多元時間序列分析課件

上海財經大學統(tǒng)計學系1多元時間序列分析

多元平穩(wěn)時間序列建模

虛假回歸

單位根檢驗

協(xié)整

誤差修正模型

上海財經大學統(tǒng)計學系1多元時間序列分析多元平穩(wěn)時間序1上海財經大學統(tǒng)計學系2§10.1多元平穩(wěn)時間序列建模1976年，Box和Jenkins采用帶輸入變量的ARIMA模型為平穩(wěn)多元序列建模。構造思想：假設輸出變量序列（因變量序列）{}和輸入變量序列（自變量序列）{}，{}，…，{}均平穩(wěn)，首先構建輸出序列和輸入序列的回歸模型，如果有必要，使用ARMA模型繼續(xù)提取殘差序列{}中的相關信息。模型形為

上海財經大學統(tǒng)計學系2§10.1多元平穩(wěn)時間序列建模2上海財經大學統(tǒng)計學系3例10.1

在天然氣爐中，輸入的是天然氣，輸出的是CO2，CO2的輸出濃度與天然氣的輸入速率有關?，F在以中心化后的天然氣輸入速率為輸入序列，建立CO2的輸出百分濃度模型。時序圖及樣本自相關圖直觀顯示輸入序列和輸出序列均平穩(wěn)上海財經大學統(tǒng)計學系3例10.1在天然氣爐中，輸入的3上海財經大學統(tǒng)計學系4上海財經大學統(tǒng)計學系44上海財經大學統(tǒng)計學系5不考慮輸入序列和輸出序列之間的關系，將它們分別作為一元時間序列進行分析天然氣輸入速率序列模型為：CO2的輸出濃度序列為AR(1，2，4)疏系數模型：

上海財經大學統(tǒng)計學系5不考慮輸入序列和輸出序列之間的關5上海財經大學統(tǒng)計學系6考慮到輸出CO2濃度和輸入天然氣速率之間的密切關系，將輸入天然氣速率作為自變量考慮進輸出序列的模型中，進一步研究二者之間的關系。滯后k期協(xié)方差函數定義為滯后k期協(xié)相關系數為

上海財經大學統(tǒng)計學系6考慮到輸出CO2濃度和輸入天然氣6上海財經大學統(tǒng)計學系7輸入序列和輸出序列的協(xié)相關圖上海財經大學統(tǒng)計學系7輸入序列和輸出序列的7上海財經大學統(tǒng)計學系8從協(xié)相關圖可以看出，輸出序列和輸入序列的滯后項有顯著的相關關系，且滯后階數比較多，考慮采用ARMA模型結構，以減少待估參數的個數。通過反復嘗試，得出以下回歸模型上海財經大學統(tǒng)計學系8從協(xié)相關圖可以看出，輸出序列和輸8上海財經大學統(tǒng)計學系9再考慮回歸殘差序列{}的性質，從殘差序列的時序圖和相關圖可以看出，殘差平穩(wěn)且不存在序列相關性，說明擬合模型有效。上海財經大學統(tǒng)計學系9再考慮回歸殘差序列{}的性質9上海財經大學統(tǒng)計學系10模型擬合效果圖

返回上海財經大學統(tǒng)計學系10模型擬合效果圖10上海財經大學統(tǒng)計學系11§10.2虛假回歸當因變量序列{}和輸入變量序列（即自變量序列）{}，{}，…，{}都平穩(wěn)時，可以依據Box和Jenkins的理論和方法構建以輸入變量為自變量的ARIMAX回歸模型來擬合相應序列的變化。當平穩(wěn)性條件不滿足時，我們就不能大膽地構造ARIMAX模型，因為這時容易產生虛假回歸的問題。

返回上海財經大學統(tǒng)計學系11§10.2虛假回歸當因變量序11上海財經大學統(tǒng)計學系12§10.3單位根檢驗DF檢驗

ADF檢驗

PP檢驗

上海財經大學統(tǒng)計學系12§10.3單位根檢驗DF檢驗12上海財經大學統(tǒng)計學系13DF統(tǒng)計量

考慮1階自回歸序列：單位根檢驗的原假設和備擇假設分別為：t統(tǒng)計量DF（Dickey-Fuller）檢驗統(tǒng)計量時，其極限分布為：上海財經大學統(tǒng)計學系13DF統(tǒng)計量考慮1階自回歸序列13上海財經大學統(tǒng)計學系14維納過程具有如下性質：（1）（2）（3）上海財經大學統(tǒng)計學系14維納過程具有如下性質：（1）14上海財經大學統(tǒng)計學系15DF檢驗的等價表達

