《正方形的性質(zhì)與判定》第2課時(shí)示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)北師大】

《正方形的性質(zhì)與判定》教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo) 1.理解并掌握正方形的判定定理，并會(huì)用正方形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算；2.經(jīng)歷正方形判定定理及中點(diǎn)四邊形的探索過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展合情推理能力.3.能夠用綜合法證明正方形的判定定理，進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力.4.體會(huì)探索與證明過(guò)程中所蘊(yùn)含的抽象、推理等數(shù)學(xué)思想.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并掌握正方形的判定定理，會(huì)用正方形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算.難點(diǎn)：探究證明正方形的判定定理，探究并證明中點(diǎn)四邊形.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【復(fù)習(xí)回顧】教師活動(dòng)：先提出問(wèn)題讓學(xué)生觀察，然后再動(dòng)畫(huà)演示.問(wèn)題：觀察下列實(shí)物中的正方形，說(shuō)一說(shuō)什么是正方形？預(yù)設(shè)答案：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.追問(wèn)：正方形具有哪些性質(zhì)呢？預(yù)設(shè)答案：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.正方形的對(duì)角線相等并且互相垂直平分.【想一想】你是如何判斷一個(gè)四邊形是矩形、菱形？預(yù)設(shè)答案：追問(wèn)：怎樣判定一個(gè)四邊形是正方形呢？【操作】如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角打開(kāi)，只要剪口線與折痕成45°角，展開(kāi)后的圖形就是正方形.你知道這樣做的道理嗎？觀察實(shí)物圖形，回顧正方形的概念.回顧正方形的性質(zhì).思考回答觀察與思考通過(guò)對(duì)實(shí)物中的正方形的直觀觀察，及動(dòng)畫(huà)演示復(fù)習(xí)回顧正方形的概念和性質(zhì)，為本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容做準(zhǔn)備.通過(guò)想一想與操作環(huán)節(jié)，引出將要探究的內(nèi)容.環(huán)節(jié)二探究新知【合作探究】教師活動(dòng)：研究正方形的判定方法，準(zhǔn)備了兩個(gè)探究活動(dòng)，活動(dòng)1是從矩形的基礎(chǔ)上探究，活動(dòng)2是從菱形的基礎(chǔ)上探究，最后得出正方形的4種判定方法.活動(dòng)1準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開(kāi)，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證.滿足怎樣條件的矩形是正方形？預(yù)設(shè)答案：【猜想1】當(dāng)矩形的一組鄰邊相等時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形.【猜想2】當(dāng)矩形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形.【證明】猜想1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：四邊形ABCD是矩形，AB=BC.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=90°，四邊形ABCD是平行四邊形又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形.猜想2：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.已知：四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BD.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°.又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）.∴AB=AD.∴四邊形ABCD是正方形.（正方形的定義）.【歸納】正方形的判定定理1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.符號(hào)語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形.正方形的判定定理2：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.符號(hào)語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形.活動(dòng)2把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形框架的形狀，量量看是不是正方形.滿足怎樣條件的菱形是正方形？預(yù)設(shè)答案：【猜想3】當(dāng)菱形的有一個(gè)角是直角時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形.【猜想4】當(dāng)菱形的對(duì)角線相等時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形.【證明】猜想3：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.已知：四邊形ABCD是菱形，∠A=90°.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AB=BC，四邊形ABCD是平行四邊形又∵∠A=90°，∴四邊形ABCD是正方形.猜想4：對(duì)角線相等的菱形是正方形.已知：四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=BD.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.又∵AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°.∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠BAD=90°∴四邊形ABCD是正方形（正方形的定義）.【歸納】正方形的判定定理3：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.符號(hào)語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是菱形，∠A=90°，∴四邊形ABCD是正方形.定理4：對(duì)角線相等的菱形是正方形.符號(hào)語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是矩形，AC=BD，∴四邊形ABCD是正方形.動(dòng)手操作，交流反饋說(shuō)出猜想熟悉證明過(guò)程熟悉正方形的判定定理1、2及其幾何語(yǔ)言動(dòng)手操作，交流反饋說(shuō)出猜想熟悉證明過(guò)程熟悉正方形的判定定理及其幾何語(yǔ)言通過(guò)活動(dòng)1探究當(dāng)矩形滿足一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直時(shí)，所得的四邊形是正方形.通過(guò)證明讓學(xué)生明確正方形的判定定理1、2，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.通過(guò)歸納進(jìn)一步熟悉正方形的判定定理，培養(yǎng)歸納概括能力.