平穩(wěn)時(shí)間序列模型課件

第12章平穩(wěn)時(shí)間序列模型

1第12章平穩(wěn)時(shí)間序列模型1前言在前面的章節(jié)中，模型的被解釋變量都假定只受各個(gè)解釋變量當(dāng)期值的影響。但我們知道，在現(xiàn)實(shí)中很多被解釋變量除了受解釋變量當(dāng)期值的影響外，還不可避免地受到解釋變量滯后值的影響，這就是所謂分布滯后模型，或者前若干期的值決定了當(dāng)期值，即自回歸模型。這一類模型要求數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，本章將討論平穩(wěn)時(shí)間序列模型。2前言在前面的章節(jié)中，模型的被解釋變量都假定只受各個(gè)解釋變量當(dāng)§12.1分布滯后模型一、分布滯后模型的含義以消費(fèi)函數(shù)為例，假定某人的年薪增加了10000人民幣，而且這一年薪的增加將一直保持下去。那么，這種收入的增加將會(huì)對(duì)個(gè)人的年消費(fèi)支出產(chǎn)生什么影響呢？在得到收入的“永久性”增加后，人們通常不會(huì)急于把全部增加的收入一次性全部花完。比方說(shuō)，收入增加者可能在收入增加后的第1年增加消費(fèi)3000元，第2年增加2000元，第3年增加1000元，把所余的部分用于儲(chǔ)蓄。到第3年末，此人的年消費(fèi)支出將增加6000元。因而我們可以把此人的消費(fèi)函數(shù)寫(xiě)成(12.1.1)式：

(12.1.1)3§12.1分布滯后模型一、分布滯后模型的含義像(12.1.1)式這樣的模型，如果時(shí)間序列模型中不僅包含解釋變量的當(dāng)期值，而且包括解釋變量的滯后值，就把這種模型稱之為分布滯后模型(Distributed-lagModel)，也稱之為滯后變量模型。更一般地，我們把分布滯后模型寫(xiě)成(12.1.2)式：

(12.1.2)如果k是有限的，稱模型(12.1.2)為有限分布滯后模型；如果k是無(wú)限的，稱模型(12.1.2)為無(wú)限分布滯后模型。4像(12.1.1)式這樣的模型，如果時(shí)間序列模型中不僅包含解分布滯后模型的幾個(gè)基本概念1.短期乘數(shù)(Impactmultiplier)系數(shù)表示x在當(dāng)期一個(gè)單位的變化，導(dǎo)致y的同期變化值，因此稱為短期或即期乘數(shù)。2.中期乘數(shù)(Intermediatemultiplier)如果此后x的變化都保持在同一水平上，則給出下期y的變化，給出再下期y的變化，以此類推，這部分系數(shù)的和稱為中期乘數(shù)。3.長(zhǎng)期乘數(shù)(Long-runmultiplier)

(12.1.3)稱之為長(zhǎng)期乘數(shù)或總分布滯后乘數(shù)（Totaldistributed-lagmultiplier）。5分布滯后模型的幾個(gè)基本概念1.短期乘數(shù)(Impactmul對(duì)分布滯后模型系數(shù)的假定通常在討論分布滯后模型時(shí)，總是假定：

(12.1.4)這一假定的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是：其一，解釋變量x對(duì)被解釋變量y的長(zhǎng)期影響是有限的；其二，x的滯后時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)y的當(dāng)期影響逐漸衰減。6對(duì)分布滯后模型系數(shù)的假定通常在討論分布滯后模型時(shí)，總是假定：進(jìn)一步，我們定義：

(12.1.5)βi*是βi對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)化，給出某一時(shí)期的沖擊效應(yīng)占長(zhǎng)期沖擊或總沖擊（即總滯后乘數(shù)）的比例。

7進(jìn)一步，我們定義：(12.1.5)βi*是βi對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)以(12.1.1)式為例

短期乘數(shù)為0.3，表示短期消費(fèi)傾向(MPC)，而長(zhǎng)期乘數(shù)為0.6（0.6=0.3+0.2+0.1）表示長(zhǎng)期消費(fèi)傾向。也就是說(shuō)，隨著收入增加1元，該消費(fèi)者將在收入增加的當(dāng)年提高他的消費(fèi)水平約0.3元，第二年再提高0.2元，第三年再提高0.1元，即1元收入的增加對(duì)消費(fèi)的長(zhǎng)期效應(yīng)就是0.6元。如果我們將(12.1.1)的每一個(gè)βi除以0.6，就分別得到0.5，0.33和0.17，這表明x的一個(gè)單位變化的總效應(yīng)有50%在當(dāng)期反映，第二期為33%，第三期為17%。

(12.1.1)8以(12.1.1)式為例短期乘數(shù)為0.3，表示短期消費(fèi)傾向二、滯后效應(yīng)產(chǎn)生的原因1.心理性因素由于受到心理預(yù)期的影響，經(jīng)濟(jì)主體的大多數(shù)決策行為都會(huì)表現(xiàn)出滯后性。主要原因是人們受自身習(xí)慣的影響，往往不能快速調(diào)整自己的行為來(lái)適應(yīng)新的環(huán)境。2.時(shí)滯性因素例如，由于“蛛網(wǎng)效應(yīng)”的存在，農(nóng)產(chǎn)品供給量對(duì)價(jià)格的波動(dòng)表現(xiàn)出時(shí)滯；從研究與開(kāi)發(fā)(R&D)的投入到生產(chǎn)效率的提高，中間也涉及到相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)滯。3.制度性因素管理制度、合同等制度性因素也會(huì)導(dǎo)致滯后效應(yīng)。例如，一個(gè)消費(fèi)者如果其存款結(jié)構(gòu)中定期存款占了較大比例，他要想改變理財(cái)計(jì)劃，或者調(diào)整自己的消費(fèi)水平，就會(huì)受到銀行有關(guān)存款制度的限制。9二、滯后效應(yīng)產(chǎn)生的原因1.心理性因素9三、分布滯后模型的估計(jì)方法分布滯后模型估計(jì)的困難對(duì)于有限分布滯后模型，外生滯后變量模型的估計(jì)原則上可以使用OLS法。但是在具體應(yīng)用中還是存在一些實(shí)際問(wèn)題：其一，解釋變量x的最大滯后階數(shù)k如何確定？如果k設(shè)定不正確，將帶來(lái)模型的設(shè)定偏誤問(wèn)題。其二，滯后期數(shù)越長(zhǎng)，自由度越小，這將導(dǎo)致模型估計(jì)不準(zhǔn)或無(wú)法估計(jì)，并可能導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)推斷失效。其三，即使樣本足夠大，即使不考慮自由度問(wèn)題，由于x的各期之間往往是高度相關(guān)的，因而也可能遇到滯后解釋變量觀測(cè)值之間存在的多重共線性問(wèn)題。對(duì)于無(wú)限分布滯后模型，由于x的最大滯后階數(shù)k是無(wú)限的，因此，直接應(yīng)用OLS無(wú)法估計(jì)無(wú)限分布滯后模型。10三、分布滯后模型的估計(jì)方法分布滯后模型估計(jì)的困難101.阿爾特—丁伯根(Alt-Tinbergen)估計(jì)法