DF檢驗可以通過對參數的檢驗等價進行：相應的DF檢驗統(tǒng)計量為：其中，為參數的樣本標準差。上海財經大學統(tǒng)計學系15DF檢驗的等價表達DF檢驗可15上海財經大學統(tǒng)計學系16DF檢驗方法的三種適用類型

第一種類型如式第二種類型如式第三種類型如式上海財經大學統(tǒng)計學系16DF檢驗方法的三種適用類型第16上海財經大學統(tǒng)計學系17例10.2對某國1960年到1993年GNP平減指數的季度時間序列進行DF單位根檢驗。

1.直觀判斷：GNP平減指數的季度時間序列繪制時序圖，時序圖顯示序列顯著非平穩(wěn)。上海財經大學統(tǒng)計學系17例10.2對某國1960年到117上海財經大學統(tǒng)計學系182.對該時間序列進行DF檢驗上海財經大學統(tǒng)計學系182.對該時間序列進行DF檢驗18上海財經大學統(tǒng)計學系19ADF檢驗

DF檢驗只適用于1階自回歸過程的平穩(wěn)性檢驗，但是實際上絕大多數時間序列不會是一個簡單的AR(1)過程。為了使DF檢驗能適用于AR(p)過程的平穩(wěn)性檢驗，對DF檢驗進行了一定的修正，得到增廣DF檢驗（AugmentedDickey-Fuller），簡記為ADF檢驗。上海財經大學統(tǒng)計學系19ADF檢驗DF檢驗只適用于119上海財經大學統(tǒng)計學系20ADF檢驗的原理

對任意一個AR(p)過程AR(p)過程單位根檢驗的假設：構造ADF檢驗統(tǒng)計量：其中，為參數的樣本標準差。上海財經大學統(tǒng)計學系20ADF檢驗的原理對任意一個A20上海財經大學統(tǒng)計學系21ADF檢驗的三種適用類型

第一種類型第二種類型第三種類型上海財經大學統(tǒng)計學系21ADF檢驗的三種適用類型第一21上海財經大學統(tǒng)計學系22例10.2續(xù)

對某國1960年到1993年GNP平減指數的季度時間序列進行ADF檢驗，檢驗結果入下：上海財經大學統(tǒng)計學系22例10.2續(xù)對某國1960年22上海財經大學統(tǒng)計學系23PP檢驗

針對序列可能存在高階相關的情況和可能的異方差情形，Phillips和Perron于1988年對ADF檢驗進行了非參數修正，提出了Phillips-Perron檢驗統(tǒng)計量。PP檢驗統(tǒng)計量既可適用于異方差場合的平穩(wěn)性檢驗，又服從相應的ADF檢驗統(tǒng)計量的極限分布。上海財經大學統(tǒng)計學系23PP檢驗針對序列可能存在高階23上海財經大學統(tǒng)計學系24例10.2續(xù)

對某國1960年到1993年GNP平減指數的季度時間序列進行PP檢驗，結果如下：

返回上海財經大學統(tǒng)計學系24例10.2續(xù)對某國1960年24上海財經大學統(tǒng)計學系25§10.4協(xié)整單整與協(xié)整

協(xié)整檢驗

上海財經大學統(tǒng)計學系25§10.4協(xié)整單整與協(xié)整25上海財經大學統(tǒng)計學系26單整（integration）的概念

在單位根檢驗的過程中，如果檢驗結果顯著拒絕原假設，即說明序列顯著平穩(wěn)，不存在單位根，這時稱序列為零階單整序列，簡記為。如果原序列1階差分后平穩(wěn)，說明原序列存在一個單位根，這時稱原序列為1階單整序列，簡記為如果原序列至少需要進行d階差分才能實現平穩(wěn)，說明原序列存在d個單位根，這時稱原序列為d階單整序列，簡記。上海財經大學統(tǒng)計學系26單整（integration）26上海財經大學統(tǒng)計學系27單整序列的性質

1．若，對于任意非零實數a與b，有2．若，對于任意非零實數a與b，有

3．若，對于任意非零實數

a與b，有4.若，，對于任意非零實數

a與b，有式中，上海財經大學統(tǒng)計學系27單整序列的性質1．若27上海財經大學統(tǒng)計學系28協(xié)整（cointegration）的概念

