自主招生中的立體幾何和初等數(shù)論

立體幾何:1,三面角公式：立體幾何中有一個常用的公式：…????????■-。即如圖在面面垂直的背景下，從棱上一點出發(fā)在兩個互相垂直的平面里各做一條射線，并與棱組成兩個所謂立角??和臥角?'?'，兩射線又組成所謂斜角『，則斜角的余弦等于立角和臥角之積。我們也因此想到如果二面角?不是直二面角是否會有a~-b2-e1a~b~-(X2+y1-2xycos.y)相應(yīng)的結(jié)論呢？實際上nF2^-2x}Jcosf郵)54sinftsin#cos》有趣的二三二二二5當.時為：*???"??、:—??.?I。尤其要強調(diào)的是由于邊角轉(zhuǎn)化關(guān)系的內(nèi)化，使得此公式在解決包括二面角在內(nèi)的角的問題時顯示出突出的簡便性，并且具有使用方面的普遍性，為解決角的問題開創(chuàng)了嶄新的領(lǐng)域，例：四棱錐P—ABCD中，底面為矩形，AB=3，AD=1，又PAIAB,PA=PAD=60°，求二面角P—BC—D的大小。2,投影公式丁、?'、?.’求二面角的大小.其中S'、S分別表示投影圖形和被投影圖形的面積，而e則是這兩個圖形所在平面的夾角.

如圖，二面角’'為銳二面角，AABC在半平面'內(nèi),e應(yīng)滿足皿”=△ABC在平面內(nèi)的射影為^AiBiCi，那么二面角的大小'例：如圖，矩形ABCD中,AB=6,BC^',沿對角線BD將折起，使點A移至點P,且P在平面BCD內(nèi)的射影為O，且如圖，二面角’'為銳二面角，AABC在半平面'內(nèi),求證:PDXPC；求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；求CD與平面PBD所成的角的正弦值.真題演練:真題演練:1,(08，復(fù)旦)在如圖所示的三棱柱中，點""的中點以及‘的中點N所決定的平面把三棱柱切割成體積不相同的兩部分，問小部分的體積和大部分的體積比.2，(09，清華)四面體ABCD中，AB二CD，AC二BD，AD=BC.（1）求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形；（2）設(shè)底面為BCD，另外三個面與面BCD所成的二面角為、;.求證：cosfl4-cosS+cosy二I.3，（09，復(fù)旦）半徑為R的球的內(nèi)部裝有4個有相同半徑r的小球，則小球半徑r可能的最大值是.思考：若棱長為??的正四面體內(nèi)部裝有4個有相同半徑r的小球，則小球半徑r可能的最大值是.4，（10，五校）如圖，正四棱錐P-ABCD中，B1為PB中點，D1為PD中點，求兩個棱錐AB1CD1、P-ABCD體積之比.5，（09，南大）如圖，四面體ABCD中平面n截四面體所得截面EFGH，且AB〃平面n，CD〃平面n，AB、CD到平面n的距離分別為d1、d2，且'打''，求立體圖形ABEFGH與四面體ABCD體積之比（用k表示）.6，（01，復(fù)旦）全面積為定值而的圓錐中，體積最大值為.7，（06，復(fù)旦）若四面體的一條棱長為x，其余棱長均為1，體積是―，則「在其定義域上為（）.A.增函數(shù)但無最大值B.增函數(shù)且有最大值C.不是增函數(shù)且無最大值D.不是增函數(shù)但有最大值ZDA.8■=—…...—;，PD±平面ABCD，線段PD=AD，點E、F分別是AB、PD中點，則二面角P-AB-F的平面角的余弦值為.9，（08，復(fù)旦）棱長為1的正四面體ABCD中，點M和N分別是邊AB和CD的中點.則線段MN的長度為.（08，復(fù)旦）若空間三條直線兩兩成異面直線，則與這三條直線都相交的直線有—條.11，（10，復(fù)旦）設(shè)一個多面體從前面、后面、左面、右面、上面看到的圖形分別為：NDD00則該多面體的體積為（）A.2/3B.3/4C.4/5D.5/612.（10,復(fù)旦）在一個底面半徑為1/2，高為1的圓柱內(nèi)放入一個直徑為1的實心球后，在圓柱內(nèi)空余的地方放入和實心球、側(cè)面以及兩個底面之一都相切的小球，最多可以放入這樣的小球個數(shù)是（）A.32個；B.30個；C.28個；D.26個13，（10，復(fù)旦）設(shè)ABC-A’B’C’是正三棱柱，底面邊長和高都為1，P是側(cè)面ABB’A’的中心，則P到側(cè)面ACC’A’的對角線的距離是（）A.-B.4c.'D.-14，（09，復(fù)旦）三棱柱ABC-A'B'C'的底是邊長為1的正三角形，高AA'=1，在AB上取一點P，設(shè)三角形PA'C'與底的二面角為…，三角形PB'C'與底的二面角為'，則的最小值為.15，（07，復(fù)旦）棱長為?「的正方體內(nèi)有兩球互相外切，且兩球各與正方體的三個面相切，則兩球半徑之和為.16，（06，武大）已知一個簡單多面體的每一個面均為五邊形且它共有30條棱，則多面體的面數(shù)F和頂點數(shù)V分別等于.17，（00，復(fù)旦）正六棱錐的高等于h，相鄰側(cè)面的二面角等于2arcsin-寸6）…’，求該棱錐的體積.18，（01，復(fù)旦）已知棱柱ABC-A1B2C3的底面是等腰三角形，AB二AC，上底的頂點'，棱柱的側(cè)面積為證明：側(cè)面A1ABB1和A1ACC1都是菱形，B1BCC1是矩形;（1求棱柱的側(cè)面所成的三個二面角的大小;（2求棱柱的體積.（04,復(fù)旦）已知E為棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB的中點，求點B到面A1EC的距離.（04,同濟）設(shè)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且PAXBD.（1求證：直線PCXBD；里過直線BD且垂直于PC的平面交PC于點E,如果三棱錐E-BCD的體積取到最大值，求此時四棱錐P-ABCD的高.（05，復(fù)旦）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別為AD、AA1、A1B1中點，求：（1B到面EFG的距離；魚二面角G-EF-D餌勺平面角、22,（10，五校）如果平面皿月，直線部』，點H，氣滿足：眼"且服與Q所成的角為打'心服，冉與座所成的角為3,那么幽與冉所成的角大小為（）7T7T7T7T（A）（B）4（C）&（D）8A=-h（08，浙大）有一個圓錐正放，它的高為h,圓錐內(nèi)水面高為；，現(xiàn)將圓錐倒置，求倒置的水面高度'.（10,同濟）四面體ABCD中，■."」"■「、，AB與CD的距離為d,夾角為”，求四面體ABCD的體積.（09，南大）有一個圓柱形杯子，底面周長為12cm，高為8cm,A點在內(nèi)壁距離杯口2cm處，A對面外壁距杯底2cm處有一只小蟲.問：小蟲至少走多長的路才能到A處？26.（10，五校）（I）正四棱錐的體積3，求正四棱錐的表面積的最小值;

