彈塑性力學(xué)課件

01 緒 論哈工大

土木工程學(xué)院 1/27土木工程學(xué)院工程力學(xué)學(xué)科組HARBININSTITUTEOF

TECHNOLOGY彈塑性力學(xué)01 緒 論土木工程學(xué)院工程力學(xué)學(xué)科組HARBININ101 緒 論第1節(jié)

彈塑性力學(xué)任務(wù)彈塑性力學(xué)的定義：彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支，是研究彈性體和彈塑性體在載荷作用下應(yīng)力分布規(guī)律和變形規(guī)律的一門學(xué)科。對(duì)工科來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)的任務(wù)，和材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣，是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和應(yīng)變，校核它們是否具有所需的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性，并尋求或改進(jìn)它們的計(jì)算方法。

哈工大

土木工程學(xué)院2/2701 緒 論第1節(jié) 彈塑性力學(xué)任務(wù)彈塑性力學(xué)的定義：彈塑性力201 緒 論彈塑性力學(xué)是根據(jù)固體材料受外因作用時(shí)所呈現(xiàn)的彈性與塑性性質(zhì)而命名。它們是固體材料變化過(guò)程的兩個(gè)階段。當(dāng)外部因素作用時(shí)，固體發(fā)生變形，如果當(dāng)外因去掉，變形體恢復(fù)原樣（狀），稱固體（材料）具有彈性性質(zhì)，

單值，具有可逆性；當(dāng)外部因素去掉時(shí)，變形體未能恢復(fù)原狀并存在永久變形，說(shuō)明固體已進(jìn)入塑性階段，

曲線不是單值函數(shù)，沒(méi)有可逆性。當(dāng)然變形體常遇到在物體某一局部處于彈性、而另一區(qū)域處于塑性狀態(tài)，彈塑性交織在一起，稱材料處于彈塑性狀態(tài)。

哈工大

土木工程學(xué)院3/2701 緒 論彈塑性力學(xué)是根據(jù)固體材料受外因作用時(shí)所呈現(xiàn)的彈性301 緒 論研究的對(duì)象：實(shí)際物體經(jīng)過(guò)抽象處理（進(jìn)行一定的假設(shè)）后彈塑性體。材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對(duì)象是桿系結(jié)構(gòu)（一維問(wèn)題），具有局限性。而彈塑性力學(xué)研究對(duì)象也是固體，是不受幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應(yīng)各種工程技術(shù)問(wèn)題需求的物體。所以彈塑性理論基本方程要復(fù)雜的多，具有一般性。

哈工大

土木工程學(xué)院4/2701 緒 論研究的對(duì)象：實(shí)際物體經(jīng)過(guò)抽象處理（進(jìn)行一定的假401 緒 論彈塑性力學(xué)的任務(wù)：根據(jù)對(duì)彈塑性體的實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果尋求物體在彈塑性狀態(tài)下的變形規(guī)律，建立本構(gòu)關(guān)系及有關(guān)基本理論。1．建立求解固體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布規(guī)律的基本方程和理論；2．給出初等理論無(wú)法求解的問(wèn)題的理論和方法，以及對(duì)初等理論可靠性與精確度的度量；3．確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構(gòu)物的承載能力，提高經(jīng)濟(jì)效益；4．為進(jìn)一步研究工程結(jié)構(gòu)物的強(qiáng)度、振動(dòng)、穩(wěn)定性、斷裂等力學(xué)問(wèn)題，奠定必要的理論基礎(chǔ)。

哈工大

土木工程學(xué)院5/2701 緒 論彈塑性力學(xué)的任務(wù)：根據(jù)對(duì)彈塑性體的實(shí)驗(yàn)觀察結(jié) 501 緒 論彈塑性力學(xué)和材料力學(xué)分析范圍有所不同。彈塑性力學(xué)在微觀層面研究應(yīng)力和應(yīng)變規(guī)律；而材料力學(xué)有時(shí)還要研究材料蠕變、疲勞以及斷裂破壞現(xiàn)象，研究桿件的拉、剪、彎、扭作用下的應(yīng)力和變形是材料力學(xué)的主要內(nèi)容。在研究方法上的不同。材料力學(xué)為簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)構(gòu)件的應(yīng)力分布和變形狀態(tài)作出某些假設(shè)，因此得到的解答是粗略和近似的；而彈塑性力學(xué)研究通常不引入上述假設(shè)，從而所得結(jié)果比較精確，并可驗(yàn)證材料力學(xué)結(jié)果的精確性。

哈工大

土木工程學(xué)院6/2701 緒 論彈塑性力學(xué)和材料力學(xué)分析范圍有所不同。彈塑性力學(xué)601 緒 論第2節(jié) 基本假設(shè)和基本規(guī)律實(shí)際問(wèn)題由多方面因素構(gòu)成，分析極為復(fù)雜。應(yīng)按照物體的性質(zhì)，以及求解范圍，忽略一些暫時(shí)可不考慮的因素，使我們研究的問(wèn)題限定在一個(gè)方便可行的范圍內(nèi)。基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)：將可變形固體看作密實(shí)無(wú)間隙的物體。因而一些物理量可以表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。均勻性假設(shè)：假定物體是用同一類型的均勻材料組成，而且在物體內(nèi)各點(diǎn)、各方向具有相同的物理性質(zhì)。小變形假設(shè)：在外界因素作用下產(chǎn)生物體內(nèi)各點(diǎn)的位移遠(yuǎn)小于物體原尺寸，可忽略變形引起的幾何變化。

哈工大

土木工程學(xué)院7/2701 緒 論第2節(jié) 基本假設(shè)和基本規(guī)律實(shí)際問(wèn)題由多方面因素構(gòu)701 緒 論從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。小變形假設(shè)說(shuō)明應(yīng)變(

包括線應(yīng)變與角應(yīng)變

)均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。根據(jù)這一假定：（1）在彈塑性體產(chǎn)Th變形后建立平衡方程時(shí)，可以不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；（2）在研究問(wèn)題的過(guò)程中可以略去相關(guān)的二次及二次以上的高階微量；

哈工大

土木工程學(xué)院8/2701 緒 論從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。小變形假設(shè)801 緒 論基本規(guī)律：完成彈塑性力學(xué)任務(wù)所要遵循的三個(gè)基本規(guī)律（或應(yīng)滿足的三方面的條件）：靜力平衡規(guī)律：固體受到外力與自身的內(nèi)力要滿足平衡方程，在彈性理論中它們?yōu)槲⒎址匠?。幾何連續(xù)規(guī)律：要求變形前連續(xù)的物體，變形后仍為連續(xù)物體，由這個(gè)規(guī)律建立幾何方程或變形協(xié)調(diào)方程，均為微分方程。物理(本構(gòu))關(guān)系：應(yīng)力

