2015-2017立體幾何全國卷高考真題1

2015-2017立體幾何高考真題1、（2015年1卷6題）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面半徑為一則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為+1.62=22,故選B.考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式2、（2015年1卷11題）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20，則r=（）（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16+20，解得r=2,故選B.考點(diǎn)：簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式3、（2015年1卷18題）如圖，四邊形ABCD為菱形，回ABC=120。，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE回平面ABCD，DF回平面ABCD，BE=2DF，AE回EC.（回）證明：平面AEC回平面AFC；（回）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【解析】試題分析：（回）連接BD，設(shè)BDnAC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1易證EG回AC，通過計(jì)算可證EG回FG，根據(jù)線面垂直判定定理可知EG回平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC回平面AEC；（回）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的余弦值.試題解析：（回）連接BD，設(shè)BDnAC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由回ABC=120。，可得AG=GC=.由BE回平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，X0AE0EC，回EG=，EG回AC，在R也EBG中，可得BE=，故DF=.在R也FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，口尸=可得EF=，回，回EG回FG，0ACnFG=G，回EG回平面AFC，回EG面AEC，回平面AFC回平面AEC.（回）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz,由（回）可得A（0,一,0）,E（1,0,）,F（—1,0,）,C（0,,0）,加（1,,）,=（-1,-,）....10分故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為.考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力,推理論證能力4、（2015年2卷6題）一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如右圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A．B．C．D．【解析】由三視圖得,在正方體中,截去四面體,如圖所示,,設(shè)正方體棱長為,則,故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選D.考點(diǎn)：三視圖．5、（2015年2卷9題）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，回AOB=90,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為（）A.36nB.64nC.144nD.256n【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C.考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積.6、（2015年2卷19題）（本題滿分12分）如圖,長方體中,,,,點(diǎn),分別在,上,.過點(diǎn),的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.（回）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（回）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（回）交線圍成的正方形如圖：（回）作，垂足為，則，，因?yàn)闉檎叫危?于是，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,.設(shè)是平面的法向量,則即所以可取.又,故.所以直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)：1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角.7、（2016年1卷6題）如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（A）（B）（C）（D）【解析】試題分析：該幾何體直觀圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個扇形面積之和故選A.考點(diǎn)：三視圖及球的表面積與體積8、（2016年1卷11題）平面過正方體ABCD-A1B1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1=n,則m、n所成角的正弦值為(A)(B)(C)(D)試題分析：如圖,設(shè)平面平面=,平面平面=,因?yàn)槠矫?所以,則所成的角等于所成的角.延長,過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.考點(diǎn)：平面的截面問題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角.【名師點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補(bǔ).9、(2016年1卷18題)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形,AF=2FD,，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是.(I)證明：平面ABEF平面EFDC；(II)求二面角E-BC-A的余弦值.試題解析：(1)由已知可得〃所以平面.又平面,故平面平面．(II)過作,垂足為，由(I)知平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由(I)知為二面角的平面角，故，則〃可得,〃.由已知,,所以平面．又平面平面,故,．由,可得平面,所以為二面角的平面角,．從而可得．所以,,,．設(shè)是平面的法向量,則,即,所以可?。O(shè)是平面的法向量,則,同理可取．則．故二面角的余弦值為．考點(diǎn)：垂直問題的證明及空間向量的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】立體幾何解答題第一問通?？疾榫€面位置關(guān)系的證明,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決.10、(2016年2卷6題)右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(A)20n(B)24n(C)28n(D)32n解析：幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長為，圓錐母線長為，圓柱高為．由圖得，，由勾股定理得：，，故選C.11、(2016年2卷14題)，是兩個平面，m,n是兩條線，有下列四個命題：①如果，一那么.②如果，，那么.③如果，，那么.④如果，，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號)【解析】②③④12(2016年2卷19題)(本小題滿分12分)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,,,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，，EF交BD于點(diǎn)H.將回DEF沿EF折到回的位置.(I)證明：平面ABCD；(II)求二面角的正弦值.【解析】回證明：回，回，回.回四邊形為菱形，回，回，回，回.回，回；又，，回，回，回，回，回.又回，回面.團(tuán)建立如圖坐標(biāo)系.