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第五節(jié)矩陣的非零子式·相抵標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的k行和任意k列的交叉點(diǎn)上的個(gè)元素，按原順序排列成的k階定義1行列式一．矩陣的非零子式與秩的關(guān)系稱(chēng)為A的一個(gè)k階子行列式，簡(jiǎn)稱(chēng)A的k階子式。當(dāng)k階子式為零（不等于零）時(shí)，稱(chēng)為k階零子式（非零子式）。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為A的k階主子式。即為A的主對(duì)角線

如果矩陣A存在r階非零子式，而所有的r+1階子式（如果有r+1階子式）都等于零，則稱(chēng)矩陣A的非零子式的最高階數(shù)為r。

注意：由所有的r+1階子式都等于零可推出所有更高階的子式都等于零。

矩陣A的非零子式的最高階數(shù)等于矩陣A的秩

r(A)。定理1A的任何r+1行線性相關(guān)再證A的任何r+1階子式均為零：r+1階子式r+1階子式的行線性相關(guān)為零2）矩陣的秩=矩陣的行秩=矩陣的列秩=矩陣的非零子式的最高階數(shù)。1）初等變換不改變矩陣秩；綜上所述，關(guān)于矩陣的秩的基本結(jié)論是：若存在可逆矩陣P、Q，使得PAQ=B就稱(chēng)矩陣A相抵于（或稱(chēng)等價(jià)于）B,最后我們討論，一個(gè)秩為r的矩陣通過(guò)初等變換化為怎樣的最簡(jiǎn)單的矩陣？也就是矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形(或說(shuō)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形)。定義2二．矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形記作根據(jù)定義,容易證明矩陣的相抵關(guān)系有以下性質(zhì)：1）

反身性：即2）

對(duì)稱(chēng)性：即若3）

傳遞性：即若聯(lián)系到在第二章中我們?cè)玫降囊粋€(gè)結(jié)論:滿(mǎn)足以上三點(diǎn)性質(zhì)的關(guān)系一般稱(chēng)為等價(jià)關(guān)系。三.小結(jié)矩陣的非零子式

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