空間向量與立體幾何專題訓(xùn)練-高三數(shù)學(xué)二輪輪復(fù)習(xí)

空間向量與立體幾何一、單選題1．如圖，在正四棱柱中，，，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（） B． C．2 D．2．向量(2，1，x)，(2，y，-1)，若，且，則x+y的值為（）A．-1 B．1 C．-4 D．43．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD所成的角為60°；④AB與CD所成的角為60°．其中錯(cuò)誤的結(jié)論是（）A．① B．② C．③ D．④4．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則與相等的向量是（）A．B．C．D．5．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A．B．C．D．6．長方體，，，點(diǎn)在長方體的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，，則二面角的平面角正切值的取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為（） B． C． D．8．如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（） B． C． D．二、多選題9．已知三棱錐，，分別是，的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，設(shè)，，，則下列等式成立的是（）A．B．C．D．10．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝1，點(diǎn)Q是棱A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（）A．PQ與EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．PEF的面積是D．點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值三、填空題11．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，到，，，的距離都等于2．給出以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．12．如圖所示，在三棱柱中，已知是邊長為的正方形，四邊形是矩形，平面平面.若，則直線到面的距離為___________.13.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為__________．14．在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個(gè)如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，并要求同學(xué)們將該四棱錐切割成三個(gè)小四棱錐.某小組經(jīng)討論后給出如下方案：第一步，過點(diǎn)作一個(gè)平面分別交，，于點(diǎn)，，，得到四棱錐；第二步，將剩下的幾何體沿平面切開，得到另外兩個(gè)小四棱錐.在實(shí)施第一步的過程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形，若，，則的值為___________.四、解答題15．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.16．在四棱錐中，平面平面，是等腰直角三角形，，，，，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．空間向量與立體幾何專題（答案）1．依題意，A選項(xiàng)，若，則可能，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，則與可能相交、異面、平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，則可能，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由于，所以平面內(nèi)存在直線，滿足，若，則，則，所以D選項(xiàng)正確.故選：D2．設(shè)該圓錐底面圓的半徑為，則，故，即，解得故選：B3．由題意得圓柱的高約為（cm），則何尊的體積（cm3）故選：D．4．軸截面如下圖，ABCD為正方形，設(shè)圓柱底面圓直徑，則球直徑，故圓柱表面積為，球表面積為，故它們的表面積之比為，故選：C5．連接，并延長交底面于點(diǎn)，連接，并延長交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，，解得球的半徑，設(shè)，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：D.6．根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為，球的半徑．，，平面，三棱錐的體積可看成是兩個(gè)小三棱錐和的體積和．，，球的表面積為．故選：A．7．對(duì)于選項(xiàng)A，連接、交于點(diǎn)P，連接、交于點(diǎn)Q，連接、，因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，在正方形內(nèi)如果存在一點(diǎn)Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的兩側(cè)，與平面相交，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，在正方形內(nèi)如果存在一點(diǎn)Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面與平面相交于點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，在正方形內(nèi)如果存在一點(diǎn)Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的兩側(cè)，所以平面與平面相交，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A8．分析：作圖，D為MO與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有故選B.9．連接，如圖：由正方體可知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；由題意知為的中位線，所以，又,所以又平面，平面，所以平面，故C正確；若平面，BD1在平面BDD1B1中，則，進(jìn)而，在中易知與不垂直，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．解：在中，因?yàn)?，，，由余弦定理得，故A正確.過點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為G，作平面ABC的垂線，垂足為H，過點(diǎn)M作PA的垂線，垂足為N，連接HG.因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤，點(diǎn)的軌跡是的角平分線，故C錯(cuò)誤，設(shè)的角平分線為AQ，在中，由余弦定理得，由角平分線定理得，又因?yàn)?，則，在中，所以，所以點(diǎn)M的軌跡長度為，所以D正確.故選：AD.11．解：由題可知，的中點(diǎn)即為的外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，得，因?yàn)椋?，鱉臑的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，故平面，又平面，故，因?yàn)?所以平面，所以直線與平面所成角即為，；故C項(xiàng)正確；設(shè)鱉臑的內(nèi)切球半徑為，由等體積法，得，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.12．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，若平面，則，則，解得，，不合乎題意，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，可得，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若平面，則，則，所以，點(diǎn)在底面的軌跡為線段，故點(diǎn)的軌跡長度為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，若平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，，則點(diǎn)到平面的距離為定值，又因?yàn)榈拿娣e為定值，則為定值，D對(duì).故選：BD.13．圓柱底面積為，所以底面半徑r為3，且圓柱的高h(yuǎn)為4，所以圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.14．設(shè)球的半徑為，由于長方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑，則，故該球的表面積為.故答案為：.15．圓臺(tái)的表面積為，從而，，因此，解得（負(fù)值舍）．故答案為：3.16．依題意得，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成的角即或其補(bǔ)角，在中，，所以異面直線與所成角的余弦值為，故①錯(cuò)誤．由于平面平面