為了確定解釋變量x的最大滯后期k，阿爾特和丁伯根提出了所謂順序估計(jì)法。其基本思路是：在假定隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)滿足經(jīng)典假設(shè)的前提下，首先做yt對(duì)xt的回歸，然后做yt關(guān)于xt和xt-1的回歸，再做yt關(guān)于xt、xt-1和xt-2的回歸，依次添加的滯后項(xiàng)，直到滯后階數(shù)不顯著或至少有一個(gè)滯后階數(shù)的系數(shù)改變符號(hào)時(shí)為止。阿爾特—丁伯根估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單，操作方便，但也存在一些缺陷，主要是解釋變量滯后長(zhǎng)度的選擇存在數(shù)據(jù)挖掘(Datamining)問(wèn)題和多重共線性問(wèn)題。111.阿爾特—丁伯根(Alt-Tinbergen)估計(jì)法為Alt-Tinbergen估計(jì)法的一個(gè)實(shí)例Alt根據(jù)1930年至1939年的季度數(shù)據(jù)，將燃油消耗量y依次對(duì)新訂貨單x及其滯后變量進(jìn)行回歸，得到了如下結(jié)果：從上面的回歸結(jié)果可以看出，xt-2的符號(hào)不穩(wěn)定，并且xt-2、xt-3的符號(hào)為負(fù)，其經(jīng)濟(jì)意義難于解釋，所以阿爾特最后選擇第二個(gè)回歸模型作為最佳估計(jì)式。12Alt-Tinbergen估計(jì)法的一個(gè)實(shí)例Alt根據(jù)19302.阿爾蒙(Almon)估計(jì)法

(12.1.2)對(duì)于分布滯后模型(12.1.2)：我們通常要求其系數(shù)滿足條件(12.1.4)式

(12.1.4)即系數(shù)βi的和為有限以及βi漸進(jìn)地趨于0，但βi以什么方式趨于0沒(méi)有作具體要求。132.阿爾蒙(Almon)估計(jì)法(12.1.2)對(duì)于阿爾蒙用多項(xiàng)式去逼近模型(12.1.2)中的系數(shù)βi，阿爾蒙假定系數(shù)βi可以用下面的阿爾蒙多項(xiàng)式變換去逼近：i=0,1,2,…,k;m<k(12.1.6)將(12.1.6)代入(12.1.2)式并整理各項(xiàng)，模型變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

(12.1.7)其中，

(12.1.8)14阿爾蒙用多項(xiàng)式去逼近模型(12.1.2)中的系數(shù)βi，阿爾對(duì)于(12.1.7)式，滿足經(jīng)典假定的條件，故使用OLS進(jìn)行估計(jì)。將估計(jì)的參數(shù)代入(12.1.6)式，就可求出原分布滯后模型參數(shù)的估計(jì)值。在實(shí)際應(yīng)用中，阿爾蒙多項(xiàng)式的次數(shù)m應(yīng)視函數(shù)形式而定，但通常取得較低，一般取2或3，很少超過(guò)4，因?yàn)槿绻鹠的值取的過(guò)大，則達(dá)不到通過(guò)阿爾蒙多項(xiàng)式變換減少解釋變量個(gè)數(shù)從而提高自由度的目的。阿爾蒙估計(jì)法的最大優(yōu)點(diǎn)就是解決了自由度不足的問(wèn)題，由于模型中解釋變量和待估參數(shù)都減少了，因此，一般不會(huì)有自由度不足的問(wèn)題。此外，阿爾蒙估計(jì)法具有較大的靈活性。為了使參數(shù)結(jié)構(gòu)假定更好地符合的實(shí)際變化形式，可以通過(guò)改變多項(xiàng)式(12.1.6)的階數(shù)m，從而提高逼近的精度。阿爾蒙估計(jì)法也存在著一些缺陷。其一，滯后期數(shù)k數(shù)如何確定，阿爾蒙估計(jì)法本身并沒(méi)有解答；其二，多項(xiàng)式(12.1.6)階數(shù)m的確定往往具有主觀性。15對(duì)于(12.1.7)式，滿足經(jīng)典假定的條件，故使用OLS§12.2自回歸分布滯后模型所謂自回歸分布滯后模型，就是模型中的解釋變量包含被解釋變量的滯后項(xiàng)，如

(12.2.1)由于自回歸分布滯后模型描述了被解釋變量相對(duì)于它的過(guò)去值的時(shí)間路徑，故又稱之為動(dòng)態(tài)模型(Dynamicmodel)，下面介紹幾種常見(jiàn)的自回歸模型。16§12.2自回歸分布滯后模型所謂自回歸分布滯后模型，就是模一、適應(yīng)性預(yù)期模型適應(yīng)性預(yù)期模型基于經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)，認(rèn)為經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體是根據(jù)他們對(duì)某些經(jīng)濟(jì)變量的“預(yù)期”做出決策的。其核心思想是：影響yt的因素不是xt，而是對(duì)xt的預(yù)期，即：

(12.2.2)其中，yt為被解釋變量，為解釋變量預(yù)期值，ut為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。17一、適應(yīng)性預(yù)期模型適應(yīng)性預(yù)期模型基于經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)，認(rèn)為經(jīng)濟(jì)活由于預(yù)期變量不可直接觀測(cè)，如何獲取解釋變量的預(yù)期值，是適應(yīng)性預(yù)期模型的難點(diǎn)。因此，實(shí)際應(yīng)用中需要對(duì)預(yù)期的形成機(jī)理做出某種假定，從而將不可直接觀測(cè)的預(yù)期變量用可觀測(cè)的變量xt表述出來(lái)。適應(yīng)性預(yù)期模型假定：(12.2.3)其中，參數(shù)稱之為預(yù)期系數(shù)或調(diào)整系數(shù)。(12.2.3)式的含義是：如果，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體對(duì)解釋變量xt的當(dāng)期預(yù)期值等于前一期預(yù)期值加上一個(gè)修正量，該修正量是前一期預(yù)期誤差的一部分。顯然，的值越接近1，調(diào)整幅度也越大，這一調(diào)整過(guò)程也叫做自適應(yīng)調(diào)整過(guò)程；如果，則，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體對(duì)xt的當(dāng)期預(yù)期值和實(shí)際值完全相同，即預(yù)期是立即全部實(shí)現(xiàn)的；如果，則，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體將前期的預(yù)期值作為當(dāng)期預(yù)期值。18由于預(yù)期變量不可直接觀測(cè)，如何獲取解釋變量的預(yù)期值，將(12.2.3)式改寫(xiě)為：

