歐氏幾何的公理體系和我國平面

歐氏幾何的公理體系和我國平面幾何課本的歷史演變張英伯(北京師范大學數(shù)學科學學院100875)1、幾何原本與幾何基礎我們都知道，兩千多年前，古希臘的數(shù)學家歐幾里得寫了一本一著名的書一一《原本》。在古往今來的浩瀚書海中，《原本》用各國文字出版的印數(shù)僅次于《圣經(jīng)》而居世界第一位。我國最早的中譯本是在明朝末年由外國傳教士利瑪竇與我國科學家徐光啟翻譯的，1607年出版，書名定為《幾何原本》。此后，我國出版的各種譯本都沿襲這一名稱。《幾何原本》列出了五條公理與五條公設，并在各章的開頭給出了一系列定義，然后根據(jù)這些定義，公理和公設推導出了465個數(shù)學命題，（按照日前通行的希思英譯本《Euclid'sElexnents》13卷計算，該書的中譯本于1990年出版），其系統(tǒng)之嚴謹，推理之嚴密，令人嘆為觀止。《幾何原本》的內(nèi)容涉及初等數(shù)學的各個領域，包括代數(shù)，數(shù)論，平面幾何，命_體幾何，甚至現(xiàn)代極限概念的雛形，但各部分的表述大都是從圖形出發(fā)的。第一卷講直線形，包括點、線、面、角的概念，三角形，兩條直線的平行與垂直，勾股定理等；第二卷講代數(shù)恒等式，如兩項和的平方，黃金分割；第三卷討論圓、弦、切線等與圓有關的圖形；第四卷的內(nèi)容是圓的內(nèi)接和外切三角形，正方形，內(nèi)接正多邊形（5、10、15邊）的作圖；第五卷是比例論，取材于歐多克索斯（Eudoxus）的公理法，使之適用于一切可公度和不可公度的量；第六卷將比例論應用于平面圖形，研究相似形；第八、九卷是初等數(shù)論，其中給出了輾轉(zhuǎn)相除法，證明了素數(shù)有無窮多；第十卷篇幅最大，占全書的四分之一，主要討論無理量，可以看作是現(xiàn)代極限概念的雛形；第十一卷討論空間的直線與平面；第十二卷證明了圓面積的比等于直徑的平方比，球體積的比等于直徑的立方比，但沒有給出比例常數(shù)；第十三卷詳細研究了五種正多面體。歐幾里得《幾何原本》中的內(nèi)容己在現(xiàn)代中等教育中分成了若干部分，分別歸入平面幾何，代數(shù)，三角，立體幾何。初中平面幾何的內(nèi)容主要取材于《幾何原本》的前六章，大致可以概括為點、線、面角的概念，三角形，兩條直線的位置關系（包括平行，垂直），四邊形，圓，相似形，求圖形的面積這樣幾個部分。在全書的開頭列出的五個公理和五個公設如下。公理適用于數(shù)學的各個領域；（1）等于同量的量彼此相等。(2)等量加等量，其和相等。（3）等量減等量，其差相等。(4)彼此能重合的物體是全等的。(5)整體大于部分。公設適用于幾何部分；（1）由任意一點到任意（另）一點可作直線。(2)一條有限直線可以繼續(xù)延比（3）以任意點為（圓）心及任意距離（為半徑）可以畫圓。(4)凡直角都相等。(5)同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于一直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。當然，按照現(xiàn)代數(shù)學的公理化體系去衡量，《幾何原本》的公理體系不是很完備，比如對點、線、面等原始概念的定義不甚清晰；關聯(lián)，順序，運動，連續(xù)性等方面的公理還有待補充；個別公理欠獨立性一些命題的證明基于公理4的幾何直觀，即；彼此能重合的物體是全等的。也就是說，一個平面圖形可以不改變形狀和大小從一個位置移動到另一個位置。這實際上是不加定義默認了平面的剛體運動。