一元二次方程的解法教案

文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.學(xué)生： 科目： 年級：教師： 時間：2013年月—日課題教學(xué)目標(biāo)1,初步掌握用直接開平方法解一元二次方程， 會用直接開平方法解形如（1一1>=8色2°）的方程；.初步掌握用配方法解一元二次方程，會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；.掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)，能夠運用求根公式解一元二次方程；.會用因式分解法解某些一元二次方程。.通過對一元二次方程解法的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步理解“降次”的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步獲得對事物可以轉(zhuǎn)化的認(rèn)識。重難點重點：一元二次方程的四種解法。難點：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏健⒔滩姆治?' 接開平方法公式法（配方法，公式法.知識結(jié)構(gòu)：-元二次方程的解法[因式分解法.重點、難點分析（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方， 另一邊是一個非負(fù)數(shù)，或完全平方式，如方程婷=27,3-時=1和方程0]-4了=〔法+笏。就可以直接開平方法求解，在開平方時注意取正、負(fù)兩個平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為（x+^=w的形式來求解。配方時要注意把二次項系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方這兩個關(guān)鍵步驟。-占士Jb"-4即(2)熟記求根公式x-五 (川-4蛇20)和公式中字母的意義在使用求根公式時要注意以下三點：1)把方程化為一般形式，并做到高、6、白之間沒有公因數(shù)，且二次項系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計算較為簡便。2)把一元二次方程的各項系數(shù)厘、5、已代入公式時，注意它們的符號3)當(dāng)川-4qC0時，才能求出方程的兩根。(3)抓住方程特點，選用因式分解法解一元二次方程如果一個一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式分解法求解。這時只要使每個一次因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到兩個根就是一元二次方程的解。我們共學(xué)習(xí)了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時，要認(rèn)真觀察方程的特征，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?。二、教法建議.教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成， 啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)..注意培養(yǎng)應(yīng)用意識.教學(xué)中應(yīng)不失時機(jī)地使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于實踐并反作用于實踐.一復(fù)習(xí).完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的？(注意aw0).不完全一元二次方程的哪幾種形式？(答:只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(aw0)).對于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0(aw0)和ax2+c=0(aw0),我們已經(jīng)學(xué)會了它們的解法。特別是結(jié)合換元法，我們還會解形如(x+m)2=n(n>0)的方程。例 解方程：(x-3)2=4(讓學(xué)生說出過程)。解：方程兩邊開方，得x-3=±2,移項，得 x二3±2。所以xi=5,x2=1. (并代回原方程檢驗，是不是根).其實（x-3）2=4是一個完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為元二次方程。（把這個展開過程寫在黑板上）(x-3)2=4,x2-6x+9=4, ②x2-6x+5=0. ③二新課.逆向思維我們把上述由方程①一方程②一方程③的變形逆轉(zhuǎn)過來， 可以發(fā)現(xiàn)，對于一個完全的一元二次方程，不妨試試把它轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n的形式。這個轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是在方程左端構(gòu)造出一個未知數(shù)的一次式的完全平方式 （x+m）2o.通過觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律問：在x2+2x上添加一個什么數(shù)，能成為一個完全平方（x+?）2。 （添一項+1）即（x2+2x+1）=（x+1）2.練習(xí)，填空：x2+4x+（）=（x+ ）2； y2+6y+（）=（y+ ）2.算理x2+4x=2x-2 ,所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3,所以添3的平方?？偨Y(jié)規(guī)律：對于x2+px,再添上一次項系數(shù)一半的平方，就能配出一個含未知px（―）3=X+—數(shù)的一個次式的完全平方式。即k.+. 2 （ 2）口④（讓學(xué)生對④式的右邊展開，體會括號內(nèi)第一項與第二項乘積的 2倍,恰是左邊的一次項，括號內(nèi)第二項的平方，恰是配方時所添的常數(shù)項 ）項周練習(xí)（填空配方）

尸］（孥*邊境;,耳邊為配,［尸）* w）=<x+ ）2;（答，左遢M乜市邊為"十號產(chǎn)）lu 4）:（l （軍/以瞋總右ii為（h產(chǎn)））=E+汽修：在邊境I■，有地為（尸尋））J總之，左邊的常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方。問：如果左邊的一次項系數(shù)是負(fù)數(shù)，那么右邊括號里第二項的正負(fù)號怎么?。克憷硎鞘裁?？鞏固練習(xí)（填空配方）x2-bx+( )=(x- )x2-(m+n)x+( )=(x- )2.擴(kuò)展資料