(12.2.4)(12.2.4)式表明當(dāng)期預(yù)期值是前一期預(yù)期值和本期實(shí)際值xt的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)分別為和。如果等于0，說(shuō)明本期實(shí)際值被忽略，預(yù)期沒(méi)有進(jìn)行修正。如果等于1，則以本期實(shí)際值作為預(yù)期值，本期預(yù)期與前一期預(yù)期無(wú)關(guān)。在一般情況下，0<<1。19將(12.2.3)式改寫(xiě)為：將(12.2.4)式代入(12.2.2)式，可以得到：

(12.2.5)將(12.2.2)式滯后一期，并乘以得到：

(12.2.6)用(12.2.5)式減去(12.2.6)式，得到：

(12.2.7)

(12.2.8)(12.2.8)式顯然是一個(gè)一階自回歸分布滯后模型。20將(12.2.4)式代入(12.2.2)式，可以得到：二、部分調(diào)整模型部分調(diào)整模型(Partialadjustmentmodel)首先是由尼洛夫(Nerlove)基于這樣的事實(shí)提出的：為了適應(yīng)解釋變量的變化，被解釋變量有一個(gè)預(yù)期的最佳值與之對(duì)應(yīng)。例如，一個(gè)企業(yè)本期商品庫(kù)存量的最佳庫(kù)存值取決于當(dāng)期實(shí)際銷售量；為了保持一定的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)水平，央行應(yīng)該有一個(gè)預(yù)期的最佳貨幣供應(yīng)量。因此，部分調(diào)整模型核心思想是考察自變量觀測(cè)值與同期因變量希望達(dá)到的最佳值之間的關(guān)系，用模型表述就是：

(12.2.9)其中，為被解釋變量的預(yù)期最佳值，xt為解釋變量的現(xiàn)值。21二、部分調(diào)整模型部分調(diào)整模型(Partialadjustm由于被解釋變量的預(yù)期最佳值是不可直接觀測(cè)的，尼洛夫提出被解釋變量的實(shí)際變化僅僅是預(yù)期變化的一部分，即所謂部分調(diào)整假設(shè)：

(12.2.10)其中，δ為調(diào)整系數(shù)，它代表調(diào)整速度。yt-yt-1表示實(shí)際變化，y*t-yt-1表示預(yù)期的理想變化。δ越接近1，表明調(diào)整到預(yù)期最佳水平的速度越快。若δ=1，則yt=y*t，表明實(shí)際變動(dòng)等于預(yù)期變動(dòng)，調(diào)整在當(dāng)期完全實(shí)現(xiàn)。若δ=0，則yt=yt-1，表明本期值與上期值一樣，完全沒(méi)有調(diào)整。通常情況下，0<δ<1。部分調(diào)整假設(shè)(12.2.10)式可以改寫(xiě)成：

(12.2.11)即被解釋變量yt的實(shí)際值是本期預(yù)期最佳值y*t與前一期實(shí)際值的yt-1加權(quán)，權(quán)重分別為δ和1-δ。22由于被解釋變量的預(yù)期最佳值是不可直接觀測(cè)的，尼洛夫提出被解釋將(12.2.9)式代入(12.2.11)式，可得部分調(diào)整模型的轉(zhuǎn)化形式：

(12.2.12)(12.2.12)式稱為部分調(diào)整模型，令，，，，(12.2.12)式可以改寫(xiě)成：

(12.2.13)(12.2.13)式表明部分調(diào)整模型本質(zhì)上也是一個(gè)自回歸分布滯后模型。23將(12.2.9)式代入(12.2.11)式，可得部分調(diào)整模三、自回歸分布滯后模型的估計(jì)1.自回歸分布滯后模型的OLS估計(jì)量的性質(zhì)我們已經(jīng)討論了兩種自回歸分布滯后模型：適應(yīng)性預(yù)期模型和部分調(diào)整模型，這些模型都有如下的共同形式：

(12.2.14)如前述，以上兩種自回歸模型由于包含了被解釋變量滯后項(xiàng)yt-1作為解釋變量，以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的形式發(fā)生了變化，導(dǎo)致yt-1與vt的相關(guān)，vt也可能存在自相關(guān)，因此，OLS估計(jì)量是有偏的。顯然，最重要的問(wèn)題是yt-1與vt的相關(guān)。24三、自回歸分布滯后模型的估計(jì)1.自回歸分布滯后模型的OLS估2.自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)為了解決自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)問(wèn)題，Durbin在1970年提出了一個(gè)新的檢驗(yàn)方法，即h檢驗(yàn)法，也稱之為德賓h檢驗(yàn)，其h統(tǒng)計(jì)量為：

(12.2.15)其中，n為樣本容量，為(12.2.14)式中系數(shù)的估計(jì)值的方差。為的一階自相關(guān)系數(shù)，通常取，d為通常意義下的DW統(tǒng)計(jì)量。這樣h統(tǒng)計(jì)量可以寫(xiě)成：

(12.2.16)252.自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)為了解決自回歸分布滯后模運(yùn)用德賓h檢驗(yàn)應(yīng)該注意的問(wèn)題（2）如果自回歸分布滯后模型中包含多個(gè)解釋變量和多個(gè)滯后被解釋變量，德賓h檢驗(yàn)仍然適用。（1）如果，h統(tǒng)計(jì)量無(wú)意義，德賓h檢驗(yàn)的檢驗(yàn)結(jié)果無(wú)效。26運(yùn)用德賓h檢驗(yàn)應(yīng)該注意的問(wèn)題（2）如果自回歸分布滯后模型中包3.自回歸分布滯后模型的工具變量估計(jì)法估計(jì)自回歸分布滯后模型必須處理的問(wèn)題是yt-1與vt的相關(guān)，常用的估計(jì)方法是工具變量(InstrumentVariable)估計(jì)。工具變量估計(jì)的核心思想是：既然yt-1與vt相關(guān)，如果能找到這樣一個(gè)代理(Proxy)變量，這個(gè)變量與yt-1高度相關(guān)，但與vt不相關(guān)，用代理變量代替，就可以消除yt-1與vt相關(guān)的問(wèn)題。273.自回歸分布滯后模型的工具變量估計(jì)法估計(jì)自回歸分布滯后模型在實(shí)際應(yīng)用中，工具變量有多種選擇方式。常見(jiàn)的方式是選用yt-1的估計(jì)值作工具變量，代替yt-1后進(jìn)行估計(jì)，其步驟是：第一步，先對(duì)模型(12.2.17)進(jìn)行OLS回歸：

(12.2.17)實(shí)際應(yīng)用時(shí)xt的滯后期k最多取3，假設(shè)估計(jì)結(jié)果為：

(12.2.18)滯后一期得到：

(12.2.19)第二步，以作為工具變量代替(12.2.14)式中的隨機(jī)解釋變量yt-1，可以得到：

(12.2.20)第三步，對(duì)(12.2.20)式進(jìn)行最小二乘回歸，得到參數(shù)的估計(jì)值。28在實(shí)際應(yīng)用中，工具變量有多種選擇方式。常見(jiàn)的方式是選用yt§12.3ARMA模型時(shí)間序列ARMA模型由Box-Jenkins(1976)年提出，在介紹ARIMA模型之前，為了分析的方便，我們先介紹時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念。29§12.3ARMA模型時(shí)間序列ARMA模型由Box-一、時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念1.隨機(jī)過(guò)程由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)程，記為，簡(jiǎn)記為xt。隨機(jī)過(guò)程也可以簡(jiǎn)稱為過(guò)程，其中每一個(gè)元素xt都是隨機(jī)變量。將每一個(gè)元素的樣本點(diǎn)按序排列，稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，即時(shí)間序列數(shù)據(jù)，亦即樣本。2.白噪聲過(guò)程對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果均值E(xt)=0，；方差

