【精品提分練習(xí)】高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)解析25立體幾何中綜合問(wèn)題理含解析90

審定部編版試題審定部編版試題歡迎您下載!歡迎您下載!專題25立體幾何中綜合問(wèn)題考綱解讀明方向考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求[Wjf小例?？碱}型預(yù)測(cè)熱度空間向量及其應(yīng)用①理解直線的方向向量與平面的法向量 ；②能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、 直線與平囿、平囿與半囿的垂直、平行關(guān)系 ；③能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)；④能用向量方法解決直線與直線、 直線與平囿、平囿與平囿的夾角的計(jì)算問(wèn)題 ，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用掌握2017浙江,9;2017課標(biāo)全國(guó)n,19;2017天津，17;2017江蘇,22;2017北京，16;2017浙江,19;2017山東,17;2016課標(biāo)全國(guó)出,19;2016山東，17;2016浙江,17;2015課標(biāo)n,19;2014陜西,17;2013課標(biāo)全國(guó)n,18解答題★★★分析解讀1.能運(yùn)用共線向量、共面向量、空間向量基本定理及有關(guān)結(jié)論證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共面及線線、線面的平彳T與垂直問(wèn)題；會(huì)求線線角、線面角；會(huì)求點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)面距等距離問(wèn)題，從而培養(yǎng)用向量法思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.2.會(huì)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點(diǎn)間距離公式、夾角公式以及相關(guān)結(jié)論解決有關(guān)平行、垂直、長(zhǎng)度、角、距離等問(wèn)題 ，從而培養(yǎng)準(zhǔn)確無(wú)誤的運(yùn)算能力 .3.本節(jié)內(nèi)容在高考中延續(xù)解答題的形式，以多面體為載體，求空間角的命題趨勢(shì)較強(qiáng)，分值約為12分,屬中檔題.2018年圖考全景展不1.【2018年理數(shù)天津卷】如圖，再以/.且AD=2BC _LG),EG/〃W且egaq。口/"行且ca2FG平面再孔%DA=DGD32.平面再孔%DA=DGD32.(I)若MCF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：(II)求一面角的正弦值；(III)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與中回ADG所成的角為能.A回.【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(n)io；(ni)3.60°,求線段DP的長(zhǎng).【解析】分析：依題意，可以建立以3為原點(diǎn)，分別以防jDCf而的方向?yàn)楣ぽS，J?軸，二軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系KI)由題意可得:平面UOF的一個(gè)法向量―W14廠1).又西=(1,-故而■%=>WV#平面CDE.(II)依題意可得平面3CS的一個(gè)法向量?-1),平面3。尸的一個(gè)法向量為“<0,2,1),據(jù)此計(jì)算可得二面角Ed"的正弦固暗(111)設(shè)線段DP的長(zhǎng)為由(/02]).則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(30,弱，結(jié)合空間向量的結(jié)論計(jì)算可得線段DP的長(zhǎng)為斗詳解：依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以DA『"；詳解：依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以DA『"；的方向?yàn)閤軸，y軸,z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得D(0,0,0),A坐標(biāo)系(如圖)，可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,2,1),N(1,C(0,2,0),0,2).(I依題意比=(0,2,0),(I依題意比=(0,2,0),孫(2,年,比=0,0,2).設(shè)n°=(x,v，z)為平面CDE勺法向量，則[門口.”“二0'f々f々二0,12工+27:口、 不妨令z=—1,可得*=(1,0,31).又Mn=(1, 1),可得加一小三°,又因?yàn)橹本€MN平面CDE所以MIN/平面CDE(H)依題意，可得"工=(T,0,0),班=口+(H)依題意，可得"工=(T,0,0),班=口+-2，2)CF=(0-1,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面(n-BC—0,BCE勺法向量，則?f-x=O,

