矩陣應(yīng)用簡介

矩陣應(yīng)用簡介9/9矩陣應(yīng)用簡介TheintroductionofMatrixapplication作者：刁士琦2015/12/27

摘要本課題以線性代數(shù)的應(yīng)用為研究對象，通過網(wǎng)絡(luò)、書籍查詢相關(guān)知識與技術(shù)發(fā)展。全文分為四部分，第一部分是緒論，介紹本課題的重要意義。第二部分是線性代數(shù)的發(fā)展。第三部分是經(jīng)典矩陣應(yīng)用。第四部分是矩陣應(yīng)用示例。第五部分為結(jié)論。關(guān)鍵詞：萊斯利矩陣模型、希爾密碼目錄摘要 21 引言 42 矩陣的發(fā)展 43 經(jīng)典矩陣應(yīng)用 43.1 矩陣在經(jīng)濟學中的應(yīng)用 43.2 矩陣在密碼學中的應(yīng)用 53.3 萊斯利矩陣模型 54 矩陣應(yīng)用示例 64.1 經(jīng)濟學應(yīng)用示例 64.2 希爾密碼應(yīng)用示例 74.3 植物基因分布 76 結(jié)論 8參考文獻 9引言線性代數(shù)是以向量和矩陣為對象，以實向量空間為背景的一種抽象數(shù)學工具，它的應(yīng)用遍及科學技術(shù)的國民經(jīng)濟各個領(lǐng)域。矩陣的發(fā)展1850年，西爾維斯特在研究方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)不相同的線性方程時，由于無法使用行列式，所以引入了Matrix-矩陣這一詞語?，F(xiàn)代的矩陣理論給出矩陣的定義就是：由mn個數(shù)排成的m行n列的數(shù)表。在此之后，西爾維斯特還分別引入了初等因子、不變因子的概念[5]。雖然后來一些著名的數(shù)學家都對矩陣中的不同概念給出了的定義，也在矩陣領(lǐng)域的研究中做了很多重要的工作。但是直到凱萊在研究線性變化的不變量時，才把矩陣作為一個獨立的數(shù)學概念出來，矩陣才作為一個獨立的理論加以研究。

矩陣概念的引入，首先是由凱萊發(fā)表的一系列和矩陣相關(guān)的文章，將零散的矩陣的知識發(fā)展為系統(tǒng)完善的理論體系。矩陣論的創(chuàng)立應(yīng)歸功與凱萊。凱萊在矩陣的創(chuàng)立過程中做了極大的貢獻。其中矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣、對稱矩陣和斜對稱矩陣的定義都是由凱萊給出的。“從邏輯上來說，矩陣的概念應(yīng)限于行列式的概念，但在歷史上卻正好相反。”凱萊如是說。1858年，《A

