只有(t)和(t±t0)兩種。若有[f(t)]形式則要通過定義化為這兩種形式。例：例：畫出下列函數(shù)的波形

四、單位門信號

門寬為、門高為1的單位門信號常用G(t)表示單位門信號可用兩個(gè)階躍信號之差表示t01(t+/2

)22-t01(t-/2)2-G(t)t0221五、單位沖激信號(t)

沖激強(qiáng)度且(t)t0(1)A(t－t0)t0(A)t0沖激強(qiáng)度t－0221／G(t)信號A(t-t0)發(fā)生沖激的時(shí)刻為t=t0，有效積分的上、下限為t0-和t0+

，其沖激強(qiáng)度為A。性質(zhì)：

1．

f(t)(t)=f(0)(t);f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0)2．(t)的抽樣性(篩分性)

抽樣值例

試簡化下列各信號的表達(dá)式

(1)f1(t)=(1-e-t)(t)

(2)f2(t)=(1-e-t)(t-1)

解:

(1)f1(t)=(1-e-t)(t)=(1-e0

)(t)=0(2)f2(t)=(1-e-t)(t-1)=(1-e1

)(t-1)3．(t)為偶函數(shù)即有 (-t)=(t)4．尺度變換。

設(shè)實(shí)常數(shù)a

>0，則

注意：當(dāng)實(shí)常數(shù)a

<0時(shí)

推廣

a

>0時(shí)：

例

計(jì)算下列積分解：5．(t)與(t)的關(guān)系是互為微分與積分的關(guān)系推廣:

[f(t)]求導(dǎo)則先通過定義化為一般式，利用性質(zhì)求。例

已知信號求：f′(t)－2f(t)t022解：－2f'(t)t0(2)2(2)-2t204

實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根ti(i=1，2，…，n)一般地，例：畫出信號的波形。－1t0(1/2)1(1/2)f(t)解：例：畫出下列信號的波形解：f2(t)t(1/π)12340-1-2-3-4例

計(jì)算下列積分求：六、單位沖激偶信號0tt00t'(t)性質(zhì)：

推論：

(4)尺度變換

設(shè)實(shí)常數(shù)a

>0，則:例

計(jì)算下列積分解:

七、單位斜坡信號

r(t)t011r(t)與(t)、(t)、(t)的關(guān)系如下:

八、單邊衰減指數(shù)信號(衰減系數(shù)

為正的實(shí)常數(shù))

每經(jīng)過1/

這一時(shí)間常數(shù)(量綱為s)，信號會(huì)衰減為原先大小的e-1=

0.368倍。注意:信號是單邊的，且信號值從t=0-

時(shí)的0躍變?yōu)閠=0+

時(shí)的A。f(t)t0A10.368A九、復(fù)指數(shù)信號

f(t)=Aest，-<t<

式中s=

+j

稱為復(fù)頻率，A、、均為實(shí)常數(shù)，

的單位為1/s，的單位為rad/s

。

f(t)=Ae(

+

j)t=Ae

tejt=Ae

t(cos

t+jsint)a.模|A|et為一實(shí)指數(shù)信號；

b.輻角為

t；

c.實(shí)部與虛部均為按指數(shù)規(guī)律Aet變化且角頻率為的正弦信號。特例:

1．當(dāng)s=0時(shí)，f(t)=A，為直流信號；

2．當(dāng)s=

時(shí)，f(t)=Aet，為實(shí)指數(shù)信號；

3．當(dāng)s=j時(shí)，f(t)=Ae

jt=A(cost+j

sint)，實(shí)部與虛部均為角頻率為的等幅正弦信號，也是一個(gè)以T=2/為周期的周期性信號。十、抽樣信號

Sa(t)t01-22-3-3-0.217-0.2170.1280.128抽樣信號性質(zhì):

1．Sa(t)為實(shí)變量t的偶函數(shù)，即Sa(-t)=Sa(t)2．

3．

4．

5．

十一、符號函數(shù)sgn(t)t01－1用封閉表達(dá)式寫成sgn(t)=(t)-

(-t)=2(t)-1

例6：試?yán)L出sgn(cost)的波形

costt0123-1sgn(cost)t0-1212325272-321-1解本節(jié)要求：

各種基本信號的名稱、函數(shù)表達(dá)式、圖形表示及信號特點(diǎn)及性質(zhì)§1–3連續(xù)信號的基本運(yùn)算與時(shí)域變換基本運(yùn)算：相加、相乘、數(shù)乘、微分、積分等時(shí)域變換：折疊、時(shí)移、展縮、倒相等一、連續(xù)信號的基本運(yùn)算

1．相加：將每一時(shí)刻的值對應(yīng)相加。通常由加法器實(shí)現(xiàn)。

f1(t)f2(t)fn(t)y(t)=f1(t)+

f2(t)+

…

+

fn(t)…2．相乘：將每一時(shí)刻的值對應(yīng)相乘。通常由乘法器實(shí)現(xiàn)。也稱為調(diào)制器實(shí)現(xiàn)信號的抽樣與調(diào)制。f1(t)f2(t)fn(t)y(t)=f1(t)f2(t)…fn(t)…3．?dāng)?shù)乘：

將每一時(shí)刻的值擴(kuò)大（縮?。゛倍。通常由數(shù)乘器實(shí)現(xiàn)。

f(t)y(t)=af(t)a4．微分：通常由微分器實(shí)現(xiàn)。f(t)

ddt注意1：在間斷點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在的常規(guī)函數(shù)f(t)，引入了沖激函數(shù)后導(dǎo)數(shù)就可用沖激函數(shù)表示，其沖激強(qiáng)度為間斷點(diǎn)處f(t)躍變的幅度值。例1已知f(t)的波形，求f′(t)。并畫出波形。解：注意：f(t)中有間斷點(diǎn)，則f′(t)在間斷點(diǎn)上有沖激函數(shù)存在，其沖激強(qiáng)度為間斷點(diǎn)處函數(shù)f(t)躍變的幅度值。t01(2)f'(t)2t02f(t)25．積分：通常由積分器實(shí)現(xiàn)f(t)二、連續(xù)信號的時(shí)域變換:

1．折疊:

f(t)

f(-t)

幾何意義：將f(t)的波形以縱軸為軸翻轉(zhuǎn)180o。(a)－1f(t)t0A2(b)－2f(-t)t0A1f(at－b)

折疊為f(－at－b)，非f[－(at－b)]

折疊→2．時(shí)移:f(t)

f(t

t0)(t0為正的實(shí)常數(shù))(a)－1f(t)t0A2(b)f(t－t0)t0A－1+t02+t0(c)f(t＋t0)t0A－1－

t02

－t0f(2t－4)是將信號f(2t)右移了2，而不是4

延時(shí)器f(t)y(t)=f(t－t0)(a)預(yù)測器f(t)y(t)=f(t＋t0)(b)右移左移3．展縮:f(t)

f(at)(a為正的實(shí)常數(shù))

當(dāng)0<a<1時(shí),將f(t)的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿t軸展寬為原來的1/a；

當(dāng)a>1時(shí)，將f(t)的波形以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，沿t軸壓縮為原來的1/a。

(a)－1f(t)t022(2)－2(b)－2t024(4)－4f(t)12(c)f(2t)t021(1)－1－12展寬壓縮注意：沖激與沖激偶信號的尺度變換（１）(at)=(1/a)(t)（２）'(at)=(1/a2)’(t)4．倒相：f(t)

–f(t)

：即沿t軸翻轉(zhuǎn)180

(a)－1f(t)t022(b)－2－f(t)t02－1倒相器f(t)y(t)=－f(t)實(shí)現(xiàn)：

例5

已知信號f(t)的波形如圖(a)所示，試畫f(t)01t－11(1)(a)的波形。解：原信號經(jīng)過折疊、時(shí)移、展縮三種變換次序的組合共有六種，下面給出其中的兩種解法

f(-t)01t－11(1)(b)(c)f(-t+2)01t13

(1)2

折疊右移2方法一

折疊

→

時(shí)移

→

展縮(d)01t39(3)6

展縮３方法二

折疊

→

展縮

→

平移(e)01t－33(3)例3已知f(5-2t)的波形如圖所示，試求出f(t)波形解：折疊右移2.5展寬2倍f(5+2t)(2)-3-2-1.50t1(4)-1012t1f(t)(2)t10.5-0.501f(2t)f(5-2t)t321.501(2)例4已知試畫出的波形解:折疊壓縮0.5倍右移2.502t(2)132f(t)(2)-3-2-10t2f(-t)t-1.520f(-2t)(1)t021(1)f(5-2t)例5

：已知信號fa(t)的波形如圖(a)

所示，試畫出下列信號的波形：

t(a)01212fa(t)(c)012-0.5-1fa(-t)tt(b)012-1-2fa(-t)t(a)01212fa(t)t(f)01221fa(2-t)t(g)01221fc(t)3(d)t0122

fa(6-2t)32.5(e)t02fb(t)3(1)(1)(-2)2.5(1)

圖(a)經(jīng)折疊、壓縮、右移、求導(dǎo)得結(jié)果如圖(e)；(2)圖(b)經(jīng)右移、積分得結(jié)果如圖(g)。

注意：1、信號變換后得到的是一個(gè)新的信號，因此原信號具有的性質(zhì)，新信號不一定有。例：又：2、信號的變換可看作“規(guī)則不變，變量變”，或者“變量不變，規(guī)則變”。本節(jié)要求：

信號的折疊、時(shí)移、展縮變換的圖解法,特別注意沖激信號的展縮變換.§1–5系統(tǒng)的概念與特性

一、系統(tǒng)的定義

1.廣義上：系統(tǒng)是由若干相互依賴、相互作用的事物組合而成的具有特定功能的整體

物理系統(tǒng):如通信系統(tǒng)、自控系統(tǒng)、電力拖動(dòng)系統(tǒng)

可分為

非物理系統(tǒng)：如生產(chǎn)管理、司法等社會(huì)經(jīng)濟(jì)與管理方面的系統(tǒng)。

2.相對于信號而言:系統(tǒng)是能夠完成對信號傳輸、處理、存儲、運(yùn)算、變換與再現(xiàn)的集合體.框圖表示

f(t)

系統(tǒng)H激勵(lì)響應(yīng)y(t)=H[f(t)]其中H[]

為系統(tǒng)算子，表示將輸入信號或激勵(lì)f(t)進(jìn)行某種變換或運(yùn)算得到輸出信號或響應(yīng)y(t)此關(guān)系亦可記為f(t)

y(t)

倒相器、加法器、數(shù)乘器、微分器、積分器等是基本運(yùn)算系統(tǒng)

二、系統(tǒng)的分類與特性

從系統(tǒng)不同的特性來考慮，系統(tǒng)可分為：

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):f(t)激勵(lì)、y(t)響應(yīng)皆為連續(xù)時(shí)間信號

1

離散時(shí)間系統(tǒng)：f(t)激勵(lì)、y(t)響應(yīng)皆為離散時(shí)間信號

單輸入-單輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)只接受一個(gè)激勵(lì)信號，產(chǎn)生一個(gè)響應(yīng)信號；

2

多輸入-多輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)激勵(lì)信號與響應(yīng)信號多于一個(gè)

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(記憶系統(tǒng))：t0時(shí)刻的響應(yīng)y(t0)與(t0)前的所有激勵(lì)有關(guān)；

非動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(靜態(tài)系統(tǒng)，即時(shí)系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng))：t0時(shí)刻的響應(yīng)y(t0)僅與該時(shí)刻的激勵(lì)f(t0)有關(guān)。

3

線性系統(tǒng)：同時(shí)滿足齊次性、疊加性的系統(tǒng)。

非線性系統(tǒng)：齊次性與疊加性不能同時(shí)滿足的系統(tǒng)。

4線性性質(zhì)：

（1和2為任意常數(shù)）

滿足疊加性。故此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)

例6

判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)：(1)

y(t)=tf(t)；

(2)y(t)=f(t)+2.