協(xié)整理論是EngleandGranger在1987年首先提出來的。設隨機向量中所含分量均為d階單整，記為。如果存在一個非零向量，使得隨機向量，，則稱隨機向量具有d,b階協(xié)整關系，記為向量被稱為協(xié)整向量。上海財經大學統(tǒng)計學系28協(xié)整（cointegratio28上海財經大學統(tǒng)計學系29協(xié)整檢驗

Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗法

Johansen協(xié)整檢驗法

上海財經大學統(tǒng)計學系29協(xié)整檢驗Engle-Gran29上海財經大學統(tǒng)計學系30Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗法

1．用ADF檢驗各變量的單整階數。協(xié)整回歸要求所有的變量都是一階單整的，因此，高階單整變量需要進行差分，以獲得序列。2．用OLS法估計長期動態(tài)回歸方程，然后用AD檢驗殘差估計值的平穩(wěn)性。上海財經大學統(tǒng)計學系30Engle-Granger兩步30上海財經大學統(tǒng)計學系31Johansen協(xié)整檢驗法

Johansen和Juselius提出的一種在VAR（向量自回歸）系統(tǒng)下用極大似然估計來檢驗多變量之間協(xié)整關系的方法，通常稱為Johansen協(xié)整檢驗。設一個VAR模型如下

上海財經大學統(tǒng)計學系31Johansen協(xié)整檢驗法J31上海財經大學統(tǒng)計學系32向量誤差修正模型(VECM)協(xié)整關系的個數可通過下面兩個統(tǒng)計量來計算：上海財經大學統(tǒng)計學系32向量誤差修正模型(VECM)32上海財經大學統(tǒng)計學系33跡檢驗：即至多有r個協(xié)整關系即有m個協(xié)整關系（滿秩）最大特征根檢驗：上海財經大學統(tǒng)計學系33跡檢驗：33上海財經大學統(tǒng)計學系34例10.2續(xù)

我們以人均生活費支出對數序列和可支配收入對數序列{}為例來說明如何進行EG檢驗。時序圖上海財經大學統(tǒng)計學系34例10.2續(xù)我們以人均生活費34上海財經大學統(tǒng)計學系35第一步：用ADF檢驗分別對序列和進行單整檢驗第二步：用變量對進行普通最小二乘回歸，得回歸模型如下：殘差序列時序圖

返回上海財經大學統(tǒng)計學系35第一步：用ADF檢驗分別對序列35上海財經大學統(tǒng)計學系36§10.5誤差修正模型誤差修正模型(ErrorCorrectionModel)簡稱為ECM，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，也稱為DHSY模型。它常常作為協(xié)整回歸模型的補充模型出現。E-G兩步法建立誤差修正模型第一步，先檢驗兩個變量的單整階數，如果都是1階單整，緊著著進行回歸（OLS法），檢驗變量間的協(xié)整關系，估計協(xié)整向量（長期均衡關系參數）；第二步，若協(xié)整性存在，則以第一步求得的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應參數。上海財經大學統(tǒng)計學系36§10.5誤差修正模型誤差36上海財經大學統(tǒng)計學系37例10.2續(xù)

對1992年1月到2019年12月經居民消費價格指數調整的中國城鎮(zhèn)居民月人均生活費支出對數序列和可支配收入對數序列{構建ECM模型

上海財經大學統(tǒng)計學系37例10.2續(xù)對1992年1月37上海財經大學統(tǒng)計學系38多元時間序列分析

多元平穩(wěn)時間序列建模

虛假回歸

單位根檢驗

協(xié)整

誤差修正模型

上海財經大學統(tǒng)計學系1多元時間序列分析多元平穩(wěn)時間序38上海財經大學統(tǒng)計學系39§10.1多元平穩(wěn)時間序列建模1976年，Box和Jenkins采用帶輸入變量的ARIMA模型為平穩(wěn)多元序列建模。構造思想：假設輸出變量序列（因變量序列）{}和輸入變量序列（自變量序列）{}，{}，…，{}均平穩(wěn)，首先構建輸出序列和輸入序列的回歸模型，如果有必要，使用ARMA模型繼續(xù)提取殘差序列{}中的相關信息。模型形為

