畢達(dá)哥拉斯與形數(shù)

畢達(dá)哥拉斯與形數(shù)學(xué)號：班級：姓名：摘要：畢達(dá)哥拉斯是希臘的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家。他的教育思想建立在哲學(xué)和科學(xué)理論基礎(chǔ)上。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的教育思想推動(dòng)了后世人們對崇高精神生活的追求；它是哲學(xué)史和教育史上的一大進(jìn)步。在眾多的學(xué)派中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對“形數(shù)”的研究最為突出，該項(xiàng)研究強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神，有效地印證了“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn)。關(guān)鍵詞：畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派教育思想形數(shù)人物簡介畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)是希臘的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家。出生在希臘撒摩亞(Samoa)地方的貴族家庭，年輕時(shí)曾到過埃及和巴比倫學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，游歷了當(dāng)時(shí)世界上二個(gè)文化水準(zhǔn)極高的文明古國。畢達(dá)哥拉斯后來就到意大利的南部傳授數(shù)學(xué)及宣傳他的哲學(xué)思想，后來和他的信徒們組成了一個(gè)所謂「畢達(dá)哥拉斯學(xué)派」的政治和宗教團(tuán)體。畢達(dá)哥拉斯是比同時(shí)代中一些開壇授課的學(xué)者進(jìn)步一點(diǎn)；因?yàn)樗菰S婦女（當(dāng)然是貴族婦女而不是奴隸女婢）來聽課。他認(rèn)為婦女也是和男人一樣在求知的權(quán)利上平等，因此他的學(xué)派中就有十多名女學(xué)者。這是其他學(xué)派所無的現(xiàn)象。傳說他是一個(gè)非常優(yōu)秀的教師，他認(rèn)為每一個(gè)人都該懂些幾何。有一次他看到一個(gè)勤勉的窮人，他想教他學(xué)習(xí)幾何，因此對此人建議：如果這人能學(xué)懂一個(gè)定理，那么他就給他一塊錢幣。這個(gè)人看在錢份上就和他學(xué)幾何了，可是過了一個(gè)時(shí)期，這學(xué)生對幾何卻產(chǎn)生了非常大的興趣，反而要求畢達(dá)哥拉斯教快一些，并且建議：如果老師多教一個(gè)定理，他就給一個(gè)錢幣。不需要多少時(shí)間，畢達(dá)哥拉斯把他以前給那學(xué)生的錢全部收回了。畢達(dá)哥拉斯是死在意大利科多拿城里，在一場城市暴動(dòng)中，他被人暗殺掉。他的墳?zāi)宫F(xiàn)仍在意大利的這個(gè)古山城中，這墳?zāi)咕拖裰袊酿z頭式墳。二千多年過去了，墳還保留下來，可見人們對這學(xué)者的重視。畢達(dá)哥拉斯的哲學(xué)思想受到俄爾普斯的影響，具有一些神秘主義因素。從他開始，希臘哲學(xué)開始產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)。畢氏曾用數(shù)學(xué)研究樂律，而由此所產(chǎn)生的“和諧”的概念也對以后古希臘的哲學(xué)家有重大影響。畢達(dá)哥拉斯還在西方長期被認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯（中國稱勾股定理）首先發(fā)現(xiàn)者。在宇宙論方面，畢達(dá)哥拉斯結(jié)合了米利都學(xué)派以及自己有關(guān)數(shù)的理論。他認(rèn)為存在著許多但有限個(gè)世界，并堅(jiān)持大地是圓形的，不過則拋棄了米利都學(xué)派的地心說。畢達(dá)哥拉斯對數(shù)學(xué)的研究還產(chǎn)生了后來的理念論和共相論。即有了可理喻的東西與可感知的東西的區(qū)別，可理喻的東西是完美的、永恒的，而可感知的東西則是有缺陷的。這個(gè)思想被柏拉圖發(fā)揚(yáng)光大，并從此一直支配著哲學(xué)及神學(xué)思想。他還堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)論證必須從“假設(shè)”出發(fā)，開創(chuàng)演繹邏輯思想，對數(shù)學(xué)發(fā)展影響很大。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的教育思想從現(xiàn)有史料看，在古希臘教育教育史上最早提出教育思想的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。