解

(1)

f(t)

tf(t)=tf(t)=y(t)，滿足齊次性；

f1(t)+f2(t)

t[

f1(t)+f2(t)]=t

f1(t)+t

f2(t)=y1(t)+y2(t)，

(2)

f(t)

f(t)+2

[f(t)+2]=y(t)

不滿足齊次性，故不是線性系統(tǒng)

時(shí)不變系統(tǒng)：若f(t)

y(t)，有f(t-t0)

y(t-t0)，t0為任意正實(shí)常數(shù)；

時(shí)變系統(tǒng)：沒有以上關(guān)系的系統(tǒng)。

50y(t)tT10y(t-t0)tt0+T1t00f(t-t0)tt0+T1t00f(t)tT1時(shí)不變系統(tǒng)例7

判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)(1)

y(t)=tf(t)；

(2)y(t)=sin[f(t)]解(1)

f(t-t0)

tf(t-t0)

(t-t0)f(t-t0)=y(t-t0)，故系統(tǒng)是時(shí)變的；(2)

f(t-t0)

sin[f(t-t0)]=y(t-t0)，故此系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)

線性時(shí)不變(LTI)連續(xù)系統(tǒng)除滿足齊次性、疊加性的線性性質(zhì)和時(shí)不變性之外，還滿足：微分性：若f(t)

y(t)，則：積分性：若f(t)

y(t)，則：因果系統(tǒng)(可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng))：系統(tǒng)t>0時(shí)作用的激勵(lì)不會(huì)在t<0時(shí)引起響應(yīng)；實(shí)際物理系統(tǒng)。

非因果系統(tǒng)(不可物理實(shí)現(xiàn)系統(tǒng))：系統(tǒng)t>0時(shí)作用的激勵(lì)會(huì)在t<0時(shí)引起響應(yīng)；數(shù)學(xué)模型。6在因果信號激勵(lì)下，因果系統(tǒng)的響應(yīng)也必然是因果信號，這是判斷系統(tǒng)因果性常用的方法。有界輸入/有界輸出穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的激勵(lì)f(t)引起有界的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)(Bound-input/Bound-output)穩(wěn)定，簡稱BIBO穩(wěn)定.臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)：零輸入響應(yīng)yx(t)總是有界的；

漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)：若yx(t)隨變量t的增大而衰減為零；

本書討論線性時(shí)不變系統(tǒng)(LTI)系統(tǒng))

§1–6信號與系統(tǒng)分析概述

本節(jié)內(nèi)容請自學(xué)需要特別強(qiáng)調(diào)的是：線性時(shí)不變系統(tǒng)各種分析方法的理論基礎(chǔ)是信號的分解特性與系統(tǒng)的線性、時(shí)不變特性，其出發(fā)點(diǎn)是：激勵(lì)信號可以分解為若干基本信號單元的線性組合；系統(tǒng)對激勵(lì)所產(chǎn)生的的零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)對各基本信號單元分別激勵(lì)下響應(yīng)的疊加。第二章LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

§2–1

系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子一、微分算子、積分算子與微分算子方程:引入如下算子：

微分算子:

積分算子:

則：對于微分方程

算子形式微分算子方程：

它是微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊分別對變量y(t)和f(t)進(jìn)行相應(yīng)的微分運(yùn)算。形式上是代數(shù)方程的表示方法。可用來在時(shí)域中建立與變換域相一致的分析方法。微分算子的運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1

以p的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解。性質(zhì)2

設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項(xiàng)式，則

如：性質(zhì)3

微分算子方程等號兩邊p的公因式不能隨便消去。

例如：p

y(t)=p

f(t)

y(t)=

f(t)+c(c為常數(shù))

y(t)=

f(t)性質(zhì)4

設(shè)A(p)、B(p)和D(p)都是p的正冪多項(xiàng)式但是：例如：

函數(shù)乘、除算子p的順序不能隨意顛倒，對函數(shù)進(jìn)行“先除后乘”算子p的運(yùn)算時(shí)，分式的分子與分母中公共p算子(或p算式)才允許消去。二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的算子方程與系統(tǒng)的傳輸算子

電路元件伏安關(guān)系(VAR)的微分算子形式稱為

算子模型，電壓、電流比為算子感抗和算子容抗

元件名稱

電路符號

u~i關(guān)系(VAR)

VAR的算子形式

算子模型

電阻

電感

電容

電路元件的算子模型i(t)Ri(t)Ri(t)Li(t)1/pCi(t)Ci(t)pL電路系統(tǒng)微分算子方程的建立方法:

LpL;C1/pC畫出算子模型，按照電路理論中的列寫方程方法列寫。例1：電路如圖(a)所示，激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為i2(t)。試列寫其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+f(t)-i15

13pi22p4p(b)i1i2解：畫出其算子模型電路如圖(b)所示。由回路法可列出方程為：

化簡微分方程組時(shí)要考察電路的階數(shù)以便確定公共因子是否可消去?；喓笏笪⒎炙阕臃匠虨椋簩τ诩?lì)為f(t)，響應(yīng)為y(t)的n階LTI連續(xù)系統(tǒng)，其微分算子方程為：將其在形式改寫為