(內(nèi)力)與應(yīng)變

(變形)之間的關(guān)系，根據(jù)材料的不同性質(zhì)來(lái)建立，最常見(jiàn)的為各向同性材料。平衡方程和幾何方程都與材料無(wú)關(guān)，塑性力學(xué)與彈性力學(xué)的主要區(qū)別在于本構(gòu)方程

哈工大

土木工程學(xué)院9/2701 緒 論基本規(guī)律：完成彈塑性力學(xué)任務(wù)所要遵循的三個(gè)基901 緒 論第3節(jié) 彈塑性力學(xué)的研究方法彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)同屬固體力學(xué)的分支，它們?cè)诜治鰡?wèn)題解決問(wèn)題的基本思路上都是一致的，但在研究問(wèn)題的基本方法上各不相同。(1)受力分析及靜力平衡條件

(力的分析)(3)受力與變形間的本構(gòu)關(guān)系

(物理分析)(2)變形分析及幾何相容條件

(幾何分析)

哈工大

土木工程學(xué)院10/

2701 緒 論第3節(jié) 彈塑性力學(xué)的研究方法(1)受力分析及靜1001 緒 論a、研究方法較簡(jiǎn)單粗糙；b、涉及數(shù)學(xué)理論較簡(jiǎn)單；◆

材料力學(xué)研究問(wèn)題的基本方法：選一維構(gòu)件整體為研究對(duì)象變形前，在某表面繪制標(biāo)志線；變形后，觀察總結(jié)構(gòu)件表面變形的規(guī)律做出平截面假設(shè)，經(jīng)三方面分析，解決問(wèn)題c、材料力學(xué)的工程解答一般為近似解。

哈工大

土木工程學(xué)院11/

2701 緒 論a、研究方法較簡(jiǎn)單粗糙；b、涉及數(shù)學(xué)理論較簡(jiǎn)1101 緒 論1、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴(yán)密性和普遍適用性為特點(diǎn)；2、彈塑性力學(xué)的工程解答一般認(rèn)為是精確的；◆

彈塑性力學(xué)研究問(wèn)題的基本方法：以受力物體內(nèi)某一點(diǎn)（單元體）為研究對(duì)象單元體的受力——應(yīng)力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關(guān)系——本構(gòu)理論；建立起普遍適用的理論與解法3、可對(duì)初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠進(jìn)行度量。哈工大

土木工程學(xué)院12/

2701 緒 論1、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴(yán)密◆1201 緒 論◆

工程力學(xué)一般研究方法工程力學(xué)解決問(wèn)題的一般研究方法類似于一般科學(xué)研究的普遍方法，可歸納為：對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行抽象與簡(jiǎn)化，建立力學(xué)模型與已知結(jié)論相比較，或由實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證提出問(wèn)題，利用力學(xué)原理確認(rèn)或進(jìn)一步選擇有關(guān)的進(jìn)行分析、推改善模型，深研究系統(tǒng)理，得出結(jié)論化認(rèn)識(shí)

哈工大

土木工程學(xué)院13/

2701 緒 論◆工程力學(xué)一般研究方法工程力學(xué)解決問(wèn)題的一般研1301 緒 論按照方程中保留的未知量，求解方法可分為

應(yīng)力法（以應(yīng)力為未知量）

位移法（以位移為未知量）

混合法（以應(yīng)力+位移為未知量）精確解法：采用數(shù)學(xué)分析的手段求得精確解近似解法：最有效的是基于能量原理的變分方法數(shù)值方法：有限元法，有限差分法，邊界元法等

哈工大

土木工程學(xué)院14/

2701 緒 論按照方程中保留的未知量，求解方法可分為 哈工1401 緒 論第4節(jié) 彈塑性力學(xué)的發(fā)展梗概通過(guò)實(shí)驗(yàn)探索物體的受力與變形之間的關(guān)系：1678年英國(guó)科學(xué)家虎克(R.Hooke)提出

了固體材料的彈性變形與所受外力成正比——虎克定律。1687年，牛頓確立運(yùn)動(dòng)三大定律。彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)建立期1822－1828年，柯西發(fā)表了一系列論文，明確提出了應(yīng)力和應(yīng)變的概念，建立了彈性力學(xué)的平衡（運(yùn)動(dòng)）微分方程、幾何方程和各向同性的廣義虎克定律；1838年，格林用能量守恒定律證明了各向異性體有21個(gè)獨(dú)立的彈性系數(shù)；1838年，湯母遜又用熱力學(xué)第一定律和第二定律證明了同樣的結(jié)論，同時(shí)進(jìn)一步

證明了各向同性體有兩個(gè)獨(dú)立的彈性系數(shù)。15/

27哈工大

土木工程學(xué)院01 緒 論第4節(jié) 彈塑性力學(xué)的發(fā)展梗概系數(shù)。哈工大土木1501 緒 論線性各向同性體彈性力學(xué)的發(fā)展時(shí)期：1850年，基爾霍夫解決了平板的平衡和震動(dòng)問(wèn)題；1855-1856年，圣維南提出了局部性原理和半逆解法；1862年，艾里解決了彈性力學(xué)的平面問(wèn)題；19世紀(jì)70年代，建立了各種能量原理，并提出了這些原理的近似計(jì)算方法。彈性力學(xué)分支及相關(guān)邊緣學(xué)科的形成和發(fā)展時(shí)期：1907年，卡門薄板的大撓度問(wèn)題；1939年，卡門和錢學(xué)森提出了薄殼的非線性穩(wěn)定問(wèn)題；1937-1939年，莫納漢和畢奧提出了大應(yīng)變問(wèn)題；

哈工大

土木工程學(xué)院16/

2701 緒 論線性各向同性體彈性力學(xué)的發(fā)展時(shí)期： 哈工大1601 緒 論彈性力學(xué)分支及相關(guān)邊緣學(xué)科形成、發(fā)展時(shí)期(續(xù))：1948-1957年，錢偉長(zhǎng)用攝動(dòng)法求解了薄板的大撓度問(wèn)題；1954年，胡海昌建立了三類變量的廣義勢(shì)能原理和廣義余能原理;1955年，鷲津久一郎也獨(dú)立的導(dǎo)出了這一原理，后來(lái)稱胡海昌-鷲津久一郎變分原理。在這一時(shí)期，薄壁構(gòu)件和薄殼構(gòu)件的線性理論有了較大發(fā)展，還形成了諸如厚板和厚殼理論、各向異性和非均勻體的彈性力學(xué)、熱彈性力學(xué)、粘彈性理論、水彈性理論以及氣動(dòng)彈性力學(xué)等新的分支和邊緣學(xué)科；相繼提出了諸如差分法、有限單元法、邊界元法、半解析數(shù)值法以及加權(quán)殘值法等數(shù)值方法和半解析半數(shù)值的方法。