通過(guò)活動(dòng)2探究當(dāng)菱形形滿足有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等時(shí)，所得的四邊形是正方形.通過(guò)證明讓學(xué)生明確正方形的判定定理3、4，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.通過(guò)歸納進(jìn)一步熟悉正方形的判定定理，培養(yǎng)歸納概括能力.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過(guò)程.例2已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF是正方形.分析：由BF∥CE，CF∥BE，可證四邊形BECF是平行四邊形，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCB=90°，又由BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，可得∠EBC=∠ECB=45°，所以EB=EC.從而四邊形BECF是菱形，在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=45°，則∠BEC=90°，所以四邊形BECF是正方形.證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF是菱形（菱形的定義）.在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）.你還有其它的證明方法嗎？引導(dǎo)學(xué)生先從證矩形入手，然后再根據(jù)判定定理1和2解決.【做一做】教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生探究以正方形的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新的圖形，并對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行猜想和證明.問(wèn)題：如圖，任意畫(huà)一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)平行四邊形.思考：任意畫(huà)一個(gè)正方形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)怎樣的圖形呢？預(yù)設(shè)答案：猜想：正方形你能嘗試證明嗎？【證明】已知：如圖，點(diǎn)A1，B1，C1，D1分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形A1B1C1D1為正方形.證明：連接AC，BD，∵A1，B1分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴A1B1∥AC且A1B1=AC，同理可證C1D1∥AC且C1D1=AC，A1D1∥BD且A1D1=BD，B1C1∥BD且B1C1=BD.∴四邊形A1B1C1D1為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是正方形，∴AC=BD（正方形的對(duì)角線相等）AC⊥BD（正方形的對(duì)角線互相垂直），∴A1B1=A1D1=B1C1=C1D1，∠1=90°.∴四邊形A1B1C1D1是菱形，∠2=90°.∴四邊形A1B1C1D1為正方形.歸納：以正方形的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)正方形.【議一議】教師活動(dòng)：做一做環(huán)節(jié)從任意的四邊形和正方形角度探究了中點(diǎn)四邊形，議一議主要從矩形和菱形的角度探究，得出猜想并證明，最后得出決定中點(diǎn)四邊形的形狀的主要因素是:原四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度和位置關(guān)系.問(wèn)題1：菱形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？預(yù)設(shè)答案：猜想：菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.問(wèn)題2：矩形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？預(yù)設(shè)答案：猜想：矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.請(qǐng)嘗試證明這兩個(gè)猜想？【證明】已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的對(duì)角線互相垂直），∴∠1=90°.∴四邊形PFQO為矩形.∴∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）歸納：以菱形的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)矩形.已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為菱形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等），∴EF=EH∴四邊形EFGH是菱形（菱形的定義）歸納：以矩形的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)菱形.追問(wèn)：決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵因素是什么？預(yù)設(shè)答案：決定中點(diǎn)四邊形的形狀的主要因素是:原四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度和位置關(guān)系.明確例題的做法動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，觀看圖形猜測(cè)結(jié)論證明猜想動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，觀看圖形猜測(cè)結(jié)論讓學(xué)生在探究過(guò)程中進(jìn)一步加深對(duì)正方形的判定定理的認(rèn)識(shí)和理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).探究中點(diǎn)四邊形的問(wèn)題，旨在綜合應(yīng)用平行四邊形及正方形的性質(zhì)定理和判定定理，發(fā)展空間感念，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.利用類比的方法分別提出了以菱形、矩形以及平行四邊形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)所組成圖形的形狀問(wèn)題，除了讓學(xué)生猜測(cè)、證明外，還希望學(xué)生能進(jìn)一步分析、概括得到一個(gè)一般性的結(jié)論：所得的四邊形的形狀取決于原四邊形兩條對(duì)角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.已知：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF.求證：四邊形AECF是菱形.2.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在它的四條邊上，且AE=BF=CG=DH.四邊形EFGH是什么特殊四邊形？你是如何判斷的？答案：1.證明:在正方形ABCD中，BE＝DF，易證△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD，即CE＝AE＝AF＝FC，∴四邊形AECF是菱形．2.解：四邊形EFGH是正方形.∵在正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH，易證△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，即EH＝HG＝GF＝FE，且∠AHE＝∠DGH．∵∠DGH＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