式中：

它代表了系統(tǒng)將激勵(lì)轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫?yīng)的作用，或系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，故將H(p)稱為響應(yīng)y(t)對激勵(lì)f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子

系統(tǒng)傳輸算子與系統(tǒng)微分算子方程是對系統(tǒng)的等價(jià)表示。它們之間可以可以轉(zhuǎn)化。§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

LTI的全響應(yīng)可作如下分解：

y(t)=零輸入響應(yīng)yx(t)+零狀態(tài)響應(yīng)yf

(t)一、系統(tǒng)初始條件

(2)

求系統(tǒng)的0-狀態(tài)值uC(0-)、iL(0-)；(3)由換路定律得到uC(0+)、iL(0+)，結(jié)合系統(tǒng)0+瞬時(shí)的等效電路求得電路的各個(gè)電氣量的初始值。(1)若所給電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)在換路前后不發(fā)生變化(即沒有開關(guān)時(shí))，則由系統(tǒng)的0-狀態(tài)值與0-瞬時(shí)的零輸入系統(tǒng)求得初始條件yx(j)(0-),

j=0,1,2,…,n-1，否則由(2)(3)兩步進(jìn)行求解。二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應(yīng)零輸入下LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為:要使上式成立，需滿足D(p)=0（特征方程）

針對特征根兩種情況來求yx(t)1．特征根為n個(gè)單根p1,p2,…,pn

(可為實(shí)根、虛根或復(fù)根)

將yx(0-)、yx′(0-)、…、yx(n-1)(0-)代入上式，確定積分常數(shù)A1、A2、…、An

。

共軛復(fù)根時(shí)歐拉公式cos

t=0.5(ejt+e–jt)及sint=

j0.5(e–jt–

ejt

)化簡為三角實(shí)函數(shù)

2．特征根含有重根

設(shè)特征根p1為r重根，其余特征根為單根，則yx(t)的通解表達(dá)式為：確定積分常數(shù)的方法同前。

3．求解零輸入響應(yīng)yx(t)的基本步驟：

(1)通過微分算子方程得D(p)求系統(tǒng)的特征根;

(2)寫出yx(t)的通解表達(dá)式;

(3)由系統(tǒng)的0-狀態(tài)值與0-瞬時(shí)的零輸入系統(tǒng)求得初始條件yx(j)(0-),j=0,1,2,…,n-1。(4)

將0-初始條件代入yx(t)的通解表達(dá)式,求得積分常數(shù)A1,A2,…,An。(5)

寫出所得的解yx(t)，畫出yx(t)的波形。

例2

電路如圖(a)所示，已知uC

(0-)=1V，iL(0-)=-1A，求t>0時(shí)的零輸入響應(yīng)uCx(t)。1H12F解

(1)畫出算子模型電路,由節(jié)點(diǎn)法列出方程為

uC

x(t),V0t,s4130.51化簡可得

:解得特征根:p1=-2，p2=-3(2)0-瞬時(shí)的等效電路

代入初始條件§2–3LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

一、零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)LTI連續(xù)系統(tǒng)H(p)

非齊次微分方程的解由通解和特解組成，f(t)的形式簡單（直流、交流）特解還易確定，如形式復(fù)雜，則特解很難確定。一般情況下零狀態(tài)響應(yīng)可通過將f(t)分解為更為簡單的單元信號，將各單元激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行疊加來求解。信號的時(shí)域分解：將f(t)分解為無窮多個(gè)寬度為的矩形脈沖信號之和fa(t)

任意信號可分解為無窮多個(gè)不同時(shí)刻出現(xiàn)的沖激強(qiáng)度為該時(shí)刻函數(shù)值的沖激信號之和零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程零狀態(tài)LTI零狀態(tài)LTI零狀態(tài)LTI零狀態(tài)LTI沖激響應(yīng)時(shí)不變性齊次性疊加性

由上述過程可看出求解零狀態(tài)響應(yīng)可通過下列兩步完成：（1）求單位沖激響應(yīng)h(t)（2）求卷積積分二、沖激響應(yīng)h(t)

h(t)定義：

零狀態(tài)LTIH(p)

通過多項(xiàng)式的長除法，H(p)可以化為某個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)有理真分式之和。

據(jù)D(p)的根的不同有理真分式H(p)可展開為不同的部分分式

1．當(dāng)D(p)

有n個(gè)單特征根p1,p2,…,pn

(可為實(shí)根、虛根或復(fù)根)

令第j項(xiàng)為

（一階微分方程）沖激響應(yīng)h(t)為2．當(dāng)D(p)特征根有重根時(shí)：設(shè)p1為r重根，其余(n-r)個(gè)為單根pj(j=r+1,r+2,…,n)，則有理真分式H(p)可展開為：重根相關(guān)的部分分式項(xiàng)的沖激響應(yīng)

3、H(p)為某個(gè)關(guān)于pj多項(xiàng)式時(shí)：求解單位沖激的步驟：（1）據(jù)算子微分方程求出轉(zhuǎn)移算子H(p)（2）長除法化為多項(xiàng)式與有理真分式之和。（3）有理真分式部分分式展開；（4）據(jù)D(p)根的不同確定分式中的系數(shù)；（5）對照不同情況寫出單位沖激響應(yīng)。表2-2例：求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：注：當(dāng)D(p)有共軛復(fù)數(shù)根時(shí)：三卷積積分

(1)將f(t),h(t)的自變量t換為，f(),h()波形不變；(2)將h()折疊，得到h(-)；(3)將h(-)沿軸平移t，t為參變量，h(t-),t>0右移，t<0左移；(4)將f()

與h(t-)

相乘得到f()

h(t-)

；(5)將f()

h(t-)

在區(qū)間（-，+）上積分得到(*)。定義:t-2tf2(t-)0212f1(t)f2(t)f1()卷積積分上下限的確定是關(guān)鍵，討論如下：(1)若f(t),h(t)