從這個(gè)意義上說，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派教育主張的提出，是希臘教育史上的重要開端。雖然目前學(xué)界對這個(gè)學(xué)派盟會(huì)的性質(zhì)有不同的認(rèn)識(shí)，但是對他們在教育史上的地位都持肯定態(tài)度。畢達(dá)哥拉斯教育學(xué)派的思想基于其在哲學(xué)和科學(xué)上的創(chuàng)造性成果，對后世教育思想產(chǎn)生了很大影響。畢達(dá)哥拉斯的哲學(xué)和科學(xué)成就構(gòu)成其教育思想的理論基礎(chǔ)，他們的哲學(xué)中，最重要的部分是關(guān)于人，人的靈魂以及靈魂與宇宙萬物關(guān)系的學(xué)說。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為靈魂不滅和靈魂輪回，他們特別強(qiáng)調(diào)靈魂的凈化，而教育是實(shí)現(xiàn)靈魂凈化的重要途徑。策勒爾認(rèn)為：“畢達(dá)哥拉斯團(tuán)體的精神，原則和行止都根植與輪回學(xué)說”。在人生的道德觀問題上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主張”和諧”和”秩序”.他們認(rèn)為數(shù)的排列是和諧的，有序的，所以社會(huì)也應(yīng)當(dāng)有和諧的秩序。按照幾何比例的平衡法則，個(gè)人的權(quán)力應(yīng)該與其貢獻(xiàn)相對應(yīng)，于是每個(gè)人在國家中便有了指定的地位。國家應(yīng)該靠法律和規(guī)定來維持這種秩序，而在各個(gè)等級之間，應(yīng)該通過愛來溝通。他們認(rèn)為，美德乃是一種和諧。人們應(yīng)該敬神，敬父母，對朋友要謙讓，忍耐。對人言行要公平。這種理論實(shí)際是靠教育的導(dǎo)向，約束等功能來實(shí)現(xiàn)。因此畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)要求教育來保證期實(shí)現(xiàn)，而教育又借助其哲學(xué)獲得發(fā)展空間。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視科學(xué)研究。“他們認(rèn)為在整個(gè)自然中數(shù)目是最初的，數(shù)目的元素也是所有存在物的元素。”最能體現(xiàn)數(shù)的本圓形的領(lǐng)域是音樂和天文。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的認(rèn)識(shí)，天體運(yùn)動(dòng)形成了美妙的音樂。整個(gè)宇宙是一個(gè)結(jié)構(gòu)和諧的并發(fā)出樂聲的物體。他們認(rèn)為音樂音程的體系與天體體系之間以共同的數(shù)學(xué)規(guī)則為基礎(chǔ)，而且這種關(guān)系甚至表現(xiàn)在某些調(diào)試，某些音與不同星球之間。因此，音樂的音程體系和天文體系的基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)的規(guī)律之間存在著必然的聯(lián)系。音樂本身與其他自然科學(xué)中暗含血緣默契。這種理論引發(fā)了人們對外部世界的深刻認(rèn)知以及科學(xué)家們對數(shù)學(xué)，天文學(xué)的大膽推測和科學(xué)預(yù)見。于是，在教育實(shí)踐中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視數(shù)學(xué)，天文學(xué)和音樂的研究和運(yùn)用，最早提出“和諧教育”的教育理念。建立在上述理論基礎(chǔ)之上的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的教育思想獨(dú)具特色。他們在對世界和人的廣泛思考以及教育實(shí)踐的基礎(chǔ)上，提出了范圍非常廣泛的教育主張。（一）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的教育目的他們認(rèn)為，若想擺脫無盡的輪回，重歸于神的懷抱，唯有通過神秘的入教儀式，從事科學(xué)研究，哲學(xué)思考。這是人生的唯一目的，也是教育的最終目的。他們認(rèn)為，在靈魂得到凈化，重返神境之前，人世生存的最高等級當(dāng)為游吟詩人，醫(yī)生或王子那樣的生活。但是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派并沒有把培養(yǎng)門徒成為這樣一些人作為重心。他們更多的是力圖影響人們的思想，成為人們精神上的指導(dǎo)，根據(jù)自己的貢獻(xiàn)各司其職，個(gè)其所得，從而保持社會(huì)的完美秩序。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，只有在治理良好，秩序完美的社會(huì)中，個(gè)人才可能受到良好的教育。第歐根尼·拉爾修曾記載：“一個(gè)名叫塞諾菲盧的成員，在被問及怎樣才能最好的教育兒子時(shí)，他答道：使他成為一個(gè)治理完善的城邦的公民。”