工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)第五版答案第四章

第四章 向量組的線性相關(guān)性1已知向量組Aa(0123)Ta(3012)Ta(2301)T1 2 3Bb(2112)Tb(0211)Tb(4413)T1 2 3證明B組能由A組線性表示但A組不能由B組線性表示證明由032210(A,B)10210

2 04 124r 01 10

0 3 12 43 2 2 0 4161 573212 1

0281 7910

03121610312161504130000r 00

160

57r00~ 515 25 0~

7500

1 3 5 0 R(A)R(AB)3BA組線性表示由2 04 1 0 2 10B r 124~02 2B r 1 10 100 2 13 0 1

2000R(B)2R(B)R(BA)AB2已知向量組Aa(011)Ta(110)T1 2Bb(101)Tb(121)Tb(321)T1 2 3證明A組與B組等價(jià)證明 由11 30A)02 21

1130r0221r

1130r0221r 1110 0221 知R(B)R(BA)2顯然在A中有二階非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2從而R(A)R(B)R(AB)AB組等價(jià)3R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3證明a1a2a3線性表示a4a1a2a3證明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4線性無關(guān)故a2a3也線性無關(guān)又由R(a1a2a3)2知a1a2a3線性相關(guān)故a能由aa線性表示1 2 3假如(2) aaaaaaaaaaa假如4 1 2 3 1 2 3 4 2 3 2aa線性相關(guān)矛盾因此a不能由aaa線性表示3 4 4 1 2 34判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)Trr解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為Arr12A314

12077

1201 1002 R(A)2小于向量的個(gè)數(shù)從而所給向量組線性相關(guān)(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B因?yàn)?10|B|3 402200 02R(B)3等于向量的個(gè)數(shù)從而所給向量組線性相無關(guān)5問a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？a(a11)Ta(1a1)Ta(11a)T1 2 3解 以所給向量為列向量的矩陣記為A由a11|A|1a1(a2)(a1)2011a知當(dāng)a1、2時(shí)R(A)3此時(shí)向量組線性相關(guān)1 2 1 2 1 6設(shè)aa線性無關(guān)abab線性相關(guān)求向量b用aa線性表示的表示式1 2 1 2 1 解 因?yàn)閍ba線性相故存在不全為零的使1 2 1 2(ab)(ab)0則1 1 2 2()baa1 2 11 22因aa1

線性無關(guān)故1 2

0，不然，由上式得aa 0,

0。矛盾。11 22 1 2 12由此得 b121 2

a a1 21 27a1a2b1b2也線性相關(guān)a1b1a2b2解 不一定例如a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T有a(12)Tb(01)T,ab(24)T(00)T(24)T1 1 1 2 2而aba

的對應(yīng)分量不成比例是線性無關(guān)的1 1 2 28舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的1 2 m 1 2 (1)aaa是線性相關(guān)的aaa1 2 m 1 2 1 1 2 3 m 1 2 m 1 2 解 設(shè)ae(1000)aaa0則aaa線性相關(guān)但a不能由a1 1 2 3 m 1 2 m 1 2 (2)若有不全為0的數(shù)使1 2 maabb011 mm 11 mm成立aaa,bb

亦線性相關(guān)1 2 m 1 2 m解 有不全為零的使1 2 maabb

0原式可化為

11 mm 11 mm(ab)(ab)01 1 1 m m m取aebaeba

eb其中ee

為單位坐標(biāo)向量aa1 1 1 2 2

m m

1 2 m 1 2m abbbm 1 21 2 (3)若只有當(dāng)1 2

0時(shí)等式aabb011 mm 11 mm才能成立aaa,bb

亦線性無關(guān)1 2 m 1 2 m1 2 解 由于只有1 2

0時(shí)等式由aabb011 mm 11 mmm成立所以只有當(dāng)m1 2

0時(shí)等式(a)(ab)(ab

)01 1 1

2 2

m m m成立aaba

線性無關(guān)1 1 2 2 m m1 2 m 1 m 1 2 aaa0bb為線性無關(guān)組aa1 2 m 1 m 1 2 1 2 (4)若aa1 2