都為因果信號積分上下限為(0,t)(2)若f(t)

為因果信號,h(t)

為無時(shí)限信號,積分上下限為(0,)(3)若f(t)

為無時(shí)限信號,h(t)

為因果信號,積分上下限為(-,t)(4)若f(t),h(t)都為時(shí)限信號則卷積后仍為時(shí)限信號，其左邊界為原兩左邊界之和，右邊界為原兩右邊界之和

例3：求圖示f1(t)，f2(t)的卷積

f2()02-2f2(t)02t-2tf1()f2(t-)02t-2t1(t<0)021022(1)t<0時(shí),f1()f2(t-)=0(2)0<t<1時(shí)f1()f2(t-)02t-2t1(1<t<2)t1f1()f2(t-)02t-2t(2<t<3)t-1f1()f2(t-)02t-2t1(0<t<1)t(3)1<t<2時(shí)(4)2<t<3時(shí)(5)t>3時(shí)1f1()f2(t-)02t-2t(t>3)（1）卷積的運(yùn)算規(guī)律

據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)，可推知卷積有如下的運(yùn)算規(guī)律

:1．交換律:

2．分配律:

012313y(t)t3．結(jié)合律

（2）卷積的主要性質(zhì)1．f(t)與奇異信號的卷積(1)

f(t)*(t)=f(t),即f(t)與(t)卷積等于f(t)本身

(2)

f(t)*’(t)=f’(t),即f(t)與’(t)卷積等于f(t)導(dǎo)數(shù)。(3)2．卷積的微分和積分：(1)

積分[f1(t)*f2(t)]

-1

=f1-1(t)*f2(t)=

f1(t)*f2-1(t)(3)

微分-積分:f1(t)*f2(t)=f1'(t)*f2-1(t)=f1-1(t)*f2'(t)則(2)

微分

[f1(t)*f2(t)]'=

f1'(t)*f2(t)=

f1(t)*f2'(t)

若f1(t)，f2(t)左收斂，3．卷積時(shí)移：設(shè)f1(t)*f2(t)=y(t)，則：f1(t)*f2(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=y(t-t0)f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2);

推論：f(t-t1)*(t-t2)=f(t-t1-t2)

(t-t1)*(t-t2)=(t-t1-t2);

利用卷積性質(zhì)求解較復(fù)雜的卷積（表2-3）例7:例3已知:解：卷積時(shí)的(t)的存在只是確定被積信號的起始位置，卷積結(jié)果要考慮起始位置,即加(上限-下限)012313y(t)t

若f1(t)，f2(t)左收斂，將被卷積的一個(gè)信號盡量化為沖激信號以及其延時(shí)，可使計(jì)算簡化。例8

試計(jì)算常數(shù)K與信號f(t)的卷積積分

解

直接按卷積定義，可得：用微分-積分性質(zhì)來求解將導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果

常數(shù)K

不收斂且任意信號f(t)也并非一定收斂。例9已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=sint(t)，激勵(lì)f(t)的波形如圖所示，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)?？捎梦⒎?積分性來求解：

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解f(t)0t242f”(t)0t24（1）（－2）（1）+-f(t)i(t)uc(t)+-p1/p例10:圖示電路,激勵(lì)求:零狀態(tài)響應(yīng)uc(t)解：列方程+-f(t)i(t)uc(t)+-1H1F圖示電路，其輸入電壓us(t)波形如圖示，試用卷積積分法求零狀態(tài)響應(yīng)uc(t)0.1M10μF+uc(t)-+us(t)-解：us(t)(V)t(s)32101us(t)(V)t(s)32101h()h()h()1h3210t32101t32101t32101t解法2、利用卷積的性質(zhì)四、系統(tǒng)全響應(yīng)的求解方法：（1）求單位沖激響應(yīng)h(t)（2）求卷積積分（3）求零輸入響應(yīng)yX

(t)

零狀態(tài)響應(yīng)yf

(t)（4）全響應(yīng)：例11圖示電路已知i1(0-)=i2(0-)=1A，f1(t)=t

(t)，f2(t)=(t)-(t-1)，求全響應(yīng)y(t)。1i1(t)+f1(t)-+f2(t)-11+y(t)-i2(t)1H1H解：1)先求系統(tǒng)的傳輸算子及沖激響應(yīng)。2）卷積積分求零狀態(tài)響應(yīng)yf

(t)3)求零輸入響應(yīng)yX

(t)：

p1=－1，p2=－

34)求全響應(yīng)y

(t)：例12：已知某系統(tǒng)的微分方程為當(dāng)激勵(lì)試求零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)、時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)自由響應(yīng)與強(qiáng)迫相應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)本章要求

算子形式的微分方程列寫(包括給定電路圖和系統(tǒng)框圖兩種形式);沖激響應(yīng)的求解;卷積積分的圖解法和解析法求解.第三章LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

數(shù)學(xué)上，任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)完備正交函數(shù)集中無限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無窮級數(shù)。

傅里葉(Fourier)級數(shù)是常用的正交函數(shù)集，只要符合一定的條件，任意一信號都可通過傅里葉級數(shù)展開為一系列不同頻率的正弦分量即頻率函數(shù)，也就是說信號分析可以從時(shí)域變換到頻域分析即頻域分析法?！?–1周期信號的傅里葉級數(shù)展開

一．三角形式的傅里葉級數(shù)：

設(shè)任意周期信號f(t)=f(t+kT),（k為整數(shù)），滿足下列條件（荻里赫利條件）：（1）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是絕對可積的（2）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目有限（3）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè)一類間斷點(diǎn)（左右極限存在但不等）分解得傅里葉系數(shù)

其中：—直流分量(零次諧波)，即f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值；—基波分量(一次諧波)，其角頻率與f(t)的相同，為