這種回答其實(shí)已是教育與時(shí)代接軌思想的先聲。由此可見，畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派所主張的教育目的是凈化靈魂，培養(yǎng)能建立和指導(dǎo)完美社會(huì)秩序的人，進(jìn)而在這樣完美的社會(huì)秩序中，培養(yǎng)遵循良好秩序的社會(huì)公民。（二）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的教育內(nèi)容畢達(dá)哥拉斯派不但對其成員進(jìn)行自然科學(xué)教育，也進(jìn)行音樂熏陶，社會(huì)倫理培養(yǎng)和體育訓(xùn)練。在數(shù)學(xué)方面，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)上的本原也就是一切存在的本原。”數(shù)在人類認(rèn)識(shí)中起著決定性作用。在天文學(xué)方面，他們認(rèn)為：“星體的被移動(dòng)產(chǎn)生了和諧?！焙椭C的宇宙是與人的靈魂相通的。在音樂方面，他們深信，向感官灌輸音樂能醫(yī)治人類壞的品性，能使人的心靈恢復(fù)到質(zhì)樸的狀態(tài)，得到凈化。他們宣稱，和諧體現(xiàn)在宇宙，音樂，人的心靈和合理的社會(huì)關(guān)系中。在社會(huì)倫理關(guān)系方面，他強(qiáng)調(diào)“消除不和，舉止文雅，仁慈，正直，行動(dòng)得體而不出口傷人?！痹隗w育方面，畢達(dá)哥拉斯派提出了靈魂和肉體和諧的觀點(diǎn)。他們以體育凈化肉體，在聽課之余從事角力，賽跑，投擲等傳統(tǒng)的體育活動(dòng)。史載畢達(dá)哥拉斯的許多信徒都是全才式的人物，最著名的如歐多克索和阿爾基塔，前者是“天文學(xué)家，幾何學(xué)家，醫(yī)生和立法者”；二后者“在各個(gè)領(lǐng)域都卓越非凡，深受尊敬。和諧教育成為畢達(dá)哥拉斯教育思想的首創(chuàng)與核心，在世界教育史上功不可沒。（三）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的教育方法畢達(dá)哥拉斯盟會(huì)成員在學(xué)習(xí)期間，要保持沉默，也就是說只能聽老師的講授，自己專心思考，不隨便發(fā)表議論，以便能深刻的理解所學(xué)的知識(shí)。雖然這種教育方法對于被教育者來說帶有被動(dòng)性，但其積極意義也是明顯的。黑格爾對此評價(jià)說：“這一點(diǎn)，一般的可以說是一切教育的基本條件。人們必須從此著手，才能夠把握被人的思想；這就是拋棄自己的觀念，一般來說，這也就是學(xué)習(xí)，研究的前提?！泵藭?huì)重視道德上的自我修養(yǎng)以及宗教儀式的實(shí)踐活動(dòng)。盟會(huì)成員每天早晚都要進(jìn)行自我反省，回顧一天中內(nèi)心活動(dòng)以及行為得失，力求達(dá)到逐步克服自私與虛榮的境地。盟會(huì)的宗教活動(dòng)也是必不可少的，盟會(huì)成員要定期到神廟中聚會(huì)，舉行獻(xiàn)祭等宗教儀式。經(jīng)過考試，畢達(dá)哥斯拉將門徒分為“數(shù)理學(xué)派”和“信條派”兩個(gè)級別。數(shù)理學(xué)派是那些學(xué)到他精心制作的細(xì)致學(xué)說的人。信條派的人是只聽到他的學(xué)說的概要，而沒有準(zhǔn)確的解釋。這種方法使不同素質(zhì)和不同起點(diǎn)的成員都得到相應(yīng)的教育，是因材施教和分級授課思想在教學(xué)中的具體體現(xiàn)，也就是畢達(dá)哥拉斯對西方教育理論的又一大貢獻(xiàn)。（四）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的教育實(shí)踐性畢達(dá)哥拉斯不是一個(gè)閉門潛思遠(yuǎn)離世事的空想者，而是頗具政治敏感性的實(shí)踐家。他曾做過暨主波拉底的宮廷哲學(xué)家，后因政見不和而逃往克羅頓，并在克羅頓收徒授課，治理城邦?！耙?yàn)檎螌τ谶@個(gè)教團(tuán)也不是疏遠(yuǎn)的，所以他們也作政治活動(dòng)?！庇纱丝梢?，畢達(dá)哥拉斯基于自己凈化人們的靈魂，實(shí)現(xiàn)和諧與秩序的理想，首次將教育的成果應(yīng)用于政治實(shí)踐，開創(chuàng)了教育實(shí)踐相結(jié)合的先河。由政治實(shí)踐推演開來，他們也必會(huì)重視其他的先河。由政治實(shí)踐推演開來，他們也必會(huì)重視其他生活和社會(huì)實(shí)踐推演開來，他們也必會(huì)重視其他生活和社會(huì)實(shí)踐。黑格爾：“這種集體生活不但有課業(yè)的一面，而且還有實(shí)踐的人生教育的一面?！睂?shí)踐教育理論是延續(xù)至今的重要教育思想，但是如果論及其開山鼻祖，畢達(dá)哥拉斯當(dāng)之無愧。三.畢達(dá)哥拉斯派教育思想的影響畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在希臘教育思想史上有著重要的貢獻(xiàn)。黑格爾認(rèn)為：“畢泰戈拉應(yīng)該看成是第一個(gè)公眾教師。”