線性相關(guān),bbbm1 2m

亦線性相關(guān)0的數(shù)使m1 2maa0bb0同時(shí)成立

11 mm 11 mm解a(10)Ta(20)Tb(03)Tb(04)T解1 2 1 2aa

0211 22 1 2bb0(3/4)0與題設(shè)矛盾

11 22 1 21 2設(shè) 證明向量9 babaabaabaa bbbb設(shè) 證明向量1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 1 2 3 4證明 由已知條件得bbbb01 2 3 4向量組bbbb

線性相關(guān)1 2 3 410b1a1b2a1a2bra1a2ara1a2ar線性無關(guān)b1b2rb線性無關(guān)r證明 已知的r個(gè)等式可以寫成

1 1

1,b

,,

)(a,

,,a

111 2 r 1

r)00

0

11rBAK因?yàn)閨K|10K可逆R(B)R(A)rbbbr1 211求下列向量組的秩,并求一個(gè)最大無關(guān)組(1)a(1214)Ta(9100104)Ta(2428)T1 2 3解 由,

1 92 1 92 192,a)21004r0 82 0r01 01 2

1 10 2 0 19 0 00 0 4 48 0 因?yàn)橄蛄恐猂(aaa)2 a與a的分量不成比例故aa線性無關(guān)所以aa是一個(gè)最大無關(guān)因?yàn)橄蛄? 2 3 1 2 1 2 1 2(2)aT(1213)aT(4156)aT(1347)1 2 3解 由,

1,a)2

4 1 4 13r0 9 5r0

4 951 2

154 0 9 5 0

0 0367 01810 0 0 0 因?yàn)橄蛄恐猂(aTaTaT)R(aaa)2 aT與aT的分量不成比故aTaT線性無所以aTaT因?yàn)橄蛄? 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2是一個(gè)最大無關(guān)組122575(1)7525

3117949432

4313213448解2575

311794

43r132

250

311 2

433記A(aaa

3~)=759454134

10

1 3 5~1 2 3

253220

48

rr

1 3 5 4 1 15 0 0 815 0 1 0 10 0 1 20 0 0 00所以aaa

是一個(gè)最大無關(guān)組.a

8aa

2a.1 2 3112 021

1

4 5 1 2 31(2)201 1

30 4

31解 記A(a,a,a,a1 2 3 4112

1 1

2 2 1

0 0 1 00220

5 3

r2r 23 102

1 50150

1 1~

1 0 3 100 rr

0 1 1 1110

4

4 10

2

2

0 0 0 0所以aaa

是一個(gè)最大無關(guān)組a

a3a

a.a

a

a.1 2 3 4 1 2 3 5 2 313設(shè)向量組的秩為2求ab

(a31)T(2b3)T(121)T(231)T解 a(a31)Ta(2b3)Ta(121)Ta(231)T解 1 2 3 4因?yàn)?2a2 11 1 3 11 1 3,a,a,

)233br01a1 r01a1

1113 01 1b6 002ab5所以而R(aaaa)2 a2b5所以1 2 3 41 2 n 1 2 n 114設(shè)aaa是一組n維向量已知n維單位坐標(biāo)向量eee能由它們線性表示1 2 n 1 2 n 1naa線性無關(guān)n21 2 n 1 2 證 因?yàn)閑ee能由aaa線性表示1 2 n 1 2 R(eee)R(aaa)1 2 n 1 2 n而R(eee)nR(aaa)n所以R(aaa)naaa

線性無關(guān)1 2 n

1 2 n

1 2 n

1 2 n15設(shè)a1a2an是一組n維向量,證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是任一n維向量都可由它們線性表示n1 2 n 1 2 證明 必要性設(shè)a為任一n維向量因?yàn)閍aa線性無關(guān)而aaaa是n1個(gè)n維向量是線性相關(guān)的所以a能由aaa線性表示n1 2 n 1 2 1 21 2 n 1 2 n 1 充分性已知任一n維向量都可由aaa線性表示eeea1 2 n 1 2 n 1 na線性表示于是有nnR(eee)R(aaa)n1 2 n 1 2 n即R(aaa)n所以aaa

線性無關(guān)1 2 n 1 2 n1 2 m 1 k k 1 2 16設(shè)向量組aaa線性相關(guān)且a0證明存在某個(gè)向量a(2km)使a能由aa1 2 m 1 k k 1 2 線性表示證明 因?yàn)閍a

線性相關(guān)使1 2

1 2 maaa011 22 mm而且不全為零如若不然a0a00矛盾從大到小考察2 3 m 11 1 1使上式中系數(shù)，設(shè)其第一個(gè)不為零的數(shù)為 ，使i k0