哈工大

土木工程學(xué)院17/

2701 緒 論彈性力學(xué)分支及相關(guān)邊緣學(xué)科形成、發(fā)展時(shí)期(續(xù))：1701 緒 論彈塑性力學(xué)發(fā)展時(shí)期：1773年，Coulomb提出Coulomb屈服準(zhǔn)則，后來(lái)推廣為Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則。1857年，朗肯研究了半無(wú)限體的極限平衡，提出了滑移面的概念。1903年，Kotter建立了滑移線方法。1929年，F(xiàn)ellenius提出了極限平衡法。19世紀(jì)50年代初，Drucker提出Drucker塑性公設(shè)，對(duì)穩(wěn)定材料，證明了塑性應(yīng)變?cè)隽颗c屈服面的正交性，并提出相關(guān)聯(lián)流動(dòng)規(guī)則的概念。1952～1955年，

Drucker和Prager等人發(fā)展了極限分析方法。

哈工大

土木工程學(xué)院18/

2701 緒 論彈塑性力學(xué)發(fā)展時(shí)期： 哈工大土木工程學(xué)院11801 緒 論1957年，Drucker等提出了靜水壓力會(huì)使巖土材料產(chǎn)生屈服的概念。1958～1963年，

Roscoe提出了土的臨界狀態(tài)概念，并建立了劍橋模型，從理論上闡明了正常固結(jié)粘土和微超固結(jié)粘

土土體彈塑性變形特性，開(kāi)創(chuàng)了建立土體的實(shí)用模型的新階

段。1969年，Roscoe等人出版了《臨界狀態(tài)土力學(xué)》專著，這是世界上第一本關(guān)于巖土塑性理論的專著，詳細(xì)研究了土的

實(shí)用模型。1982年，Desai等人也出版了一本《工程材料本構(gòu)定律》專著，進(jìn)一步闡明了巖土材料變形機(jī)制，形成了較系統(tǒng)的巖

土塑性力學(xué)。

哈工大

土木工程學(xué)院19/

2701 緒 論1957年，Drucker等提出了靜水壓力會(huì)使巖1901 緒 論1982年，Zienkiewicz提出了廣義塑性力學(xué)的概念，指出巖土塑性力學(xué)是傳統(tǒng)塑性的推廣。20世紀(jì)80年代的國(guó)內(nèi)，清華模型、“南水”模型及其他雙屈服面模型和多重屈服面相繼出現(xiàn)。闡明了應(yīng)力、應(yīng)變的概念和理論；彈性力學(xué)和彈塑性力學(xué)的基本理論框架得以確立。

哈工大

土木工程學(xué)院20/

2701 緒 論1982年，Zienkiewicz提出了廣義塑性2001 緒 論現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展及其特點(diǎn)材料與對(duì)象：金屬、土木石等新型復(fù)合材料、高分子材料、

結(jié)構(gòu)陶瓷、功能材料。尺度：宏觀、連續(xù)體含缺陷體，細(xì)、微觀、納米尺度。實(shí)驗(yàn)技術(shù)：電、光測(cè)試實(shí)驗(yàn)技術(shù)

全息、超聲、光纖測(cè)量，及實(shí)驗(yàn)裝置的大型化。1、現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展

哈工大

土木工程學(xué)院21/

2701 緒 論現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展及其特點(diǎn)材料與對(duì)象：金屬、土木石2101 緒 論應(yīng)用領(lǐng)域：航空、土木、機(jī)械、材料生命、微電子技術(shù)等。設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：靜強(qiáng)度、斷裂控制設(shè)計(jì)、抗疲勞設(shè)計(jì)、剛度設(shè)計(jì)

損傷容限設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、耐久性設(shè)計(jì)和可靠性設(shè)計(jì)等。設(shè)計(jì)目標(biāo)：保證結(jié)構(gòu)與構(gòu)件的安全和功能

設(shè)計(jì)——制造——使用——維護(hù)的綜合性分析與控制，功能——安全——經(jīng)濟(jì)的綜合性評(píng)價(jià)，自感知、自激勵(lì)、自適應(yīng)（甚至自診斷、自修復(fù)）的智能結(jié)構(gòu)。

哈工大

土木工程學(xué)院22/

2701 緒 論應(yīng)用領(lǐng)域：航空、土木、機(jī)械、材料生命、微電2201 緒 論●

引進(jìn)新的科學(xué)技術(shù)成果，內(nèi)容更加豐富：◆

新材料－復(fù)合材料、聚合物等；◆

新概念－失效、壽命等；◆

新理論－損傷、混沌等；◆

新方法－數(shù)值方法、工程力學(xué)建模方法。

哈工大

土木工程學(xué)院23/

2701 緒 論●引進(jìn)新的科學(xué)技術(shù)成果，內(nèi)容更加豐富： 哈2301 緒 論2﹒現(xiàn)代力學(xué)的特點(diǎn)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合，與其他基礎(chǔ)或技術(shù)學(xué)科相互結(jié)合與滲透。計(jì)算機(jī)應(yīng)用：計(jì)算力學(xué)+計(jì)算機(jī)應(yīng)用解決復(fù)雜、(60年代) 困難的工程實(shí)際問(wèn)題。使工程結(jié)構(gòu)分析技術(shù)；（結(jié)合CAD技術(shù)）監(jiān)測(cè)、控制技術(shù)（如振動(dòng)監(jiān)測(cè)、故障診斷）；工程系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真技術(shù)；廣泛應(yīng)用至各工程領(lǐng)域。材料設(shè)計(jì)：按所要求的性能設(shè)計(jì)材料。(90年代)

哈工大

土木工程學(xué)院24/

2701 緒 論2﹒現(xiàn)代力學(xué)的特點(diǎn)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合，與其他基礎(chǔ)2401 緒 論智能結(jié)構(gòu)：90年代開(kāi)始，力學(xué)與材料、控制（包括傳感與激勵(lì)）、計(jì)算機(jī)相結(jié)合，研究發(fā)展面向21世紀(jì)的、具有“活”的功能的智能結(jié)構(gòu)。Th物力學(xué)：(70年代馮元禎博士)生物材料力學(xué)性能、微循環(huán)、定量生理學(xué)、心血管系統(tǒng)臨床問(wèn)題和生物醫(yī)學(xué)工程等?！皼](méi)有生物力學(xué)，就不能很好地了解生理學(xué)?！?/p>

哈工大

土木工程學(xué)院25/

2701 緒 論Th物力學(xué)：(70年代馮元禎博士)生物材料2501 緒 論參考資料：應(yīng)用彈塑性力學(xué)

