離散型隨機變量的概率分布

鹽阜路學習中心YanfuRdLearningCenter我要去看得更遠的地方第24頁共24頁離散型隨機變量的概率分布1．離散型隨機變量的概率分布(2)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機變量X的概率分布表，具有如下性質(zhì)：①pi________0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝________.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的_____________．X01P1－pp2．兩點分布如果隨機變量X的概率分布表為其中0<p<1，3．超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))(r＝0,1,2，…，l)．即X01…lPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(l,M)C\o\al(n－l,N－M),C\o\al(n,N))其中l(wèi)＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一個隨機變量X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布．題型一離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)例1設(shè)隨機變量X的概率分布為P(X＝eq\f(k,5))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求P(X≥eq\f(3,5))；(3)求P(eq\f(1,10)<X≤eq\f(7,10))．設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的概率分布；(2)|X－1|的概率分布．題型二離散型隨機變量概率分布的求法命題點1與排列組合有關(guān)的概率分布的求法例2(2015·重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個．(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求X的概率分布．例3某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率．(1)求當天商店不進貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的概率分布．例4(2014·安徽改編)甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，各局比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的概率分布．(1)4支圓珠筆標價分別為10元、20元、30元、40元．①從中任取一支，求其標價X的概率分布；②從中任取兩支，若以Y表示取到的圓珠筆的最高標價，求Y的概率分布．(2)(2015·安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．①求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；②已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的概率分布．題型三超幾何分布例5一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是eq\f(7,9).(1)求白球的個數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布．(2015·天津改編)為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的概率分布．典例(14分)盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個．第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球(假設(shè)取到每個球的可能性都相同)．記第一次與第二次取得球的標號之和為ξ.求隨機變量ξ的可能取值及其概率分布．A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：40分鐘)1．一只袋內(nèi)裝有m個白球，n－m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是________．①P(X＝3)②P(X≥2)③P(X≤3)④P(X＝2)答案④解析由超幾何分布知P(X＝2)＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).2．隨機變量ξ的所有可能的取值為1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，則a值為________．答案eq\f(1,55)解析∵隨機變量ξ的所有可能的取值為1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝eq\f(1,55).3．隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))的值為________．答案eq\f(5,6)解析∵P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4)，∴P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).4．從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是________．答案eq\f(12,35)解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35).5．設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y＝|X－2|，則P(Y＝2)＝________.答案0.5解析由概率分布的性質(zhì)，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.6．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則X的所有可能取值是________．答案－1,0,1,2,3解析X＝－1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個題目都答錯了，X＝0，甲沒搶到題，乙搶到題目答錯至少2個題或甲搶到2題，但答時一對一錯，而乙答錯一個題目，X＝1，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且1錯2對，X＝2，甲搶到2題均答對，X＝3，甲搶到3題均答對．7．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.答案eq\f(13,35)解析P(ξ≤6)＝P(取到3只紅球1只黑球)＋P(取到4只紅球)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).8．某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球．顧客不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵．(1)求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率；(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的概率分布．解(1)設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件A，則P(A)＝eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,4)，故1名顧客摸球3次停止摸球的概率為eq\f(1,4).(2)隨機變量X的所有取值為0,5,10,15,20.P(X＝0)＝eq\f(1,4)，P(X＝5)＝eq\f(2,A\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝10)＝eq\f(1,A\o\al(2,4))＋eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝15)＝eq\f(C\o\al(1,2)·A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝20)＝eq\f(A\o\al(3,3),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以，隨機變量X的概率分布為X05101520Peq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,4)B組專項能力提升(時間：30分鐘)9．從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，則隨機變量X的概率分布為________．答案X012P0.10.60.3解析∵X的所有可能取值為0,1,2，∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝0.6，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3.∴X的概率分布為X012P0.10.60.310.已知隨機變量ξ只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________．答案(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3))解析設(shè)ξ取x1，x2，x3時的概率分別為a－d，a，a＋d，則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d>0，,\f(1,3)＋d>0，))得－eq\f(1,3)<d<eq\f(1,3).11．在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)η的概率分布為_____________________．答案η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)解析∵η的所有可能值為0,1,2.P(η＝0)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)×2,C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的概率分布為η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)12．盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球．規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分．現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球．(1)求取出的3個球中至少有1個紅球的概率；(2)求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；(3)設(shè)ξ為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求ξ的概率分布．