，；協(xié)方差()，那么這一隨機(jī)過(guò)程稱為白噪聲過(guò)程。30一、時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念1.隨機(jī)過(guò)程由隨機(jī)變量組成的3.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值和方差在時(shí)間過(guò)程上都是常數(shù)，并且在任何兩期之間的協(xié)方差只和兩期間隔的時(shí)間長(zhǎng)度相關(guān)，而和計(jì)算該協(xié)方差的實(shí)際時(shí)間不相關(guān)，則稱該隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，也稱之為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程或者弱平穩(wěn)過(guò)程。用公式表述就是，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程xt，如果其均值，方差，協(xié)方差的大小只與k的取值相關(guān)，而與t不相關(guān)，則稱xt為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。白噪聲過(guò)程顯然是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。313.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程用公式表述就是，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程xt，如果數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性對(duì)時(shí)間序列分析非常重要，經(jīng)典的時(shí)間序列回歸分析，都是假定數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。直觀的看，平穩(wěn)的數(shù)據(jù)可以看作是一條圍繞其均值上下波動(dòng)的曲線。下面，我們用由Eviews軟件模擬一個(gè)均值為5、標(biāo)準(zhǔn)差為0.2、樣本量為500的平穩(wěn)數(shù)據(jù)。圖12.1平穩(wěn)數(shù)據(jù)示例32數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性對(duì)時(shí)間序列分析非常重要，經(jīng)典的時(shí)間序列回歸分析，4.自相關(guān)函數(shù)對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，其期望和方差均為常數(shù)，而滯后k期的自協(xié)方差就是相隔k期的兩個(gè)隨機(jī)變量xt與xt+k的協(xié)方差，定義為：自協(xié)方差隨著k的依次取值構(gòu)成了序列，稱為隨機(jī)過(guò)程xt的自協(xié)方差函數(shù)。當(dāng)k=0時(shí)，自協(xié)方差退化為方差，即xt與xt+k之間的自相關(guān)系數(shù)定義如下：

(12.3.1)334.自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差隨著k的依次取值構(gòu)成了序列因?yàn)?，?duì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有：所以(12.3.1)式可以改寫(xiě)為：對(duì)應(yīng)的樣本自相關(guān)系數(shù)為：

(12.3.2)由(12.3.2)定義的構(gòu)成的序列(k=…,-2,-1,0,1,2…)，稱為自相關(guān)函數(shù)，用于考察隨機(jī)變量的樣本與其滯后期的相關(guān)強(qiáng)度。34因?yàn)?，?duì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有：所以(12.3.1)式可以改寫(xiě)為5.偏自相關(guān)函數(shù)回顧第四章中介紹的多元回歸模型的偏回歸系數(shù)，所反映的是在其他解釋變量保持不變的情況下，某個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量條件期望值的邊際影響，即偏效應(yīng)。偏自相關(guān)函數(shù)的含義和偏回歸系數(shù)類似。用表示k階自回歸模型中第j個(gè)回歸系數(shù)，則k階自回歸模型為:

(12.3.3)其中是最后一個(gè)回歸系數(shù)。若把看作是滯后期k的函數(shù)，則稱

(12.3.4)為偏自相關(guān)函數(shù)?？梢钥闯?，上式中每一個(gè)回歸系數(shù)恰好表示xt與xt-k在排除了其中間變量影響之后的相關(guān)系數(shù)，所以偏自相關(guān)函數(shù)由此得名。355.偏自相關(guān)函數(shù)回顧第四章中介紹的多元回歸模型的偏回歸系數(shù)，二、ARMA模型概述時(shí)間序列ARIMA模型一般可分為四種類型，即自回歸模型(AR)、移動(dòng)平均模型(MA)、自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA)和積分自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA)。36二、ARMA模型概述時(shí)間序列ARIMA模型一般可分為四種類型1.自回歸模型概述

（1）自回歸模型的定義如果一個(gè)隨機(jī)模型中的元素僅僅受其滯后項(xiàng)和服從白噪聲過(guò)程的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的影響，則稱這種模型為自回歸模型(AutoRegression，AR)。如一階自回歸模型，記作AR(1)，可用下式表示：

(12.3.5)其中為自回歸參數(shù)，隨機(jī)項(xiàng)ut為服從0均值，方差為的正態(tài)分布，且相互獨(dú)立的白噪聲序列。

(12.3.6)更一般地，p階自回歸模型，記作AR(p)，可用下式表示：371.自回歸模型概述（1）自回歸模型的定義（2）自回歸模型的平穩(wěn)條件只有產(chǎn)生時(shí)間序列的隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，運(yùn)用自回歸模型才有意義。因此，我們首先探討自回歸模型的平穩(wěn)條件。直觀的看，自回歸模型AR(1)的平穩(wěn)性條件是。Why?一階自回歸模型(12.3.5)可寫(xiě)為：……

(12.3.7)可以看出，一階自回歸模型(12.3.5)實(shí)際上是白噪聲序列的線性組合。若保證AR(1)模型具有平穩(wěn)性，必須收斂，即必須滿足。38（2）自回歸模型的平穩(wěn)條件直觀的看，自回歸模型AR(1)的平2.移動(dòng)平均模型(MA)概述（1）移動(dòng)平均模型的定義若時(shí)間序列xt為它的當(dāng)期和滯后若干期隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的線性組合，即：

(12.3.8)其中，是參數(shù)，ut是均值為0，方差為的白噪聲過(guò)程，稱(12.3.8)式為q階移動(dòng)平均(MovingAverage，MA)模型，記為MA(q)。之所以稱為“移動(dòng)平均”，是因?yàn)閤t是由ut的加權(quán)和構(gòu)造而成，類似于一個(gè)平均。由定義可知，任何一個(gè)q階移動(dòng)平均過(guò)程都是由q+1個(gè)白噪聲過(guò)程的加權(quán)和組成，由于白噪聲過(guò)程是平穩(wěn)的，所以任何一個(gè)移動(dòng)平均模型都是平穩(wěn)的。392.移動(dòng)平均模型(MA)概述（1）移動(dòng)平均模型的定義（2）移動(dòng)平均模型的可逆性對(duì)于MA(1)模型：