徐秉業(yè)彈性力學(xué)（上、下冊(cè)）

徐芝倫彈性力學(xué)塑性力學(xué)楊桂通夏志皋工程彈塑性力學(xué)巖土塑性力學(xué)原理彈性理論彈性理論基礎(chǔ)孫炳楠等鄭穎人鐵木辛柯陸明萬(wàn)End哈工大

土木工程學(xué)院26/

2701 緒 論參考資料：彈性力學(xué)塑性力學(xué)楊桂通夏志皋工2601 緒 論1.1

張量概念◆

任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進(jìn)行的，它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的?！?/p>

分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們當(dāng)時(shí)對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)水平有關(guān)，會(huì)影響問(wèn)題的求解與表述?！?/p>

張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具。◆

張量分析具有高度概括、形式簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)?！?/p>

所有與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量。第1節(jié) 張量概念及其基本運(yùn)算

哈工大

土木工程學(xué)院27/

4801 緒 論1.1張量概念第1節(jié) 張量概念及其基本運(yùn)算2701 緒 論◆

在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說(shuō)明的物理量，統(tǒng)稱為標(biāo)量（Scalar

）。例如溫度、質(zhì)量、功等，在坐標(biāo)變換時(shí)其值保持不變的量，即滿足(

x1,

x2

,

x3

)

(

x1,

x2

,

x3

)◆

在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向的物理量，稱為矢量（Vector）

。例如速度、加速度等?！?/p>

標(biāo)量只需一個(gè)量就可確定，而矢量則需三個(gè)分量來(lái)確定。

哈工大

土木工程學(xué)院28/

4801 緒 論◆在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說(shuō)明的2801 緒 論◆

若我們以r表示維度（如三維空間），以n表示階數(shù)，則描述一切物理恒量的分量數(shù)目M

可統(tǒng)一地表示成：M

r

n統(tǒng)一稱這些物理量為張量（Tensor）

。當(dāng)n=0時(shí)，零階張量，M=1，標(biāo)量；當(dāng)n=1時(shí)，一階張量，M=31，矢量；當(dāng)n=2時(shí)，二階張量，M=

32，矩陣；當(dāng)取n時(shí)，n階張量，M=

3n?！?/p>

二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間可由坐標(biāo)變換29/

48關(guān)系式來(lái)解釋、定義。哈工大

土木工程學(xué)院01 緒 論◆若我們以r表示維度（如三維空間），以n表2901 緒 論由一組坐標(biāo)系變換到另一組坐標(biāo)系時(shí)，研究對(duì)象的分量若能按照一定規(guī)律變化，則稱這些分量的集合為張量。張量定義設(shè)（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢量，Ti1i2…in是與坐標(biāo)選擇有關(guān)的3n個(gè)獨(dú)立變量，若當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，n一次式3

3 3F

...Ti

i

...i

ai

bi

......si12n

1

2 ni11i21in

1保持不變，則取決于腳標(biāo)的3n個(gè)量Ti1i2…in的集合稱為n

階張量，其中每個(gè)元素稱為此張量的分量。

哈工大

土木工程學(xué)院30/

4801 緒 論由一組坐標(biāo)系變換到另一組坐標(biāo)系時(shí)，研究對(duì)象的分量3001 緒 論1.2

指標(biāo)記法◆

在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)，來(lái)表示和區(qū)別該張量的所有分量。◆

不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為自由標(biāo)號(hào)。自由標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號(hào)的數(shù)量確定張量的階次?！?/p>

重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號(hào)稱為啞標(biāo)號(hào)或假標(biāo)號(hào)。啞標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)先羅列，再求和?！?/p>

如不特意說(shuō)明，今后張量下標(biāo)符號(hào)的變程，僅限于三維空間，即變程為3。

哈工大

土木工程學(xué)院31/

4801 緒 論1.2指標(biāo)記法 哈工大土木工程學(xué)院313101 緒 論矢量V

的方式表示：vi代表矢量V的所有分量，即當(dāng)V

寫作vi時(shí)，指標(biāo)的值從1到3變化。V

(v1,v2,v3)3i

1

v1e1

v2e2

v3e2

viei

vi1ee2e3x1f

(X

)

f

(xi

)=f

(xj

)=f

(x1,x2

,x3

)x2x3

o12

3Pv

,v,vVV1V2V3

哈工大

土木工程學(xué)院32/

4801 緒 論矢量V的方式表示：vi代表矢量V的所有分量3201 緒 論aibi

aibi

a1b1

a2b2

a3b3i

13aijbj

aijbj

ai1b1

ai

2b2

ai

3b3i1

j1j

13

3aijbicj

aijbicj

a11b1c1

a12b1c2

a13b1c3a21b2c1

a22b2c2

a33b2c3a31b3c1

a32b3c2

a33b3c3展開(kāi)式（3項(xiàng)）展開(kāi)式（9項(xiàng)）33

3aijk

xi

x

j

xk

aijk

xi

x

jxk展開(kāi)式（27項(xiàng)）1.3

求和約定關(guān)于啞標(biāo)號(hào)應(yīng)理解為取其變程N(yùn)內(nèi)所有數(shù)值，然后再求和，這就叫做求和約定。333/

48i

1

j

1

k

1哈工大

土木工程學(xué)院01 緒 論aibiaibia1b13301 緒 論3ii

ii

11

22

33j

1a2

a2

a2

a2

a2

2322

a

a

(a

a

a

)

i1

ii

ii

11

22

333

3

ij

ij

ij

iji1j

1

11111212

1313

2121

2222

232331313232

3333

哈工大

土木工程學(xué)院34/

4801 緒 論3iiii 11 22 3401 緒 論aibi

xi關(guān)于下標(biāo)的約定可以總結(jié)為以下三條規(guī)則：1.如果在一個(gè)方程或表達(dá)式的一項(xiàng)中，一種下標(biāo)只出現(xiàn)一次，則稱之為自由指標(biāo)，這種自由指標(biāo)在表達(dá)式或方程的每一項(xiàng)中必須只出現(xiàn)一次。2.如果在一個(gè)表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種指標(biāo)正好出現(xiàn)兩次，則稱之為啞標(biāo)，它表示從1到3求和。啞標(biāo)在其他任何項(xiàng)中可以剛好出現(xiàn)兩次，也可以不出現(xiàn)。3.如果在一個(gè)表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種指標(biāo)出現(xiàn)的次數(shù)多于兩次，則是錯(cuò)誤的。n是違約的，求和時(shí)要保留求和號(hào)

