河北省各地冀教版數(shù)學八年級上冊期末試題選編第十七章 特殊三角形 綜合復習題

第十七章特殊三角形綜合復習題一、單選題1．（2022·河北張家口·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，∠BAD=35°，則∠C的度數(shù)為（

）A．35° B．45° C．55° D．60°2．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，在中，，，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·河北保定·八年級期末）如圖，在中，點、點分別是，的中點，點是上一點，且，若，，則的長為（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·河北唐山·八年級期末）如圖，△是等邊三角形，為的中點，，垂足為點，∥，，下列結論錯誤的是(

)A．30° B．C．△的周長為10 D．△的周長為95．（2022·河北邯鄲·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AE⊥BC于點E，AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點F，若BD＝6，則CE的長為（）A．2 B．2 C．3 D．36．（2022·河北廊坊·八年級期末）滿足下列條件的，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．7．（2022·河北秦皇島·八年級期末）如圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A．52 B．42 C．76 D．728．（2022·河北邢臺·八年級期末）如圖，已知，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（

）A． B． C． D．9．（2022·河北廊坊·八年級期末）老師在畫∠AOB的平分線OP時，設計了①，②兩種做法，這兩種做法均可由△OMP≌△ONP得知，其全等的依據(jù)分別是（

）①如圖1，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，調整角尺，使角尺的頂點到點M，N的距離相等，此時，角尺的頂點為P，畫出射線OP；②如圖2，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，再分別過點M，N，作OA，OB的垂線，交點為P，畫出射線OP．A．SSS；HL B．SAS；HL C．SSS；SAS D．SAS；SSS10．（2022·河北唐山·八年級期末）用反證法證明“在中，，則是銳角”，應先假設（

）A．在中，一定是直角 B．在中，是直角或鈍角C．在中，是鈍角 D．在中，可能是銳角二、填空題11．（2022·河北唐山·八年級期末）如圖，在中，，點在上，且，則_____度．12．（2022·河北保定·八年級期末）如圖：點在上，、均是等邊三角形，、分別與、交于點、，則下列結論①②③為等邊三角形④正確的是______（填出所有正確的序號）13．（2022·河北秦皇島·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，連接CD．若CD=8，則AB=_______．14．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，在中，，斜邊上的中線BE的長為4cm，高BD的長為3cm，則的面積是______．15．（2022·河北承德·八年級期末）如圖，點A、B、C分別在邊長為1的正方形網(wǎng)格圖頂點，則______．16．（2022·河北張家口·八年級期末）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，則CE2+CF2＝_____．17．（2022·河北邯鄲·八年級期末）如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，則∠EDF＝_____．三、解答題18．（2022·河北唐山·八年級期末）如圖，已知點D，E分別是ABC的邊BA和BC延長線上的點，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：ABC是等腰三角形（2）作∠ACE的平分線交AF于點G，若，求∠AGC的度數(shù)．19．（2022·河北石家莊·八年級期末）在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段A與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）當E不是AB的中點時，AE與DB的大小關系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC點F．請你接下來按照這種思路完成全部解答過程．（3）在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為2，AE＝4，則CD的長為．20．（2022·河北保定·八年級期末）將一個三角形沿著其中一個頂點及其對邊上的一點所在的直線折疊，若折疊后原三角形的一邊垂直于這條對邊，則稱這條直線是該三角形的“對垂線”．（1）如圖1，AD是等邊△ABC的對垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點B落在點B'處，求∠BAD的度數(shù)；（2）如圖2．在△ABC中，∠BAC=90°，點D在邊BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判斷直線AD是否是△ABC的對垂線，并說明理由．21．（2022·河北張家口·八年級期末）課外興趣小組活動時，老師出示了如下問題：如圖①，已知在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B與∠D互補，求證：AB＋AD＝AC．小敏反復探索，不得其解．她想，可先將四邊形ABCD特殊化，再進一步解決該問題．(1)由特殊情況入手，添加條件：“∠B＝∠D”，如圖②，可證AB＋AD＝AC．請你完成此證明．(2)受到(1)的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：過C點分別作AB，AD的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，如圖③.請你補全證明過程．22．（2022·河北廊坊·八年級期末）如圖，在中，，于點，的平分線交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．23．（2022·河北廊坊·八年級期末）如圖，在中，，垂足為，，延長至，使得，連接．（1）求證：；（2）若，，求的周長和面積．24．