配方法在解題中的應(yīng)用河北省正定中學(xué)趙建勛配方是數(shù)學(xué)中的一個重要方法，在解題中有廣泛的應(yīng)用.本文通過例題談?wù)勊囊恍?yīng)用.、應(yīng)用于因式分解例1分解因式x4+4.解配方，得原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).例2分解因式a2-4ab+3b2-2bc-c2.解原式=(a2-4ab+4b2)-(b2+2bc+c2)=(a-2b)2-(b+c)2=(a-b+c)(a-3b-c).、應(yīng)用于解方程例3解方程3x2+4y2-12x-8y+16=0.解分別對x、y配方，得3(x2-4x+4)+4(y2-2y+1)=0,3(x-2)2+4(y-1)2=0.由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得例4解方程(x2+2)(y2+4)(z2+8)=64xyz(x、y、z均是正實數(shù))解原方程變形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0各自配方，得(xyz-8)2+2(4x-yz)2+4(2y-xz)2+8(z-xy)2=0由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得運用配方法可為應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造條件，解題中應(yīng)注意掌握.三、應(yīng)用于求二次函數(shù)的最值例5已知x是實數(shù)，求y=x2-4x+5的最小值解由配方，得y=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1x是實數(shù)，(x-2)2>0,當(dāng)x-2=0,即x=2時，y最小，y最小=1.例6已知二次函數(shù)y=x2-6x+c的圖象的頂點與坐標(biāo)原點的距離等于5,求c的化解因為y=x2-6x+c=x2-6x+9-9+c=(x-3)2+c-9,所以這個二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(3,c-9),它與坐標(biāo)原點的距離是十(c-9尸-5,由止解鼠=5或四、應(yīng)用于求代數(shù)式的值例7己知7*;二軟―盧G，求資「的值.X+X+1 X+X+1v +7T+1解因為中？=式科?！?所以r-T即"二廣本題聯(lián)合應(yīng)用了倒數(shù)法和配方法使問題得解.倒數(shù)法是一種解題技巧，解題時注意應(yīng)用.例8如果「4孤-2b+5=。，求，石二的值,《3b-2赤解由已知條件，分別對a、b配方，得(a2-4a+4)+(b2-2b+1)=0,(a-2)2+(b-1)2=0.由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得a-2=0,b-1=0...a=2,b=1..Va+b41+1，叵+1 V2十】-■■/3b-2-../a J"2點 J(/2- 點-I=(72+1)2=3+2點五、判定幾何圖形的形狀例9已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,判定△ABO正三角形.證明由已知等式兩邊乘以2,得2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,拆項、配方，得(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)=0,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.由實數(shù)的性質(zhì)，得a-b=0,b-c=0,c-a=0,?.a=b,b=c,c=a,a=b=c.故△ABCg等邊三角形.習(xí)題精選用開平方法解一元二次方程一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z.方程次=1的解為（ ）十1 4冊X=±~ X-± A. 2 B. 2D.a=72

2.方程2--0」5=。的解為（ ）- x=~-^―-^30A.1? B. 2：c .一D.=回

""20~7503 20TOC\o"1-5"\h\z.方程V=1的實數(shù)根的個數(shù)是（ ）A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個.方程（工+2尸-3=0的根是（ ）A,匚：：「''二」-1''公=2+丑與=-2+/D.C.匚一一，一?；.-D.玉=-24聒馬=-2一招.對于形如（工+附＞=厘的方程，它的解的正確表達(dá)式為（A,都可以用直接開平方法求解，且■ -B.當(dāng)用20時，直口陽乜加C.當(dāng)在之。時，x=D.當(dāng)在之。時，x=二、填空題6.若以工-16=0,則t的值是7,若方程（l=）、&=0有解，則&的取值范圍是—8.方程為二二72的解為。答案

1.B2.D3.C由,=1,得五=±1.范+2=±矽，大=-2斗屈與=-2一招5.C...x--m±^4.D.("2-=3,當(dāng)履之。時，kH器,用配方法解一元二次方程1.用配方法解下列方程/ -2." --.X2-b—X--4.D.("2-=3,當(dāng)履之。時，kH器,用配方法解一元二次方程1.用配方法解下列方程/ -2." --.X2-b—X--=0(3) :「—+(4)--2岳+1=02.用配方法將下列各式化成"0-內(nèi)/,后的形式(1)一二二一x-—+12(4)以?助+4口=0)凝=1+-底第=1-展'』'；=-3(x+-)2+-(1)原式3 3；_2. L349——[V十一) (3)原式W J24；用公式法解一元二次方程(4)尤二旭±1。-M3一(工一)十一(2)原式4 4；,b、飛-b1"加十—)+ (4)原式為 4口、選擇題1.用公式法解方程4”3=3,得到( )