后者在現(xiàn)代數(shù)學中的嚴格定義是平面到自身的保持距離不變的一個映射。1899年數(shù)學泰斗希爾伯特(Hfilbert)出版了他的著作《幾何基礎》，并于30多年間不斷地修訂和精煉，于1930年出了第七版?！稁缀位A》一書給出了點、線、面、關聯(lián)、順序、合同這些原始概念的準確定義，為歐幾里得幾何補充了完整的公理體系。我國數(shù)學界的前輩，將西方數(shù)學基礎的研究引入中國的先驅(qū)，幾何學與數(shù)理邏輯學家，原北京師范大學數(shù)學系主任傅種孫教授于1924年與韓桂叢合作，將《幾何基礎》第一版的英譯本譯成中文，取名《幾何原理》。傅種孫教授不但是一位嚴謹?shù)臄?shù)學家，也是我國歷史上功不可沒的數(shù)學教育家，他一生致力于數(shù)學基礎在我國的啟蒙與普及。在他的主持和影響下，北京師范大學數(shù)學系多年來堅持高標準，嚴要求，為中學輸送了大批優(yōu)秀的數(shù)學教師。傅先生曾親自編寫了平面幾何教科書，于二，三十年代在北京師大附中講授，使聽他講課的學生受益匪淺。其中錢學森，段學復，閔嗣鶴，熊全淹等人在新中國成立后成為數(shù)學界，物理學界的棟梁。1958年江澤涵教授的中譯本《幾何基礎》是根據(jù)第七版的俄譯本和1956年第八版的一些補充譯成的。文革后，征得了江澤涵教授的同意，朱鼎勛教授根據(jù)德文第十二版，對1956年的中譯本進行增補，修訂，于1987年出了《幾何基礎》中譯本第二版。下述引文均出自該版?！稁缀位A》將公理體系分為下述五類。第一類叫做關聯(lián)公理，由兩點確定一條直線；一條直線上至少有兩個點，至少有三個點不在一條直線上，等8個公理組成。第二類叫做順序公理，由下述四個公理組成。（1）若一點B在一點A和一點C之間，則A,B和C是一條直線上的不同的三點，而且B也在C和A之間。（2）對于兩點A和C，直線AC上恒有一點B，使得C在A和B之間。(3)一條直線的任意三點中，至少有一點在其它兩點之間。（4）設A,B和C是不在同一直線上的三點，設a是平面ABC的一直線，但不通過A,B,C這三點中的任一點，若直線a通過線段AB的一點，則它必定也通過線段AC的一點，或BC的一點。由此可以證明（見《幾何基礎》第一章第4節(jié)定理8）；平面上的任意一條直線將該平面上其余的點分為兩個區(qū)域，一個區(qū)域的每一點A和另一區(qū)域的每一點B所確定的線段AB內(nèi)，必含有的一個點，而同一個區(qū)域的任意兩點A和所確定的線段內(nèi)，不含有直線的點。有了這個定理，我們才可以定義平面上直線的同側(cè)或異側(cè)。我們還可以根據(jù)順序公理的前三條，定義直線的一點O將直線分為兩側(cè)；設A、,O和B是一直線上的四點，若O不在點A，之間，稱A，在O的同側(cè)；若O在點A,B之間，稱A,B在O的異側(cè)。因而直線上點O同側(cè)的點的集合，叫做從點O起始的一條射線。第三類是合同公理，（或全等公理）。（1）設A和B是一直線上的兩點，是這直線或另一直線上的一點，而且給定了直線上的一側(cè)。則在上點的這一側(cè)，恒有一點，使得線段AB和線段合同或相等。記作AB=。(2)若=AB，且＝AB，則。（3）關于兩條線段的相加。(4)關于角的合同，（或相等）。(5)若兩個三角形△ABC和△有下列合同式；AB=,，則也恒有合同式，且。此處沒有提BC=，故有別于三角形全等的判定（邊角邊）。并以此為根據(jù)，通過《幾何基礎》第一章第6節(jié)定理28建立了平面的剛體運動。為《幾何原本》中“彼此能夠疊合的物體是全等的”這一事實奠定了公理化基礎。