aibi

xii1

哈工大

土木工程學(xué)院35/

4801 緒 論aibixi關(guān)于下標(biāo)的約定可以總結(jié)為以下三條規(guī)3501 緒 論例題：利用求和約定縮寫下面線性方程組a11x1

a12x2

a13x3

b1a21x1

a22x2

a23x3

b2a31x1

a32x2

a33x3

b3解：作為第一步縮寫，可以寫成：a1jxj

b1a2jxj

b2a3jxj

b3最后可以縮寫為：aijxj

bi其中i

稱為自由標(biāo)，j

稱為啞標(biāo)。哈工大

土木工程學(xué)院36/

4801 緒 論例題：利用求和約定縮寫下面線性方程組其中i稱為3601 緒 論……例題：描述Cij=AikBjk的意義。解：

Cij=AikBjk，則表明i

，j為自由指標(biāo)，k

為啞標(biāo)表示9個(gè)方程：C11

A1kB1k

A11B11

A12B12

A13B13C12

A1kB2k

A11B21

A12B22

A13B23C13

A1kB3k

A11B31

A12B32

A13B33C21

A2kB1k

A21B11

A22B12

A23B13C33

A3kB3k

A31B31

A32B32

A33B33哈工大

土木工程學(xué)院37/

4801 緒 論……例題：描述Cij=AikBjk的意義。C333701 緒 論關(guān)于求和標(biāo)號(hào)（啞標(biāo)）說(shuō)明：◆

由于啞指標(biāo)在求和之后就不再出現(xiàn)，所以啞指標(biāo)字母可以任意改變。2 2 2 2ii

11

22

33a

a

a

a2 2ii

11

22

33(a)

(a

a

a

)or

orS

aixi

ajxj

akxk◆

求和約定只適用于字母標(biāo)號(hào)，不適用于數(shù)字標(biāo)號(hào)?！?/p>

在運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的求和標(biāo)號(hào)應(yīng)在進(jìn)行其它運(yùn)算前就先求和。

哈工大

土木工程學(xué)院38/

4801 緒 論關(guān)于求和標(biāo)號(hào)（啞標(biāo)）說(shuō)明：2 2 2 2ii 13801 緒 論規(guī)定：出現(xiàn)雙重指標(biāo)但不求和時(shí)，在指標(biāo)下方加劃線以示區(qū)別，或用文字說(shuō)明（如i

不求和）。Ri

CiEi

Ci

Ei這里i

相當(dāng)于一個(gè)自由指標(biāo)，而i

只是在數(shù)值上等于i，并不與

i求和。例外情況R1

C1E1R2

C2

E2R3

C3

E3

哈工大

土木工程學(xué)院39/

4801 緒 論規(guī)定：出現(xiàn)雙重指標(biāo)但不求和時(shí)，在指標(biāo)下方加劃線3901 緒 論又如，方程22 21 2 3 1

1

1 2

2

2 33

3

用指標(biāo)法表示，可寫成i

i

ii

i

i

i

i

i

i

ii不參與求和，只在數(shù)值上等于

i

哈工大

土木工程學(xué)院40/

4801 緒 論又如，方程22 21 2 3 114001 緒 論關(guān)于自由標(biāo)號(hào)：◆

在同一方程式中，各張量的自由標(biāo)號(hào)相同，即同階且標(biāo)號(hào)字母相同。aij

x

j

bi◆

自由標(biāo)號(hào)的數(shù)量確定了張量的階次。

哈工大

土木工程學(xué)院41/

4801 緒 論關(guān)于自由標(biāo)號(hào)： 哈工大土木工程學(xué)院41/4101 緒 論ijij

00

1

1,當(dāng)i

j

時(shí)；或：

0

1

0

0,當(dāng)i

j

時(shí)；ijvj=vi即在將ij應(yīng)用于vj只是將vj中的j用i置換；對(duì)于單位矢量，點(diǎn)積ei·ej=ij

；其他關(guān)于Kronecker符號(hào)的描述可以參考孫炳楠的《工程彈塑性力學(xué)》及相關(guān)張量的其他文獻(xiàn)。1.4

Kronecker

delta（ij）符號(hào)ij是張量分析中的一個(gè)基本符號(hào)稱為柯氏符號(hào)，亦稱單位張量,也叫置換算子.其定義為：10

0

哈工大

土木工程學(xué)院42/

4801 緒 論ijij 04201 緒 論ij

的作用與計(jì)算示例：(1)ii

11

22

33

3(2)

(

)2

(

)2

(

)2

3ij

ij 11 22 33(3)

ij

jk

i11k

i

22k

i

33k

ik(4)aijij

a1111

a2222

a3333

aii(5)aiij

a11j

a22j

a33j

aj

(即a1,或a2,或a3)(6)

ij

l

j

li

ij

l

j

ijl

j

(

ij

ij

)l

j

哈工大

土木工程學(xué)院43/

4801 緒 論ij的作用與計(jì)算示例： 哈工大土木工程4301 緒 論若e1，e2，e3是相互垂直的單位矢量，則ei

ej=

ijei

ei

=

e1

e1

+

e2

e2

+

e3

e3=

11

22

33

3ei

ei

=

ii注意：ii是一個(gè)數(shù)值（3）ij的作用：1）換指標(biāo)；2）選擇求和。

哈工大

土木工程學(xué)院44/

4801 緒 論若e1，e2，e3是相互垂直的單位矢量，則ij4401 緒 論例3：特別地例1：完成腳標(biāo)變換

Ai→AkkiAi

kkAk

Ak思路：把要被替換的指標(biāo)

i變成啞標(biāo)，啞標(biāo)能用任意字母，因此可用變換后的字母

k表示。例2：完成變換

Tkj→TijikTkj

iiTij

Tijikkj

ij ikkj

jm

imAmiBnj代表34=81個(gè)數(shù)，求

m=n時(shí)各項(xiàng)的和。mnAmiBnj

AniBnj

Ami

Bmj哈工大

土木工程學(xué)院45/

4801 緒 論例3：特別地例1：完成腳標(biāo)變換Ai→Akik4501 緒 論張量的運(yùn)算法則與矢量相類似。如：張量相等即對(duì)應(yīng)分量相等；張量相加即對(duì)應(yīng)分量相加；張量相乘構(gòu)成一個(gè)階數(shù)是原張量的階數(shù)之和的新張量；n階張量縮并后變?yōu)閚-2