，，，，，，，設(shè)面法向量，由得，取，回.同理可得面的法向量，回，回.13、（2016年3卷9題）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）（A）（B）（C）90（D）81【答案】B考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖及表面積．【技巧點(diǎn)撥】求解多面體的表面積及體積問題，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解．14、（2016年3卷10題）在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，，，，則的最大值是（）（A）4n（B）（C）6n（D）【答案】B試題分析：要使球的體積最大，必須球的半徑最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時，球的半徑取得最大值，此時球的體積為，故選B.考點(diǎn)：1、三棱柱的內(nèi)切球；2、球的體積．【思維拓展】立體幾何是的最值問題通常有三種思考方向：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解；（3）建立函數(shù)，通過求函數(shù)的最值來求解．15、（2016年3卷19題）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，地面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（I）證明平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（回）見解析；（回）.【解析】試題分析：（回）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（回）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過求直線的方向向量與平面法向量的夾角來處理與平面所成角．試題解析：（回）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?設(shè)為平面的法向量，則，即，可取，于是.考點(diǎn)：1、空間直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、棱錐的體積．【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來處理．16、（2017年1卷7題）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個面中有若干是梯形，這些梯形的面積之和為A．B．C．D．【答案】B【解析】由三視圖可畫出立體圖該立體圖平面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面故選B17、（2017年1卷16題）如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，、、為元上的點(diǎn)，，，分別是一，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐．當(dāng)?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為．【答案】【解析】由題，連接，交與點(diǎn)，由題，，即的長度與的長度或成正比設(shè)，則，三棱錐的高令，，令，即，體積最大值為18、（2017年1卷18題）如圖，在四棱錐中，中，且．（1）證明：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：：,,,r???^又?,??又：，、平面,平面，又平面,平面平面（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，???,四邊形為平行四邊形,由（1）知，平面,平面，又、平面,，r???^又?,??,、、兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，,、、、，,、、設(shè)為平面的法向量由，得令，則，，可得平面的一個法向量??,,?又知平面，平面,，又,平面即是平面的一個法向量，??由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為19、（2017年2卷4題）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，學(xué)科&網(wǎng)粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（）【解析】A．B．C．D．【解析】【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體三視圖及體積，以考查考生的空間想象能力為主目的.【解析】【解析】解法一：常規(guī)解法【解析】從三視圖可知：一個圓柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具體圖像如下：【解析】從上圖可以清晰的可出剩余幾何體形狀，該幾何體的體積分成兩部分，部分圖如下：【解析】從三視圖可知：一個圓柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具體圖像如下：【解析】從上圖可以清晰的可出剩余幾何體形狀，該幾何體的體積分成兩部分，部分圖如下：從左圖可知：剩下的體積分上下兩部分陰影的體積，下面陰影的體TOC\o"1-5"\h\z積為V=Sh,r=3,h=4，,V=36兀；上面陰影的體積V是上12面部分體積V的一半，即V=-V,V與V的比為高的比（同底），32233133即V=-V，V=-V=27兀，故總體積V=V+V=63兀.321241021第二種體積求法：V=Sh=54兀，其余同上，故總體積3V=V+V=63兀.02120、（2017年2卷10題）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（一）A．B．C．D．【命題意圖】本題考查立體幾何中的異面直線角度的求解，意在考查考生的空間想象能力【解析】解法一：常規(guī)解法在邊BB、BC、AB、AB上分別取中點(diǎn)E、11111F、G、H，并相互連接.由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面直線AB和BC所成的夾角為ZFEG或其補(bǔ)角，11通過幾何關(guān)系求得EF=三，F(xiàn)G='旦,22FH=口-,利用余弦定理可求得異面直線2AB和BC所成的夾角余弦值為工0.11521、(2017年2卷19題)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD,E是PD的中點(diǎn).(1)證明：直線平面PAB(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為，求二面角M-AB-D的余弦值【命題意圖】線面平行的判定，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面角、二面角的求解【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明略；(2)【基本解法1】(1)證明：取中點(diǎn)為，連接、因?yàn)?，所以因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫?，平面所以直線平面(2)取中點(diǎn)為，連接因?yàn)榛貫榈冗吶切?，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面所以平面因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以所以以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)，則，所以設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以，即所以，所以平面的法向量為因?yàn)橹本€與底面所成角為，所以解得，所以設(shè)平面的法向量為，則令，則所以所以求二面角的余弦值22、(2017年3卷8題)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑，則圓柱體體積，故選B.23、(2017年3卷16題)為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與成角時，與成角；②當(dāng)直線與成角時，與成角；③直線與所成角的最小值為；④直線與所成角的最大值為．其中正確的是(填寫所有正確結(jié)論的編號)【答案】②③【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正