上海財經大學統(tǒng)計學系2§10.1多元平穩(wěn)時間序列建模39上海財經大學統(tǒng)計學系40例10.1

在天然氣爐中，輸入的是天然氣，輸出的是CO2，CO2的輸出濃度與天然氣的輸入速率有關?，F在以中心化后的天然氣輸入速率為輸入序列，建立CO2的輸出百分濃度模型。時序圖及樣本自相關圖直觀顯示輸入序列和輸出序列均平穩(wěn)上海財經大學統(tǒng)計學系3例10.1在天然氣爐中，輸入的40上海財經大學統(tǒng)計學系41上海財經大學統(tǒng)計學系441上海財經大學統(tǒng)計學系42不考慮輸入序列和輸出序列之間的關系，將它們分別作為一元時間序列進行分析天然氣輸入速率序列模型為：CO2的輸出濃度序列為AR(1，2，4)疏系數模型：

上海財經大學統(tǒng)計學系5不考慮輸入序列和輸出序列之間的關42上海財經大學統(tǒng)計學系43考慮到輸出CO2濃度和輸入天然氣速率之間的密切關系，將輸入天然氣速率作為自變量考慮進輸出序列的模型中，進一步研究二者之間的關系。滯后k期協(xié)方差函數定義為滯后k期協(xié)相關系數為

上海財經大學統(tǒng)計學系6考慮到輸出CO2濃度和輸入天然氣43上海財經大學統(tǒng)計學系44輸入序列和輸出序列的協(xié)相關圖上海財經大學統(tǒng)計學系7輸入序列和輸出序列的44上海財經大學統(tǒng)計學系45從協(xié)相關圖可以看出，輸出序列和輸入序列的滯后項有顯著的相關關系，且滯后階數比較多，考慮采用ARMA模型結構，以減少待估參數的個數。通過反復嘗試，得出以下回歸模型上海財經大學統(tǒng)計學系8從協(xié)相關圖可以看出，輸出序列和輸45上海財經大學統(tǒng)計學系46再考慮回歸殘差序列{}的性質，從殘差序列的時序圖和相關圖可以看出，殘差平穩(wěn)且不存在序列相關性，說明擬合模型有效。上海財經大學統(tǒng)計學系9再考慮回歸殘差序列{}的性質46上海財經大學統(tǒng)計學系47模型擬合效果圖

返回上海財經大學統(tǒng)計學系10模型擬合效果圖47上海財經大學統(tǒng)計學系48§10.2虛假回歸當因變量序列{}和輸入變量序列（即自變量序列）{}，{}，…，{}都平穩(wěn)時，可以依據Box和Jenkins的理論和方法構建以輸入變量為自變量的ARIMAX回歸模型來擬合相應序列的變化。當平穩(wěn)性條件不滿足時，我們就不能大膽地構造ARIMAX模型，因為這時容易產生虛假回歸的問題。

返回上海財經大學統(tǒng)計學系11§10.2虛假回歸當因變量序48上海財經大學統(tǒng)計學系49§10.3單位根檢驗DF檢驗

ADF檢驗

PP檢驗

上海財經大學統(tǒng)計學系12§10.3單位根檢驗DF檢驗49上海財經大學統(tǒng)計學系50DF統(tǒng)計量

考慮1階自回歸序列：單位根檢驗的原假設和備擇假設分別為：t統(tǒng)計量DF（Dickey-Fuller）檢驗統(tǒng)計量時，其極限分布為：上海財經大學統(tǒng)計學系13DF統(tǒng)計量考慮1階自回歸序列50上海財經大學統(tǒng)計學系51維納過程具有如下性質：（1）（2）（3）上海財經大學統(tǒng)計學系14維納過程具有如下性質：（1）51上海財經大學統(tǒng)計學系52DF檢驗的等價表達

DF檢驗可以通過對參數的檢驗等價進行：相應的DF檢驗統(tǒng)計量為：其中，為參數的樣本標準差。上海財經大學統(tǒng)計學系15DF檢驗的等價表達DF檢驗可52上海財經大學統(tǒng)計學系53DF檢驗方法的三種適用類型

第一種類型如式第二種類型如式第三種類型如式上海財經大學統(tǒng)計學系16DF檢驗方法的三種適用類型第53上海財經大學統(tǒng)計學系54例10.2對某國1960年到1993年GNP平減指數的季度時間序列進行DF單位根檢驗。

1.直觀判斷：GNP平減指數的季度時間序列繪制時序圖，時序圖顯示序列顯著非平穩(wěn)。上海財經大學統(tǒng)計學系17例10.2對某國1960年到154上海財經大學統(tǒng)計學系552.對該時間序列進行DF檢驗上海財經大學統(tǒng)計學系182.對該時間序列進行DF檢驗55上海財經大學統(tǒng)計學系56ADF檢驗

