第二十四章相似三角形單元教學研究

第二十四章相似三角形單元教學研究本單元教學總目標：1、經(jīng)歷對形狀相同圖形從直觀感知到數(shù)學抽象的過程，通過實物圖形的放縮，了解相似形的意義。2、知道兩條線段的比的意義，理解比例線段及其有關(guān)概念，掌握比例的性質(zhì)；知道黃金分割的意義。3、掌握三角形一邊平行線的性質(zhì)定理和判定定理，掌握平行線分線段成比例定理；知道三角形的重心及其性質(zhì)。第二十四章相似三角形二、本單元知識結(jié)構(gòu)框架：第二十四章相似三角形三角形一邊的平行線兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍如果點P把線段AB分割成AP和PB（AP＞PB）兩段，其中AP是AB和PB的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割，點P稱為線段AB的黃金分割點

AP與AB的比值（根號5-1）：2稱為黃金分割數(shù)（黃金數(shù)）。黃金分割數(shù)是一個無理數(shù)，近似值為0.618三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例三角形一邊的平行線性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例第二節(jié)一、比例線段第一節(jié)

放縮與相似形如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d①如果a：b=c：d，那么（a-b）：b=（c-d）：d②

結(jié)論①三角形一邊的平行線兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍如果點P把線段AB分割成AP和PB（AP＞PB）兩段，其中AP是AB和PB的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割，點P稱為線段AB的黃金分割點

AP與AB的比值（根號5-1）：2稱為黃金分割數(shù)（黃金數(shù)）。黃金分割數(shù)是一個無理數(shù)，近似值為0.618三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例三角形一邊的平行線性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例第二節(jié)一、比例線段第一節(jié)

放縮與相似形如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d①如果a：b=c：d，那么（a-b）：b=（c-d）：d②

結(jié)論①、②叫做比例的合比性質(zhì)

如果a：b=c：d=k，那么（a+c）：（b+d）=a：b=c：d=k③

結(jié)論③叫做比例的等比性質(zhì)

