山東省萊山一中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)( )A．18種 B．36種 C．54種 D．72種2 5二項式 x2的展開式中，常數(shù)項為（ ） x A．B．80 C．D．160600600599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（ ）A．324 B．522 C．535 D．578f(xsin(x)(0,的最小正周期為fxy軸對稱，則f(x

2 6)的單調(diào)遞增區(qū)間( )6A．

k,6

kkZ

B．

k,6

kkZC．

k,kkZ

D．

k,kkZ12

12

6

3 5．若z1(ai（aR，|zA．0或2 B．0

2，則a（ ）C．1或2 D．16．已知集合A{xx13,xZ},BZ|2x則集合B（ ）．,0, ．0, ．,2 ．0,1,f(x)＝sin(wx＋)(w＞02

)的最小正周期是π，若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象6關(guān)于直線x＝2

對稱，則函數(shù)f(x)的解析式為（ ） A．f(x)＝sin(2x＋)3C．f(x)＝sin(2x＋)6

B．f(x)＝sin(2x－)3D．f(x)＝sin(2x－)6已知等差數(shù)列

中，aan 4 6

8aa3

aaa5 6

（）A．10 B．16 C．20 D．24設(shè)a,bR,i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)zabi為純虛數(shù)是“ab0的（ ）充要條件C

必要不充分條件DPτx2a2

y2b2

=1(a>b>0)上，點P在第一象限，點P關(guān)于原點O的對稱點為A，點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，設(shè)PD3PQ，直線AD與橢圓τ的另一個交點為B，若則橢圓τ的離心率e=（ ）41 2A． B．2 2

2

3FFx2y20,b0)

關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點A滿足1 2 a2 b2 2FAOAOF

（O為坐標(biāo)原點，則雙曲線的漸近線方程為（ ）1 1A．y2x B．y 3x C．y 2x D．yx若命題：從有222件得到都是正品的概率為三分之一；命題：在邊長為4的正方形A． B．

內(nèi)任取一點，則C． D．

的概率為，則下列命題是真命題的是（ ）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。(xy)(x2y)4的展開式中，x3y2的系數(shù)為 .1在(x )6的展開式中，常數(shù)項用數(shù)字作)1x在中，已知ABAC2BABC3CACB，則cosC的最小值是 ．

2x2x3

的展開式中x的系數(shù)為 .三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓

x12cos 的參數(shù)方程為：y 32sin（

為參數(shù)，以坐標(biāo)原點為極點，以

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且長度單位相同.求圓C的極坐標(biāo)方程；xtcos若直線l：ytsin（t為參數(shù)）被圓C截得的弦長為2 3，求直線l的傾斜角.18（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.4XX的分布列和數(shù)學(xué)期望.當(dāng)游戲得分為n(n時，游戲停止，記得n分的概率和為QQ1.n 1 2①求Q；2②當(dāng)nN*AQ

1Q,BQ

Q，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列

為等比數(shù)列.n n1 2 n 1

n1 n n n19（12分）已知函數(shù)f(x)f(x的單調(diào)性；

e22

aex2a2x.f(x0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.20（12分）如圖在直角ABC中，B為直角，AB2BC，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，將AEF沿EF折起，ADBDCDM為CD的中點．（Ⅰ）證明：MF面BCD；（Ⅱ）若DEBE，求二面角EMFC的余弦值．21（12分）已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且b2a2c2.bcosA；若ABC的面積S2，b 6，求角C.22（10分﹣ABCDB∥AA＝B＝CA＝PB

13PC 32（Ⅰ）證明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直線AD與平面APC所成角的正弦值．參考答案125601、B【解析】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有C2

36種.4 3B.【點睛】本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】2 5求出二項式

x2x.x 【詳解】2 5

25r r

5r2r解：二項式 x2展開式的通式為T

Cr x2

rCr5rx 2 ， x

r1

5 x 55r2r0，解得r1，2則常數(shù)項為1C125

80.A.【點睛】3、D【解析】60066600.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:，因為436,535,577,348,522,535,578,324,577,，因為

535重復(fù)出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為436,535,577,348,522,578,324,

，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應(yīng)用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】先由函數(shù)f(x)sin(x)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)f(x)sin(x)的解析式，從而得出f(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)f(x)sinx的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)f(x6 6

)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選項.【詳解】f(xsin(x)(0,的最小正周期是，所以22f(xsin2x，2 f(xsin2x個單位長度后得到的函數(shù)解析式為6y y sin2 x+ sin2x+

+， 6 3 π

軸對稱，所以

+ +2kkZ

，所以

，所以

f(x)sin2x ，3 2 2 6 6

所以f(x

6)sin2x

6+6sin2x

6， fx)sinx 2

2k,2k，kZ，22

+2k2x6

2k2

kZ6

kxk3

，kZ，所以函數(shù)f(x6

6

k,3

k（kZ）.D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進(jìn)行圖象的平移時，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.5、A【解析】221a22【詳解】2由于z1(ai（aR，|z2故選：A

，所以

，解得a0或a2.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】弄清集合B的含義，它的元素x來自于集合A，且2x也是集合A的元素.【詳解】因|x1|3，所以2x4，故A又xZ，2xA ，則x0,1,2故集合BD.【點睛】7、D【解析】w2x足條件的的值，即可求得答案.