—二次諧波分量，其角頻率為基波頻率的兩倍

—n次諧波分量，其角頻率為基波頻率的n倍

將周期信號f(t)在虛指數(shù)函數(shù)集{ejnt，n=0,

1,

2，

3，

…}上展開就得到指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。

傅里葉系數(shù)：“級數(shù)正，系數(shù)負(fù)”

二．指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

注意此系數(shù)為復(fù)數(shù)與指數(shù)形式對照與三角形式傅里葉級數(shù)的關(guān)系

三、周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系

1．偶函數(shù):f(t)=f(-t)2．奇函數(shù):

f(-

t)=-f(t)3．奇諧(波)(半波對稱)函數(shù):

4．偶諧(波)(半周期)函數(shù)

四、傅里葉系數(shù)的性質(zhì)

例1：求周期信號的三角型與指數(shù)型傅里葉級數(shù)f(t)t0123-11f1(t)t0123-10.5例2：求圖示周期鋸齒波信號的傅里葉級數(shù)

f(t)t0T2T3T-T1解：可利用傅里葉性質(zhì)3求解：t0T2T3T-Tt0T2T3T-T1/T(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)§3–2周期信號的頻譜

如果要確定某一諧波分量

或只需確定和某一頻率對應(yīng)的諧波幅值和相位。頻譜幅度譜：以頻率（角頻率）為橫坐標(biāo)，以各諧波的振幅An或|Fn|為縱坐標(biāo)畫出的線圖（離散）為幅度頻譜。簡稱幅度譜。相位譜：以頻率（角頻率）為橫坐標(biāo)，以各諧波的初相角為縱坐標(biāo)畫出的線圖（離散）為相位頻譜。簡稱相位譜。一、周期矩形脈沖的頻譜

t0A……=T/4，A=1時(shí)：

|Fn|00.250.2250.0750.0530.1590.04523456--2-3-4-5-6包絡(luò)線n023456--2-3-4-5-6由雙邊頻譜單邊頻譜|An|00.250.450.150.1060.3180.0923456n023456由上可知周期矩形脈沖的頻譜有下列特點(diǎn)：(1)譜線高度與脈沖高度A及寬度成正比，與周期T成反比，且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制；(2)零分量頻率為n/2=m即n=2m/，或

n=mT/

其中m=

1,

2,…(3)第一個(gè)零分量頻率為有效頻譜寬度B=2/，

Bf

=1/(4)若↓而T不變,譜線間隔不變，但譜線高度↓B↑，譜線個(gè)數(shù)T/↑

(5)若T↑而不變→譜線間隔↓譜線高度↓B

不變，譜線個(gè)數(shù)T/↑

，T→，→連續(xù)頻譜。二、任意周期信號頻譜的特點(diǎn)

（1）離散性—頻譜是譜線，稱為離散頻譜或線譜；

（2）諧波性—各分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，譜線間隔均勻；

（3）收斂性—譜線幅度隨n→而衰減到零。

三、周期信號的功率譜功率(頻)譜—|Fn|2~n的關(guān)系，也是一離散譜。

周期信號在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和?！?–3非周期信號的頻譜

一、傅里葉級數(shù)到傅里葉變換

周期信號

其中

非周期信號

令

有F(j)

傅里葉正變換

傅里葉反變換

對應(yīng)關(guān)系記為

f(t)←→F(j)

F(j)=F

{f(t)}f(t)=F-1

{F(j)}二、非周期信號的頻譜(密度)函數(shù)

將傅氏反變換（*）與傅里葉級數(shù)對照與可知

單位頻帶的振幅的量綱稱頻譜(密度)函數(shù)

1．頻譜密度函數(shù)的物理意義

2）非周期信號也可以分解成許多不同頻率的正弦分量，只不過其基波頻率趨于無窮小，包含了所有頻率分量；1）求非周期信號的傅里葉變換就是求其頻譜(密度)函數(shù)。3）各個(gè)正弦分量的振幅|A|=2|F|=|F(j)|d

/趨于無窮小，只能用密度函數(shù)|F(j)|來表示各頻率分量的相對大小。2、頻譜密度函數(shù)的數(shù)學(xué)特點(diǎn)：1、若f(t)為實(shí)函數(shù)，則|F(j)|、R()為的偶函數(shù)，而()、X()為的奇函數(shù)。2、若f(t)為實(shí)偶函數(shù)，則F(j)為的實(shí)偶函數(shù)[即()=X()=0]

3、若f(t)為實(shí)奇函數(shù)，則F(j)為的虛奇函數(shù)[即=90o，R()=0]。若f(t)為實(shí)函數(shù)，則代入對應(yīng)的奇偶性得

非周期信號也可以分解為許多不同頻率的正弦分量，其基波為無窮小d，正弦分量的振幅也為無窮小,F(j)只是相對大小。三、常用信號的傅里葉變換

荻里赫利條件是變換的前提,不滿足完全可積的條件引入沖激函數(shù)也可有相應(yīng)的變換。1、單邊指數(shù)信號

f(t)0t1|F(j)|01/()0/2-/22、偶雙邊指數(shù)信號

f(t)0t1e-tet|F(j)|02/3、奇雙邊指數(shù)信號

|F(j)|01/-()0/2-/2f(t)0t1e-t-et-14、符號函數(shù)信號

f(t)0t11符號函數(shù)不滿足可積條件，它可看作奇雙邊指數(shù)信號在0的極限值|F(j)|0()0/2-/25、單位沖激信號

f(t)t0(1)01|F(j)|6、單位直流信號

f(t)0t1|F(j)|0(2)7、單位階躍信號

f(t)0t1|F(j)|0()()0-/28、門信號(矩形脈沖信號)

G(t)t10|F(j)|00()-§3–4傅里葉變換的性質(zhì)