（2022·河北邢臺·八年級期末）如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長度）？25．（2022·河北秦皇島·八年級期末）如圖，小明家在一條東西走向的公路北側米的點處，小紅家位于小明家北米（米）、東米（米）點處．（1）求小明家離小紅家的距離；（2）現(xiàn)要在公路上的點處建一個快遞驛站，使最小，請確定點的位置，并求的最小值．26．（2022·河北滄州·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，點F在AC上，且BD=DF．（1）求證：△DCF≌△DEB；（2）若DE=5，EB=4，AF=8，求AD的長．27．（2022·河北唐山·八年級期末）已知：如圖，在中，，直線經(jīng)過點，過B，C兩點作直線的垂線，垂足分別為D，E，．求證：．參考答案：1．C【解析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，結合圖形，利用各角之間的關系及三角形內角和定理即可得．解：∵△ABC為等腰三角形，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，∴，，∴，故選C．題目主要考查等腰三角形三線合一的性質，三角形內角和定理，理解題意，找準各角之間的數(shù)量關系是解題關鍵．2．D【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質得到∠B的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質得到∠BCD.解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=70°，∵CD∥AB，∴∠BCD=∠B=70°，故選D.本題考查了等腰三角形的性質和平行線的性質，掌握等邊對等角是關鍵，難度不大.3．B【解析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質求出FE，結合圖形計算，得到答案．解：∵點D，點E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC=6（cm），在Rt△AFC中，點E是AC的中點，∴FE=AC=4（cm），∴DF=DE-EF=2（cm），故選：B．本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．4．C【解析】根據(jù)等邊三角形的性質和直角三角形兩銳角互余的性質可判斷A；根據(jù)30°角的直角三角形的性質可判斷B；由B的結論結合為的中點可求出AB的長，進而可判斷C；由∥可判斷△CEF是等邊三角形，再求出CE的長即可判斷D.解：∵△是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°，∵，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°－∠A=30°，所以A正確；∵AE=1，∠ADE=30°，∴AD=2AE=2，所以B正確；∵為的中點，∴AB=2AD=4，∴△的周長為4×3=12，所以C錯誤；∵∥，∴∠CEF=∠A=60°，∠CFE=∠B=60°，∴△CEF是等邊三角形，∵AE=1，∴CE=AC－AE=3，∴△的周長為9，所以D正確.故選C.本題考查了等邊三角形的性質和30°角的直角三角形的性質，屬于基礎題型，熟練掌握等邊三角形的性質和直角三角形的性質是解題的關鍵.5．D【解析】根據(jù)題意連接AD，由線段的垂直平分線的性質可得AD的長；由等腰三角形的性質及三角形的外角性質可求得∠ADE＝60°，從而可求得∠DAE＝30°，解直角三角形ADE，可得AE的長度；由∠C＝45°，可得△AEC為等腰直角三角形，從而可得EC的長度．解：連接AD，如圖：∵AB的垂直平分線交BC于點D，∴AD＝BD＝6，∵在△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°．∵AE⊥BC于點E，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝3，∴AE＝＝3，∵∠C＝45°，∴△AEC為等腰直角三角形，∴EC＝AE＝3，故選：D．本題考查含30度角的直角三角形的性質、線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的性質及解直角三角形等知識點，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．6．C【解析】根據(jù)三角形內角和定理、勾股定理的逆定理對各個選項分別進行計算即可．A.,則a2+c2=b2,△ABC是直角三角形,故A正確，不符合題意；B.52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正確，不符合題意；C.∠A：∠B：∠C=3：4：5，設∠A、∠B、∠C分別為3x、4x、5x，則3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，則∠A、∠B、∠C分別為45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故C選項錯誤，符合題意；D.∠A-∠B=∠C，則∠A=∠B+∠C，∠A=90°，△ABC是直角三角形，故D正確，不符合題意；故選C．本題考查的是三角形內角和定理、勾股定理的逆定理的應用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．7．C解：依題意得，設“數(shù)學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則x2=122+52=169，解得：x=13．故“數(shù)學風車”的周長是：（13+6）×4=76．故選C．8．A【解析】由圖示可知BD為公共邊，若想用“HL”判定證明和全等，必須添加AD=CB．解：在和中∴故選A此題主要考查學生對全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎題．9．A【解析】根據(jù)作圖過程可得MO=NO，MP=NP，再利用SSS可判定△MPO≌△PNO，可得OP是∠AOB的平分線；根據(jù)題意得出Rt△MOP≌Rt△NOP(HL)，進而得出射線OP為∠AOB的角平分線．解：如圖①：在△MPO和△NPO中，∴△MPO≌△PNO(SSS)∴∠AOP=∠BOP，即射線OP為∠AOB的角平分線；如圖②，在Rt△MOP和Rt△NOP中，，∴Rt△MOP≌Rt△NOP(HL)∴∠MOP=∠NOP，即射線OP為∠AOB的角平分線；故選：A．此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定，關鍵是掌握判定三角形全等的方法．10．B【解析】假設命題的結論不成立或假設命題的結論的反面成立，然后推出矛盾，說明假設錯誤，結論成立．