對稱，得到2

22 3

，由此求得滿2【詳解】分析：由函數(shù)的周期求得ω2，再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線x得滿足條件的φ.詳解：因為函數(shù)fxsinφ的最小正周期是π，2ππ，解得ω2，所以fxsin2xφ，ω

對稱，得到2 φ kπ ，由此求π π π 2 2 3 2π π π π將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后，6

π πysin2x6φsin2xφ

3，x

π對稱，得：π π

2 φ kππ，即φkππkZ，2 3 2 6k0，得φπφπ，6 2所以函數(shù)fx的解析式為fxsin2x

π6，故選D.6【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到y(tǒng)sin(2x)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.38、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到a a4 6

82a5

，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列

中，a an 4 6

82a a 45 5aa3

aa a5 6

5a5

20故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.9、D【解析】結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得a0,b0，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】zabi為純虛數(shù)，則a0,b0，所以ab0，若ab0，不妨設(shè)a1,b0zabi1，不是純虛數(shù)，所以zabi為純虛數(shù)是ab0”的充分不必要條件.故選：D【點睛】10、C【解析】

y 設(shè)Px,y

x,y

，Qx,y

，Dx,

1，設(shè)B

x,y

，根據(jù)PAPB化簡得到3a2

4c2，得到1 1 1 1

1 1 1 2 2 2答案.【詳解】Px,

Ax

，Qx,y，

3 PD PQ，則Dx, 1，設(shè)Bx y ，1 1 1 1 1 1

4 1 2 2 2x2 y2y 1 1 1y

a2 b2則

，兩式相減得到：

xx1 2

xx1 2

1y2

yy1 2 ，x2

y2 a2 b22 2 1a2 b2yy

b2 xx

y yy

y 4yyk 1

2 1 2，k

k ，即

1 1

2，k

1 1 2 ，PB xx1 2

a2 yy1 2

AD AB

4x xx1 1 2

PA x1

xx1 2PAPB，故k kPA PB

1，即4b2a2

1，故3a24c2，故e .323C.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.11、B【解析】先利用對稱得AF

OM，根據(jù)FAO

c，由幾何性質(zhì)可得AFO

60，即MOF

，60，2 1 1 1 1 2從而解得漸近線方程.【詳解】MAF2

AF2

OM，F(xiàn)AAF，1 2因為FAO

FOc，1 1 1 11故而由幾何性質(zhì)可得AFO1

60，即MOF2

60，故漸近線方程為y 3x故選B.【點睛】本題考查了點關(guān)于直線對稱點的知識考查了雙曲線漸近線方程由題意得出MOF 60是解題的關(guān)鍵屬于中檔2題.12、B【解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為 ，即命題是錯誤，則 是正確的在邊長為4的正方形 內(nèi)任取一點，若 的概率為 ，即命題正確的，故由符合命題的真假的判定規(guī)則可得答案 是正確的，應(yīng)選答案。點睛：本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假（含或、且、非等連接詞）452013、16【解析】x3y2的系數(shù)，只要求出二項式(x2y)4x2y2x3y2倍即可【詳解】x3y2的系數(shù)為C2224

C14

216.故答案為：16【點睛】1420【解析】1(x )6的展開式的通項為T Crx62r，取r3計算得到答案.1x r1 6【詳解】1(x )6T1

1rCrx6r Crx62r，取r31r

20.x20.【點睛】

r1 6

x 6 6本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.215、23【解析】分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：bccosA2accosB3abcosC，然后再結(jié)合余弦定理整理為a22b23c2，再由cosC的余弦定理得到a，b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.ABAC2BABC3CACB，可得bccosA2accosBcosC，將角A,B,C的余弦定理代入得2212a2 b2221a22b23c2，由cosCa2b2c2

3 3

，當(dāng)a=b時取到等號，故cosC的最小值為 .2ab 2ab 3 3點睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能正確轉(zhuǎn)化ABAC2BABC3CACB鍵屬于中檔題.16、80.【解析】只需找到(2x2)5展開式中的x4項的系數(shù)即可.【詳解】(2x2)5展開式的通項為T

Cr25r(x2)r(1)rCr25rx2rr2，則T(1)2C2232，3 5

r180x4，故

52x2x3

5的展開式中x的系數(shù)為80.故答案為：80.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，涉及到展開式中的特殊項系數(shù)，考查學(xué)生的計算能力，是一道容易題.37017（）4cos（）或3 6 2【解析】（1）可得圓C的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)

x2y2，xcos，ysin即可得極坐標(biāo)方程（）寫出直線l的極坐標(biāo)方程為，代入圓C的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)的意義列出等式解出即可.【詳解】x12cos

