天津大學(xué)管理學(xué)院運籌學(xué)課件九章二節(jié)動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例

第二節(jié)動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例

本節(jié)將通過動態(tài)規(guī)劃的三種應(yīng)用類型——資源分配問題、復(fù)合系統(tǒng)可靠性問題、設(shè)備更新問題，進一步介紹動態(tài)規(guī)劃的特點和處理方法。一、資源分配問題1.問題的一般提法

設(shè)有某種資源，總數(shù)量為a，用于生產(chǎn)n種產(chǎn)品；若分配數(shù)量xi用于生產(chǎn)第i種產(chǎn)品，其收益為gi(xi)。問應(yīng)如何分配，可使總收益最大？2.數(shù)學(xué)規(guī)劃模型模型的特點——變量分離。3.用動態(tài)規(guī)劃方法求解階段k狀態(tài)sk決策xk=1,…,n表示把資源分配給第k種產(chǎn)品的過程；表示在給第k種產(chǎn)品分配之前還剩有的資源量；表示分配給第k種產(chǎn)品的資源量；狀態(tài)轉(zhuǎn)移sk+1=sk-xk；階段指標(biāo)vk指標(biāo)函數(shù)vkn

12S1=ax1x2g1(x1)g2(x2)

nxnsngn(xn)s2s3...例3某公司擬將某種高效設(shè)備5臺分配給所屬甲、乙、丙3廠。各廠獲此設(shè)備后可產(chǎn)生的效益如下表。問應(yīng)如何分配，可使所產(chǎn)生的總效益最大？效益廠設(shè)備臺數(shù)甲乙丙000013542710639111141211125131112解：階段k狀態(tài)sk決策xk=1,2,3依次表示把設(shè)備分配給甲、乙、丙廠的過程；表示在第k階段初還剩有的可分臺數(shù)；表示第k階段分配的設(shè)備臺數(shù)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移sk+1=sk-xk；階段指標(biāo)vk指標(biāo)函數(shù)vk3

問題：本問題是屬于離散型還是屬于連續(xù)型？怎樣解？——離散型，用表格的方式求解。效益廠設(shè)備臺數(shù)甲乙丙000013542710639111141211125131112kSkxkvkvk+fk+1

fk30123450123450461112120+04+06+011+012+012+0046111212012345kSkxkvkvk+fk+1

fk0123452000+000-0

000+4155+051-0

000+6155+421010+0102-0

000+11155+621010+431111+0142-1

000+12155+1121010+631111+441111+0161-32-2

000+12155+1221010+1131111+641111+451111+0212-3kSkxkvkvk+fk+1

fk15012345037912130+213+167+149+1012+513+0210-2-32-2-1最優(yōu)策略：P*13為0-2-3或2-2-1，即分給甲廠0臺、分給乙廠2臺、分給丙廠3臺，或分給甲廠2臺、分給乙廠2臺、分給丙廠1臺。最優(yōu)值：f1=21。可見，最優(yōu)解可以是不唯一的，但最優(yōu)值是唯一的。資源分配問題的應(yīng)用很廣泛，例如：1.某學(xué)生正在備考4門功課，還剩7天時間，每門功課至少復(fù)習(xí)1天。若他已估計出各門功課的復(fù)習(xí)天數(shù)與能提高的分數(shù)之間的關(guān)系，問他應(yīng)怎樣安排復(fù)習(xí)時間可使總的分數(shù)提高最多？2.背包問題：旅行者攜帶的背包中能裝的物品重量為a，現(xiàn)他要從n種物品中挑選若干數(shù)量裝入背包，問他應(yīng)如何挑選可使所帶的物品總價值最大？二、復(fù)合系統(tǒng)工作可靠性問題1.問題的一般提法

設(shè)某工作系統(tǒng)由n個部件串接而成，為提高系統(tǒng)的可靠性，在每個部件上裝有備用件。已知部件i上裝有xi個備用件時，其正常工作的概率為pi(xi)；每個部件i的備用件重量為wi，系統(tǒng)要求總重量不超過W。問應(yīng)如何安排備用件可使系統(tǒng)可靠性最高？串接:122.數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)規(guī)劃劃模型型模型的的特點點——變變量分分離。。3.用用動態(tài)態(tài)規(guī)劃劃方法法求解解12S1=Wx1x2p1(x1)p2(x2)