0k k1于是

k2 maaa011 22 kka(1/)(aa a )即a能由aaa

k線性表示

k 11 22

k1

k1k 1 2 k11 r 1 17BbbAa1 r 1 1 r 1 (bb)(aa)KKsr矩陣A1 r 1 K的秩R(K)r1 r 1 證明 令B(bb)A(aa)則有B1 r 1 必要性B由向量組B線性無關(guān)及矩陣秩的性質(zhì)有rR(B)R(AK)min{R(A)R(K)}R(K)及 R(K)min{rs}r因此R(K)r充分性R(K)rB組線性無關(guān)。由于Bx0AKx0Kx0x01 bb線性無關(guān)1 18設(shè) 23nn 1 2 3 證明向量組

等價(jià)1 2 n 1 2 n證明 將已知關(guān)系寫成

0 10

1 1 (,

,,

)(,

,,

)1

10 1 2將上式記為BAK因?yàn)?/p>

n0 1 10

1 2 1 1

n11

1

1

00|K11

11

01

100所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量組

與向量組

可相互線性表示因此向量組

與向量組

1 2 n等價(jià)

1 2 n1 2 n 1 2 n193A3xA3x3AxA2xxAxA2x記P(xAxA2x)求3階矩陣B使APPB解 因?yàn)锳PA(xAxA2x)(AxA2xA3x)(AxA2x3AxA2x)00 0(x,A2x)10 3 011 00 001所以B101 (2)求|A|解 的列向量組線性無關(guān)，則的秩故|0則APBP1,故|AB|0。20

可逆。x8x10x2x021x42x5x3x40(1)18x26x32401 2 3 4解 對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變有1810 2r 10 4 0 A2 4 5 1 013/41/43 8 6 2 00 0 0 于是得

x

4x3/)x/)x2 3 4取 (xx)T(40)T (xx)T(163)T取 3 4 1 2取 (xx)T(04)T (xx)T(01)T取 3 4 1 2因此方程組的基礎(chǔ)解系為12(16340)T(0104)T122xx2xx00(2)817263401 2 3 4解 對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變r(jià)232 1rA3 5 4 2

10 2/19 0114/197/198 7 6 3 00 0 0 于是得

x(2/19)x(1/19)x2 3 4取(xx)T(190)T得(xx)T(214)T3 4 1 2取(xx)T(019)T得(xx)T(17)T3 4 1 2因此方程組的基礎(chǔ)解系為(214190)T(17019)T1 2n (3)nx(n1)x2x xn 1 2 1解 原方程組即為

n xnx(n1)x2n 1 2 1取x11x2x3xn10得xnn取x21x1x3x4xn10得xn(n1)n1取xn11x1x2xn20得xn2因此方程組的基礎(chǔ)解系為(1000n)T1(0100n1)T2 (00012)A221321設(shè) 9528,求一個(gè)42矩陣B,使AB0,且R(B)2.解設(shè)Bb,b)，因RB2.故b,b

線性無關(guān)。又1 2 1 2,b(AbAb0，得Ab0,Ab

0。1 2 1 2 1 2BAx0的兩個(gè)線性無關(guān)的解向量因?yàn)锳2213r 10 /8 /9528 015/811/8故R(A)2，于是Ax0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為4R(A)2。而方程組Ax0的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解向量均為Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系記為b,b。1 2所以與方程組Ax0同解方程組為x2 3 4取 (xx)T(80)T (xx)T(15)T取 3 4 1 2取 (xx)T(08)T (xx)T(111)T取 3 4 1 2方程組AB0的基礎(chǔ)解系為1 b(1580)Tb(108)T1 1因此所求矩陣為