階張量等等。1.5

張量的基本運(yùn)算

哈工大

土木工程學(xué)院46/

4801 緒 論張量的運(yùn)算法則與矢量相類似。如：張量相等即對(duì)4601 緒 論A、張量的加減：凡是同階的張量可以相加（減），并得到同階的張量，它的分量等于原來(lái)張量中標(biāo)號(hào)相同的諸分量之代數(shù)和。aij

bij

cij若

a

為一矢量，則

(T

S)

a

=

T

a

S

a其分量為：

(T

S

)i

j

=

ei

(T

S

)

ej=

ei

T

ej

ei

S

ej=Tij

Sij其矩陣形式為： T

S

T

S

哈工大

土木工程學(xué)院47/

4801 緒 論A、張量的加減： 哈工大土木工程學(xué)院474701 緒 論◆一個(gè)張量在一個(gè)坐標(biāo)系中的所有分量都為0，則在所有坐標(biāo)系中的所有分量都為0。這個(gè)論述在減少數(shù)學(xué)和物理證明方面很有幫助，如：要考慮Fi導(dǎo)致的應(yīng)力ij，以后將證明，為滿足平衡ij,j=Fi，現(xiàn)將它重寫為Di=

ij,j－Fi=0因?yàn)镈i

是零矢量，因此只需在一個(gè)坐標(biāo)系中證明即可。

哈工大

土木工程學(xué)院48/

4801 緒 論◆一個(gè)張量在一個(gè)坐標(biāo)系中的所有分量都為0，則在4801 緒 論B、張量的乘積（相當(dāng)于叉乘）張量A

的每一個(gè)分量乘以張量B

中的每一個(gè)分量所組成的集合仍然是一個(gè)張量，稱為積張量。積張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。aibjk

cijk◆

對(duì)于任何階的諸張量都可進(jìn)行乘法運(yùn)算?！?/p>

張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配律和結(jié)合律。例如：ij ij

k ij

k ij

k(a

b)c

ac

b

c或(aijbk)cm

aij(bkcm

)

哈工大

土木工程學(xué)院49/

4801 緒 論B、張量的乘積（相當(dāng)于叉乘）張量階數(shù)之和。aib4901 緒 論C、張量的收縮設(shè)n階張量的分量中有兩個(gè)下標(biāo)相同，根據(jù)求和約定，則得到具有n-2個(gè)下標(biāo)的量，即共3n-2個(gè)分量，為n-2階張量，稱為張量收縮。例如：二階張量cij

收縮后為標(biāo)量。cii

c11

c22

c33D、張量的內(nèi)積（相當(dāng)于點(diǎn)乘）張量的內(nèi)積是向量?jī)?nèi)積的拓展。在張量乘積PQ中，m階張量P和n階張量Q中各取出一下標(biāo)收縮一次后得到m+n-2階張量，稱為張量P和Q的內(nèi)積，以P·Q表示。c

ai

bi

哈工大

土木工程學(xué)院50/

4801 緒 論C、張量的收縮 哈工大土木工程學(xué)院50/5001 緒 論E、張量函數(shù)的求導(dǎo)：◆

對(duì)于任何階的諸張量都可進(jìn)行乘法運(yùn)算。◆

一個(gè)張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個(gè)分量都是坐標(biāo)參數(shù)xi

的函數(shù)?！?/p>

張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個(gè)分量都對(duì)坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)?！魧?duì)張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，采用在張量下標(biāo)符號(hào)前方加“，”的方式來(lái)表示。例如Ai,j

，就表示對(duì)一階張量Ai的每一個(gè)分量對(duì)坐標(biāo)參數(shù)xj

求導(dǎo)。

哈工大

土木工程學(xué)院51/

4801 緒 論E、張量函數(shù)的求導(dǎo)： 哈工大土木工程學(xué)院55101 緒 論◆

如果在微商中下標(biāo)符號(hào)i是一個(gè)自由下標(biāo)，則算子i()作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個(gè)新的升高一階的張量；,ixi

x1

x2

x3

,

)

(

,i

,i

u

ui

u1

u2

u3xi x1

x2x3◆

如果在微商中下標(biāo)符號(hào)i是啞標(biāo)號(hào)，則作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個(gè)新的降低一階的張量。

哈工大

土木工程學(xué)院52/

4801 緒 論◆如果在微商中下標(biāo)符號(hào)i是一個(gè)自由下標(biāo)，則算5201 緒 論設(shè)(1)(2)ai=

Uimbmbi=

Vimcm把（2）

代入（1）bi=

Vimcmbm=

Vmncni im

mn

na=UV

c3個(gè)方程，右邊為9項(xiàng)之和指標(biāo)記法的運(yùn)算1

代入

哈工大

土木工程學(xué)院53/

4801 緒 論設(shè)(1)(2)ai=Uimbmbm=5301 緒 論2

乘積設(shè)則p

=

Umamq

=

Vm

bm

pq

=

UmamVnbn不符合求和約定pq

UmamVmbm

哈工大

土木工程學(xué)院54/

4801 緒 論2乘積則p=Umam不符合求和約定pq5401 緒 論Tijnj-lni=

03

因式分解考慮第一步用nj表示ni,

ij

有換指標(biāo)的作用ni=ij

nj所以Tijnj-lijnj

0即(Tij-lij)nj

0

哈工大

土木工程學(xué)院55/

4801 緒 論Tijnj-lni=03因式分5501 緒 論啞標(biāo)與求和無(wú)關(guān)，可用任意字母代替

ii

ii為平均應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系4

縮并使兩個(gè)指標(biāo)相等并對(duì)它們求和的運(yùn)算稱為縮并。如各

向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。Tij=

Ekkij+2

Eij縮并

ii

kkii

ii

kk

ii

哈工大

土木工程學(xué)院56/

4801 緒 論啞標(biāo)與求和無(wú)關(guān)，可用任意字母代替ii5601 緒 論分量為ai，于是D、張量的分量：設(shè)ei為卡氏直角坐標(biāo)系xi軸的單位基矢量，a為任一矢量，其稱為二階張量T

的分量對(duì)于一個(gè)二階張量T，它可以將a變換成另一個(gè)矢量b，即b

T

a

T

(aiei

)

ai

(Tei

)bi

bei

aj

(Tej

)ei

aj

(eiTej

)

TijajTij

ei

T

eja

aieiai

a

ei

ei

a可理解為矢量T·ej在ei上的分量。

哈工大

土木工程學(xué)院57/

4801 緒 論分量為ai，于是D、張量的分量：稱為二階張量T5701 緒 論22ij ij ji ij ij jip

1(a

+a

) q

1(a－a

)E、張量的分解：若張量[aij]的分量滿足aij=aji則稱[aij]為對(duì)稱張量。若張量[aij]的分量滿足aij=－aji則稱[aij]為反對(duì)稱張量。顯然反對(duì)稱張量中標(biāo)號(hào)重復(fù)的分量(也即主對(duì)角元素)為零。a11

a22

a33

0一般張量總可以唯一地表示成一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量之和。End哈工大

土木工程學(xué)院58/

3201 緒 論22ij ij ji ij ij jip5801 緒 論研究對(duì)象——三維彈性體微分單元體入手超靜定問(wèn)題靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系等三方面的條件本章從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。