(12.3.9)給定條件，如果MA(1)模型可以表述為

(12.3.10)即MA(1)模型可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型，我們稱MA(1)模型具有可逆性。由AR(p)模型平穩(wěn)性可知，MA(1)模型具有可逆性的條件是<1。更一般地，任何一個(gè)可逆的MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型。40（2）移動(dòng)平均模型的可逆性（3）自回歸模型與移動(dòng)平均模型的關(guān)系以上的分析說(shuō)明，一個(gè)平穩(wěn)的AR(p)模型可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均模型；一個(gè)可逆的MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型。AR(p)模型，只需考慮平穩(wěn)性問(wèn)題，不必考慮可逆性問(wèn)題。MA(q)模型，只需考慮可逆性問(wèn)題，不必考慮平穩(wěn)性問(wèn)題。41（3）自回歸模型與移動(dòng)平均模型的關(guān)系413.自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA)概述（1）自回歸移動(dòng)平均模型的含義如果時(shí)間序列xt為它的當(dāng)前與前期的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，以及它的前期值的線性函數(shù)，即

(12.3.11)則稱上述模型為自回歸移動(dòng)平均模型，記為ARMA(p,q)，其中p和q分別表示自回歸和移動(dòng)平均部分的最大階數(shù)。（2）自回歸移動(dòng)平均模型的平穩(wěn)性和可逆性ARMA(p,q)過(guò)程的平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分；ARMA(p,q)過(guò)程的可逆性則只依賴于移動(dòng)平均部分。423.自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA)概述（1）自回歸移動(dòng)平均模三、ARMA模型的識(shí)別對(duì)于AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模型，在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)之前，需要進(jìn)行模型的識(shí)別。識(shí)別就是確定模型的階，即確定AR(p)模型中的p、MA(q)模型中的q和ARMA(p,q)模型中的p和q。識(shí)別的主要工具是自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)及其圖形。43三、ARMA模型的識(shí)別對(duì)于AR(p)模型、MA(q)模型和1.AR(p)模型的識(shí)別

可以證明，AR(p)模型自相關(guān)函數(shù)的遞推公式為：(12.3.15)由此可見(jiàn)，AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)是非截尾序列，稱為拖尾序列，時(shí)間間隔越長(zhǎng)，自相關(guān)的程度越弱。因此，自相關(guān)函數(shù)拖尾，是AR(p)模型的一個(gè)明顯的特征。(12.3.15)式表明，AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為p+1處為0。也就是說(shuō)，AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)在p+1呈現(xiàn)出截尾特征。因此，可以基于AR(p)模型的截尾特征確定其階數(shù)p。441.AR(p)模型的識(shí)別可以證明，AR(p)模型自相關(guān)函AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算看起來(lái)較為復(fù)雜，但是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件都有自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)的菜單，使用起來(lái)非常方便。以Eviews軟件為例，我們來(lái)看AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。45AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算看起來(lái)較為復(fù)雜圖12.3AR(1)模型xt=0.7xt-1+ut的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖自相關(guān)圖呈現(xiàn)出拖尾特征

偏自相關(guān)圖在1階以后呈現(xiàn)出截尾特征46圖12.3AR(1)模型xt=0.7xt-1+ut的自相2.MA(q)模型的識(shí)別可以證明：MA(q)模型只有q期記憶，自相關(guān)函數(shù)在q處截尾。也就是說(shuō)，我們可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開(kāi)始為0來(lái)判斷MA(q)模型的階。對(duì)于MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)，由于任何一個(gè)可逆的MA(q)模型都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)系數(shù)按幾何遞減的AR(p)模型，所以MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)緩慢衰減的特征，即拖尾特征。472.MA(q)模型的識(shí)別可以證明：MA(q)模型只有q期記圖12.4MA(1)模型xt=ut+0.8ut-1的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖偏自相關(guān)圖呈現(xiàn)出拖尾特征

自相關(guān)圖在1階以后呈現(xiàn)出截尾特征48圖12.4MA(1)模型xt=ut+0.8ut-1的自相3.ARMA(p,q)模型的識(shí)別ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)，可以看作AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)的混合物。當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)；當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)；當(dāng)p、q均不為0時(shí)，如果當(dāng)p、q均大于或者等于2，其自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，有可能呈現(xiàn)出指數(shù)衰減、正弦衰減或者二者的混合衰減，但通常都具有拖尾性質(zhì)。ARMA(p,q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)，也是無(wú)限延長(zhǎng)的，其表現(xiàn)形式與MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)類似。根據(jù)q的取值不同以及參數(shù)θi的不同，ARMA(p,q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減或正弦衰減混合形式。493.ARMA(p,q)模型的識(shí)別ARMA(p,q)模型的自圖12.5ARMA(1,1)模型xt=0.8xt-1+ut-0.3ut-1的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

從圖12.5可以看出，ARMA(1,1)模型的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖均是在k=1達(dá)到峰值后呈現(xiàn)出按指數(shù)衰減的拖尾特征。50圖12.5ARMA(1,1)模型xt=0.8xt-1+u圖12.6ARMA(2,2)模型xt=0.8xt-1-0.3xt-2+ut-0.5ut-1+0.7ut-2的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖從圖12.6可以看出，ARMA(2,2)模型的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖在k=1、2達(dá)到兩個(gè)峰值后按指數(shù)或正弦衰減。51圖12.6ARMA(2,2)模型xt=0.8xt-1-04.ARMA模型的識(shí)別規(guī)則如果平穩(wěn)時(shí)間序列xt的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則xt是ARMA(p,q)模型。至于模型中的p和q階具體取什么值，則要從低階開(kāi)始逐步試探，直到合適的模型為止。524.ARMA模型的識(shí)別規(guī)則如果平穩(wěn)時(shí)間序列xt的自相關(guān)函數(shù)§12.4向量自回歸模型（VAR）

一、VAR模型的含義及特點(diǎn)1980年，Sims提出了向量自回歸模型(Vectorautoregressivemodel,VAR)。VAR模型采用多方程聯(lián)立的形式，但與聯(lián)立方程模型需要區(qū)分內(nèi)生變量和外生變量不同的是，VAR模型假定在模型中的變量全部為內(nèi)生變量，內(nèi)生變量對(duì)模型的全部?jī)?nèi)生變量的滯后項(xiàng)進(jìn)行回歸，從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量的動(dòng)態(tài)關(guān)系。由于VAR模型在預(yù)測(cè)方面的精度遠(yuǎn)高于聯(lián)立方程模型，加之估計(jì)方法較聯(lián)立方程模型簡(jiǎn)單等優(yōu)勢(shì)，VAR模型自誕生以來(lái)，逐漸取代了聯(lián)立方程模型，在實(shí)際運(yùn)用中占有重要地位。53§12.4向量自回歸模型（VAR）一、VAR模型的含義及我們首先分析最簡(jiǎn)單的雙變量VAR模型。假設(shè)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(yt)與貨幣供應(yīng)量(xt)之間的關(guān)系可以用下式來(lái)表述：

(12.4.1)其中，，。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)在VAR術(shù)語(yǔ)中也稱之為新息(Innovations)。(12.4.1)式用矩陣表示為：

(12.4.2)