即 ：不妨令z=1,可得n=(0,1,1).設(shè)m=(x,y,z)/=0,r_X=O.為平面BCF勺法向量，則加」"'=0, gp[-y+2z=01 不妨令z，可得m=02,1).因此有cos<mimn_3回 1前 A/10n>=|m|M| 10,于是5%河n>=10所以，二面角e-BC-F的正弦值為1。.(出)設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h(he[0,2]),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,h),可得-2-九).,一一,\BPDC\2|cos<SPDC>|—— =易知，5c=（0,2,0）為平面ADGEJ一個(gè)法向量，故 田川四、好+5,由題意，可? ￡ ￡ 0得/i*+5=sin60。=2,解得h=3e[0,2],所以線段DP的長(zhǎng)為3.點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量的應(yīng)用，線面平行的證明，二面角問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2.【2018年理北京卷】如圖，在三棱柱ABC//。中，。儲(chǔ)1平面ABCD,E,F,G分別為也5,AC百1加，8%的中點(diǎn)，AB=BC后，A（=/14i=2.Ci（I）求證：ACL平面BEF（n）求二面角B-CDC的余弦值；（出）證明：直線FG與平面BCDK交.婷【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）B-CDC的余弦值為 21（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性質(zhì)得GHE,由線面垂直性質(zhì)得71cle孰，由三棱柱性質(zhì)可得EF//C、因此EF1乂。，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論， （2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系 E-ABF,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面BCDL個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求得兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果，（3）根據(jù)平面BCT個(gè)法向量與直線FG方向向量數(shù)量積不為零，可得結(jié)論.詳解：解：（I）在三棱柱ABCABC中，.「（（，平面ABC，四邊形AACC為矩形.又E,F分別為ACAG的中點(diǎn)，..ACLEF..ARBC..ACLBg..ACL平面BEF（II）由（I）知 ACL EF, ACLBE, EF// CC.又CCL平面 ABC EFL平面 ABC???B瓦平面ABC---EF±BE如圖建立空間直角坐稱系 E-xyz.由題意得B（0,2,0）,C（-1,0,0）,D（1,0,1）,F（0,0,2）,G0,2,1）. 0,1）,6= 2,口），設(shè)平面BCD勺法向量為幾=（%人

［凡。。=0 (2a+C=0.?.15占二。，.?.I口十如=。，令a=2,則b=-1,c=-4,.??平面BCD勺法向量”=(2、-L-4),又?.■平TOC\o"1-5"\h\z「nEB J2l一 cosvti*kBA= -r-=—面CDC勺法向量為EH=(O,2,0),.. |川|雨| 21.由圖可得二面角BCDC為鈍角，回所以二面角BCDC的余弦值為 21.(出)平面BCD勺法向量為口=(2，-1，-4),二工(0,2,1),F(0,0,2),.??序二0一Z1)聯(lián)療二r工，內(nèi).與辦不垂直，，GF與平面BCDT平行且不在平面BCCrt,?.GF與平面BCDff交.TOC\o"1-5"\h\z點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型 ^(1)證明線面、面面平行，需車t化為證明線線平行 ^(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直 .(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直 .3.【2018年江蘇卷】如圖，在正三棱柱ABCABC1中，AB=AA=2,點(diǎn)P,Q分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)求異面直線BP與AC所成角的余弦值；(2)求直線CC與平面AQC所成角的正弦值.3x,10小【答案】(1)2。(2)5的夾角，再【解析】分析：(1)先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量