解：用反證法證明命題“在中，，則是銳角”時，應先假設在中，是直角或鈍角．故選B．本題考查反證法，記住反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確．11．36【解析】設∠A=x，利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求得答案．設∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x；∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x，∴∠DBC=x；∵x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°，故答案為36.本題考查了等腰三角形的性質，涉及了等邊對等角、三角形外角的性質，三角形的內角和定理，通過三角形內角和定理列方程求解是正確解答本題的關鍵．12．①②③④【解析】利用等邊三角形的性質得CA＝CD，∠ACD＝60°，CE＝CB，∠BCE＝60°，所以∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，則利用“SAS”可判定△ACE≌△DCB，所以AE＝DB，∠CAE＝∠CDB，則可對①進行判定；再證明△ACM≌△DCN得到CM＝CN，則可對②進行判定；然后證明△CMN為等邊三角形得到∠CMN＝60°，則可對③④進行判定．解：∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝60°，CE＝CB，∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝DB，所以①正確；∵△ACE≌△DCB，∴∠MAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠MCA=∠DCN=60°，在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM＝CN，所以②正確；∵CM＝CN，∠MCN＝60°，∴△CMN為等邊三角形，故③正確，∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠MCA，∴MN∥BC，所以④正確，故答案為：①②③④．本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件，也考查了等邊三角形的判定與性質．13．16【解析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．解：∵∠ACB=90°，D是AB中點，CD=8，∴AB=2CD=16，故答案為：16．本題考查的是直角三角形的性質，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．14．12【解析】根據(jù)直角三角形的性質求出AC，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．解：在Rt△ABC中，BE為斜邊上的中線，BE＝4cm，則AC＝2BE＝2×4＝8（cm），∴S△ABC＝AC?BD＝×8×3＝12（cm2），故答案為：12．本題考查的是直角三角形的性質，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．15．45°【解析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的長，進而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質，可得出∠ABC=45°．解：連接AC，根據(jù)題意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．故答案為：45°．本題考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性質，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC為等腰直角三角形是解題的關鍵．16．36【解析】根據(jù)角平分線的定義、外角定理推知∠ECF＝90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，∴∠ECF＝(∠ACB+∠ACD)＝90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝3，∴EF＝6，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，故答案為36．本題考查了直角三角形的性質-勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的性質，以及角平分線的定義，證明出△ECF是直角三角形是解決本題的關鍵．17．55°##55度【解析】由圖示知：∠DFC+∠AFD=180°，則∠DFC=35°．通過全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）的對應角相等推知∠BDE=∠CFD．解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE與△Rt△CFD中，，∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF+∠BDE=∠EDF+∠CFD=90°，∴∠EDF=55°．故答案是：55°．本題考查了全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．18．（1）證明見解析；（2）【解析】（1）根據(jù)角平分線的定義，得到∠DAF=∠CAF，又根據(jù)，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，進一步得到∠ABC=∠ACB，即可證明是等腰三角形；（2）在中，分別求得和的度數(shù)，利用三角形內角和求解即可．（1）證明：∵AF是∠DAC的角平分線∴∠DAF=∠CAF又∵∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∴是等腰三角形（2）∵CG是∠ACE的角平分線∴∠ACG=∠ECG又∵，∠ACB=∠B∴∴∠ACG=∠ECG=又∵∠CAG=∠ACB∴∠AGC=本題考查等腰三角形的判定，平行線的性質，角平分線的定義等相關知識點，牢記知識點是解題關鍵．19．（1）=，（2）=，理由見解析，（3）2或6．【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質得出∠D＝∠BED＝30°，證BD＝BE即可．（2）結論：AE＝BD．如圖2中，作EF∥BC交AC于F．只要證明△DBE≌△EFC，推出BD＝EF＝AE，推出BD＝AE．