(12.4.3)54我們首先分析最簡(jiǎn)單的雙變量VAR模型。假設(shè)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(yt(12.4.3)式稱之為一階向量自回歸模型，記為VAR(1)。所謂“自回歸”，是因?yàn)槟Ｐ偷挠叶顺霈F(xiàn)被解釋變量的滯后項(xiàng)，而“向量”是因?yàn)槟Ｐ蜕婕暗絻蓚€(gè)或兩個(gè)以上的變量，不同于前述的單個(gè)變量的AR(p)模型。更一般地，若有n個(gè)內(nèi)生變量并滯后p期，即：

(12.4.4)

y1t,y2t,…,ynt表示n個(gè)不同的內(nèi)生變量，n個(gè)變量的VAR(p)為：

(12.4.5)VAR(p)55(12.4.3)式稱之為一階向量自回歸模型，記為VAR(1)VAR模型的特點(diǎn)

1.VAR模型不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，對(duì)變量不施加任何協(xié)整限制，因而上述的VAR模型也稱之為非限制性向量自回歸模型(UnrestrictedVAR)。2.VAR模型的解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量。如果包含當(dāng)期變量，就是所謂結(jié)構(gòu)性向量自回歸模型(StructuralVAR,SVAR)所分析的問(wèn)題。3.非限制性VAR模型在預(yù)測(cè)方面具有優(yōu)勢(shì)，特別是樣本外的近期預(yù)測(cè)。因?yàn)樵赩AR模型中的解釋變量不含有當(dāng)期變量，這種模型用于樣本外一期預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)是不必對(duì)解釋變量在預(yù)測(cè)期內(nèi)的取值做任何預(yù)測(cè)。4.VAR模型包含較多的待估參數(shù)，比如一個(gè)包含兩個(gè)變量的VAR(2)模型，其最大滯后期k=2，則有kn2=2×22=8個(gè)參數(shù)需要估計(jì)。當(dāng)樣本容量較小時(shí)，多數(shù)參數(shù)的估計(jì)量誤差較大，加之VAR模型不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，所以對(duì)于模型的參數(shù)估計(jì)值，通常并不分析其經(jīng)濟(jì)意義。5.一般而言，VAR模型是針對(duì)平穩(wěn)數(shù)據(jù)的模型，在建立VAR模型之前，可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法可按照AR(p)的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)。

56VAR模型的特點(diǎn)1.VAR模型不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，對(duì)二、VAR模型滯后期的選擇

建立VAR模型一個(gè)重要的問(wèn)題就是如何正確地確定滯后期k。一方面，如果k值過(guò)大，會(huì)導(dǎo)致自由度減小，直接影響VAR模型參數(shù)估計(jì)量的有效性。另一方面，k值太小，誤差項(xiàng)的自相關(guān)會(huì)很嚴(yán)重，并導(dǎo)致參數(shù)的非一致性估計(jì)，因?yàn)樵赩AR模型中適當(dāng)增加滯后變量的個(gè)數(shù)，可以消除誤差項(xiàng)中存在的自相關(guān)?，F(xiàn)有的確定滯后階數(shù)的方法主要包括似然比(LR)法、信息準(zhǔn)則法等。57二、VAR模型滯后期的選擇建立VAR模型一個(gè)重要的問(wèn)題就是1.確定滯后階數(shù)的赤池信息準(zhǔn)則

(12.4.6)其中，表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選擇最佳k值的原則是使AIC的值達(dá)到最小。2.確定滯后階數(shù)的施瓦茨信息準(zhǔn)則

(12.4.7)選擇最佳k值的原則也是使SC值達(dá)到最小。SC準(zhǔn)則也可以稱之為貝葉斯信息準(zhǔn)則(BayesInformationCriterion，BIC)。581.確定滯后階數(shù)的赤池信息準(zhǔn)則三、VAR模型的估計(jì)因VAR模型的每個(gè)方程中只包含內(nèi)生變量及其滯后項(xiàng)，它們與擾動(dòng)項(xiàng)是uit(i=1,2,…,n)漸近不相關(guān)的，所以可以用常規(guī)的最小二乘法依次估計(jì)每一個(gè)方程，得到參數(shù)的一致估計(jì)量。即使擾動(dòng)項(xiàng)有同期相關(guān)，OLS估計(jì)仍然是適用的。而且，在VAR模型中，各變量的滯后直接出現(xiàn)在模型之中，由此導(dǎo)致擾動(dòng)項(xiàng)序列不相關(guān)的假設(shè)并不嚴(yán)格要求。59三、VAR模型的估計(jì)因VAR模型的每個(gè)方程中只包含內(nèi)生變量及四、VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)我們已經(jīng)論述了，VAR模型不是建立在經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)之上的，是一種乏理論(Atheoretic)的模型，無(wú)需對(duì)變量作任何先驗(yàn)性的約束。因此，在分析VAR模型時(shí)，往往不分析一個(gè)變量的變化對(duì)對(duì)另一個(gè)變量的影響，而是分析當(dāng)一個(gè)誤差（脈沖）項(xiàng)發(fā)生變化，也就是模型受到某種沖擊時(shí)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響，這種分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)(Impulseresponsefunction，IRF)分析法。60四、VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)我們已經(jīng)論述了，VAR模型不是建脈沖響應(yīng)函數(shù)作用的原理首先考慮下面的雙變量VAR(1)模型

(12.4.8)假定VAR模型(12.4.8)式從第0期開(kāi)始活動(dòng)，并設(shè)x-1=y-1=0，設(shè)于第0期給定擾動(dòng)項(xiàng)u10=1，u20=0，并且其后均為0，即u1t=u2t=0（t=1,2,…），即第0期給x以脈沖，下面我們來(lái)分析x和y在不同時(shí)期對(duì)來(lái)自x的脈沖u10=1的響應(yīng)。61脈沖響應(yīng)函數(shù)作用的原理首先考慮下面的雙變量VAR(1)模型

(12.4.9)

(12.4.10)

(12.4.11)第0期的脈沖繼續(xù)這樣計(jì)算下去，求得x各期的響應(yīng)為：

(12.4.12)那么，(12.4.12)式即為x的脈沖引起的x的響應(yīng)函數(shù)。同樣地，設(shè)求得y各期的響應(yīng)為：

(12.4.13)則稱(12.4.13)式為x的脈沖引起的y的響應(yīng)函數(shù)。62

如果第0期給定擾動(dòng)項(xiàng)u20=1，u10=0，運(yùn)用同樣的方法，可以求出y的脈沖引起的x和y的響應(yīng)函數(shù)?？梢?jiàn)，所謂脈沖響應(yīng)函數(shù)，描述的是隨機(jī)誤差項(xiàng)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差大小的沖擊，對(duì)內(nèi)生變量的當(dāng)期值和未來(lái)值所產(chǎn)生的影響。63如果第0期給定擾動(dòng)項(xiàng)u20=1，u10=0，運(yùn)用同樣的方法五、VAR模型的方差分解