他所創(chuàng)建的團(tuán)體是古希臘最早的學(xué)術(shù)研究和教育機(jī)構(gòu)。畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派所極力推崇并進(jìn)行了大量研究的算術(shù)，幾何，天文，音樂，以后成為希臘學(xué)校最為基本的教學(xué)科目，并且一直沿用一千多年。筆者認(rèn)為，畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派在教育史上最大的貢獻(xiàn)，在于他們將關(guān)于秩序的理論引入世界和科學(xué)，從而為人的學(xué)習(xí)和研究樹立了目標(biāo)。此后，希臘人的思想活動(dòng)都把尋求關(guān)于世界的完美秩序作為自身的目的。理性主義由此得到強(qiáng)力的支持并逐漸成為希臘思想，文化和教育的主流。形數(shù)定義：即有形狀的數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，于是就產(chǎn)生了一系列的形數(shù)。（形數(shù)都是自然數(shù)，它們可以用小石子堆砌。形數(shù)是將數(shù)形象化的方法。一般地，任意一個(gè)自然數(shù)都可以表示為m個(gè)m邊形數(shù)地和。）相關(guān)：公元前四世紀(jì)，古希臘的算術(shù)在巴比倫和埃及的基礎(chǔ)上，有了很大的發(fā)展，他們用石子、沙子記數(shù)和計(jì)算。在這一時(shí)期，對“形數(shù)”的研究達(dá)到了一個(gè)高峰。在眾多的學(xué)派中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對“形數(shù)”的研究最為突出，該項(xiàng)研究強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神，有效地印證了“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn)。畢達(dá)哥斯拉三角函數(shù)：畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10、…等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正三角形，他把這些數(shù)叫做“三角形數(shù)”。如圖一1、2所示：不難看出，前四個(gè)三角形數(shù)都是一些連續(xù)自然數(shù)的和，記每一個(gè)三角形數(shù)為（i=1、2、3、…、n）則：=1=1+2=3=1+2+3=6=1+2+3+4=10……………=1+2+3+…+100=5050……………就這樣，畢達(dá)哥拉斯借助生動(dòng)的直觀的幾何圖形，很快就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)的一個(gè)規(guī)律：從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和都是三角形數(shù)。如果用字母n表示最后一個(gè)加數(shù)，那么1+2+3+…+n的和即是一個(gè)三角形數(shù)，而且正好是第n個(gè)三角形數(shù)。∴=1+2+3+…+n=(n∈[font][/font])三角形數(shù)的定義古希臘科學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21……這些數(shù)量的(石子)，都可以排成三角形，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)。它有一定的規(guī)律性，排列如下(構(gòu)成圖)，像上面的1、3、6、10、15等等這些能夠表示成三角形的形狀的總數(shù)量的數(shù)，叫做三角形數(shù)。一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù)。比如10個(gè)點(diǎn)可以組成一個(gè)等邊三角形，因此10是一個(gè)三角形數(shù)：xxxxxxxxxx開始個(gè)18個(gè)三角形數(shù)是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的數(shù)列A000217）第n個(gè)三角形數(shù)的公式是[（2n+1）2-1]/8，n(n+1)/2第n個(gè)三角形數(shù)是開始的n個(gè)自然數(shù)的和。所有大于3的三角形數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。開始的n個(gè)立方數(shù)的和是第n個(gè)三角形數(shù)的平方（舉例：1+8+27+64=100=102）所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和是2。任何三角形數(shù)乘以8再加1是一個(gè)平方數(shù)。