511B8 0B08 08 22,使它的基礎(chǔ)解系為(0123)T(3210)T1 2解 顯然原方程組的通解為x 0

3

3kk

1

2 1k2kx2

2

1,即k2(kkR)3 13

20 1 2 1 2消去kk得1 2

x 4

4 13xx0x1x2240此即所求的齊次線性方程組.23設(shè)四元齊次線性方程組

1 3 4xx0

xxx0I12

02 4 2 3 4求(1)方程I與II的基礎(chǔ)解系(2)I與II的公共解xx解 (1由方程I得1x42 4取 (xx)T(10)T (xx)T(00)T取 3 4 1 2取 (xx)T(01)T (xx)T(11)T取 3 4 1 2因此方程I的基礎(chǔ)解系為21(0010)T(1101)T21xxII1x4x2 3 4取 (xx)T(10)T (xx)T(01)T取 3 4 1 2取 (xx)T(01)T (xx)T(11)T取 3 4 1 2因此方程II的基礎(chǔ)解系為(0110)T(1101)T1 2III的公共解就是方程x

x00IIIx2x4x0x1

x302 3 4的解III的系數(shù)矩陣1 A0 A1

0 0 001 0 0

00 10 0120 11 000 0 所以與方程組III同解的方程組為xxx1x42x3 44 1 2 取x1得(xxx)T(112)T方程組III4 1 2 (1121)T因此I與II的公共解為xc(1121)TcR24nAA2AEn階單位矩陣,證明R(A)R(AE)n證明 因?yàn)锳(AE)A2AAA0由矩陣的秩的性質(zhì)8知，R(A)R(AE)n又R(AE)R(EA)可知R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n由此R(A)R(AE)n25An階矩陣(n2)A的伴隨陣證明n 當(dāng)()nR(A*)當(dāng)R(A)n10 當(dāng)()n2證明 (1)當(dāng)R(A)n時(shí)|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0所以R(A*)n(2)R(A)n1時(shí)由矩陣秩的定義An1中至少有一個(gè)R(A*1。R(A)n1有|A|0由AA*|A|E08R(A

A*

nR(A)n1R(A*1。R(A*1（3）R(A)n2時(shí)An1的任一元素均為零，故A*O從而R(A*)026xx5x2x(1)512xx31 2 3 4解 對增廣矩陣進(jìn)行初等行變有11005B21121~r

10 1 0801013 53223 與所給方程組同解的方程為xx8x1

x3134

3 23當(dāng)x0時(shí)得所給方程組的一個(gè)解(81302)T3與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為xxx3x20343當(dāng)x1時(shí)得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系(1110)T3x5x2xx11x2x41(2)214223461 2 3 4解 對增廣矩陣進(jìn)行初等行變有152311B5 3 61

10 9/7 2 1011/7 2 22 4 2 1 6 00 0 0 0 與所給方程組同解的方程為x(9/7)x(1/2)x11(1/7)x3/)x422 3 43 xx0時(shí)3 (1200)T與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為x(9/7)x(1/2)x1 3 4x (1/7)x2 3

2)x43 分別取(xx)T(10)T(01)T3 (9170)T(1102)T1 227設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3已知

是它的三個(gè)解向量且1 2 3(2345)T(1234)T求該方程組的通解

1 2 3解 記Axb，由于方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)是4系數(shù)矩陣的秩為R(A)3所以對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量 因

Ax0的任何一個(gè)非零解均為其一個(gè)基礎(chǔ)解系。 由1

(2

)(3,4,5,6T0，知Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系A(chǔ)xb的通解3xk(3456)T(2345)T(kR)31 2 28Aa210)Ta(215)Ta(114)Tb(11)T問1 2 bA線性表示bA且表示式唯一bA且表示式不唯一12112121121112r0 1 1 1

4 5 10

0 0 4

3當(dāng)0R(A)R(Ab)bA線性表示1 2 3 1 2 當(dāng)時(shí)R(A)R(Ab)3aaaaaab1 2 3 1 2 b能由向量組A線性表示且表示式唯一當(dāng)0R(A)R(Ab)2bA線性表示當(dāng)時(shí)12124111200 1 3 1 (a,a,a,b) 的解為方程組(aaa)xb的解為3 2 1

4 5 10 1

0 0 0 0x 2 1 2c11 cRxc3112 3x 1 0 c 3因此 b(2c1)a(3c1)aca3 2 1即 bca(3c1)a(2c1)acR1 2 3設(shè) 證明三直29 a(aaa)Tb(bbb)Tc(ccc)T設(shè) 證明三直1 2 3 1 2 3 1 2 3laxbyc01 1 1 1laxbyc0(a2b20i123)2 2 2 2 i ilaxbyc03 3 3 3相交于一點(diǎn)的充分必要條件為向量組ab線性無關(guān)且向量組abc線性相關(guān)證明 三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為方程組axbyc0

axbyc1 1 1

即1 1 1axbyc0

axbyc2 2 2

2 2 2axbyc0

axbyc3 3 3

3 3 3有唯一解上述方程組可寫為xaybc因此三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為c能由ab唯一線性表示而c能由ab唯一線性表示的充分必要條件為向量組ab線性無關(guān)且向量組abc線性相關(guān)設(shè)矩陣 其中 向量 求方程 30 A(aaaa) aaa線性無關(guān)a2aa baaaa Ax設(shè)矩陣 其中 向量 求方程 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4通解解 baaa知(1111)TAxb解 1 2 3 4由a2a

