數(shù)學建模-第二章 初等模型課件

初等模型一、公平的席位分配二、劃艇比賽三、人員疏散四、紅綠燈模型一、公平的席位分配1、問題：某學校有3個系共200名學生，其個甲系100名，乙系60名、丙系40名．若學生代表會議設20個席位，公平而又簡單的席位分配辦法是按學生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應占有10、6、4個席位?，F(xiàn)在丙系有6名學生轉(zhuǎn)入甲乙兩系各3名，若仍按比例分配席位，出現(xiàn)小數(shù)按取整原則，重新計算后，甲乙丙三系的席位為10、6、4席?，F(xiàn)在的問題是：因為有20個席位的代表會議在表決提案時可能出現(xiàn)10：10的局面，會議決定下一屆增加1席．他們按照上述方法重新分配席位，計算結(jié)果是：甲乙丙三系的席位為11、7、3席。顯然這個結(jié)果對丙系太不公平了、因為總席位增加1席．而丙系卻由4席減為3席。按比例分配方案的計算結(jié)果

要解決這個問題必須舍棄所謂慣例，找到衡量公平分配席位的指標，并由此建立新的分配方法。系別學生人數(shù)學生人數(shù)的比例（%）20個席位的分配21個席位的分配比例分配的席位參照慣例的結(jié)果比例分配的席位參照慣例的結(jié)果甲10361.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703總和20010020.02021.000212、指標體系的建立（2）不公平程度的衡量：不妨設P1/n1>P2/n2，不公平程度用以下數(shù)值衡量：

絕對標準P1/n1–P2/n2

評價：無法區(qū)分兩種程度明顯不同的不公平情況但常識告訴我們，這種情況的公平席位度比起前面已大為改善。改進：相對標準2、指標體系的建立（3）相對標準的建立（符號假設同上）若：定義為

A相對不公平值若：定義為

B相對不公平值方案原則：使這些指標值盡可能?。?、分配方案的確定假設：

A、B兩方已分別占有n1、n2席，利用相對不公平值rA和rB討論，當總席位增加1席時，應該分配給A還是B？不失一般性可設，即對A不公平．當再分配1個席位時，關于Pi/ni(i＝1，2)的不等式可能有以下3種情況：（1），說明即使A方增加1席，仍然對A

不公平，所以這一席顯然應分給A方。（2），說明當A方增加1席時將變?yōu)閷

不公平，此時對B的相對不公平值為（3），即當B方增加1席時將對A不公平，此時對A的相對不公平值為不可能出現(xiàn)的情況。3、分配方案的確定為什么？4、模型的推廣——Q值法推廣有m方分配席位的情況：設第i方人數(shù)為Pi

，已占有ni個席位，i=1，2，...，m。當總席位增加1席時，計算：

應將這—席分給Q值最大的一方。這種席位分配方法稱Q值法。評論——這種方法公平嗎？Q值所反映的對第i方的不公平程度：記p為總?cè)藬?shù)即p＝∑pi，n為總席位數(shù)，且設第i方席位ni為按人數(shù)比例計算的整數(shù)部分即：于是：

上式兩端分別是增加的1席分給第i方和不分給第i方時，該方每席位所代表的人數(shù)，這兩個值越大，對第i方越不公平。而Qi恰是它們的幾何平均值的平方，故Qi能反映對第i方酌不公平程度，增加的1席應分給Q值最大的一方。初等模型一、公平的席位分配二、劃艇比賽三、人員疏散四、紅綠燈模型二、劃艇比賽問題提出：賽艇是一種靠槳手劃槳前進的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。八人艇還分重量級(槳手平均體重86公斤)和輕量級(平均體重73公斤)。各種艇雖大小不同，但形狀相似．T．A．McMahon比較了各種賽艇1964—1970年四次2000米比賽的最好成績(包括1964年和1968年的兩次奧運會和兩次世界錦標賽)，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當一致的差別，他認為比賽成績與槳手數(shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是建立了一個模型來解釋這種關系。1、數(shù)據(jù)資料各種艇的比賽成績和規(guī)格艇種2000米成績t（分鐘）艇長l（米）艇寬b（米）l/b1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人（重）5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.72、問題分析