memoir

on

the

theory

of

matrices》系統(tǒng)闡述了矩陣的理論體系，并在文中給出了矩陣乘積的定義。

對矩陣的研究并沒有因為矩陣論的產(chǎn)生而停止。1884年，西爾維斯特給出了矩陣中的對角矩陣和數(shù)量矩陣的定義。1861年，史密斯給出齊次方程組的解的存在性和個數(shù)時引進了增廣矩陣和非增廣矩陣的術(shù)語。同時，德國數(shù)學家弗羅伯紐斯的貢獻也是不可磨滅的，他的貢獻主要是在矩陣的特征方程、特征根、矩陣的秩、正交矩陣、矩陣方程等方面。并給出了正交矩陣、相似矩陣和合同矩陣的概念，指明了不同類型矩陣之間的關(guān)系和矩陣之間的重要性質(zhì)。經(jīng)典矩陣應(yīng)用矩陣在經(jīng)濟學中的應(yīng)用投入產(chǎn)出綜合平衡模型是一種宏觀的經(jīng)濟模型,這是用來全面分析某個經(jīng)濟系統(tǒng)內(nèi)各部門的消耗及產(chǎn)品的生產(chǎn)之間的數(shù)量依存關(guān)系的數(shù)學模型。應(yīng)用于為經(jīng)濟系統(tǒng)(小到一家公司,大到一個國家乃至國際經(jīng)濟共同體)編制經(jīng)濟計劃并研究各種相關(guān)的經(jīng)濟政策和問題。這種模型由美國經(jīng)濟學家列昂節(jié)夫于1931年開始研究,并于1936年首先發(fā)表第一篇研究成果,此后數(shù)十年已被愈來愈多的國家采用并取得了良好的效果,列昂節(jié)夫本人也因此獲得1973年度的諾貝爾經(jīng)濟學獎。利用矩陣知識將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于矩陣的等式,可利用矩陣的運算對數(shù)據(jù)進行處理。矩陣在密碼學中的應(yīng)用希爾密碼（HillPassword）是運用基本矩陣論原理的替換密碼，由LesterS.Hill在1929年發(fā)明。每個字母當作26進制數(shù)字：A=0,B=1,C=2...一串字母當成n維向量，跟一個n×n的矩陣相乘，再將得出的結(jié)果MOD26。在希爾密碼加密過程中，明文被分成m個字母構(gòu)成的若干分組，最后一組不夠m個字母則用其他字母補足，每次加密一個分組，分組中的每一個字符都對分組中另外一個字符的加密起作用，每組用m個密文字母代換，這種代換由m個線性方程決定，其中字母a~z分別用數(shù)字0，1，2，…，24，25表示。加密算法基本思想是將l個明文字母通過線性變換將它們轉(zhuǎn)換為l個密文字母的加密算法，加密算法的密鑰K就是一個變換矩陣本身，即：萊斯利矩陣模型科學家LesliePH.于1945年引進一種數(shù)學方法,利用某一初始時刻種群的年齡結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀,動態(tài)地預(yù)測種群年齡結(jié)構(gòu)及數(shù)量隨時間的演變過程,簡介如下:依種群個體的生理特征,將其最大壽命年齡等距分成m個年齡組,然后討論不同時間種群按年齡的分布,故時間也離散化為t=0,1,2,…其間隔與年齡組的間隔時間相同.t=0對應(yīng)于初始時刻.設(shè)開始時(t=0)第i個年齡組內(nèi)的個體數(shù)為ni(0),i=1,2,…,m.則向量N～(0)=[n1(0),n2(0),…,nm(0)]T稱為初始年齡結(jié)構(gòu)向量.第i年齡組的生殖率為fi(≥0)i=1,2,…,m;生存率為Si(>0),i=1,2,…,m-1.則相臨兩個時段間,各年齡組個體數(shù)ni有如下的迭代關(guān)系:注1fi中已扣除了在時段t內(nèi)出生,但活不到t+1時段的新生個體.注2通常在兩性生殖的種群中,只計雌體數(shù).作矩陣。假記N～(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]T,則(1)式可表為N～(t+1)=MN～(t)(3)進而,當M,N～(0)已知時,對任意的t=1,2,…有N～(t)=MtN～(0)(4)由此即可研究出種群隨時間變化的動態(tài)發(fā)展規(guī)律.矩陣應(yīng)用示例經(jīng)濟學應(yīng)用實例在經(jīng)濟系統(tǒng)中存在這樣三個企業(yè)，煤礦、電廠和鐵路。且每個企業(yè)都有自己的單一產(chǎn)品并都有本系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)的產(chǎn)品來加工或變換。假設(shè)已知表格如下現(xiàn)假設(shè)一個月中三個企業(yè)的訂單為：煤礦4萬元，電廠3.5萬元，鐵路4.5萬元。現(xiàn)研究該月各企業(yè)如何生產(chǎn)才能完成任務(wù)？假設(shè)x1、x2、x3分別為煤礦，電廠，鐵路的總產(chǎn)量，則課得到如下矩陣關(guān)系：經(jīng)過一系列的矩陣變換，得到矩陣I-T的逆矩陣是存在的（I是單位矩陣），說明無論需求d如何變化，總能得到x的解，也就是該經(jīng)濟系統(tǒng)是可行的。希爾密碼應(yīng)用實例假設(shè)密鑰為加密明文為good，其加密過程如下：分組把明文劃為兩組:（6,14）（對應(yīng)go）和（14,3）（對應(yīng)od）加密計算即相互對應(yīng)的密文也有兩組（4,0）（對應(yīng)EA）,（1,14）（對應(yīng)BO）。因此,good的加密結(jié)果為EABO解密計算根據(jù)對應(yīng)規(guī)則獲取正確明文good植物基因的分布植物的基因?qū)锳A，Aa，aa這三種。記——第代植物中基因AA所占的比例——第代植物中基因Aa所占的比例——第代植物中基因aa所占的比例顯然由于后代是各從父代和母體的基因?qū)χ械瓤赡艿氐玫揭粋€基因而形成自己的基因?qū)Γ矢复傅幕驅(qū)妥哟骰驅(qū)χg的轉(zhuǎn)移概率如下表：父父母概率子代AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21現(xiàn)在研究采用AA型植物與其它基因植物相結(jié)合的方法培養(yǎng)后代。故有（1）令，則第代與第代植物基因型分布的關(guān)系為,（2）由（2）得，（3）下面把對角化，求出的特征值1、1/2、0，對應(yīng)的特征向量構(gòu)成矩陣，（4）將（4）代入（3）得當，,,。即培育的植物AA型基因所占的比例在不斷增加，極限狀態(tài)下所有植物的基因都是AA型。結(jié)論線性代數(shù)就是研究線性網(wǎng)絡(luò)的主要工具；進行IC集成電路設(shè)計時,對付數(shù)百萬個集體管的仿真軟件就需要依賴線性方程組的方法；想搞光電及射頻工程,好,電磁場、光波導分析都是向量場的分析,比如光調(diào)制器分析研制需要張量矩陣,手機信號處理等等也離不開矩陣運算。另外,矩陣的特征值和特征向量可以用在研究物理、化學領(lǐng)域的微分方程、連續(xù)的或離散的動力系統(tǒng)中,甚至數(shù)學生態(tài)學家用以在預(yù)測原始森林遭到何種程度的砍伐會造成貓頭鷹的種群滅亡；最小二乘算法廣泛應(yīng)用在各個工程領(lǐng)域里用于把實驗中得到的大量測量數(shù)據(jù)來擬合到一個理想的直線或曲線上,最小二乘擬合算法實質(zhì)就是線性方程組的求解；二次型常常出現(xiàn)在線性代數(shù)在工程和信號處理的應(yīng)用中,他們也常常出現(xiàn)在物