第四類中只有一個公理，即著名的平行公理；設a是一條直線，A是a外的任意一點在a和A所決定的平面上，至多有一條直線通過A，且不和a相交。與《幾何原本》的敘述稍有不同，后者的表述是；兩條直線被第三條直線所截，若某一側(cè)同旁內(nèi)角之和小于兩個直角，則兩直線在該側(cè)相交。第五類是連續(xù)公理，包括阿基米德度量公理和直線的完備性兩條。2、我國平面幾何課本的歷史演變《幾何原本》作為教科書在歐洲講授有1000年以上的歷史，我國最早的中譯本是在400年前明朝末年出版的。那個時代小太重視科學技術，包括當時稱為算學的數(shù)學。雖然在明末清初，包括清朝康熙皇帝在內(nèi)，出現(xiàn)過有一定數(shù)學水準的學者，但一般來講，學習數(shù)學的人還是為數(shù)不多的。隨著清朝末期，英，美，法，德，日，俄等列強對我國的侵略，西方傳教士大量進入中國。他們興辦了各類學堂，即新學，并編譯了一些國外的數(shù)學教科書作為教材。與此同時，清朝各級政府和留洋歸國的有識之士亦陸續(xù)設立了各種新學，較著名的中學有王氏育才書塾，即后來的上海南洋中學，北京五城中學堂，即后來的北京師大附中。這一時期可以看作是我國數(shù)學教育的啟蒙階段。1902年清朝政府正式頒布了欽定學堂章程，于1905年下詔“立停科舉，以廣學校”，建立了初小5年，高小4年，中學5年的洋學制，并正式開始在中學講授平面幾何。由于日本十九世紀后半葉的明治維新運動對我國觸動很大，當時所用課本大都為日本教材的中譯本。數(shù)學教育逐步走上了正軌。辛亥革命后，1912至1922年，民國政府教育部將學堂改為學校，算學改稱數(shù)學，（這一稱謂于三十年代在民間普及），學制改為初小4年，高小3年，中學4年，教育部審定教學用書，平面幾何教材逐步開始使用一些英譯本，如美國人溫德華氏幾何學，和我國自己編的課本，數(shù)學教育的水平己大大提高。1922年，民國政府教育部制定了課程綱要，學制改為小學6年，初中3年，高中3年，平面幾何在初中三年級與高中一年級講授。高中課程為升入大學進行準備，初中綱要己包括了平面幾何的基本內(nèi)容。從三十年代初直到五十年代初，我國很多初中使用3S平面幾何作為教材，作者為美國的Schultz-Sevenoak–Schuyler三位姓氏以S開頭的數(shù)學工作者。這本書可以看作是《幾何原本》中平面幾何部分的改寫本，結(jié)合了中學生的接受能力，體系嚴謹，語言平實。二戰(zhàn)勝利后，經(jīng)過修訂又出了一套新3S平面幾何，由上海中學余元慶老師等人翻譯，一直沿用到50年代初。1949年中華人民共和國成立，我們開始學習蘇聯(lián)。人民教育出版社于五十年代初期出版了自己編寫的平面幾何課本，主編者是己調(diào)到人民教育出版社工作的余元慶老師等，有多人參加編寫，內(nèi)容仍然類比著《幾何原本》。自六十年代初，我國的平面幾何課本在內(nèi)容的編排上有了一些變動，使用了較多的公理，并將平行線部分調(diào)到三角形的前面來講。其中主要的公理有；（1）兩點確定一條直線。(2)兩點間直線段最短。（3)過直線外（或直線上）一點有且僅有一條直線與己知直線垂直。(4)同位角相等，兩直線平行。(5)過直線外一點有且僅有一條直線與己知直線平行。(6)三角形全等的判定；邊角邊，角邊角，邊邊邊。據(jù)有關專家介紹，3S平面幾何強調(diào)了知識的從易到難，目前的幾何課本則強調(diào)了圖形的從簡到繁。編寫基礎教育階段的幾何課本時，最基本的要求是：在保證前因后果的邏輯順序的前提下，在論述難易上應由易到難，在圖形結(jié)構(gòu)上應由簡到繁。遇有命題的論證難以被學生接受，便把這個命題不加證明，暫作公理使用，使得課本中的公理擴大范圍。