得a2aa0知(1210)T是Ax0的一個(gè)解1 2

1 2 3

由aa

,a,

3

a,a,a Ra,a,a,

42 3 4故R(A)3

1 2 3 4

2 3 4

1 2 3 4AxbAx0Ax0的任何一個(gè)非零解均為其一個(gè)基礎(chǔ)解系。因此210)TAx0的一個(gè)基礎(chǔ)解系A(chǔ)xb的通解為xc(1210)T(1111)TcR31設(shè)是非齊次線性方程組Axb的一個(gè), 是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明(1)*

線性無關(guān)

1 2 nr1 2 nr*

線性無關(guān)1 2 nr證明 (1)反證法,假

線性相關(guān)因?yàn)?/p>

線性無關(guān)而*1 2 nr

1 2

1 2 nr線性相關(guān)所以可由 線性表示且表示式是唯一的這說明也是齊次線性方程組的解矛盾

1 2 nr(2)顯然向量組*

與向量組*

可以相互表示故這兩個(gè)向量1 2 nr 1 2 nr組等價(jià)而由(1)知向量組*

線性無關(guān)*

也線性無1 2 nr關(guān)

1 2 nr32設(shè)是非齊次線性方程組Axb的s個(gè)解kkk為實(shí)數(shù)滿足kkk1.證1 2 s明

1 2 sxkkk

1 2 s也是它的解.證明 因

11 22 ss都是方程組Axb的解所以1 2 siAb(i12s)i從而 A(kkk)kAkAkA11 22 ss 1 1 2 2 s s(kkk)bb1 2 sxkkk

也是方程的解11 22 ss33設(shè)非齊次線性方程組Axb的系數(shù)矩陣的秩為r

是它的nr1個(gè)線性無關(guān)的解試證它的任一解可表示為

1 2 nr1xkkk

(kk

1).11 22

nr1

1 2 nr1證明 因

均為Axb的解所以

Axb的1 2 nr1解

1 2 1 2 3 1

nr

nr1 1用反證法證

線性無關(guān)1 2 nr設(shè)它們線性相關(guān)則存在不全為零的 使得

1 2 0

nr11 2

nr

nr即 ()() (

)01 2

2 3

nr

nr1 1亦即 ()

01 2 nr

12 2

nr

nr1由

線性無關(guān)知1 2 nr1() 01 2 nr 1 2 nr矛盾因此 線性無關(guān)

為Axb的一個(gè)基礎(chǔ)解系1 2 nr 1 2 nrxAxb

Ax0

可由

線性表出設(shè)112132nxkkk12132n

1 1

nrk()k()k ( )2 2 1 3 3

nr1 nr1 1x(1kkk

)kkk 1 2

nr1 22 3

nr1

nr1令k1k

k

則kkk

k

1于是1 2 3

nr1

1 2 3

nr1xkkk 11 2

nr11 1 2 n 1 n 1 2 34設(shè)V{x(xx x)T|x xR滿足xx 1 1 2 n 1 n 1 2 2 1 2 n 1 n 1 2 V{x(xx x)T|x xR滿足xx 2 1 2 n 1 n 1 2 VV是不是向量空間？為什么？1 2解V是向量空間因?yàn)槿稳〗?a a)TV(bb b)TV1 2 n 1 1 2 n 1有 a a01 2 nb b01 2 n從而 (a)(a) (ab)1 1 2 2 n n(a a)(b b)01 2 n 1 2 n a a)01 2 n 1 2 n所以 bab ab)TV1 1 2 2 n n 1)TV1 2 n 1V不是向量空間因?yàn)槿稳?a a)TV(bb b)TV1 2 n 1 1 2 n 1有 a a11 2 nb b11 2 n從而 (a)(a