離散型隨機變量及其分布列與二項分布及其應用

例1、給出下列A,B,C,D四個表，其中能成為隨機變量X的分布列的是（）A.X012???nP???B.TOC\o"1-5"\h\zX012P0.90250.0950.0025C.X01P0.60.3D.X012???np1指???［解析］分析：本題考查離散型隨機變量分布列的性質.解此類問題，應依照分布列的性質PA0和P+P+?=1求解，不能認為只要0忍i12P^1就行了.解：對于表A,由于248T2”；對于表C,由于0.6+0.3=0.9l+L2+lt（2）2+...+L（^=i-J_<i<1；對于表D,由于3333333甘，故表a、C、D均不能成為隨機變量X的分布列.對于表B,因為0.9025+0.095+0.0025=1，所以應選B.

例2、園林公司種植的樹的成活率為90%.該公司種植的10棵樹中有8棵或8棵以上將成活的概率是什么？從平均的角度來看，該公司種植的10棵樹中將有多少棵成活？［解析］解析：用X表示該公司種植的10棵樹中的成活棵數(shù)，則X?B(10,0.9)，從而這10棵樹中有8棵或8棵以上將成活的概率>8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=CfoxO.9sxO.I2+CfoxO.9?xO.l+C1lJxO.910^0.9298.從平均的角度來看，該公司種植的10棵樹中將成活的棵數(shù)為10X0.9=9(棵).例3、罐中有5個紅球，3個白球，從中每次任取一球后放入一紅球，直到取到紅球為止，用X表示抽取次數(shù)，求X的分布列，并計算P(1VX<3).［解析］解：X=i表示第i次取紅球，前面的次數(shù)都取白球，則:=[)=-,P(X=2)=-x-=—,P(X=y)=-x-x-=—"78832888256/?(^r=4)=-x-x8_3/?(^r=4)=-x-x故分布列為X1234P121256例4、如圖，用A、B、C、D四類不同的元件連接成系統(tǒng)N,當元件A正常工作且元件B、C都正常工作或當元件A正常工作且元件D正常工作時，系統(tǒng)N正常工作.已知元334—\——、—\—件A、B、C、D正常工作的概率依次為3445.求:元件A不正常工作的概率；⑵元件A、B、C都正常工作的概率；(3)系統(tǒng)N正常工作的概率.［解析］分析：(1)A與新為對立事件，兩個概率之和為1,由此可以求解；(2)由于A、B、C三個元件是否正常工作是相互獨立的，由此不難求解；(3)系統(tǒng)N正常工作的前提條件是A正常工作，且B、C正常工作或D正常工作.=—3,pfJ-'i=1__3.元件A、B、C都正常工作的概率2333—,—■—=_P(A?B?C)=P(A)-P(B).P(C)=344名.系統(tǒng)N正常工作可分為A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作兩種情況，前者概率為*，后者的概率為gg+g*134231421147=—t—t—t—+—?—t—?—+—t—t—t—=4453445344530,3773—+=所以系統(tǒng)N正常工作的概率是&迎120.評析：確定事件及事件的性質是解決概率問題的關鍵，本題中ABCD都是相互獨立的，在系統(tǒng)N正常工作中采用了互斥事件求解.例5、某小組有10臺各為7.5kW的機床，如果每臺機床的使用情況是相互獨立的，且每臺機床平均每小時開動12min,則全部機床用電超過48kW的可能性有多大？［解析］分析：明確某一時刻正在工作的機床臺數(shù)X服從二項分布是解題的關鍵.12_1解：由于每臺機床正在工作的概率為6°號，而且每臺機床有“工作”與“不工作”兩種情況，故每一時刻正在工作的機床臺數(shù)X服從二項分布，即X?B(10,弓).55.(k=0,1,2,…，10)根據(jù)題意，48kW可供6臺機床同時工作，用電超過48kW即意味著有7臺或7臺以上的機床在工作，這一事件的概率為P(X>7)=P(X=7)+P(X=B)+P(X=9)+P(X=10)=鞏(子