的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果； （2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面 的一個(gè)法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果 ^詳解：如圖，在正三棱柱ABCAiBiCi中，設(shè)ACAG的中點(diǎn)分別為QO,則OBLOCOO±OCOO±OB以｛。氏為基底，建立空間直角坐標(biāo)系 Qxyz.因?yàn)锳B=AA=2,所以私-1,。）網(wǎng)漏0,。爾以周陷。0,50心）.<31 4熄1 告巴亍-/) '*=I一亍- 1=(02?)(1)因?yàn)镻為AiBi的中點(diǎn)，所以 22,從而 22|c網(wǎng)辦園）|=|c網(wǎng)辦園）|=故?前Mi|-1+4|3vT0I辦卜戰(zhàn)/局m20因此，異面直線3v10BP與AC所成角的余弦值為20⑵因?yàn)?。為他的中點(diǎn)，所以。哈今。），因此而二5J嘰福二（022）,至=（002）.設(shè)”仆，J,3）為平面.3的一個(gè)法向量，則餡.:二「喉；熱:不妨取…何”），設(shè)直線CU與平面上。。所成角為3則劭F二|cos（CC;,n）|=胃羽=卷所以直線8］與平面.qQC1所成角的正弦值為點(diǎn)睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的能力 .利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”..【2018年江蘇卷】在平行六面體小營(yíng)⑺-&氏"］中，小^:犯犯.求證：（1）"平面再i/C；平面平面力避。X/ ?【答案】答案見(jiàn)解析【解析】分析：（1）先根據(jù)平行六面體得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論； （2）先根據(jù)條件得菱形ABBA1,再根據(jù)菱形對(duì)角線相互垂直，以及已知垂直條件，利用線面垂直判定定理得線面垂直，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論.詳解：證明：（1）在平行六面體ABCDABGD中，AB//AB.因?yàn)锳B平面ABC,AB|■平面ABC,所以AB//平面ABC.（2）在平行六面體ABCDA1BGD中，四邊形ABBA1為平行四邊形.又因?yàn)锳A=AB,所以四邊形ABBA1為菱形，因此ABLAB.又因?yàn)锳BXBC,BC//B1C,所以ABXBC又因?yàn)锳BABOB,A比平面ABCBC平面ABC所以AB，平面ABC因?yàn)锳B1平面ABBA1,所以平面ABBA"平面ABC點(diǎn)睛：本題可能會(huì)出現(xiàn)對(duì)常見(jiàn)幾何體的結(jié)構(gòu)不熟悉導(dǎo)致幾何體中的位置關(guān)系無(wú)法得到運(yùn)用或者運(yùn)用錯(cuò)誤，如柱體的概念中包含“兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形”，再如菱形對(duì)角線互相垂直的條件，這些條件在解題中都是已知條彳缺少對(duì)這些條件的應(yīng)用可導(dǎo)致無(wú)法證明 ^.【2018年理新課標(biāo)I卷】如圖，四邊形板口為正方形，叮分別為被的的中點(diǎn)，以"為折痕把也小折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFUF.（1）證明：平面FEF_L平面/WFD；（2）求與平面用（2）求與平面用所成角的正弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2） 4.【解析】分析：（1）首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，即 BF，PF,BF±EF,又因?yàn)镻FnEF=F,利用線面垂直的判定定理可以得出 BF，平面PEE又9F匚平面ABFD利用面面垂直的判定定理證得平面 PEFL平面ABFD（2）結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面 ABFD勺法向量，設(shè)DP與3也一HP.由「彳—會(huì)s中日=|； .-|=———平面ABFM成角為日,利用線面角的定義，可以求得 1開(kāi)片?因PI部4,得到結(jié)果.詳解：（1）由已知可得，BFLPF,BFLEF,又PFnEF=F所以BFL平面PEF又HFu平面abfD所以平面PEFL平面ABFDC2）作PHLEF,垂足為出由（D得，平面以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，話的方向?yàn)?y軸正方向"豆I為單位長(zhǎng);建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系月由⑴可得,又DP=L困I，所以丹＞后|分H萬(wàn)I又PFT,EF-2｝故 可得叩=^,EH=5則//（口。0）風(fēng)0。當(dāng)1（—L―二0）,|分H萬(wàn)IHP=（0,0,爭(zhēng)為平面EEFQ的法向量除DP與平面.二所成角為仇貝口n&=I所以DP與平面X3FD所成角的正弦值為,4點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解,屬于常規(guī)題目，在解題的過(guò)程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果；對(duì)于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來(lái)完成，注意相對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系即可 .6.【2018年全國(guó)卷出理】如圖，邊長(zhǎng)為 2的正方形4日心口所在的平面與半圓弧曲所在平面垂直，赭是畫上異于C,a的點(diǎn).(1)證明：平面再M(fèi)。！平面"財(cái)C；(2)當(dāng)三棱錐百斤。體積最大時(shí)，求面與面MCD所成二面角的正弦值.述【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【解析】分析：(1)先證"匚,平面CMD導(dǎo)R心人心M,再證C履1MD,進(jìn)而完成證明。(2)先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出M的位置，求出平面和平面MCD的法向量，進(jìn)而求得平面M八B與平面MCD所成二面角的正弦值。詳解：(1)由題設(shè)知，平面CMDL平面ABC眩線為CD因?yàn)锽dCDB。平面ABCD所以Bd平面CM|MBC，DM因?yàn)镸為C力上異于C,D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMLCM又BCCM=C所以DML平面BMC而DM平面AMD故平面AMD■平面BMC(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，。人的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D-xyz.當(dāng)三棱錐MABC本積最大時(shí)，M為金的中點(diǎn).由題設(shè)得W0.0,。)泅⑵0,。),見(jiàn)2ZO),C(O2O),M(O,I,1),瓶=(-2[1)聞?=(。20)為1=(2乩0),設(shè)m二(叼㈤是平面MAEW去向量，則fn-AM=0,f--hy+z=0,“疝?=0一即(2y=0. 可取n=(lR2).而是平面mcd勺法向量，因此.nDAVS 275 2非國(guó)iM)=--——=—耳,佃浦心=—J—|n||M| : 5,所以面MAEBf面MC哧成二面角的正弦值是 寫.