哈工大

土木工程學(xué)院59/

9301 緒 論研究對(duì)象——三維彈性體微分單元體入手超靜5901 緒 論F1F2q第1節(jié) 基本概念1.1外

力1外力(load)：導(dǎo)致物體產(chǎn)生變形的外界作用因素（熱力作用、化學(xué)力作用、電磁力作用和機(jī)械力作用）稱外力。我們討論的外力是屬于機(jī)械力的范籌。面力：作用在物體表面上的力。接觸力、液體壓力等；集中力、分布力；單位：N或

N/m2。體力：作用在物體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力。重力、慣性力等；單位：N/m3。FnFi60/

93哈工大

土木工程學(xué)院01 緒 論F1F2q第1節(jié) 基本概念接觸力、液體壓力等；6001 緒 論2內(nèi)力(internalforce)：物體內(nèi)部抵抗外部機(jī)械作用而產(chǎn)生相互作用稱內(nèi)力。固有內(nèi)力—物體各部分之間、材料各微粒之間的相互作用力。物體在受到外力之前，內(nèi)部就存在著固有內(nèi)力。附加內(nèi)力—由外力而引起的內(nèi)力，在原有內(nèi)力的基礎(chǔ)上，又添加了新的內(nèi)力，與變形有關(guān)。F1qF1F2F2MR’R

M’qfpFnFi哈工大

土木工程學(xué)院FnFi61/

9301 緒 論2內(nèi)力(internalforce)：物體內(nèi)6101 緒 論今后如無(wú)特別說(shuō)明，就簡(jiǎn)稱附加內(nèi)力為內(nèi)力。通常內(nèi)力隨著外力的增加而增加，但不能無(wú)限地增加，若超過(guò)一定的限度構(gòu)件將被破壞?？梢?jiàn)，附加內(nèi)力與外力的關(guān)系及它的限度，在研究構(gòu)件承載能力時(shí)，就顯得很重要了。內(nèi)力特點(diǎn)：1、有限性：隨外力的變化而變化，不能無(wú)限增加。2、分布性：內(nèi)力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。3、成對(duì)性：附加作用力和反作用力。研究一個(gè)物體不同部分之間的內(nèi)部相互作用，通常用“截面法”。其基本步驟：①截開(kāi)；②代替；

③平衡。

哈工大

土木工程學(xué)院62/

9301 緒 論今后如無(wú)特別說(shuō)明，就簡(jiǎn)稱附加內(nèi)力為內(nèi)力。 哈6201 緒 論3應(yīng)力(Stress)：受力物體內(nèi)某截面上一點(diǎn)內(nèi)力的內(nèi)力分布疏密程度，即分布集度

。工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)椤捌茐摹被颉笆А蓖鶑膬?nèi)力集度最大處ΔRSΔR

dRdS②全應(yīng)力：p

limS

0

SFiF1

R

①平均應(yīng)力：p

qS63/

93開(kāi)始哈工大

土木工程學(xué)院01 緒 論3應(yīng)力(Stress)：受力物體內(nèi)某截面上一點(diǎn)6301 緒 論應(yīng)力分解：ndSS0

ΔSndSΔS0

ΔS垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”：

limΔRn

dRn位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”：

limΔR

dRF1Fipqnnn某截面（外法線方向）上的應(yīng)力pn稱為全應(yīng)力(stress)

，可分解為正應(yīng)力(normalsress)n和剪應(yīng)力(shear

stress)

n

哈工大

土木工程學(xué)院64/

9301 緒 論應(yīng)力分解：ndSS0ΔSndSΔS06401 緒 論特點(diǎn)：應(yīng)力是內(nèi)力的集度；內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量；應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2

=1.0197kgf/mm2應(yīng)力是某點(diǎn)A的坐標(biāo)的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點(diǎn)的應(yīng)力不同；應(yīng)力是某點(diǎn)A在坐標(biāo)系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點(diǎn)不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。所謂應(yīng)力必須指明兩點(diǎn)：1.是哪一點(diǎn)的應(yīng)力；2.是該點(diǎn)哪個(gè)微截面的應(yīng)力。65/

93哈工大

土木工程學(xué)院01 緒 論特點(diǎn)：2.是該點(diǎn)哪個(gè)微截面的應(yīng)力。哈工大土木65點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：是指通過(guò)變形體內(nèi)某點(diǎn)的所有截面上的應(yīng)力矢量的合集，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGiven

Point）01 緒 論第2節(jié)

應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力張量2.1

應(yīng)力狀態(tài)

哈工大

土木工程學(xué)院66/

93點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：是指通過(guò)變形體內(nèi)某點(diǎn)的所有截面上的應(yīng)力矢量6601 緒 論單元體的性質(zhì)a、任一面上，應(yīng)力均布；b、平行面上，性質(zhì)相同。描述空間一點(diǎn)處的應(yīng)力的單元體單元體：物體內(nèi)點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn)的無(wú)限小的幾何體。

哈工大

土木工程學(xué)院67/

9301 緒 論單元體的性質(zhì)a、任一面上，應(yīng)力均布；b、6701 緒 論x

yz

z

y

xz

zx

zy

yzdx

xdzyz

xy

yxdyO單元體上的應(yīng)力分量及應(yīng)力正負(fù)值規(guī)定◆

應(yīng)力的表示及符號(hào)規(guī)則正應(yīng)力：xx→

x剪應(yīng)力：xy→

xy前字母表明該應(yīng)力所在截面；后字母表明該應(yīng)力所指方向。指定坐標(biāo)軸正方向：x,y,z?！?/p>

應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定正面正向正；負(fù)面負(fù)向正。x哈工大

土木工程學(xué)院68/

9301 緒 論xyzzyxzzxzy6801 緒 論2.2

應(yīng)力張量在數(shù)學(xué)上，如果某些量依賴于坐標(biāo)軸的選擇，并在坐標(biāo)變換時(shí)，按某種指定的形式變化，則稱這些量的總體為張量。應(yīng)力分量

x、

y

、

z

、xy

、yx

、

yz

、

zy

、

zx

、

xz滿足上述性質(zhì)，構(gòu)成應(yīng)力張量。

x xy xz

11 12 13

ij

yx

yz

21

22

23

y

zx

z

zy

31

32

33

哈工大

土木工程學(xué)院69/

9301 緒 論2.2應(yīng)力張量ijyx 6901 緒 論力張量確定。說(shuō)明方向。應(yīng)力張量的特點(diǎn)

應(yīng)力張量為二階張量。

應(yīng)力張量為對(duì)稱張量。

一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)完全由應(yīng)