(II)一般地，設(shè)正形棱錐的體積片為定值，試給出不依賴于科的一個充分必要條件，使得正棱錐的表面積取得最小值.二、數(shù)論高斯函數(shù):設(shè)■■是實數(shù)，卜表示不超過■-的最大整數(shù)，稱為■-的整數(shù)部分，則'I稱為■-的小數(shù)部分，記作?'。E'卜若'1"l<1'-1是一個周期為1的函數(shù)I"I""1-1>11其中等號有且只有一個成立，2，同余眼一白即且-古=燦，則稱刁在模m時與b同余，記作眼一白即且-古=燦，則稱刁在模m時與b同余，記作性質(zhì)3:性質(zhì)4：'；LH，；山，則,'”性質(zhì)3:性質(zhì)4：'；LH，；山，則,'”，土..?"言”性質(zhì)5:?.?"'"，；?，則性質(zhì)2:傳遞性：'土m，"、成..le-「.："，?，、.：.：：3,一個數(shù)的二進制分解真題則這樣的，的個1.(11復(fù)旦)設(shè)正整數(shù)，可以等于4個不同正整數(shù)的倒數(shù)之和數(shù)是()（A）1（B）2（C）3（D）4（09,清華）寫出三個數(shù)都是素數(shù)，且公差為8的等差數(shù)列，并證明之.則這樣的，的個a.'-2a（03，交大）求證：；■：'■、1為最簡分數(shù).（06,清華）求由正整數(shù)組成的集合S（至少含有兩個元素），使S中的元素之和等于元素之積.（00，交大）若今天是星期二，則3?*天之后是星期（01，交大）"eI，則、（）11111vA.3B.4C.5D.6（09,復(fù)旦）設(shè)，定義在X上的運算如下：'，■■■'■丁且心"字給定初始值〃"記"■■-則使得數(shù)列”*!取遍X中所有元素的初值％的集合是.（10，復(fù)旦）設(shè)，不定方程?有整數(shù)解的必要條件是（）A.；'”都整除，?：B.的最大公因數(shù)整除」C.兩兩互素D.除1外沒有其他公因數(shù)（03，交大）100！的末尾連續(xù)有個零.（06，交大）："、：的末尾連續(xù)有_個零。（04，交大）已知6眄以況=7泌匚個，則go=.（04，交大）（了’*）的個位數(shù)字是.（03，交大）有一個正整數(shù)的首位是7,當7換至末位時，得到的數(shù)是原數(shù)的三分