我國六十年代初至今的初中平面幾何課本就是這樣處理的。1963年的數(shù)學教學大綱明確指出：中學的幾何與作為一門科學的歐式幾何有所不同，不應該也不可能按照嚴格的公理體系來講授。但是，為了使學生更好地掌握系統(tǒng)的幾何知識，并且便于培養(yǎng)他們的推理論證能力，也應該在學生能夠接受的條件下，力求邏輯的嚴謹性。這一階段的課本充分注意到了邏輯的嚴謹性，也注意到了初中生的接受能力。課本逐年進行著改進和完善。1963,1964年發(fā)行的課本己經(jīng)相當不錯。據(jù)說到1966年又有一套更好的課本準備出版使用，卻由于文化大革命的到來而夭折了。改革開放以后，我們的平面幾何課本有時加進視圖，銳角三角函數(shù)（原高一年級三角課本的部分內(nèi)容），直線和圓的方程（原高三年級解析幾何的部分內(nèi)容）。上世紀六十年代至本世紀初，公理體系擴大化的程度以及視圖等內(nèi)容增添的程度隨著政治形勢的變化而時強時弱，其間有些課本亦編得相當精彩。據(jù)說每個定理的敘述，每個例題的選取，都是經(jīng)過若干堂教學實踐，反復推敲定稿的。3、《幾何原本》證明點滴最近幾個月，我瀏覽了自下十年代至今國內(nèi)外的一些初中平面幾何課本。在以講授平面幾何的邏輯體系為宗旨的課本中，都注意到了體系的系統(tǒng)與完整。換言之，都能夠自圓其說。我也讀了一點《幾何原本》和《幾何基礎》；我想對于中學教師或與編寫中學課本有關的老師而言，了解一些歐幾里得和希爾伯特的原始的證法也許是有益的。下面略舉幾例。比如三角形全等的判定“邊角邊”在歐氏幾何中是作為定理如下證明的。（見《幾何原本》第一卷命題4），其中用到了平面圖形可以小改變形狀和大小從一個位置移動到另一個位置。己知；與中，。求證；，且。證明：將與疊合，使落在射線上，C}落在射線上。則由得到落在B上，落在C上。根據(jù)兩點確定一條直線這一公設，與BC疊合。所以，且BC=。在希爾伯特的幾何基礎中，三角形全等的判定“邊角邊”基本上是作為公理給出來的。合同公理的第5條中，只要再加上BC=就是三角形全等的判定“邊角邊”，而BC=是可以證明的，且證明不難（見《幾何基礎》第一章第6節(jié)定理12）。如前所述，合同公理的第5條是用公理化方法建立平面剛體運動的重要依據(jù)（見《幾何基礎》第一章第6節(jié)定理28）。三角形全等的判定定理“角邊角”亦可類似證明，而判定定理“邊邊邊”的證明需要用到等腰三角形的兩底角相等。等腰三角形的這一性質(zhì)定理出現(xiàn)在《幾何原本》第一卷命題5，在歐洲中世紀被戲稱為“驢橋”，那時數(shù)學水平較低，很多學習歐幾里得《原本》的人到這里被卡住，難于理解和接受。在《幾何基礎》中，該性質(zhì)列為第一章第6節(jié)定理11。下述第一種證法基于希爾伯特的定理11。己知；中，。求證；。證明：考察與。因為,所以△ABC△ACB（邊角邊）。根據(jù)全等三角形的對應角相等，得到。第二種證法也許對初學者來說容易一些，己知求證不變。證明將△ABC不改變形狀和大小移動到另一個位置，得到與之全等的△A'B'C'，故。另一方面，因為，，由三角形全等的判定定理邊角邊知。所以。故,(等于同量的量彼此相等)。三角形全等的判定“邊邊邊”在《幾何原本》和《幾何基礎》中都是定理，我們可以用拼合法及等腰三角形的性質(zhì)證明，下述證法與原書略有不同。己知：△ABC與△A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'。求證：△ABC二△A'B'C'。證明：將B'C'與BC疊合，且使與通位于BC的異側(cè)，連接胡，因為AB=A'B',所以。