設(shè)f1(t)←→F1(j)，f2(t)←→F2(j)；a1、a2為實(shí)數(shù)一、線性

則：a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(j)+a2F2(j)二、對稱性

設(shè)：f(t)←→F(j),

則：F(jt)←→2f(-)

證明正變換例：求Sa(t)的傅氏變換則令

解：已知G(t)三、尺度變換

設(shè)：f(t)←→F(j)

信號持續(xù)時(shí)間與占有頻帶成反比，即時(shí)域內(nèi)擴(kuò)展頻域內(nèi)壓縮，即時(shí)域內(nèi)壓縮頻域內(nèi)擴(kuò)展推論(折疊性)

f(-t)

←→F(-j)四、時(shí)移性:：時(shí)域內(nèi)時(shí)移，頻域內(nèi)為相移.設(shè)：f(t)←→F(j)則五、頻移性:

調(diào)制定理

時(shí)域內(nèi)相移，頻域內(nèi)為反向頻移。設(shè)：f(t)←→F(j)門信號的調(diào)制:

G(t)10t0G(t)cos0tt1000-0|F(j)|當(dāng)0足夠大時(shí)，就可使原頻譜密度函數(shù)被向左、右復(fù)制時(shí)混疊極少，幾乎不失真.六、時(shí)域卷積：f1(t)*

f2(t)←→F1(j)F2(j)證明時(shí)域卷積的重要應(yīng)用—求零狀態(tài)響應(yīng)的頻域法

時(shí)域yf(t)

=f(t)*

h(t)

頻域Yf(j)

=F(j)H(j)時(shí)域卷積，頻域乘積。七、頻域卷積

八、時(shí)域微分性

設(shè)：f(t)←→F(j)，則：推論：

例如

時(shí)域乘積的2倍，頻域卷積。九、時(shí)域積分性

十、頻域微分性：

十一、頻域積分性

f(0)=0時(shí)頻域微分性與頻域積分性才是可逆的。十二、帕塞瓦爾定理：

若f(t)為實(shí)函數(shù)

時(shí)域中求得的能量與頻域中求得的能量相等

例1：利用對稱性和時(shí)移性求下列傅里葉變換的時(shí)間函數(shù)f(t)解（1）例2：求f(t)的頻譜函數(shù)F(j)解：應(yīng)用時(shí)域微分性條件：t0-aAf(t)abbt0-af”(t)a-bbt0-af'(t)a-bb§3–5周期信號的傅里葉變換一、常見周期信號的傅里葉變換

1．復(fù)指數(shù)信號

|F(j)|0(2)o2．余弦、正弦信號

F1(j)0()o()-oIm[F2(j)]0(-)o()-o3．單位沖激序列信號

f(t)t0(1)(1)(1)(1)(1)……T2T-T-2TF(j)0()-()()()()……2-2

結(jié)論：周期信號的傅里葉級數(shù)是離散的(譜線)，其傅里葉變換是離散的(沖激序列)一般周期信號例1：求周期信號f(t)的頻譜函數(shù)F(j)解：2-2-0.50.5tf(t)1分別求Fn,F(j)二、傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系比較上面兩式可知Fn與

F(j)的關(guān)系：對于周期信號可據(jù)其一個(gè)周期內(nèi)的信號求傅立葉變換后求級數(shù)；反之亦可。§3–6連續(xù)信號的抽樣定理

一、限帶信號|F(j)|=0，（|

|>

m）

m為信號f(t)的最高頻率

F(j)0m-mG(t）t10脈沖信號可以近似為頻率為2/的限帶信號0二．抽樣信號及其頻譜：

f(t)fS(t)s(t)連續(xù)信號抽樣序列(沖激串，矩形窄脈沖串等)(開關(guān)函數(shù))抽樣信號若序列等間隔，為TS，則為均勻抽樣抽樣周期0m-mf(t)t0S(t)t0(1)……TS2TS-TS-2TSS(j)0S-S(S)……(S)(S)*fS(t)t0fS(0)……TS2TS-TS-2TSfS(2TS)FS(j)0S-S……mS-m

當(dāng)S>2m時(shí)，F(xiàn)S(j)是F(j)的周期延拓，因而fS(t)包含了f(t)的全部信息，從抽樣信號fS(t)可以恢復(fù)原信號f(t)。當(dāng)S<2m時(shí)，頻譜出現(xiàn)重疊(稱為混疊現(xiàn)象)，不能從fS(t)恢復(fù)f(t)，信號失真。1、均勻沖激抽樣(理想抽樣)：設(shè)抽樣周期為TS(抽樣角頻率為S)，

2、矩形脈沖抽樣(自然抽樣)抽樣序列是周期矩形脈沖序列，周期為TS(S)

三、時(shí)域抽樣定理1．時(shí)域抽樣定理：一個(gè)最高頻率為fm(角頻率為m)的限帶信號f(t)可以用均勻等間隔TS1/2fm

抽樣信號fS(t)=

f(nTS)的樣點(diǎn)值唯一確定；允許的最大抽樣間隔稱為奈奎斯特(Nyquist)間隔；允許的最小抽樣頻率稱為奈奎斯特(Nyquist)頻率.