方差分解(Variancedecomposition)描述的是來(lái)自VAR模型中每個(gè)變量的沖擊強(qiáng)度（方差）占某個(gè)變量總的變化（也用方差來(lái)度量）的比，故稱為方差分解。由于VAR模型的方差分解的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜，我們只簡(jiǎn)單地介紹其基本思想。我們已經(jīng)知道，AR模型可以轉(zhuǎn)換為MA模型，而MA模型實(shí)際上是白噪音的組合，沿著這個(gè)思路，VAR模型也可以轉(zhuǎn)換為VMA模型，其中的每一個(gè)方程都是所有隨機(jī)新息的組合。因此，VAR模型中每一個(gè)變量的方差就是這些新息的方差的“有限期”的和，將每一個(gè)變量的方差作為分母，將這個(gè)變量的新息的方差（即這個(gè)變量的新息的方差的“有限期”的和）作為分子，由此構(gòu)成方差分解，稱為方差相對(duì)貢獻(xiàn)度。64五、VAR模型的方差分解方差分解(Variancedec六、基于VAR模型的格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)xt對(duì)yt是否存在因果關(guān)系，可以通過(guò)檢驗(yàn)VAR模型中以yt為被解釋變量的方程是否可以把xt的全部滯后變量剔除掉來(lái)實(shí)現(xiàn)。比如VAR模型中以yt為被解釋變量的方程表示如下：檢驗(yàn)xt對(duì)yt存在格蘭杰非因果性的原假設(shè)和被擇假設(shè)分別是：65六、基于VAR模型的格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)xt對(duì)yt是否存在因果上述檢驗(yàn)可用F統(tǒng)計(jì)量完成：其中SSEr

表示施加約束（零假設(shè)成立）后模型，也就是任何x都不出現(xiàn)在模型中的殘差平方和；SSEu

表示不施加約束條件下模型的殘差平方和；k表示最大滯后期，2k表示無(wú)約束模型中被被估參數(shù)的個(gè)數(shù)；T表示樣本容量；用樣本計(jì)算的F值如果落在臨界值以內(nèi)，接受原假設(shè)，即xt對(duì)yt不存在格蘭杰因果關(guān)系。

66上述檢驗(yàn)可用F統(tǒng)計(jì)量完成：其中SSEr表示施加約束（零假設(shè)作格蘭杰因果關(guān)系應(yīng)該注意的問(wèn)題（1）“格蘭杰因果關(guān)系”的正式名稱應(yīng)該是“格蘭杰非因果關(guān)系”，實(shí)際運(yùn)用中稱“格蘭杰因果關(guān)系”只是為了表述的簡(jiǎn)便。（2）格蘭杰因果關(guān)系不同于哲學(xué)意義上的因果關(guān)系，說(shuō)xt是yt的格蘭杰因果關(guān)系，本質(zhì)上只表明了xt中包括了預(yù)測(cè)yt的有效信息，所以本質(zhì)上一種預(yù)測(cè)關(guān)系。（3）檢驗(yàn)格蘭杰因果關(guān)系的變量要求是平穩(wěn)的，或者是聯(lián)合平穩(wěn)的（具有協(xié)整關(guān)系），否則對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)格蘭杰因果關(guān)系沒(méi)有意義。67作格蘭杰因果關(guān)系應(yīng)該注意的問(wèn)題（1）“格蘭杰因果關(guān)系”的正式本章重點(diǎn)1.分布滯后模型的含義及類型2.短期、中期及長(zhǎng)期乘數(shù)3.滯后效應(yīng)產(chǎn)生的原因4.分布滯后模型的估計(jì)方法5.自回歸分布滯后模型的工具變量估計(jì)法的思想6.自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)7.ARMA模型的含義、平穩(wěn)條件及可逆性8.ARMA模型的識(shí)別9.向量自回歸模型（VAR）的含義10.VAR模型滯后期的選擇11.VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解12.Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)68本章重點(diǎn)1.分布滯后模型的含義及類型68第12章平穩(wěn)時(shí)間序列模型

69第12章平穩(wěn)時(shí)間序列模型1前言在前面的章節(jié)中，模型的被解釋變量都假定只受各個(gè)解釋變量當(dāng)期值的影響。但我們知道，在現(xiàn)實(shí)中很多被解釋變量除了受解釋變量當(dāng)期值的影響外，還不可避免地受到解釋變量滯后值的影響，這就是所謂分布滯后模型，或者前若干期的值決定了當(dāng)期值，即自回歸模型。這一類模型要求數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，本章將討論平穩(wěn)時(shí)間序列模型。70前言在前面的章節(jié)中，模型的被解釋變量都假定只受各個(gè)解釋變量當(dāng)§12.1分布滯后模型一、分布滯后模型的含義以消費(fèi)函數(shù)為例，假定某人的年薪增加了10000人民幣，而且這一年薪的增加將一直保持下去。那么，這種收入的增加將會(huì)對(duì)個(gè)人的年消費(fèi)支出產(chǎn)生什么影響呢？在得到收入的“永久性”增加后，人們通常不會(huì)急于把全部增加的收入一次性全部花完。比方說(shuō)，收入增加者可能在收入增加后的第1年增加消費(fèi)3000元，第2年增加2000元，第3年增加1000元，把所余的部分用于儲(chǔ)蓄。到第3年末，此人的年消費(fèi)支出將增加6000元。因而我們可以把此人的消費(fèi)函數(shù)寫(xiě)成(12.1.1)式：

(12.1.1)71§12.1分布滯后模型一、分布滯后模型的含義像(12.1.1)式這樣的模型，如果時(shí)間序列模型中不僅包含解釋變量的當(dāng)期值，而且包括解釋變量的滯后值，就把這種模型稱之為分布滯后模型(Distributed-lagModel)，也稱之為滯后變量模型。更一般地，我們把分布滯后模型寫(xiě)成(12.1.2)式：

(12.1.2)如果k是有限的，稱模型(12.1.2)為有限分布滯后模型；如果k是無(wú)限的，稱模型(12.1.2)為無(wú)限分布滯后模型。72像(12.1.1)式這樣的模型，如果時(shí)間序列模型中不僅包含解分布滯后模型的幾個(gè)基本概念1.短期乘數(shù)(Impactmultiplier)系數(shù)表示x在當(dāng)期一個(gè)單位的變化，導(dǎo)致y的同期變化值，因此稱為短期或即期乘數(shù)。2.中期乘數(shù)(Intermediatemultiplier)如果此后x的變化都保持在同一水平上，則給出下期y的變化，給出再下期y的變化，以此類推，這部分系數(shù)的和稱為中期乘數(shù)。3.長(zhǎng)期乘數(shù)(Long-runmultiplier)

(12.1.3)稱之為長(zhǎng)期乘數(shù)或總分布滯后乘數(shù)（Totaldistributed-lagmultiplier）。73分布滯后模型的幾個(gè)基本概念1.短期乘數(shù)(Impactmul對(duì)分布滯后模型系數(shù)的假定通常在討論分布滯后模型時(shí)，總是假定：

