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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若滿足,且目標(biāo)函數(shù)的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.62.已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為().A. B. C. D.3.已知曲線的一條對(duì)稱軸方程為,曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B. C. D.4.某市政府決定派遣名干部(男女)分成兩個(gè)小組,到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作,若要求每組至少人,且女干部不能單獨(dú)成組,則不同的派遣方案共有()種A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則()A.45 B.42 C.25 D.366.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.正項(xiàng)等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點(diǎn),則()A. B.1 C. D.28.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢(shì),下列敘述錯(cuò)誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.總體來(lái)說(shuō),該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好9.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值10.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.11.已知集合,則集合()A. B. C. D.12.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)14.已知數(shù)列滿足對(duì)任意,若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.15.已知不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___16.(5分)已知為實(shí)數(shù),向量,,且,則____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.18.(12分)已知命題:,;命題:函數(shù)無(wú)零點(diǎn).(1)若為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,平面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn).(1)求證:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC與平面DQF所成角的正弦值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若在上單調(diào)遞增,且求c的最大值.21.(12分)如圖,設(shè)A是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù),且aij{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于,記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)請(qǐng)寫出一個(gè)AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?說(shuō)明理由;(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對(duì)于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.22.(10分)健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元,現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng):具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:(1)估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率(2)某會(huì)員消費(fèi)4次,求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn);(3)假設(shè)每個(gè)會(huì)員每星期最多消費(fèi)4次,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率,從會(huì)員中隨機(jī)抽取兩位,記從這兩位會(huì)員的消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn)之差的絕對(duì)值為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
作出可行域,由,可得.當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.的最小值為8.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.2.D【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)和.3.C【解析】
在對(duì)稱軸處取得最值有,結(jié)合,可得,易得曲線的解析式為,結(jié)合其對(duì)稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對(duì)稱軸.,又..∴平移后曲線為.曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為..,注意到故的最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對(duì)稱性,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,是一道中檔題.4.C【解析】
在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況,再將這兩組分配,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】?jī)山M至少都是人,則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、,
又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組,則不同的派遣方案種數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問(wèn)題,涉及分組分配問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.5.D【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.6.A【解析】
可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點(diǎn),進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,單減,當(dāng)時(shí),,單增;當(dāng)時(shí),,,當(dāng),,當(dāng)時(shí),單減,當(dāng)時(shí),單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當(dāng)與()相切時(shí),得,解得;當(dāng)與()相切時(shí),滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題7.B【解析】
根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為,得出,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解:依題意、是函數(shù)的極值點(diǎn),也就是的兩個(gè)根∴又是正項(xiàng)等比數(shù)列,所以∴.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用,屬于中檔題.8.C【解析】
結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于,個(gè)高于,其中第個(gè)接近,第個(gè)高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對(duì)于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來(lái)越差,故錯(cuò)誤.對(duì)于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷,本題較為基礎(chǔ).9.C【解析】
分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于,設(shè)平面與直線交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點(diǎn)是線段上上的動(dòng)點(diǎn).正確.對(duì)于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對(duì)于,由知,平面平面,與不可能平行,錯(cuò)誤.對(duì)于,因?yàn)?,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.10.D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?,所以為上的偶函?shù),因?yàn)楹瘮?shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)?,所以,且,解?故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11.D【解析】
弄清集合B的含義,它的元素x來(lái)自于集合A,且也是集合A的元素.【詳解】因,所以,故,又,,則,故集合.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的定義,涉及到解絕對(duì)值不等式,是一道基礎(chǔ)題.12.B【解析】
由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷,由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1.【解析】試題分析:由題意,可看作五個(gè)位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點(diǎn):排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.點(diǎn)評(píng):本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說(shuō)的背景,利用分步原理正確計(jì)數(shù),本題較抽象,計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.14.【解析】
由可得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項(xiàng)公式,屬于中檔題.15.【解析】
利用絕對(duì)值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡(jiǎn)不等式,求出的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡(jiǎn)不等式有,即而當(dāng)時(shí)滿足題意,解得或所以答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問(wèn)題和絕對(duì)值不等式,要注意到絕對(duì)值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來(lái)解答本題,注意去絕對(duì)值時(shí)的分類討論化簡(jiǎn)16.5【解析】
由,,且,得,解得,則,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)2;(2)【解析】分析:(1)將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),求函數(shù)的最小值(2)分離參數(shù),利用基本不等式證明即可.詳解:(Ⅰ)證明:,顯然在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,即.(Ⅱ)因?yàn)楹愠闪?,所以恒成立,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,所以,即實(shí)數(shù)的最大值為.點(diǎn)睛:本題主要考查含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用,第二問(wèn)恒成立問(wèn)題分離參數(shù),利用基本不等式求解很關(guān)鍵,屬于中檔題.18.(1)(2)【解析】
(1)為假,則為真,求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點(diǎn)條件得的取值范圍;(2)由為假,為真,知一真一假;分類討論列不等式組可解.【詳解】(1)依題意,為真,則無(wú)解,即無(wú)解;令,則,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng),,單調(diào)遞減,作出函數(shù)圖象如下所示,觀察可知,,即;(2)若為真,則,解得;由為假,為真,知一真一假;若真假,則實(shí)數(shù)滿足,則;若假真,則實(shí)數(shù)滿足,無(wú)解;綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問(wèn)題.其思路:與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題.解決此類問(wèn)題時(shí),一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.19.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)連接交于點(diǎn),連接,通過(guò)證明,證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線的方向向量和平面的法向量,計(jì)算出線面角的正弦值.【詳解】(1)證明:連接交于點(diǎn),連接,因?yàn)樗倪呅螢檎叫危渣c(diǎn)為的中點(diǎn),又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以;平面平面,平面.(2)解:,設(shè),則,在中,,由余弦定理得:,.又,平面..平面.如圖建立的空間直角坐標(biāo)系.在等腰梯形中,可得.則.那么設(shè)平面的法向量為,則有,即,取,得.設(shè)與平面所成的角為,則.所以與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20.(1)見(jiàn)解析(2)2【解析】
(1)將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問(wèn)題為與的交點(diǎn)問(wèn)題,利用導(dǎo)函數(shù)判斷的圖象,即可求解;(2)由題可得在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,則,進(jìn)而求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?由可得,令,則,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當(dāng)時(shí),直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)或,即或時(shí),直線和函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)即時(shí),直線與函數(shù)的象沒(méi)有交點(diǎn),即函數(shù)無(wú)零點(diǎn).(2)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,即在上恒成立,設(shè),則,①若,則,則在上單調(diào)遞減,顯然,在上不恒成立;②若,則,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故,單調(diào)遞減,不符合題意;③若,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,由,得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,所以,又,所以,即c的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查運(yùn)算能力與分類討論思想.21.(Ⅰ)答案見(jiàn)解析;(Ⅱ)不存在,理由見(jiàn)解析;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意;(Ⅱ)用反證法證明:假設(shè)存在,得出矛盾,從而證明結(jié)論;(Ⅲ)通過(guò)分析正確得出l(A)的表達(dá)式,以及從A0如何得到A1,A2……,以此類推可得到Ak.【詳解】(Ⅰ)答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,證明如下:假如存在,使得.因?yàn)椋?,所以,?..,,,,...,這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1.令.一方
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