3±爬A.B.-3±爬A.B.-3±2#x= 3+273C.D.C.2.方程（岳;+1）工=（，^-2）聲近化簡整理后，寫成出爐』如4”。的形式,2.其中曲瓦匚分別是（A.解答題3.用公式法解下列方程(1)(2)的+8)?16；-—^-3tt+6=03.用公式法解下列方程(1)(2)的+8)?16；-—^-3tt+6=0-0一。9才-0_2?斗?！?0；4/-3+盼”=。一"二一54.5.(1)（2）5.(1)（2）占-2,馬小TOC\o"1-5"\h\z3 41 15（3）12 2 7; （4）16 —.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于工的方程1. ：-2一二二一;一； ' .1 1-」—一二：■'：'.答案m■逑r■二“虧’% —（用直接開平方法）=」=_1々-1"-3（因式分解法），-1勺=均=--. 一f=1.“'萬短（提示：（稱-2）5-茄）?。）解含有字母系數(shù)的一元二次方程解關(guān)于或的方程附?-3工+1=0.答案：1當(dāng)明=0時，或=三；9 3+Jg-4- 3—Jg-4-當(dāng)明4K且端H0時，/立，嗎2m;9當(dāng)明＞K時，方程無實根.典型例題1—5例1用直接開平方法解下列方程41-255=0分析用直接開平方法解方程，要先將方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)常數(shù)的形式，再根據(jù)平方根的定義求解.解：移項得：一」一：將方程各項都除以4得：6-V或是64的平方根.?? ，了?一,「：例2用直接開平方法解下列方程。同”1產(chǎn)■庖解：,一1(x-1)2=3(A--1)2=+3x=113+■1-匚一，一點撥：對于無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程解法同有理數(shù)一樣，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡。例3用配方法解方程1-61-19=0解：移項得：1-6工二19配方得：—Y十一 ?：解這個方程-：1 '''點撥：配方法是解一元二次方程的重要方法，是導(dǎo)出求根公式的關(guān)鍵.熟練掌握完全平方式是用配方法解題的基礎(chǔ).對于二次項系數(shù)是1的方程，在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即可完成配方.例4用配方法解方程：3x2-4a—2分析因為二次項系數(shù)不為1,所以要先將方程各項同時除以二次項系數(shù)后，再配方.解：方程兩邊同除以3TOC\o"1-5"\h\za 4 2x--X=—7日 3 3行 - -方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方2十局 2-^10苞=出口出廣一；一-一,是配方法的點撥：“方程兩邊同時加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方”這一步關(guān)鍵，”將二次項系數(shù)化為1”是進(jìn)行這一關(guān)鍵步驟的重要前提,是配方法的例1用公式法解方程-5/=4^-1解：移項得：二/:一」V11 ?.一1，一叱-11一-4+4^-4±6工- - ???二一1.“-1例5用公式法解方程7f=llx移項得：一L_-ia-4^=(-ll)3-4x7x0=121>0

_-(-11)*7121=11+11142x71411勺二〒/點撥：用公式法解

（2）確定出右,二次方程的一般步驟： （點撥：用公式法解

（2）確定出右,白的值；（3）求出川-4面的值（或代數(shù)式）；（4）若叢-4四20,則可用求根公式求出方程的解，這樣可以減少許多不必要的計算另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的次方程.典型例題6-10例6用因式分解法解下列方程。2艮=y+13解：移項得：2/->-15=0把方程左邊因式分解得：'■U;，.??2K5?。或f-3?U/i點撥：在用因式分解法解一元二次方程時，一定要注意，把方程整理為一般式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式都為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了。例7用因式分解法解下列方程6噩之43后v=2JLr+&解：把方程左邊因式分解為：（2工+幣）0x-值）=U...2/彩=0或3jt-而=0均""一?工二"一點撥：對于無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，若左邊可分解為一次因式積的形式，均可用因式分解法求出方程的解。3 1⑵-3 1⑵-；(1)2爐-510；(3)(5)身工-7"4=0(用配方法)解：(1)移項，得方程兩邊都除以2,得解這個方程，得X=±—Jw2即/=：而丐=-一，1(2)展開，整理，得4x3十工三0.方程可變形為M4M1)?。(3)展開，整理，得方程可變形為4方程可變形為4犬―16"15三。（2r-次2T-5）-口

口或2才-5=03 5一，/=-232(4); , 「一--一：一”上旦立■里邁北國我2x1(5)移項，得3--7工=4方程各項都除以3,得配方，得37 『心 』『工丈一一工十(一一)=)3 ‘6‘ 3 6'解這個方程，得點撥：當(dāng)一元二次方程本身特征不明顯時，需先將方程化為一般形式以-+d=0（口HQ）,若由=0,a、c異號時，可用直接開平方法求解，如（1）題.若口H。，8=0,0=0時，可用因式分解法求解，如（2）題.若a、b、c均不為零，有的可用因式分解法求解，如（3）題；有的可用公式法求解，如（4）題.配方法做為一種重要的數(shù)學(xué)方法也應(yīng)掌握，如（5）題.而有些一元二次方程有較明顯特征時，不一定都要化成一般形式，如方程5-3），-4=°可用直接開平方法或因式分