解(1)P＝1－eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(7,12).(2)記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,9))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,42).(3)ξ可能的取值為0,1,2,3，ξ服從超幾何分布，所以P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,9))，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(15,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,84).所以ξ的概率分布為ξ0123Peq\f(5,21)eq\f(15,28)eq\f(3,14)eq\f(1,84)13.已知甲箱中只放有x個紅球與y個白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2個紅球、1個白球與1個黑球(球除顏色外，無其他區(qū)別)．若從甲箱中任取2個球，從乙箱中任取1個球．(1)記取出的3個球的顏色全不相同的概率為P，求當P取得最大值時x，y的值；(2)當x＝2時，求取出的3個球中紅球個數(shù)ξ的概率分布．解(1)由題意知P＝eq\f(C\o\al(1,x)C\o\al(1,y)C\o\al(1,1),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(xy,60)≤eq\f(1,60)(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(3,20)，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，所以，當P取得最大值時x＝y(tǒng)＝3.(2)當x＝2時，即甲箱中有2個紅球與4個白球，所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3.則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,30)，所以紅球個數(shù)ξ的概率分布為ξ0123Peq\f(1,5)eq\f(7,15)eq\f(3,10)eq\f(1,30)

1．離散型隨機變量的概率分布(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機變量；所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量．(2)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機變量X的概率分布表，具有如下性質(zhì)：①pi__≥__0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．2．兩點分布如果隨機變量X的概率分布表為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從兩點分布．3．超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))(r＝0,1,2，…，l)．即X01…lPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(l,M)C\o\al(n－l,N－M),C\o\al(n,N))其中l(wèi)＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一個隨機變量X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布．【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量．(√)(2)離散型隨機變量的概率分布描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象．(√)(3)某人射擊時命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布．(×)(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(√)(5)離散型隨機變量的概率分布中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(×)(6)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是________．①至少取到1個白球；②至多取到1個白球；③取到白球的個數(shù)；④取到的球的個數(shù)．答案③解析①②表述的都是隨機事件，④是確定的值2，并不隨機；③是隨機變量，可能取值為0,1,2.2．(教材改編)從標有1～10的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機變量X可能取得的值有________個．答案17解析X可能取得的值有3,4,5，…，19共17個．3．隨機變量X的概率分布如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________.答案eq\f(2,3)解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).4．隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，則n＝________.答案10解析P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝eq\f(3,n)＝0.3，得n＝10.5．(教材改編)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X＝4)的值為______．答案eq\f(27,220)解析由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).題型一離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)例1設(shè)隨機變量X的概率分布為P(X＝eq\f(k,5))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求P(X≥eq\f(3,5))；(3)求P(eq\f(1,10)<X≤eq\f(7,10))．解(1)由概率分布的性質(zhì)，得P(X＝eq\f(1,5))＋P(X＝eq\f(2,5))＋P(X＝eq\f(3,5))＋P(X＝eq\f(4,5))＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝eq\f(1,15).(2)P(X≥eq\f(3,5))＝P(X＝eq\f(3,5))＋P(X＝eq\f(4,5))＋P(X＝1)＝3×eq\f(1,15)＋4×eq\f(1,15)＋5×eq\f(1,15)＝eq\f(4,5).(3)P(eq\f(1,10)<X≤eq\f(7,10))＝P(X＝eq\f(1,5))＋P(X＝eq\f(2,5))＋P(X＝eq\f(3,5))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).思維升華(1)利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)．(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)概率分布，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的概率分布；(2)|X－1|的概率分布．解由概率分布的性質(zhì)知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579|X－1|10123從而由上表得兩個概率分布為(1)2X＋1的概率分布2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的概率分布|X－1|0123P0.10.30.30.3題型二離散型隨機變量概率分布的求法命題點1與排列組合有關(guān)的概率分布的求法例2(2015·重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個．(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求X的概率分布．解(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).綜上知，X的概率分布為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)命題點2與互斥事件有關(guān)的概率分布的求法例3某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率．(1)求當天商店不進貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的概率分布．解(1)P(當天商店不進貨)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由題意知，X的可能取值為2,3.P(X＝2)＝P(當天商品銷售量為1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為2件)＋P(當天商品銷售量為3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的概率分布為X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)命題點3與獨立事件(或獨立重復試驗)有關(guān)的概率分布的求法例4(2014·安徽改編)甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，各局比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的概率分布．解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”．則P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(Bk)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(56,81).(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq\f(8,81).故X的概率分布為X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)思維升華求離散型隨機變量X的概率分布的步驟：①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；②求X取每個值的概率；③寫出X的概率分布．求離散型隨機變量的概率分布的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識．(1)4支圓珠筆標價分別為10元、20元、30元、40元．①從中任取一支，求其標價X的概率分布；②從中任取兩支，若以Y表示取到的圓珠筆的最高標價，求Y的概率分布．解①X的可能取值分別為10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的概率分布為X10203040Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)②根據(jù)題意，Y的可能取值為20,30,40，且P(Y＝20)＝eq\f(1,C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(Y＝30)＝eq\f(2,C\o\al(2,4))＝eq\f(1,3)，P(Y＝40)＝eq\f(3,C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2).