矩陣應(yīng)用簡(jiǎn)介

矩陣應(yīng)用簡(jiǎn)介9/9矩陣應(yīng)用簡(jiǎn)介T(mén)heintroductionofMatrixapplication作者：刁士琦2015/12/27

摘要本課題以線性代數(shù)的應(yīng)用為研究對(duì)象，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)、書(shū)籍查詢(xún)相關(guān)知識(shí)與技術(shù)發(fā)展。全文分為四部分，第一部分是緒論，介紹本課題的重要意義。第二部分是線性代數(shù)的發(fā)展。第三部分是經(jīng)典矩陣應(yīng)用。第四部分是矩陣應(yīng)用示例。第五部分為結(jié)論。關(guān)鍵詞：萊斯利矩陣模型、希爾密碼目錄摘要 21 引言 42 矩陣的發(fā)展 43 經(jīng)典矩陣應(yīng)用 43.1 矩陣在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 43.2 矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用 53.3 萊斯利矩陣模型 54 矩陣應(yīng)用示例 64.1 經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用示例 64.2 希爾密碼應(yīng)用示例 74.3 植物基因分布 76 結(jié)論 8參考文獻(xiàn) 9引言線性代數(shù)是以向量和矩陣為對(duì)象，以實(shí)向量空間為背景的一種抽象數(shù)學(xué)工具，它的應(yīng)用遍及科學(xué)技術(shù)的國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)領(lǐng)域。矩陣的發(fā)展1850年，西爾維斯特在研究方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不相同的線性方程時(shí)，由于無(wú)法使用行列式，所以引入了Matrix-矩陣這一詞語(yǔ)?，F(xiàn)代的矩陣?yán)碚摻o出矩陣的定義就是：由mn個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表。在此之后，西爾維斯特還分別引入了初等因子、不變因子的概念[5]。雖然后來(lái)一些著名的數(shù)學(xué)家都對(duì)矩陣中的不同概念給出了的定義，也在矩陣領(lǐng)域的研究中做了很多重要的工作。但是直到凱萊在研究線性變化的不變量時(shí)，才把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念出來(lái)，矩陣才作為一個(gè)獨(dú)立的理論加以研究。

矩陣概念的引入，首先是由凱萊發(fā)表的一系列和矩陣相關(guān)的文章，將零散的矩陣的知識(shí)發(fā)展為系統(tǒng)完善的理論體系。矩陣論的創(chuàng)立應(yīng)歸功與凱萊。凱萊在矩陣的創(chuàng)立過(guò)程中做了極大的貢獻(xiàn)。其中矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣和斜對(duì)稱(chēng)矩陣的定義都是由凱萊給出的?！皬倪壿嬌蟻?lái)說(shuō)，矩陣的概念應(yīng)限于行列式的概念，但在歷史上卻正好相反?！眲P萊如是說(shuō)。1858年，《A