該定理表明在滿足TS1/2fm條件下所得到的抽樣點(diǎn)的值f(nTS)包含了原信號f(t)的全部信息，因此對f(nTS)的傳輸可代替對f(t)的傳輸。例2：信號，將它進(jìn)行沖激抽樣，為使抽樣信號頻譜不產(chǎn)生混疊，求最低頻率fs和奈奎斯特間隔Ts解：2．原信號f(t)的恢復(fù)

由抽樣定理知通過一個(gè)截止頻率為mCS-m的理想低通濾波器(H(j)為門)可從FS(j)中取出F(j)，從而獲得f(t)。F(j)0m-mf(t)t0H(j)0C-C理想低通濾波器fS(t)f(t)FS(j)0S-S……mS-mfS(t)t0fS(0)……TS2TS-TS-2TSfS(2TS)F(j)=H(j)FS(j)若TS取1/2fm，且C取m，則上式化為

四、頻域抽樣定理

一個(gè)在(–tm,tm)區(qū)間以外為零的時(shí)限信號f(t)的F(j)，可以唯一地由其在均勻間隔fS

1/2tm上的樣點(diǎn)值F(jnS)唯一確定。因?yàn)楫?dāng)fS=1/2tm時(shí)，頻域中抽樣頻率間隔不大于1/2tm

，則在時(shí)域中波形不會(huì)產(chǎn)生混疊，此時(shí)可以不失真恢復(fù)F(j)?！?–7調(diào)制與解調(diào)

f(t)y(t)cos0t調(diào)制過程g(t)cos0t低通濾波器f(t)解調(diào)過程0m-mF

(j)F

(0)Y(j)00-01/2F

(0)G(j)01/2F

(0)-20201/4F

(0)c低通濾波器調(diào)制解調(diào)1.頻分復(fù)用2.時(shí)分復(fù)用§3–7連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析H(p)f(t)yf(t)H(j)F(j)Yf(j)時(shí)域卷積性質(zhì)時(shí)域：

頻域：

一、基本信號ejt激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則在虛指數(shù)信號ejt(-<t<)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)為：

結(jié)論：e

jt(-

<t<)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，且等于e

jt乘以h(t)的傅里葉變換H(j)(稱為頻域系統(tǒng)函數(shù))二、正弦周期信號Acos(t+)(-<t<)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

結(jié)論：Acos(t+)(-<t<)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含同頻率的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，且振幅為A|H(j)|，初相位為

+

()。

頻域求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法:先求出H(j)，再按上結(jié)論直接寫出正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。三、非正弦周期信號激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

結(jié)論：非正弦周期信號激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含周期性的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與各次諧波正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和)分量四、非周期信號f(t)(-<t<)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

從時(shí)域與頻域的相互關(guān)系已知

i)

由f(t)求F(j)；ii)

由系統(tǒng)頻率為的頻域模型,實(shí)際上是將“Lj,C1/j”的“相量法”,求系統(tǒng)函數(shù)H(j)；iii)

求：

iv)

求：

用頻域法求LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的一般步驟為：+f(t)-i(t)42H4+F(jω)-I(jω)j2ω例：圖示電路解：畫出頻域電路求零狀態(tài)響應(yīng)i(t)五、頻域系統(tǒng)函數(shù)H(j)

1．定義

H(j)的物理意義

1)沖激響應(yīng)h(t)的頻譜密度函數(shù)2)周期激勵(lì)時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)頻譜的加權(quán)函數(shù)1、已知系統(tǒng)電路模型、微分方程或轉(zhuǎn)移算子則有例H(j)的求法：2、已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：例：系統(tǒng)如圖所示，已知激勵(lì)信號的頻譜，試求輸出信號的頻譜H1(jw)H2(jw)解：如對f(t)抽樣，可知奈奎斯特間隔/20七、無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)信號經(jīng)過系統(tǒng)只引起時(shí)間延遲及幅度增減，而形狀不變稱為不失真。如果波形改變則為失真。2．無失真?zhèn)鬏敆l件：|H(j)|0K()0-td八、理想低通濾波器|H(j)|0C-Ck阻帶阻帶通帶阻帶B截止頻率()0-td延時(shí)時(shí)間理想低通的沖激響應(yīng)

頻率特性

t0KC/h(t)td物理上只能近似實(shí)現(xiàn)。理想低通濾波器的傳輸函數(shù)H(j)=G240()求零狀態(tài)響應(yīng)y(t)例：圖示信號處理系統(tǒng)已知解：理想低通濾波器f(t)y(t)H(j)01－100100本章重點(diǎn)掌握1.傅里葉變換包括其定義式和各種性質(zhì)的應(yīng)用;2.抽樣定理3.調(diào)制解調(diào)的過程的理解第四章LTI連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析應(yīng)用傅里葉變換的局限性1、有些信號非絕對可積時(shí)，傅里葉變換就不存在；2、傅里葉反變換是復(fù)變函數(shù)的廣義積分，難以計(jì)算，甚至求不出；

3、用傅里葉變換可求yf(t)，但求不出yx(t)。

解決辦法：引入因子與因果信號f(t)相乘得：絕對可積且滿足荻里赫利條件

f(t)←→F(s)§4–1拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換1．單邊拉普拉斯正變換

2．單邊拉氏反變換

F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)

證明3．雙邊拉普拉斯變換[若f(t)為非因果信號]

二、拉氏變換的收斂域欲F(s)存在，則必須滿足條件：0j0收斂軸收斂域=Re(s)

在s平面上，(0,)為收斂域，(-,0]為非收斂域。

例1．求下列常用單邊信號的拉氏變換及其收斂域

解:

收斂域?yàn)檎麄€(gè)s平面

總之，只要足夠大，F(xiàn)(s)一定存在。收斂域問題不再討論，除非題中特別要求這樣做

三、常見信號的拉氏變換對1、沖激信號2.階躍信號：3.斜坡信號：4、指數(shù)函數(shù)信號5、正冪信號6、余弦信號7、正弦信號§4–2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1、線性特性：2、展縮特性：3、時(shí)移特性：注意：一、拉氏變換的基本性質(zhì)：若f1(t)是fT(t)的第一個(gè)周期[0,T]內(nèi)的信號4、頻移特性：周期信號的拉氏變換：推論：

5、時(shí)域的微分性：7、時(shí)域的積分性：8、復(fù)頻域的積分性：6、復(fù)頻域的微分性：9、時(shí)域卷積