（3）分兩種情形討論，類似（2）得出BD＝AE，根據(jù)線段和差即可解決問題．解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，AE＝EB，∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠ABC＝60°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD＝30°，∵∠EBC＝∠D+∠BED，∴∠D＝∠BED＝30°，∴BD＝BE＝AE．故答案為：＝．（2）結論：AE＝BD．理由如下：如圖2中，作EF∥BC交AC于F．∴∠AEF＝∠B＝60°，∠ECB＝∠CEF，∵∠A＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∠AFE＝60°，∴∠EFC＝∠DBE＝120°，∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF，∵ED＝EC．∴∠D＝∠ECD＝∠CEF，在△DBE和△FEC中，，∴△DBE≌△EFC，∴BD＝EF＝AE，∴BD＝AE，故答案為：＝．（3）如圖，當E在BA的延長線上時，作EF∥BC交CA延長線于F．同理可證△DBE≌△EFC，可得BD＝EF=AE＝4，CD＝BD﹣BC＝4﹣2＝2．如圖，當E在AB的延長線上時，作EF∥BC交AC的延長線于F，同理可證△EBD≌△CFE，可得BD＝EF=AE＝4，CD＝BD+BC＝4+2＝6．綜上所述，CD的長為2或6．本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．20．（1）15°；（2）是，理由見解析．【解析】（1）由“對垂線”的定義可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，則可得出∠BAD=∠B'AD，由等邊三角形的性質得出∠BAB'∠BAC=30°，則由折疊的性質可得出答案；（2）由等腰三角形的性質得出∠B=∠BDA，可得出∠DAC=∠C∠B，求出∠B=60°，證得∠AFD=90°，則可得出答案．解：（1）∵AD是等邊△ABC的對垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點B落在點B'處，∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，∴∠BAD=∠B'AD．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．又∵AB'⊥BC，∴∠BAB'∠BAC=30°，∴∠BAD∠BAB'°=15°；（2）直線AD是△ABC的對垂線．理由如下：∵AB=AD，∴∠B=∠BDA．∵∠B=2∠DAC，∠BDA=∠DAC+∠C，∴∠DAC=∠C∠B．∵△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B∠B=90°，∴∠B=60°=∠BDA，∠DAC=∠C=30°．把△ADC沿直線AD折疊，設點C落在C'處，直線AC'交BC于點F，則△ACD≌△AC'D，∴∠DAC'=∠DAC=30°，∴△AFD中，∠AFD=180°﹣30°﹣60°=90°，即AC'⊥BC，∴AD是△ABC的對垂線．本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，三角形“對垂線”的概念，折疊的性質，全等三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握折疊的性質是解答本題的關鍵．21．(1)見解析;(2)見解析.【解析】（1）如果：“∠B=∠D”，根據(jù)∠B與∠D互補，那么∠B=∠D=90°，又因為∠DAC=∠BAC=30°，因此我們可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．（2）按（1）的思路，作好輔助線后，我們只要證明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的條件．根據(jù)AAS可證兩三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法進行計算即可．(1)證明：∵∠B＝∠D＝90°，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴CD＝CB，∠CAB＝∠CAD＝30°.設CD＝CB＝x，則AC＝2x.由勾股定理，得AD＝CD＝x，AB＝CB＝x.∴AD＋AB＝x＋x＝2x＝AC，即AB＋AD＝AC.(2)解：由(1)知，AE＋AF＝AC.∵AC為角平分線，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°.∵∠ABC與∠D互補，∠ABC與∠CBE也互補，∴∠D＝∠CBE，∴△CDF≌△CBE(AAS)．∴DF＝BE.∴AB＋AD＝AB＋(AF＋FD)＝(AB＋BE)＋AF＝AE＋AF＝AC.本題考查了直角三角形全等的判定及性質；通過輔助線來構建全等三角形是解題的常用方法，也是解決本題的關鍵．22．（1）證明見解析；（2）9【解析】（1）根據(jù)已知條件得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，即可得解；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質計算即可；解：（1）∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴，即，∴．（2）∵，，∴，，∴中，，∴中，，∴．本題主要考查了角平分線的定義、等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形，準確計算是解題的關鍵．23．（1）證明見解析；（2）周長為，面積為22．【解析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質即可得證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質可得，從而可得，再利用勾股定理可得，從而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周長公式和面積公式即可得．（1）證明：，，在和中，，，；（2），，，，，，，，，，，則的周長為，的面積為．本題考查了三角形全等的判定定理與性質、勾股定理等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質是解題關鍵．24．這棵樹在離地面6米處被折斷【解析】設，利用勾股定理列方程求解即可.解：設，∵在中，，∴，∴．答：這棵樹在離地面6米處被折斷本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直