點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問(wèn)主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題。7.【2018年理數(shù)全國(guó)卷II］如圖，在三棱錐P-九8。中，再B=10c=2%傷，PA=PR=PC=4C=4,◎?yàn)榘恕５闹姓?1)證明：P。，平面AM；(2)若點(diǎn)M在棱日6上，且二面角M-P4-C為那,求與平面以財(cái)所成角的正弦值.【解析】分析：(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC,再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得 PO垂直O(jiān)B,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論， 【解析】分析：(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC,再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得 PO垂直O(jiān)B,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論， (2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面 PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量 PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果詳解：(1)因?yàn)榇?8="=4,0為然的中點(diǎn)，所以0P1AC且0P=2聲AU= =—AC連結(jié)。丑因?yàn)?2，所以△AB。為等腰直角三角形，且0B1AC由川十=P/知PCLOR由。PLOHfOPlAC知P。1平面AHC.(2)如圖，以口為坐標(biāo)原點(diǎn)，面的方向?yàn)橄螺S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系OB=-AC=2

2由已知得。(000中3⑼-Z0)，W2mp(002信9=(02人檢取平面PAC的法向量OB=d0,。).設(shè)Mg-電。)(。<a<2)則4及=@4-口⑼.設(shè)平面PAM的法向量為二區(qū)￥/)由"一w二0/初"二|2y+2y/3z=00得1+C4-Gv=。，可取"(跖-4)回一口)所以一 -4) 國(guó)皿8民力=， -^2=2 I￡蟲(chóng)的5)I=Lg"4)/力十口.由已知得 2.所以2平|。一4|2椒江-4)2+3/+7?.解得口=一且4 ,隊(duì)/虱4、 g◎（舍去）， 3.所以3 3 3.又收=（。2?々?所以' '4.所以PC與平面P/M所成角的正弦值為 .點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破” ：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)” ，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.2017年局考全景展不1.12017課標(biāo)1,理16］如圖，圓形紙片的圓心為Q半彳空為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC勺中心為ODKE、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC△ECA△FAB分別是以BC,CAAB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BCCAAB為折痕折起△DBCAEC/A△FAB使得口E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC勺邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為.【答案】4-.15【解析】試題分析：如下圖，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為 x,則OGu1M^xu^x.3 2 6“sgM,

6【答案】4-.15【解析】試題分析：如下圖，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為 x,則OGu1M^xu^x.3 2 6“sgM,

6SO=h=SG2-GO2=.5-3x, 6二三棱錐的體積V=1sAbch=1x—x2x

3 3 45*I3J5i5金I315.5x4-3x512. 34 35rr 3 534令n(x)=5x--x,則n'(x)=20x x4令n'(x)=0,4x3-x-=0,x=4V3,3Vmax=^548 5T4=4,15.12BFBF【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三棱錐最值問(wèn)題,肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量,利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三棱錐最值問(wèn)題,肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量,利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決2.12017課標(biāo)3,理19］如圖，四面體ABCD3,△ABB正三角形，△AC0直角三角形，/ABB/CBDAB=BDEE(1)證明：平面ACD_平面ABC(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEG巴四面體ABC盼成體積相等的兩部分，求二面角 D-AE-C的余弦值.【答案】(1)證明略;

試題分析：(1)利用題意證得二面角的平面角為 90。，則可得到面面垂直;(2)利用題意求得兩個(gè)半平面的法向量，然后利用公式二面角的夾角公式可求得二面角的余弦值為試題解析：⑴由題謾可得，-乂'助，從而」也二DC又MUD是直角三角形，所以乙MTMO：取r國(guó)］中點(diǎn)5連接吐貝蚊又由于AaBC是正三角形，故BO1AC.所以/DOB為二面角D-JC—B的平面角一在K1Z\ACB中，3。'+一心=43：又AB=6D，所以5。：+。?！?。、心二4爐工￡。：故乙0。8=90：所以平面ACD，平面A3C(2)由題設(shè)及(1)知，OA,OB,OC兩兩垂直，以由題設(shè)及(1)知，OA,OB,OC兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA的方向?yàn)閤軸正方向,OA為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O—xyz.則A(1,0,0)B(0,J3,0),C(—1,0,0),D(0,0,1)1由題設(shè)知，四面體ABCE勺體積為四面體ABCD勺體積的1,從而E到平面ABC勺距離為D到平面ABC勺距2…1 …口(出1)皿離的,，即E為DB的中點(diǎn)，得E0,—,2.故2 I2"AD-'-1,0,1,AC二廣2,0,0,AE=設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE勺法向量，則