23圓C3y

，消去參數(shù)得：x2 y

4，3即：x2y22x2 3y0，∵3

x2y2，xcos，ysin.∴22cos2 3sin0，4cos. 3 3y ∵直線lxtcosy 3當(dāng)時4cos2 .33 即：cos3

3 332，∴32

或

. 3 6 3 6∴

或π，2 6，∴直線l【點睛】

或.6 2本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程，直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的幾何意義，屬于中檔題.318（）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（）①4

；②證明見解析【解析】X4，5，6，7，8X的分布列和數(shù)學(xué)期望；2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進(jìn)而可求得Q；②得n分分兩2n2n1n3且nN*時，Q 1Q

1Q

AQ

1

可推出A Q

1Q

Q 1

An 2

2 n2

n n1 2 n

n1

n2

2 n1

n1 2 n n nBQ

Q，可推出B Q

Q 1(Q

Q)1

，進(jìn)而可證明數(shù)列B

為等比數(shù)列.

n n1 n

n1

n2

n1

2 n1 n 2 n n【詳解】X4，5，6，7，8.1 1每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為

，反面向上的概率也為，2 211 1 1 1 則P(X4)( )4 ,P(X5)C1( )4 ,P(X6)C2( )4 ，11 1 1 1 2

4 2

4 2 81 1 1 P(X7)C3( )4 ,P(X8)C4( )4 .1 1 1 4 2 4 4 2 16所以變量X的分布列為：XX45678P116143814116XEX41

5163718

16.16 4 8 4 162分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為Q

1 1(

3.2 2 2 4②得n分分兩種情況，第一種為得n2分后拋擲一次正面向上，第二種為得n1分后拋擲一次反面向上，n3nN*時，有Q

1Q

1Q ，n 2 n1 2 n2nN*Q

1Q 1Q，n2

2 n1 2 n1 1 1 1 1所以A Q

Q Q Q Q Q Q

A，n1

n2

2

2 n1 2

2

n1 2 n n故數(shù)列A為常數(shù)列；n1 1 1 1 1 1又B Q

Q Q QQ Q Q (Q Q) B，n1

n2

n1

2 n1 2

n1

2 n1 2

2 n1 n 2 nBQ

Q

31

1，所以數(shù)列

為等比數(shù)列.1 2

4 2 4 n【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.19當(dāng)a0f(x)在(上單調(diào)遞增；當(dāng)a0f(x)在(,ln(2a上單調(diào)遞減，在(ln(2a上 3 12單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x)在(,ln(a))上單調(diào)遞減，在(ln(a),)上單調(diào)遞增2）ae4, .2 【解析】（）對a分三種情況a0,a0,a0討論求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性（）對a分三種情況a0,a0,a0，先求出每f(x).【詳解】（1）f'(x)e2xaex2a2

exa

ex2a ，a0f'(x)e2

0f(x)在(上單調(diào)遞增；a0f'(x0xln(2af'(x)0xln(2a，f(x)在(,ln(2a上單調(diào)遞減，在(ln(2a上單調(diào)遞增；2112a2 b22a0f'(x)0，c

，f'(x)0，xln(a)，a 2a2b2c2∴f(x)在(,ln(a))上單調(diào)遞減，在(ln(a),)上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)a0時，f(x)在(,)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x)在(,ln(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a),)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x)在(,ln(a))上單調(diào)遞減，在(ln(a),)上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：當(dāng)a0時，f(x)e2x0，∴a0成立.1a0f(x)

min

f(ln(2a))

e2ln(2a)aeln(2a)2a2ln(2a)2a2ln(2a)0，2ln(2a)0，∴0a1.21a0f(x)3a2

min

f(ln(a))

e2ln(a)aeln(a)2a2ln(a)2 2a2ln(a)0，2ln(a)

3434ae3434

e4a0. 3 1綜上ae4, . 2【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.320（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ） .33【解析】DBNMNENEFMNEFBEDEEFBDE，EFENMFMNMFCDMF平面BCD．（Ⅱ）EBEEFEDxyz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角EMFC的余弦值．【詳解】（Ⅰ）取DB中點N，連結(jié)MN、EN，1BC，2∵M(jìn)N 1BC，22∴四邊形EFMN是平行四邊形，EFE∵EFBE，EFDE，EFE∴EF平面BDE，EFENMFMNDFFC，又∵M(jìn)為CD的中點，∴MFCD，又∵M(jìn)F MNM，∴MF平面BCD解（Ⅱ）∵DEBE，DEEF，BE∴DE平面BEF，

EFE，EBEEFEDxyz設(shè)BC2，則E0，F(xiàn)0，C0，M1，∴EF，F(xiàn)M1,0,1，CF2,1,0，設(shè)面EMF的法向量mx,y,z，mEFy0則 ，mFMxz0

x1

m同理，得平面CMF的法向量n1,2,1，設(shè)二面角EMFC的平面角為，則cos mnmn

3，3∴二面角EMFC的余弦值為3．3【點睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質(zhì)定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求線面角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題．21（）（）4【解析】利用余弦定理化簡已知條件，由此證得bcosA利用正弦定理化簡tanA2tanC，利用三角形的面積公