賽艇前進時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。艇靠槳手的力量克服阻力保持—定的速度前進。槳手越多劃艇前進的動力越大。但是艇和槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大，于是阻力加大，增加的阻力將抵消一部分增加的動力。建模目的是尋求槳手數(shù)量與比賽成績(航行一定距離所需時間)之間的數(shù)量規(guī)律。3、如何抽象問題假設？（1）如果假設艇速在整個賽程中保持不變，那么只需構(gòu)造一個靜態(tài)模型，使問題簡化為建立槳手數(shù)量與艇速之間的關系。注意到在實際比賽中槳手在極短的時間內(nèi)使艇加速到最大速度，然后把這個速度保持到終點，那么上述假設也是合理的。（2）從表中可以看出，槳手數(shù)n增加時，艇的尺寸l、b及艇重w0都隨之增加，但比值l/b和w0/n變化不大。若

l/b常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒面積與排水體積之間的關系。（3）若假定w0/n是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與槳手數(shù)之間的關系。此外還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關系等方面作出簡化且合理的假定，才能運用合適的物理定律建立需要的模型。5、模型的構(gòu)成（1）有n名槳手的艇的總功率nP與阻力f和速度v的乘積成正比，即：（2）由假設2、3，有：（3）由假設1：各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積s

與艇的某特征尺寸c的平方成正比，則艇排水體積

A必與c的立方成正比，于是有：（4）根據(jù)艇重w0與槳手數(shù)n成正比，所以艇和槳手的總重量w/＝w0+nw也與n成正比(八人艇輕量級組除外)，即：（5）由阿基米德定律，艇排水體積A與總重量w/成正比，即：6、模型比賽成績與速度的關系：速度與人數(shù)、重量及艇浸沒面積的關系：8、模型驗證（1）前面分析的模型：比賽成績與速度的關系：（2）數(shù)據(jù)擬合t與n的模型：初等模型一、公平的席位分配二、劃艇比賽三、人員疏散四、紅綠燈模型2、假設（1）為簡單起見，可設疏散時大家秩序井然地排成單行均勻穩(wěn)定地向外走，則疏散時隊列中人與人之間的距離為常數(shù)，記為d米；（2）設逃離是勻速行進的，速度為v米／秒；3、符號體系d——疏散時人與人的距離v——疏散時人員的行進速度ni+1——第ni個課室的人數(shù)Li——第i個課室門口到第i–1個課室門口的距離t0——疏散時第一個到達教室門口所用的時間4、模型的分析與建立（1）考慮靠近出口的第一個教室內(nèi)人員的疏散。這個教室撤空的時間是：因而該室最后一人到達出口，全部撤離的時間是：（2）其他課室類似考慮6、兩個課室全部撤離所用時間的模型問題：三個課室呢？初等模型一、公平的席位分配二、劃艇比賽三、人員疏散四、紅綠燈模型1、問題

在一個由紅綠燈管理下的十字路口，如果綠燈亮15秒鐘，問最多可有多少汽車通過該交叉路口？2、情況分析

這個問題提得籠統(tǒng)含混，因為交通燈對十字路口的控制方式很復雜，特別是車輛左、右轉(zhuǎn)彎的規(guī)則，不同的國家都不一樣．通過路口的車輛的多少還依賴于路面上汽車的數(shù)量以及它們的行駛的速度和方向。因而這里在一定的假設之下把問題簡化。3、問題假設（1）十字路口的車輛穿行秩序良好，不會發(fā)生阻塞。（2）所有車輛都是直行穿過路口，不拐彎行駛，并且僅考慮馬路一側(cè)或單行線上的車輛。（3）所有的車輛長度相同，為L米，并且都是從靜止狀態(tài)勻加速啟動。（4）紅燈下等待的每相鄰兩輛車之間的距離相等，為D米。（5）前一輛車起動后，下一輛車起動的延遲時間相等，為T秒。4、坐標體系

用x軸表示車輛行駛的道路，原點O表示交通燈的位置，x軸的正向是汽車行駛的方向．以綠燈開始亮為起始時刻。5、定理應用（1）勻速的運動規(guī)律：

其中S1(t)為t時刻汽車在x軸上的位置。（2）城市的最高限速v*，綠燈亮后汽車將起動一直加速到可能的最高速度，并以這個速度向前行駛。（3）第n輛車在t時刻的位置：

其中Sn(0)是啟動前汽車位置，tn是該車啟動時刻有：6、模型建立（1）汽車加速時間：（2）綠燈亮后汽車行駛規(guī)律：等待時間加速期間勻速期間7、問題回答（1）模型參數(shù)：取L=5米，D=2米，T=1秒城市十字路口最高速度：40千米/小時=11.1米/秒（2）一項調(diào)查：大部分司機10秒鐘內(nèi)車子可以由靜止加速到大約26米／秒的速度，即加速度為2.6米/秒2，保守