nxnsnpn(xn)s2s3...階段k狀態(tài)sk決策xk=1,…,n表示安安排第第k個部件件備用用件的的過程程；表示在在給第第k個部件件安排排之前前還剩剩有的的容許許重量量；表示第第k個部件件上安安排的的備用用件數(shù)數(shù)量；；狀態(tài)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移sk+1=sk-wkxk；階段段指指標(biāo)標(biāo)vk指標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)vkn可靠靠性性問問題題的的應(yīng)應(yīng)用用很很廣廣泛泛，，例例如如：：1.某某重重要要的的科科研研攻攻關(guān)關(guān)項項目目正正在在由由3個個課課題題組組以以3種種不不同同的的方方式式進進行行，，各各組組已已估估計計出出失失敗敗的的概概率率。。為為減減少少失失敗敗的的概概率率，，選選派派了了2名名高高級級專專家家去去充充實實科科研研力力量量。。若若可可估估計計出出各各組組增增加加專專家家后后的的失失敗敗概概率率，，問問應(yīng)應(yīng)如如何何分分派派專專家家可可使使總總的的失失敗敗概概率率最最小??？？2.已已知知x1+x2+……+xn=c，求求z=x1x2…xn的最最大大值值。。三、、設(shè)設(shè)備備更更新新問問題題例4某運運輸輸公公司司購購進進一一批批卡卡車車投投入入運運營營，，公公司司每每年年初初需需對卡車作作出更新新或繼續(xù)續(xù)使用的的決定。。假設(shè)第第k年中，rk(tk)表示車齡齡為tk的車使用用一年的的收入，，uk(tk)表示車車齡為tk的車使用一一年的維維修費用用，ck(tk)表示車車齡為tk的車更新新成新車的費用用?，F(xiàn)公公司需制制定一個個10年年計劃，，以決定定如何安安排使10年年的總收收入最大大。12S1=？x1x210x10s10v1v2v10s2…問題：狀狀態(tài)和決決策怎樣樣設(shè)置？？——決決策是更更新與否否，可用用0-1變量表表示；狀狀態(tài)可設(shè)設(shè)為車齡齡。階段k狀態(tài)sk決策xk=1,…,10表示示第k年的決策策過程；；=tk表示第k年的車齡齡；狀態(tài)轉(zhuǎn)移移tk+1=tk+1(1-xk)階段指標(biāo)標(biāo)vk指標(biāo)函數(shù)數(shù)vkn=rk[tk]-uk[tk]-ck(tk)(1-xk)(1-xk)xk四、其他他——隨隨機型問問題舉例例例5某瓷廠接接受訂制制一個瓷瓷瓶的任任務(wù)。瓷瓷瓶用電電爐燒制制。據(jù)技術(shù)分分析估計計，每個個瓷瓶出出爐后的的合格率率為0.5，各各瓶合格格與否相互互獨立（（即一爐爐如裝有有n個瓷瓶，，那么出出爐后都都不合的概率為為0.5n）。制造一個個瓷瓶的的原料費費為100元，，燒一爐爐的費用為300元元?，F(xiàn)因因廠中條條件限制制最多只只能燒3爐，每每爐最多多裝4個瓷瓷瓶。若若3爐的的瓷瓶無無1個合合格，則則因不能能履行合合同而被罰款1600元。試試用動態(tài)態(tài)規(guī)劃方方法確定定一種生生產(chǎn)方案案（即每每爐該裝幾幾個瓷瓶瓶），使使總的期期望成本本為最小小。9、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。14:14:4414:14:4414:1412/23/20222:14:44PM11、以以我我獨獨沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。12月月-2214:14:4414:14Dec-2223-Dec-2212、故人江江海別，，幾度隔隔山川。。。14:14:4414:14:4414:14Friday,December23,202213、乍見見翻疑疑夢，，相悲悲各問問年。。。12月月-2212月月-2214:14:4414:14:44December23,202214、他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生白白發(fā)，，舊國國見青青山。。。23十十二二月20222:14:44下下午14:14:4412月月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。。十二二月月222:14下下午午12月月-2214:14December23,202216、行動出成果果，工作出財財富。。2022/12/2314:14:4514:14:4523December202217、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時時，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點點的的射射線線向向前前。。。。2:14:45下下午午2:14下下午午14:14:4512月月-229、沒有失敗，，只有暫時停停止成功！。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、很多事情努努力了未必有有結(jié)果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。14:14:4514:14:4514:1412/23/20222:14:45PM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點點點小小小努力力的積積累。。。12月月-2214:14:4514:14Dec-2223-Dec-2212、世間間成事事，不不求其其絕對對圓滿滿，留留一份份不足足，可可得無無限完完美。。。14:14:4514:14:4514:14Friday,December23,202213、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。12月-2212月-2214:14:4514:14:45December23,202214、意志堅堅強的人人能把世世界放在在手中像像泥塊一一樣任意意揉捏。。23十十二月20222:14:45下午午14:14:4512月-2215、楚塞塞三湘湘接，，荊門門九派派通。。。。。十二月月222:14下下午午12月月-2214:14December23,202216、少年年十五五二十十時，，步行行奪得得胡馬馬騎。。。2022/12/2314:14:4614:14:4623December202217、空山山新雨雨后，，天氣氣晚來來秋。。。2:14:46下下午2:14下下午午14:14:4612月月-229、楊柳散散和風(fēng)，，青山澹澹吾慮。。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、閱讀一一切好書書如同和和過去最最杰出的的人談話話。14:14:4614:14:4614:1412/23/20222:14:46PM11、越越是是沒沒有