DF檢驗只適用于1階自回歸過程的平穩(wěn)性檢驗，但是實際上絕大多數時間序列不會是一個簡單的AR(1)過程。為了使DF檢驗能適用于AR(p)過程的平穩(wěn)性檢驗，對DF檢驗進行了一定的修正，得到增廣DF檢驗（AugmentedDickey-Fuller），簡記為ADF檢驗。上海財經大學統(tǒng)計學系19ADF檢驗DF檢驗只適用于156上海財經大學統(tǒng)計學系57ADF檢驗的原理

對任意一個AR(p)過程AR(p)過程單位根檢驗的假設：構造ADF檢驗統(tǒng)計量：其中，為參數的樣本標準差。上海財經大學統(tǒng)計學系20ADF檢驗的原理對任意一個A57上海財經大學統(tǒng)計學系58ADF檢驗的三種適用類型

第一種類型第二種類型第三種類型上海財經大學統(tǒng)計學系21ADF檢驗的三種適用類型第一58上海財經大學統(tǒng)計學系59例10.2續(xù)

對某國1960年到1993年GNP平減指數的季度時間序列進行ADF檢驗，檢驗結果入下：上海財經大學統(tǒng)計學系22例10.2續(xù)對某國1960年59上海財經大學統(tǒng)計學系60PP檢驗

針對序列可能存在高階相關的情況和可能的異方差情形，Phillips和Perron于1988年對ADF檢驗進行了非參數修正，提出了Phillips-Perron檢驗統(tǒng)計量。PP檢驗統(tǒng)計量既可適用于異方差場合的平穩(wěn)性檢驗，又服從相應的ADF檢驗統(tǒng)計量的極限分布。上海財經大學統(tǒng)計學系23PP檢驗針對序列可能存在高階60上海財經大學統(tǒng)計學系61例10.2續(xù)

對某國1960年到1993年GNP平減指數的季度時間序列進行PP檢驗，結果如下：

返回上海財經大學統(tǒng)計學系24例10.2續(xù)對某國1960年61上海財經大學統(tǒng)計學系62§10.4協(xié)整單整與協(xié)整

協(xié)整檢驗

上海財經大學統(tǒng)計學系25§10.4協(xié)整單整與協(xié)整62上海財經大學統(tǒng)計學系63單整（integration）的概念

在單位根檢驗的過程中，如果檢驗結果顯著拒絕原假設，即說明序列顯著平穩(wěn)，不存在單位根，這時稱序列為零階單整序列，簡記為。如果原序列1階差分后平穩(wěn)，說明原序列存在一個單位根，這時稱原序列為1階單整序列，簡記為如果原序列至少需要進行d階差分才能實現平穩(wěn)，說明原序列存在d個單位根，這時稱原序列為d階單整序列，簡記。上海財經大學統(tǒng)計學系26單整（integration）63上海財經大學統(tǒng)計學系64單整序列的性質

1．若，對于任意非零實數a與b，有2．若，對于任意非零實數a與b，有

3．若，對于任意非零實數

a與b，有4.若，，對于任意非零實數

a與b，有式中，上海財經大學統(tǒng)計學系27單整序列的性質1．若64上海財經大學統(tǒng)計學系65協(xié)整（cointegration）的概念

協(xié)整理論是EngleandGranger在1987年首先提出來的。設隨機向量中所含分量均為d階單整，記為。如果存在一個非零向量，使得隨機向量，，則稱隨機向量具有d,b階協(xié)整關系，記為向量被稱為協(xié)整向量。上海財經大學統(tǒng)計學系28協(xié)整（cointegratio65上海財經大學統(tǒng)計學系66協(xié)整檢驗

Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗法

Johansen協(xié)整檢驗法

上海財經大學統(tǒng)計學系29協(xié)整檢驗Engle-Gran66上海財經大學統(tǒng)計學系67Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗法

1．用ADF檢驗各變量的單整階數。協(xié)整回歸要求所有的變量都是一階單整的，因此，高階單整變量需要進行差分，以獲得序列。2．用OLS法估計長期動態(tài)回歸方程，然后用AD檢驗殘差估計值的平穩(wěn)性。上海財經大學統(tǒng)計學系30Engle-Granger兩步67上海財經大學統(tǒng)計學系68Johans