線性空間的同構(gòu)

§8線性空間的同構(gòu)一、數(shù)域P上的n維線性空間Pn二、 數(shù)域P上的一般的n維線性空間V例如：P[x]等n設(shè)8,￡，…,8是線性空間V的一組基，在這組基下，V中每個(gè)向量都有確定的坐標(biāo)，1 2n而向量的坐標(biāo)可以看成Pn元素，因此向量與它的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)實(shí)質(zhì)上就是V到Pn的一個(gè)映射?顯然這個(gè)映射是單射與滿射，換句話說(shuō)，坐標(biāo)給出了線性空間V與Pn的一個(gè)雙射.這個(gè)對(duì)應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它與運(yùn)算的關(guān)系上.設(shè)ex=a8+a8+?…+a8,11 22 nnB二b8+b8+…+b811 22 nn而向量a,P,的坐標(biāo)分別是(a,a，…,a),(b,b,…,b)，那么12n 12na+P=(a+b)8+(a+b)8+?…+(a+b)8;1 11 2 2 2 nnnka二ka8+ka8+ +ka8.11 22 nn于是向量a+P,ka的坐標(biāo)分別是(a+b,a+b，…，a+b)二(a,a,…，a)+(b,b，…，b),1 1 2 2nn1 2n1 2n(ka,ka，…，ka)=k(a,a，…，a)?1 2 n 1 2n以上的式子說(shuō)明在向量用坐標(biāo)表示之后，它們的運(yùn)算就可以歸結(jié)為它們坐標(biāo)的運(yùn)算.因而線性空間V的討論也就可以歸結(jié)為Pn的討論.三、 線性空間同構(gòu)1?定義II數(shù)域P上兩個(gè)線性空間V與V'稱為同構(gòu)的，如果由V到V'有一個(gè)雙射b,具有以下性質(zhì)：c(a+B)=◎(a)+c(p);c(ka)二kc(a).其中a,B是V中任意向量，k是P中任意數(shù).這樣的映射c稱為同構(gòu)映射.前面的討論說(shuō)明在n維線性空間V中取定一組基后，向量與它的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)就是V到Pn的一個(gè)同構(gòu)映射.因而，數(shù)域P上任一個(gè)n維線性空間都與Pn同構(gòu).2．同構(gòu)映射具有下列性質(zhì)由定義可以看出，同構(gòu)映射具有下列性質(zhì)：.c(0)二0,c(-a)二-c(a)..c(ka+ka+…+ka)二kc(a)+kc(a)+…+kc(a).1122rr1122rr.V中向量組a,a，…,a線性相關(guān)o它們的象c(a),c(a)，…,c(a)線性相關(guān).12r12r因?yàn)榫S數(shù)就是空間中線性無(wú)關(guān)向量的最大個(gè)數(shù)，所以由同構(gòu)映射的性質(zhì)可以推知，同構(gòu)的線性空間有相同的維數(shù)..如果V是V的一個(gè)線性子空間，那么，V在c下的象集合11c(V)=0(a)|aeV}11是c(V)的子空間，并且V與c(V)維數(shù)相同.11.同構(gòu)映射的逆映射以及兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射.同構(gòu)作為線性空間之間的一種關(guān)系，具有反身性、對(duì)稱性與傳遞性.既然數(shù)域P上任意一個(gè)n維線性空間都與Pn同構(gòu)，由同構(gòu)的對(duì)稱性與傳遞性即得，數(shù)域P上任意兩個(gè)n維線性空間都同構(gòu).3.定理12數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù).由線性空間的抽象討論中，并沒(méi)有考慮線性空間的元素是什么，也沒(méi)有考慮其中運(yùn)算是怎樣定義的，而只涉及線性空間在所定義的運(yùn)算下的代數(shù)性質(zhì).從這個(gè)觀點(diǎn)看來(lái)，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的.因之，定理12說(shuō)明了，維數(shù)是有限維線性空間的唯一的本質(zhì)特征.第六章、線性空間(小結(jié))線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，是幾何空間的抽象和推廣，線性空間的概念具體展示了代數(shù)理論的抽象性和應(yīng)用的廣泛性.一、線性空間線性空間的概念線性間的性質(zhì)線性空間的零元，每個(gè)元素的負(fù)元都是唯一的；(2)(—l)a=—a;ka=0ok=0,ora=0.二、基、維數(shù)和坐標(biāo)1．基本概念：線性表示(組合)；向量組等價(jià)；線性相關(guān)(無(wú)關(guān))；基、維數(shù)和坐標(biāo)；過(guò)渡矩陣.2．基本結(jié)論線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論.在n維線性空間V中，任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都作成V的一個(gè)基；任意m(m<n)個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可擴(kuò)充為V的一個(gè)基；任意s(s>n)個(gè)向量都是線性相關(guān)的.若在線性空間V中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量a,a ，且V中任意向量都可由它線性l2n表示，則V是n維的，而a,a，…,a就是V的一個(gè)基.l2n設(shè)｛a,a，…,a｝和｛P,P，…,P｝是n維線性空間V的兩個(gè)基，A是由基l2n l2n｛a,a，…,a｝到基｛B,P，…,P｝的過(guò)渡矩陣，(X,x，…,x)和(y,y,y)分別是向量a在l2n l2n l2nl2n這兩個(gè)基下的坐標(biāo)，則A是可逆的，且rx)1ry)1X2=Ay2<x丿n<y丿n三、線性子空間及其形成1．基本概念：子空間；生成子空間；子空間的和與直和.2．基本結(jié)論：線性空間V的非空子集合W作成V的子空間OW對(duì)于V的兩種運(yùn)算封閉.線性空間V的兩個(gè)子空間的交與和仍為子空間.(維數(shù)公式)若V,V是線性空間V的兩個(gè)有限維子空間，則12dim(V)+dim(V)二dim(V+V)+dim(VPlV)121212dimL(a,a，…,a)二rank(a,a，…,a).1 2n 1 2nL(a,a,…,a)二L(p,p，…,p)o向量組｛a,a,...,a｝與｛p,p，…,p｝等價(jià).1 2m 1 2n 1 2m 1 2n設(shè)U是線性空間V的一個(gè)子空間，則存在一個(gè)子空間W，使得V二U十W，此時(shí)稱W為U的一個(gè)余子空間.設(shè)V,V,?..,V是線性空間V的子空間，下面這些條件等價(jià)：12sW=》V是直和；i零向量的表示法唯一；Vp工V川，(i=1,2,…,t);ijj豐idimW=工dimV.i四、線性空間的同構(gòu)同構(gòu)的定義同構(gòu)映射的基本性質(zhì)：線性空間的同構(gòu)映射保持零元，負(fù)元，線性組合，線性相關(guān)性；同構(gòu)映射把子空間映成子空間；線性空間的同構(gòu)關(guān)系具有反身性，對(duì)稱性和傳遞性；數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)o它們有相同的維數(shù)，因而，每一個(gè)數(shù)域P上的n維線性空間都與n元數(shù)組所成的線性空間Pn同構(gòu).本章的重點(diǎn)是線性