memoir

on

the

theory

of

matrices》系統(tǒng)闡述了矩陣的理論體系，并在文中給出了矩陣乘積的定義。

對(duì)矩陣的研究并沒(méi)有因?yàn)榫仃囌摰漠a(chǎn)生而停止。1884年，西爾維斯特給出了矩陣中的對(duì)角矩陣和數(shù)量矩陣的定義。1861年，史密斯給出齊次方程組的解的存在性和個(gè)數(shù)時(shí)引進(jìn)了增廣矩陣和非增廣矩陣的術(shù)語(yǔ)。同時(shí)，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅伯紐斯的貢獻(xiàn)也是不可磨滅的，他的貢獻(xiàn)主要是在矩陣的特征方程、特征根、矩陣的秩、正交矩陣、矩陣方程等方面。并給出了正交矩陣、相似矩陣和合同矩陣的概念，指明了不同類(lèi)型矩陣之間的關(guān)系和矩陣之間的重要性質(zhì)。經(jīng)典矩陣應(yīng)用矩陣在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用投入產(chǎn)出綜合平衡模型是一種宏觀的經(jīng)濟(jì)模型,這是用來(lái)全面分析某個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)各部門(mén)的消耗及產(chǎn)品的生產(chǎn)之間的數(shù)量依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用于為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(小到一家公司,大到一個(gè)國(guó)家乃至國(guó)際經(jīng)濟(jì)共同體)編制經(jīng)濟(jì)計(jì)劃并研究各種相關(guān)的經(jīng)濟(jì)政策和問(wèn)題。這種模型由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫于1931年開(kāi)始研究,并于1936年首先發(fā)表第一篇研究成果,此后數(shù)十年已被愈來(lái)愈多的國(guó)家采用并取得了良好的效果,列昂節(jié)夫本人也因此獲得1973年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。利用矩陣知識(shí)將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于矩陣的等式,可利用矩陣的運(yùn)算對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用希爾密碼（HillPassword）是運(yùn)用基本矩陣論原理的替換密碼，由LesterS.Hill在1929年發(fā)明。每個(gè)字母當(dāng)作26進(jìn)制數(shù)字：A=0,B=1,C=2...一串字母當(dāng)成n維向量，跟一個(gè)n×n的矩陣相乘，再將得出的結(jié)果MOD26。在希爾密碼加密過(guò)程中，明文被分成m個(gè)字母構(gòu)成的若干分組，最后一組不夠m個(gè)字母則用其他字母補(bǔ)足，每次加密一個(gè)分組，分組中的每一個(gè)字符都對(duì)分組中另外一個(gè)字符的加密起作用，每組用m個(gè)密文字母代換，這種代換由m個(gè)線性方程決定，其中字母a~z分別用數(shù)字0，1，2，…，24，25表示。加密算法基本思想是將l個(gè)明文字母通過(guò)線性變換將它們轉(zhuǎn)換為l個(gè)密文字母的加密算法，加密算法的密鑰K就是一個(gè)變換矩陣本身，即：萊斯利矩陣模型科學(xué)家LesliePH.于1945年引進(jìn)一種數(shù)學(xué)方法,利用某一初始時(shí)刻種群的年齡結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀,動(dòng)態(tài)地預(yù)測(cè)種群年齡結(jié)構(gòu)及數(shù)量隨時(shí)間的演變過(guò)程,簡(jiǎn)介如下:依種群個(gè)體的生理特征,將其最大壽命年齡等距分成m個(gè)年齡組,然后討論不同時(shí)間種群按年齡的分布,故時(shí)間也離散化為t=0,1,2,…其間隔與年齡組的間隔時(shí)間相同.t=0對(duì)應(yīng)于初始時(shí)刻.設(shè)開(kāi)始時(shí)(t=0)第i個(gè)年齡組內(nèi)的個(gè)體數(shù)為ni(0),i=1,2,…,m.則向量N～(0)=[n1(0),n2(0),…,nm(0)]T稱(chēng)為初始年齡結(jié)構(gòu)向量.第i年齡組的生殖率為fi(≥0)i=1,2,…,m;生存率為Si(>0),i=1,2,…,m-1.則相臨兩個(gè)時(shí)段間,各年齡組個(gè)體數(shù)ni有如下的迭代關(guān)系:注1fi中已扣除了在時(shí)段t內(nèi)出生,但活不到t+1時(shí)段的新生個(gè)體.注2通常在兩性生殖的種群中,只計(jì)雌體數(shù).作矩陣。假記N～(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]T,則(1)式可表為N～(t+1)=MN～(t)(3)進(jìn)而,當(dāng)M,N～(0)已知時(shí),對(duì)任意的t=1,2,…有N～(t)=MtN～(0)(4)由此即可研究出種群隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)發(fā)展規(guī)律.矩陣應(yīng)用示例經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用實(shí)例在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中存在這樣三個(gè)企業(yè)，煤礦、電廠和鐵路。且每個(gè)企業(yè)都有自己的單一產(chǎn)品并都有本系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)的產(chǎn)品來(lái)加工或變換。假設(shè)已知表格如下現(xiàn)假設(shè)一個(gè)月中三個(gè)企業(yè)的訂單為：煤礦4萬(wàn)元，電廠3.5萬(wàn)元，鐵路4.5萬(wàn)元?，F(xiàn)研究該月各企業(yè)如何生產(chǎn)才能完成任務(wù)？假設(shè)x1、x2、x3分別為煤礦，電廠，鐵路的總產(chǎn)量，則課得到如下矩陣關(guān)系：經(jīng)過(guò)一系列的矩陣變換，得到矩陣I-T的逆矩陣是存在的（I是單位矩陣），說(shuō)明無(wú)論需求d如何變化，總能得到x的解，也就是該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是可行的。希爾密碼應(yīng)用實(shí)例假設(shè)密鑰為加密明文為good，其加密過(guò)程如下：分組把明文劃為兩組:（6,14）（對(duì)應(yīng)go）和（14,3）（對(duì)應(yīng)od）加密計(jì)算即相互對(duì)應(yīng)的密文也有兩組（4,0）（對(duì)應(yīng)EA）,（1,14）（對(duì)應(yīng)BO）。因此,good的加密結(jié)果為EABO解密計(jì)算根據(jù)對(duì)應(yīng)規(guī)則獲取正確明文good植物基因的分布植物的基因?qū)锳A，Aa，aa這三種。記——第代植物中基因AA所占的比例——第代植物中基因Aa所占的比例——第代植物中基因aa所占的比例顯然由于后代是各從父代和母體的基因?qū)χ械瓤赡艿氐玫揭粋€(gè)基因而形成自己的基因?qū)?，故父代母的基因?qū)妥哟骰驅(qū)χg的轉(zhuǎn)移概率如下表：父父母概率子代AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21現(xiàn)在研究采用AA型植物與其它基因植物相結(jié)合的方法培養(yǎng)后代。故有（1）令，則第代與第代植物基因型分布的關(guān)系為,（2）由（2）得，（3）下面把對(duì)角化，求出的特征值1、1/2、0，對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成矩陣，（4）將（4）代入（3）得當(dāng)，,,。即培育的植物AA型基因所占的比例在不斷增加，極限狀態(tài)下所有植物的基因都是AA型。結(jié)論線性代數(shù)就是研究線性網(wǎng)絡(luò)的主要工具；進(jìn)行IC集成電路設(shè)計(jì)時(shí),對(duì)付數(shù)百萬(wàn)個(gè)集體管的仿真軟件就需要依賴(lài)線性方程組的方法；想搞光電及射頻工程,好,電磁場(chǎng)、光波導(dǎo)分析都是向量場(chǎng)的分析,比如光調(diào)制器分析研制需要張量矩陣,手機(jī)信號(hào)處理等等也離不開(kāi)矩陣運(yùn)算。另外,矩陣的特征值和特征向量可以用在研究物理、化學(xué)領(lǐng)域的微分方程、連續(xù)的或離散的動(dòng)力系統(tǒng)中,甚至數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家用以在預(yù)測(cè)原始森林遭到何種程度的砍伐會(huì)造成貓頭鷹的種群滅亡；最小二乘算法廣泛應(yīng)用在各個(gè)工程領(lǐng)域里用于把實(shí)驗(yàn)中得到的大量測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)擬合到一個(gè)理想的直線或曲線上,最小二乘擬合算法實(shí)質(zhì)就是線性方程組的求解；二次型常常出現(xiàn)在線性代數(shù)在工程和信號(hào)處理的應(yīng)用中,他們也常常出現(xiàn)在物