如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例第11頁共11頁本單元教學重點：引進兩條線段的比和比例線段；導出比例線段的性質(zhì)并進行初步的運用。學生通過例題學習，體驗在一定條件下三角形的面積比與線段比相互轉(zhuǎn)化的過程；了解黃金分割的意義。引進三角形一邊的平行線性質(zhì)定理，學生經(jīng)歷這個定理的導出和證明過程，并初步掌握它的運用。引進三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論和三角形的重心及其性質(zhì)。導出三角形一邊的平行線判定定理及其推論，并進行初步運用。導出平行線分線段成比例定理，并進行初步運用。本單元教學難點：1、通過對圖形放縮運動的探究，認識縮放運動中的不變量，知道相似多邊形的特征及相似形與全等形的關(guān)系。2、合比、等比性質(zhì)的運用。3、熟練并靈活運用黃金分割的意義解題。4、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的理解和應(yīng)用.5、成比例的線段中，對應(yīng)線段的確認.6、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論的理解和應(yīng)用；7、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論和性質(zhì)定理的聯(lián)系和區(qū)別；8、三角形的重心的性質(zhì).9、三角形一邊的平行線的判定定理10、三角形一邊的平行線的判定定理的應(yīng)用.11、平行線分線段成比例定理及其推論的應(yīng)用和選擇合適的定理解決問題.突破難點的方法：24.1放縮與相似形：在學生對“形狀相同”已經(jīng)有了一定的認識基礎(chǔ)上，通過實物圖形，感知生活中有很多這樣的圖形，它們形狀相同但大小不一定相同。引進圖形的放縮運動，進一步認識形狀形同的圖形，理解相似形的概念；得到兩個多邊形相似其實是它們的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的長度成比例，初步認識相似多邊形的本質(zhì)和放縮運動中不變量。通過例題教學解決了如何尋找對應(yīng)角和對應(yīng)邊及相關(guān)計算；理解放縮是對應(yīng)角度不變化而對應(yīng)各邊的長度“同樣程度”地放縮。24.2比例線段：本節(jié)主要由四部分組成，第一部分是有關(guān)線段比例的基本概念和性質(zhì)及相關(guān)的計算；第二部分是比例的拓展性質(zhì)；第三部分是線段的比例中項問題；第四部分是黃金分割及黃金數(shù)的有關(guān)知識。本節(jié)在已經(jīng)學過比例的基本性質(zhì)，首先利用類比的方法使學生得到了線段的有關(guān)比和比例的基本性質(zhì)。在此過程中特別強調(diào)線段的比實際也是和數(shù)字有關(guān)的，幫助學生能夠過渡好。本節(jié)另一研究對象是“黃金分割”，采用從“美學”——“數(shù)學”的邏輯順序去闡述這個課題，提高學生探究的興趣。并且引用了四個生活中的例子，使學生在不斷享受“美”的過程中掌握知識，體驗數(shù)學的社會功能。24.3三角形一邊的平行線：本節(jié)主要由四部分組成，第一部分是有關(guān)三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及相關(guān)的計算；第二部分是三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論和三角形重心的概念及其性質(zhì)的應(yīng)用；第三部分是三角形一邊的平行線的判定定理及推論；第四部分平行線分線段成比例和平行線等分線段定理及相關(guān)的計算。第一部分三角形一邊的平行線對學生而言是全新的知識，在學生的知識結(jié)構(gòu)中，平行線只能推出角的關(guān)系，而本節(jié)課平行線還可以推出比例式。這節(jié)課學生較難理解，講課中應(yīng)將對應(yīng)線段成比例要解釋清楚，由平行能推出幾個比例式要寫出來。本節(jié)課要注重過程教學，讓學生真正理解定理.第二部分內(nèi)容是三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論和三角形重心的概念及其性質(zhì)的應(yīng)用，知識難度較高，因此，在課堂教學過程中，盡量采用學生能夠解決的就讓學生自己去解決，學生困難的，教師加以引導，幫助學生完成學習任務(wù)。在練習配備方面，三角形重心的應(yīng)用應(yīng)增加例題，讓學生會利用重心的定義和性質(zhì)去解決數(shù)學問題，并能從中體會出利用重心性質(zhì)解決問題時的常規(guī)添線方法。在學生練習過程中，允許學生在獨立完成問題的基礎(chǔ)上，開展交流、探討活動，教師進行巡回輔導，幫助學困生解決.第三部分內(nèi)容是三角形一邊平行線的判定定理，是第一節(jié)課性質(zhì)定理的逆定理，課堂上通過三角形中位線定理復習和推廣，引出三角形一邊平行線的判定定理。第三部分內(nèi)容是三角形一邊平行線的最后兩個定理，而平行線分線段成比例定理的圖形有很多變形，這節(jié)課把幾種變形列舉出來，讓學生學會識圖。平行線分線段成比例定理形象的稱之為“井字型”定理，這個定理的圖形變化很多，可以把前面學過的定理圖形全部變形出來.要讓學生熟悉不同的圖形用相同的定理可以得到相同的比例式，相同的圖形用不同的定理得到不同的結(jié)論.