可取n=設(shè)m是平面AEC勺法向量，則m|_AC可取n=設(shè)m是平面AEC勺法向量，則m|_AC=0< 向理可信m=(0,—1,J3).m|_AE=0,貝Ucosn,m=nm

n|m.7【考點(diǎn)】二面角的平面角；面面角的向量求法【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算 ^(2)設(shè)mn分別為平面a,3的法向量，則二面角0與<min>互補(bǔ)或相等，故有|cos0|=|cos<mn>|=m.n.mlnmln3.12017山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120口得到的，G是DF的中點(diǎn).(I)設(shè)P是CE上的一點(diǎn)，且AP_LBE,求/CBP的大??；(n)當(dāng)AB=3,AD=2,求二面角E—AG—C的大小.

【答案】(I)ZCBP=30°.(n)60上【解析】試題分析：(I)利用AP_LBE,AB_LBE,證彳導(dǎo)BE_L平面ABP,利用BP仁平面ABP,得到BE_LBP,結(jié)合/EBC=120口可得/CBP.(n)兩種思路，一是幾何法，二是空間向量方法，其中思路一：取EC的中點(diǎn)H,連接EH,GH,CH.得四邊形BEHC為菱形，得到AE=GE=AC=GC=3222=13.取AG中點(diǎn)M,連接EM,CM,EC.得到EM_LAG,CM_LAG,從而/EMC為所求二面角的平面角.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)即得所求的角.思路二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面AEG的一個(gè)法向量m=(x1,y1,z1)平面ACG的一個(gè)法向量n=(x2,y2,z2)計(jì)算cos<m,n>=-mn=-即得.|m||n|2試題解析：(I)因?yàn)锳PIBE,AB_LBE,AB,APU平面ABP,ABAaP=A,所以BE_L平面ABP,又BP仁平面ABP,所以BE_LBP,又NEBC=120］，因此.CBP=30(n)解法一：A取EC的中點(diǎn)H,連接EH,GH,CH.因?yàn)?EBC=120%所以四邊形BEHC為菱形，所以AE=GE=AC=GC=、.3222":石.取AG中點(diǎn)M,連接EM,CM,EC.則EM_LAG,CM_LAG,所以/EMC為所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM=^T3"^=2V3.在&BEC中，由于/EBC=120)由余弦定理得EC2=22+22—2><2M2Mcos120*=12,所以EC=2百，因此&EMC為等邊三角形，故所求的角為60.解法二：0以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得A(0,0,3)E(2,0,0),G(1,代,3),C(-1,73,0),故AE=(2,0,—3),AG=(1,V3,0),CG=(2,0,3),設(shè)m=(x1，y1，zi)是平面AEG的一個(gè)法向量mAE=0 2xi-3zi=0,可得〈rmAG=0 Xi、.3yi=0,取4=2,可得平面AEG的一個(gè)法向量m(3,—J3,2).設(shè)n=(X2,y2,Z2)是平面ACG的一個(gè)法向量.nAG=0x2，3y2=0,由\—可得22 % ,nCG=0 2x23z2=0,取Z2=—2,可得平面ACG的一個(gè)法向量n=(3,—J3,-2).mn1cos:二m,n= 二一|m||n|2因此所求的角為60.【考點(diǎn)】1.垂直關(guān)系.2.空間角的計(jì)算.【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題 .解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化， 通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題， 往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法 .本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等2016年圖考全景展不1.12016高考天津理數(shù)】如圖，正方形 ABCD勺中心為Q四邊形OBE叨矩形，平面OBEF平面ABCD點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.(I)求證：EG/平面ADF(II)求二面角QEFC的正弦值；2(III)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=￡HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.3【答案】(I)詳見(jiàn)解析(n)^3(m)今【解析】試題分析：(I)利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進(jìn)行論證(n)利用空間向量求二面角，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)關(guān)系求正弦值(出)利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系求正弦值.. TTT試題解析：依題意，OF_L平面ABCD,如圖，以O(shè)為點(diǎn)，分別以AD,BA,OF的方向?yàn)閤軸，y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得 O(0,0,0),A-1,1,0,B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).