應(yīng)力分量是標(biāo)量箭頭僅是

x

xy

xz

11

12

13

ij

yx

yz

21

22

23

y

zx

z

zy

31

32

33

哈工大

土木工程學(xué)院70/

9301 緒 論力張量確定。說(shuō)明方向。應(yīng)力張量的特點(diǎn)ij7001 緒 論第3節(jié) 應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析：討論一點(diǎn)某截面方位改變引起的應(yīng)力變化趨勢(shì)的過(guò)程。一點(diǎn)可以用無(wú)窮個(gè)微元表示，找出之間應(yīng)力的關(guān)系，稱為應(yīng)力狀態(tài)分析xxyy

zxz

y斜截面上的應(yīng)力主應(yīng)力最大剪應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)對(duì)z于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是十分重要的。準(zhǔn)確描述應(yīng)力狀態(tài)，合理的應(yīng)力參數(shù)。用解析法研究

解析理論一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)用幾何法研究哈工大

土木工程學(xué)院莫爾應(yīng)力圓

71/

9301 緒 論第3節(jié) 應(yīng)力狀態(tài)分析xy斜截面上的應(yīng)力主應(yīng)7101 緒 論3.1

平衡微分方程應(yīng)力平衡微分方程就是物體任意無(wú)限相鄰兩點(diǎn)間應(yīng)力關(guān)系，可以通過(guò)微體沿坐標(biāo)軸力平衡來(lái)得到，一般應(yīng)力平衡方程在不同坐標(biāo)系下有不同如果物體件，則其內(nèi)部任何部分必然是滿足平衡條件的，因此，以取一個(gè)微元體分析。的表達(dá)式。整體滿足平衡條也可

哈工大

土木工程學(xué)院72/

9301 緒 論3.1平衡微分方程的表達(dá)式。 哈工大土7201 緒 論

(

x

dx,

y,

z)

(

x,

y,

z)

d

Lx要求應(yīng)力至少一階連續(xù)。推導(dǎo)原理：靜力平衡條件：

X

0,

Y

0,

Z

0靜力矩平衡條件：Mx

0,

My

0,

Mz泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：

哈工大

土木工程學(xué)院73/

9301 緒 論(xdx,y,z)7301 緒 論yzzx

x

xdxdydz

dydz

dy

dzdx

xxy

x

yx

dzdx

zxdzdxdy

dxdy

Fdxdydz

0yx

zxz同理可推出另兩個(gè)平衡微分方程。

x

yx

zx

Fx

0x

y

z

xy

y

zy

Fy

0x

y

z

xz

y

z

z

0ij,i

Fj

0張量形式為：平衡方程的推導(dǎo)：以x軸為投影軸，由X=0

得：Fz哈工大

土木工程學(xué)院74/

93xyz01 緒 論yzzx x 7401 緒 論以連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力矩的平衡方程Mab=0

：222yzyzzyzydy2dzdz

dy

dy

dxdz

dxdzy

yz

dz

dxdy

dxdy

0z

zy略去微量并整理得：

yz

zy

zx

xz

xy

yx

ij

ji剪應(yīng)力互等定理

哈工大

土木工程學(xué)院75/

9301 緒 論以連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力7501 緒 論3.2

斜截面上應(yīng)力狀態(tài)3.2.1

平面應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的解析表示yOnxyxyyxyxxy

x正應(yīng)力二者定義沒(méi)有差異而切應(yīng)力定義方向不同ynxyxy

yx=

xyyxxy

xyx

彈性力學(xué)以坐標(biāo)材力以變形效應(yīng)76/

93系定義應(yīng)力分量定義應(yīng)力分量哈工大

土木工程學(xué)院01 緒 論3.2斜截面上應(yīng)力狀態(tài)yOnxyx7601 緒 論

x xy22

xy

x y

x ycos2

sin

22

xy

x ysin2

cos

22

y

S

sin

yx

S

sin

cos

0考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：

F

0F

0

S

Scos2

Scos

sin

nxyOxyynxyyxyxxy

x

哈工大

土木工程學(xué)院77/

9301 緒 論 x xy22 xy 7701 緒 論確定正應(yīng)力和剪應(yīng)力的極值xyd

2d

x

y2sin2

2

cos2dd若

=

0時(shí)，能使

002

xy

x

y

0和

0

+90°它們?nèi)〉脙蓚€(gè)互相垂直的平面，稱主平面，主平面上對(duì)應(yīng)的極值應(yīng)力稱主應(yīng)力。22max

x

yx y

2

2xy

min

（ ）

則tan2

哈工大

土木工程學(xué)院78/

9301 緒 論確定正應(yīng)力和剪應(yīng)力的極值xyd 2d7801 緒 論用相似方法可確定剪應(yīng)力的極值xyd

2d

2

x

ycos2

2

sin2xy

x

y若

=

1時(shí),能使d

d

01和

1+90°它們?nèi)〉脙蓚€(gè)互相垂直的平面，分別作用著最大剪應(yīng)力和最小剪應(yīng)力。max2xyx y

2 2

min

）

（則 tan21

2

哈工大

土木工程學(xué)院79/

9301 緒 論用相似方法可確定剪應(yīng)力的極值xyd 2d7901 緒 論由xy

x

ytan21

2x y2

xytan20

得即tan

20

tan

21

121

20

901

0

45即最大剪應(yīng)力和最小剪應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為45°。

哈工大

土木工程學(xué)院80/

9301 緒 論由xyxytan218001 緒 論2222xyxxy

2

y

2

消去解析表達(dá)式中參數(shù)（2），得：一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的幾何表示2 2xy

xy

xycos2

sin

22

xy

x ysin2

cos

2應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國(guó)工程師：Otto

Mohr引入）哈工大

土木工程學(xué)院81/

9301 緒 論2222xyxxy28101 緒 論yOx

應(yīng)力圓的畫(huà)法yxyyx

nxy

xyxy

x建立應(yīng)力坐標(biāo)系O在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)A(

x，xy)和B(y，-yx)AB與

軸的交點(diǎn)C

便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓；A(x

,xy)OCB(y

,-yx)

哈工大

土木工程學(xué)院82/

9301 緒 論yOx應(yīng)力圓的畫(huà)法xyyx n8201 緒 論

單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系

面上的應(yīng)力(

，

)應(yīng)力圓上一點(diǎn)(

，

)

面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；xyOy

xyxyyxyx

nxyxA(x

,xy) 且轉(zhuǎn)向一致。xn2

D(

,

OCB(y

,-yx)

哈工大

土木工程學(xué)院83/

9301 緒 論單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(8301 緒 論D(

,

x主應(yīng)力和主方向

0n

max＝OC

R

min＝OC

R2xy