因為AC=A'C',所以，即，由“邊角邊”得△ABC△A'B'C'。（當然更詳細地還需考慮相交線段BC于某個端點或與BC不相交的情況）在《幾何原本》和《幾何基礎》中，“同位角相等，兩直線平行”都是定理，證明方法也十分類似。平行公理只告訴我們過直線外一點至多有一條直線與己知直線不相交，并沒有說這樣的直線是不是真的有。我們把不相交的兩條直線稱為平行線，那么“同位角相等，兩直線平行”保證了這樣的直線一定有。如果把這件事情當作基本事實承認下來，就得到下面對平行公理的表述：過直線外一點有且只有一條直線與己知直線平行。這是在平面幾何課本中流行的表述。下述三角形外角定理對平行線存在性的證明至關重要：三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角（見《幾何原本》第一卷命題16,《幾何基礎》第一章第6節(jié)定理22）。己知；，求證；的外角＞。證明：取AC中點D，連BD并延長到F，使FD=BD，則點F位于內(nèi)。連CF，由于，有△ABD△CFD（邊角邊），這時＜（全體大于部分）。以上是歐幾里得的證法，將射線CF位于內(nèi)部當作直觀的事實。希爾伯特也把這一定理作為平行線存在性的準備，他的證明運用了反證法，避開了射線CF是否位于內(nèi)部的問題。己知，求證同上。證明：如果結(jié)論不成立，則有。。若等號成立，延長BC到E，使CE=AB。再由，,l，有（邊角邊）。這時(全等三角形的對應角相等)。故，即平角。過B,E兩點可以引兩條不重合的直線BAE和BCE,與兩點確定一直線矛盾。如果<，則以AC為一邊，在內(nèi)部作，使的另一邊交線段BC于C}，利用△可同上推出矛盾。定義；同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫平行線。判定定理；同位角相等，兩直線平行(《幾何原本》第一卷命題27,28,《幾何基礎》第一章第7節(jié)定理30)。己知；直線AB,CD與直線L分別相交于M，N兩點，同位角。求證；AB‖CD。證明：如果AB,CD相交于P，則根據(jù)三角形的外角定理，在中，外角＞,與己知矛盾，故AB,CD不相交，AB‖CD。性質(zhì)定理；兩直線平行，同位角相等。(《幾何原本》第一卷命題29,《幾何基礎》第一章第7節(jié)定理30)。己知；直線AB‖CD，直線L分別交AB,CD于點M和點N。求證；同位角。證明：若，過點M作直線與L交成，使，則與AB不重合且‖CD。過M點有兩條直線AB和平行于CD，與平行公理矛盾。4、結(jié)束語我國近百年來數(shù)學教育的一個突出特點是對雙基的重視，也就是說，學生們對基礎知識的把握比較準確，深入，對基本技能的運用比較熟練。我聽過不少數(shù)學家和科技工作者談起他們當年學習平面幾何的體會，認為平面幾何的學習對于他們邏輯思維習慣的養(yǎng)成起了至關重要的作用。記得我六十年代讀初中時，不少同學喜歡做平面幾何題，有時還比著做，覺得挺好玩。那時學生們每天下午有一節(jié)或兩節(jié)自習課，做完功課后沒什么可干的，就做點兒題。四點鐘放學在操場上玩到吃晚飯，晚飯后看看課外書什么的。那時候的數(shù)學課外書不多，更沒有習題集。有一套數(shù)學家為中學生寫的小冊子給那一代喜歡數(shù)學的中學生留下了深刻的印象，現(xiàn)在這套叢書在大陸和臺灣分別再版了。其中有華羅庚的《從楊輝三角談起》，《從祖沖之的圓周率談起》，段學復的《對稱》，吳文俊的《力學在幾何中的一些應用》，姜伯駒的《一筆畫和郵遞路線問題》，龔昇的《從劉徽割圓談起》，史濟懷的《平均》，再版時補充了馮克勤的《費馬猜想》等等