六、本單元課時安排：24.1放縮與相似形1課時24.2比例線段2課時24.3三角形一邊的平行線4課時七、知識點學習要求：（各學科根據(jù)學科特點做不同的處理）學習內(nèi)容能力要求典型例題備注第二十四章相似三角形24.1放縮與相似形如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例經(jīng)歷對形狀相同圖形從直觀感知到數(shù)學抽象的過程，通過實物圖形的放縮，了解相似形的意義例題如圖，△ABC與△DEF是相似圖形，且點A與點D對應(yīng)，點B與E對應(yīng)，點C與點F對應(yīng)AB=1.7cm,BC=2.9cm,AC=3.7cm,DE=3.4cm,求DF,EF的長度,并求∠C,∠D,∠E,∠F的度24.2比例線段線段比例的基本概念和性質(zhì)及相關(guān)的計算.1.知道兩條線段比的意義.2.理解比例線段及其有關(guān)概念.3.知道比例線段的性質(zhì).4.掌握合比和等比性質(zhì),能結(jié)合具體圖形進行簡單的比例線段變形.例：已知：，求證：.例題3已知：求證：（1）；（2）線段的比例中項問題；黃金分割及黃金數(shù)的有關(guān)知識.1.會運用同高(或等高)的兩個三角形的面積之比等于對應(yīng)底邊的比,進行三角形的面積比與線段比的轉(zhuǎn)化.2.在比例線段性質(zhì)的證明與運用過程中,體會方程思想的作用.3.會找出一條線段的黃金分割點，找出一個圖形中的黃金分割點.4.經(jīng)歷黃金分割點的探索過程，從中體會轉(zhuǎn)化、分類討論的思想方法.例題1如圖，線段AB的長度是，點P為線段AB上的一點，，求線段AP的長.24.3三角形一邊的平行線三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及相關(guān)的計算1.通過對三角形中位線的概念與性質(zhì)的分析,從特殊到一般，提出關(guān)于三角形一邊平行線的研究問題；2.經(jīng)歷運用分類思想針對圖形運動的不同位置分別探究的過程,初步領(lǐng)略運用運動觀點、化歸和分類討論等思想進行數(shù)學地思考的策略；3.掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的應(yīng)用.例題如圖,已知DE∥BC,AB=15,AC=10,BD=例題CE.如圖，在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證：=AB·AD.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論和三角形重心的概念及其性質(zhì)的應(yīng)用1.經(jīng)歷三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論的推導；2.掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論的應(yīng)用；3.理解該定理的不同圖形情況，并能靈活運用4.了解三角形的重心的意義和性質(zhì)并能應(yīng)用它解題.例1如圖，線段BD與CE相交于點A,∥,已知2BC=3ED,AC=8,求AE的長.，例2已知：如圖是的中線，交于點求證：.例3已知：在Rt中，∠，是中線交于點，求的長.例4已知：在Rt中，∠，是重心，于，求的長.三角形一邊的平行線的判定定理及推論掌握三角形一邊的平行線的判定定理；能運用該定理證明有關(guān)兩直線平行的問題.1.已知：如圖，點D,F在的邊上，點E在邊上，且DE//BC求證：EF∥DC.2.如圖，已知：AC∥A′C′，BC∥B′C′;求證：AB∥A′B′.黃金分割及黃金數(shù)的有關(guān)知識本節(jié)課主要講平行線分線段成比例定理和它的推論的證明和應(yīng)用，要使學生學會并且不要和前面的定理混淆.例題1如圖AD∥BE∥CF，AB=3，AC=8，DF=10，求DE,EF的長.例題2已知線段a,b,c,求作線段x,使a:b=c:x八、拓展題或補充材料一、填空題：1、若，則。2、在比例尺為1∶10000的地圖上,相距5厘米的兩地A、B的實際距離米。3、已知，且，則。4、在Rt△ABC中，斜邊長為，斜邊上的中線長為，則。5、反向延長線段AB至C，使AC＝AB，那么BC：AB＝。6、點P是線段AB的黃金分割點，AB=10，則AP＝。如果a=3cm，c=13cm，則a與c的比例中項是。7、如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠A＝30°，則BD：BC＝。若BC＝6，AB＝10，則BD＝，CD＝。ADBFADBFECDCMPNQABCBDA第6題圖第7題圖第8題圖8、如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA，則MN＝，PQ＝。9、如圖，四邊形ADEF為菱形，且AB＝14厘米，BC＝12厘米，AC＝10厘米，那BE＝厘米。10、梯形的上底長1.2厘米，下底長1.8厘米，高1厘米，延長兩腰后與下底所成的三角形的高為厘米。二、選擇題：11、下面四組線段中，不能成比例的是（）A、B、C、D、12、等邊三角形的中線與中位線長的比值是（）A、B、C、D、1：313、已知，則下列等式成立的是（）A、B、C、D、14、已知直角三角形三邊分別為，，則（）A、1：3B、1：4C、2：1D、3：115、△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一個和它相似的三角形最長的一邊是36，則最短的一邊是（）A、27B、12C、18D、2016、已知是△ABC的三條邊，對應(yīng)高分別為，且，那么等于（）A、4：5：6B、6：5：4C、15：12：10D、10：12：1517、一個三角形三邊長之比為4：5：6，三邊中點連線組成的三角形的周長為30cm，則原三角形最大邊長為（）A、44厘米B、40厘米C、36厘米D、24厘米18、下列判斷正確的是（）A、不全等的三角形一定