GG(I)證明：依題意，Ad=(2,0,0),(I)證明：依題意，Ad=(2,0,0),AF=(1,—1,2).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ADF的法向量，則—JniAF=0Q2x=0 …L —T - TT即i .不妨設(shè)z=1,可得ni=(0,2,1),又EG=(0,1,—2),可得EGn=0,又因?yàn)橹本€x-y2z=0EG0平面ADF,所以EG//平面ADF.(ii)解：易證，oA=(—1,1,0)為平面OEF的一個(gè)法向量(ii)解：易證，oA=(—1,1,0)為平面OEF的一個(gè)法向量.依題意，EF=(1,1,0),CF=(—1,1,2.設(shè)，=(x,y,z)為平面CEF的法向量，n2EF=0則-Tn2CF=0xy=0xy .不妨設(shè)-xy2z=0因此有cos：：OA,n電=1,-1,1.因此有cos：：OA,n曰父t<3-C的正弦值是sin<OA,n2k——，所以，二面角O—-C的正弦值3一、2_ 2_ _1 -2r2 24、一(III)解：由 AH=—HF,得AH=—AF .因?yàn)锳F=(1,—1,2),所以AH=—AF =]—,——,一,進(jìn)3 5 5 5 55而有H.一。,~,-I,從而B(niǎo)H=[?,。,"因此cos<BH,n2>= i"2k= .所以，直線BH和1555/ 1555/ BH|n2| 21平面CEF平面CEF所成角的正弦值為721考點(diǎn)：利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題2.【2016年高考北京理數(shù)】(本小題14分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,PA_LPD,PA=PD,AB_LAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求證：PD_L平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM//平面PCD?若存在，求公業(yè)的值；若不存在，說(shuō)明理由.AP【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)Y3；(3)存在，JAM=13 AP4【解析】試題分析：(1)由面面垂直性質(zhì)定理知AB，平面PAD;根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知AB_LPD,再由線面垂直判定定理可知PD_L平面PAB;(2)取AD的中點(diǎn)O,連結(jié)PO,CO,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)假設(shè)存在，根據(jù)A,P,AMM三點(diǎn)共線，設(shè)AM=，uAP,根據(jù)BM//平面PCD，即BMn=0,求九的值，即可求出CM的值.AP試題解析：(1)因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,AB-LAD,所以AB_L平面PAD,所以AB-LPD,又因?yàn)镻A_LPD,所以PD_L平面PAB;(2)取AD的中點(diǎn)O,連結(jié)PO,CO,因?yàn)镻A=PD,所以PO.LAD.又因?yàn)镻OU平面PAD,平面PAD_L平面ABCD,所以PO_L平面ABCD.因?yàn)镃Ou平面ABCD,所以PO_LCO.

因?yàn)锳C=CD，所以CO_LAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz,由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則?把=0?把=0，即nPC=0,_y_z=0,2x-z=0,令z=2,令z=2,則x=1,y=—2所以n=(1,-2,2).又PB=(1,1,-1),所以cos<n,PB>=又PB=(1,1,-1),所以cos<n,PB>=nPBn|PB一3~3D/03所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為—3(3)設(shè)M是^^PA(3)設(shè)M是^^PA上一點(diǎn)，則存在九修0,1］使得am=ZAP因此點(diǎn)M(0,1一■,),BM=(-1,—■,■).因?yàn)锽M0平面PCD,所以BM//平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)BMr i1即(—1,—%九)(1,—2,2)=0,解得h=—4所以在棱PA上存在點(diǎn)所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM//平面PCD,此時(shí)AM1AP考點(diǎn)：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計(jì)算；3.空間向量的運(yùn)用.【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直 （必要時(shí)可以通過(guò)平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系），構(gòu)造（尋找）二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等 .3.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）1如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD//BC,/ADCNPAB=90,BC=CD!AD,E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°.（I）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM/平面PBE,并說(shuō)明理由；（n）若二面角P-CD-A的大小為45°