所以Y的概率分布為Y203040Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)(2)(2015·安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．①求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；②已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的概率分布．解①記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.P(A)＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).②X的可能取值為200,300,400.P(X＝200)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).故X的概率分布為X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)題型三超幾何分布例5一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是eq\f(7,9).(1)求白球的個數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布．解(1)記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個數(shù)為x，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,9)，得到x＝5.故白球有5個．(2)X服從超幾何分布，P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(3－k,5),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.于是可得其概率分布為X0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)思維升華超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．(2015·天津改編)為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的概率分布．解(1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．所以，隨機變量X的概率分布為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)17．隨機變量取值不全致誤典例(14分)盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個．第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球(假設(shè)取到每個球的可能性都相同)．記第一次與第二次取得球的標號之和為ξ.求隨機變量ξ的可能取值及其概率分布．易錯分析由于隨機變量取值情況較多，極易發(fā)生對隨機變量取值考慮不全而導致解題錯誤．規(guī)范解答解由題意可得，隨機變量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10.[4分]P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(1,2)×0.3×0.4＝0.24，P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，P(ξ＝6)＝Ceq\o\al(1,2)×0.3×0.3＝0.18，P(ξ＝7)＝Ceq\o\al(1,2)×0.4×0.3＝0.24，P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.[10分]故隨機變量ξ的概率分布為ξ2346710P0.090.240.160.180.240.09[14分]溫馨提醒(1)解決此類問題的關(guān)鍵是弄清隨機變量的取值，正確應用概率公式．(2)此類問題還極易發(fā)生如下錯誤：雖然弄清隨機變量的所有取值，但對某個取值考慮不全面．(3)避免以上錯誤發(fā)生的有效方法是驗證隨機變量的概率和是否為1.[方法與技巧]1．對于隨機變量X的研究，需要了解隨機變量能取哪些值以及取這些值或取某一個集合內(nèi)的值的概率，對于離散型隨機變量，它的分布正是指出了隨機變量X的取值范圍以及取這些值的概率．2．求離散型隨機變量的概率分布，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率．[失誤與防范]掌握離散型隨機變量的概率分布，須注意：(1)概率分布的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機變量X所有可能取得的值；第二行是對應于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率．看每一列，實際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過“事件”是用一個反映其結(jié)果的實數(shù)表示的．每完成一列，就相當于求一個隨機事件發(fā)生的概率．(2)要會根據(jù)概率分布的兩個性質(zhì)來檢驗求得的概率分布的正誤．A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：40分鐘)1．一只袋內(nèi)裝有m個白球，n－m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是________．①P(X＝3)②P(X≥2)③P(X≤3)④P(X＝2)答案④解析由超幾何分布知P(X＝2)＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).2．隨機變量ξ的所有可能的取值為1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，則a值為________．答案eq\f(1,55)解析∵隨機變量ξ的所有可能的取值為1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝eq\f(1,55).3．隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))的值為________．答案eq\f(5,6)解析∵P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4)，∴P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).4．從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是________．答案eq\f(12,35)解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35).5．設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y＝|X－2|，則P(Y＝2)＝________.答案0.5解析由概率分布的性質(zhì)，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.6．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則X的所有可能取值是________．答案－1,0,1,2,3解析X＝－1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個題目都答錯了，X＝0，甲沒搶到題，乙搶到題目答錯至少2個題或甲搶到2題，但答時一對一錯，而乙答錯一個題目，X＝1，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且1錯2對，X＝2，甲搶到2題均答對，X＝3，甲搶到3題均答對．7．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.答案eq\f(13,35)解析P(ξ≤6)＝P(取到3只紅球1只黑球)＋P(取到4只紅球)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).8．某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球．顧客不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵．(1)求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率；(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的概率分布．解(1)設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件A，則P(A)＝eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,4)，故1名顧客摸球3次停止摸球的概率為eq\f(1,4).(2)隨機變量X的所有取值為0,5,10,15,20.P(X＝0)＝eq\f(1,4)，P(X＝5)＝eq\f(2,A\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝10)＝eq\f(1,A\o\al(2,4))＋eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝15)＝eq\f(C\o\al(1,2)·A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝20)＝eq\f(A\o\al(3,3),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以，隨機變量X的概率分布為X05101520Peq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,4)B組專項能力提升(時間：30分鐘)9．從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，則隨機變量X的概率分布為________．答案X012P0.10.60.3解析∵X的所有可能取值為0,1,2，∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝0.6，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3.∴X的概率分布為X012P0.10.60.310.已知隨機變量ξ只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________．答案(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3))解析設(shè)ξ取x1，x2，x3時的概率分別為a－d，a，a＋d，則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d>0，,\f(1,3)＋d>0，))得－eq\f(1,3)<d<eq\f(1,3).11．在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)η的概率分