一部分三角形數(shù)（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個(gè)公式來表示：n*(2n+1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用n*(2n-1)來表示。一種檢驗(yàn)正整數(shù)x是否三角形數(shù)的方法，是計(jì)算：【√（8x+1）-1】/2如果n是整數(shù)，那么x就是第n個(gè)三角形數(shù)。如果n不是整數(shù)，那么x不是三角形數(shù)。這個(gè)檢驗(yàn)法是基于恒等式8Tn+1=S2n+1.特殊的三角形數(shù)55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數(shù)。第11個(gè)三角形數(shù)（66）、第1111個(gè)三角形數(shù)（617,716）、第111,111個(gè)三角形數(shù)（6,172,882,716）、第11,111,111個(gè)三角形數(shù)（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數(shù)，但第111個(gè)、第11,111個(gè)和第1,111,111個(gè)三角形數(shù)不是。和其他數(shù)的關(guān)系四面體數(shù)是三角形數(shù)在立體的推廣。兩個(gè)相繼的三角形數(shù)之和是平方數(shù)。三角平方數(shù)是同時(shí)為三角形數(shù)和平方數(shù)的數(shù)。三角形數(shù)屬於一種多邊形數(shù)。所有偶完美數(shù)都是三角形數(shù)。任何自然數(shù)是最多三個(gè)三角形數(shù)的和。高斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律。他在1796年7月10日在日記中寫道：EYPHKA!num=Δ+Δ+Δ構(gòu)成圖\o"查看圖片"

on=1s=1oon=2s=3ooon=3s=6oooon=4s=10ooooon=5s=15……根據(jù)自然數(shù)列的求和公式，對于第n項(xiàng)的三角形數(shù)，可以得到其計(jì)算公式為：s(n)=1+2+3+...+n=n*(n+1)/2。應(yīng)用1)前n個(gè)三角形數(shù)的和:T(n)=s(1)+s(2)+...+s(n)由s(n)=n*(n+1)/2=(n^2+n)/2得到:T(n)=(∑n^2+∑n)/2=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2=n(n+1)(n+2)/6.2)判斷一個(gè)數(shù)是否為三角形數(shù):對任給一個(gè)正整數(shù)K,則若為三角形數(shù),有:n*(n+1)/2=K得:n*(n+1)=2K從而:n<(2K)^(1/2)[即2K開根號]<n+1;這樣就得到了一個(gè)n,如果這個(gè)n滿足:n(n+1)/2=K則說明K是三角形數(shù).具體:你注意到了嗎，商店櫥窗里的罐頭盒一般都是這樣排列的。它們按照一定的規(guī)律排成了三角形。想一想：能不能把9個(gè)圓點(diǎn)按上面的規(guī)律排成一個(gè)三角形？9是不是三角形數(shù)？再想一想：能不能把25個(gè)圓點(diǎn)按上面的規(guī)律排成一個(gè)三角形？25是不是三角形數(shù)？為了能方便地看出規(guī)律，我們把三角形數(shù)改排成圖。觀察這些三角形數(shù)，你發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律嗎？原來三角形數(shù)是從l開始的連續(xù)自然數(shù)的和。l是第一個(gè)三角形數(shù)，3是第二個(gè)三角形數(shù)，6是第三個(gè)三角形數(shù)，10是第四個(gè)三角形數(shù)，15是第五個(gè)三角形數(shù)……那么，第七個(gè)三角形數(shù)就是：1+2+3+4+5+6+7=28；第九個(gè)三角形數(shù)就是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；第十個(gè)三角形數(shù)就是：1+2+3+…+10=55；第100個(gè)三角形數(shù)就是：1+2+3+…+100=5050。特殊的三角形數(shù)1,55、5050、500500、50005000……都是三角形數(shù)。2,第11個(gè)三角形數(shù)（66）、第1111個(gè)三角形數(shù)（617716）、第111111個(gè)三角形數(shù)（6172882716）、第11111111個(gè)三角形數(shù)（61728399382716）都是回文式的三角形數(shù)，但第111個(gè)、第11111個(gè)和第1111111個(gè)三角形數(shù)不是。3,三角形數(shù)還有一個(gè)規(guī)律，就是：如果將所有邊形的數(shù)都整整齊齊地由左到右畫在表格里，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，每一列的數(shù)間隔都一樣，而且均為前一列的三角形數(shù)，例如：三角形數(shù)1361015212836正方形數(shù)149