(12.1.4)這一假定的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是：其一，解釋變量x對(duì)被解釋變量y的長(zhǎng)期影響是有限的；其二，x的滯后時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)y的當(dāng)期影響逐漸衰減。74對(duì)分布滯后模型系數(shù)的假定通常在討論分布滯后模型時(shí)，總是假定：進(jìn)一步，我們定義：

(12.1.5)βi*是βi對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)化，給出某一時(shí)期的沖擊效應(yīng)占長(zhǎng)期沖擊或總沖擊（即總滯后乘數(shù)）的比例。

75進(jìn)一步，我們定義：(12.1.5)βi*是βi對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)以(12.1.1)式為例

短期乘數(shù)為0.3，表示短期消費(fèi)傾向(MPC)，而長(zhǎng)期乘數(shù)為0.6（0.6=0.3+0.2+0.1）表示長(zhǎng)期消費(fèi)傾向。也就是說(shuō)，隨著收入增加1元，該消費(fèi)者將在收入增加的當(dāng)年提高他的消費(fèi)水平約0.3元，第二年再提高0.2元，第三年再提高0.1元，即1元收入的增加對(duì)消費(fèi)的長(zhǎng)期效應(yīng)就是0.6元。如果我們將(12.1.1)的每一個(gè)βi除以0.6，就分別得到0.5，0.33和0.17，這表明x的一個(gè)單位變化的總效應(yīng)有50%在當(dāng)期反映，第二期為33%，第三期為17%。

(12.1.1)76以(12.1.1)式為例短期乘數(shù)為0.3，表示短期消費(fèi)傾向二、滯后效應(yīng)產(chǎn)生的原因1.心理性因素由于受到心理預(yù)期的影響，經(jīng)濟(jì)主體的大多數(shù)決策行為都會(huì)表現(xiàn)出滯后性。主要原因是人們受自身習(xí)慣的影響，往往不能快速調(diào)整自己的行為來(lái)適應(yīng)新的環(huán)境。2.時(shí)滯性因素例如，由于“蛛網(wǎng)效應(yīng)”的存在，農(nóng)產(chǎn)品供給量對(duì)價(jià)格的波動(dòng)表現(xiàn)出時(shí)滯；從研究與開(kāi)發(fā)(R&D)的投入到生產(chǎn)效率的提高，中間也涉及到相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)滯。3.制度性因素管理制度、合同等制度性因素也會(huì)導(dǎo)致滯后效應(yīng)。例如，一個(gè)消費(fèi)者如果其存款結(jié)構(gòu)中定期存款占了較大比例，他要想改變理財(cái)計(jì)劃，或者調(diào)整自己的消費(fèi)水平，就會(huì)受到銀行有關(guān)存款制度的限制。77二、滯后效應(yīng)產(chǎn)生的原因1.心理性因素9三、分布滯后模型的估計(jì)方法分布滯后模型估計(jì)的困難對(duì)于有限分布滯后模型，外生滯后變量模型的估計(jì)原則上可以使用OLS法。但是在具體應(yīng)用中還是存在一些實(shí)際問(wèn)題：其一，解釋變量x的最大滯后階數(shù)k如何確定？如果k設(shè)定不正確，將帶來(lái)模型的設(shè)定偏誤問(wèn)題。其二，滯后期數(shù)越長(zhǎng)，自由度越小，這將導(dǎo)致模型估計(jì)不準(zhǔn)或無(wú)法估計(jì)，并可能導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)推斷失效。其三，即使樣本足夠大，即使不考慮自由度問(wèn)題，由于x的各期之間往往是高度相關(guān)的，因而也可能遇到滯后解釋變量觀測(cè)值之間存在的多重共線性問(wèn)題。對(duì)于無(wú)限分布滯后模型，由于x的最大滯后階數(shù)k是無(wú)限的，因此，直接應(yīng)用OLS無(wú)法估計(jì)無(wú)限分布滯后模型。78三、分布滯后模型的估計(jì)方法分布滯后模型估計(jì)的困難101.阿爾特—丁伯根(Alt-Tinbergen)估計(jì)法

為了確定解釋變量x的最大滯后期k，阿爾特和丁伯根提出了所謂順序估計(jì)法。其基本思路是：在假定隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)滿足經(jīng)典假設(shè)的前提下，首先做yt對(duì)xt的回歸，然后做yt關(guān)于xt和xt-1的回歸，再做yt關(guān)于xt、xt-1和xt-2的回歸，依次添加的滯后項(xiàng)，直到滯后階數(shù)不顯著或至少有一個(gè)滯后階數(shù)的系數(shù)改變符號(hào)時(shí)為止。阿爾特—丁伯根估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單，操作方便，但也存在一些缺陷，主要是解釋變量滯后長(zhǎng)度的選擇存在數(shù)據(jù)挖掘(Datamining)問(wèn)題和多重共線性問(wèn)題。791.阿爾特—丁伯根(Alt-Tinbergen)估計(jì)法為Alt-Tinbergen估計(jì)法的一個(gè)實(shí)例Alt根據(jù)1930年至1939年的季度數(shù)據(jù)，將燃油消耗量y依次對(duì)新訂貨單x及其滯后變量進(jìn)行回歸，得到了如下結(jié)果：從上面的回歸結(jié)果可以看出，xt-2的符號(hào)不穩(wěn)定，并且xt-2、xt-3的符號(hào)為負(fù)，其經(jīng)濟(jì)意義難于解釋，所以阿爾特最后選擇第二個(gè)回歸模型作為最佳估計(jì)式。80Alt-Tinbergen估計(jì)法的一個(gè)實(shí)例Alt根據(jù)19302.阿爾蒙(Almon)估計(jì)法

(12.1.2)對(duì)于分布滯后模型(12.1.2)：我們通常要求其系數(shù)滿足條件(12.1.4)式

(12.1.4)即系數(shù)βi的和為有限以及βi漸進(jìn)地趨于0，但βi以什么方式趨于0沒(méi)有作具體要求。812.阿爾蒙(Almon)估計(jì)法(12.1.2)對(duì)于阿爾蒙用多項(xiàng)式去逼近模型(12.1.2)中的系數(shù)βi，阿爾蒙假定系數(shù)βi可以用下面的阿爾蒙多項(xiàng)式變換去逼近：i=0,1,2,…,k;m<k(12.1.6)將(12.1.6)代入(12.1.2)式并整理各項(xiàng)，模型變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

(12.1.7)其中，

(12.1.8)82阿爾蒙用多項(xiàng)式去逼近模型(12.1.2)中的系數(shù)βi，阿爾對(duì)于(12.1.7)式，滿足經(jīng)典假定的條件，故使用OLS進(jìn)行估計(jì)。將估計(jì)的參數(shù)代入(12.1.6)式，就可求出原分布滯后模型參數(shù)的估計(jì)值。在實(shí)際應(yīng)用中，阿爾蒙多項(xiàng)式的次數(shù)m應(yīng)視函數(shù)形式而定，但通常取得較低，一般取2或3，很少超過(guò)4，因?yàn)槿绻鹠的值取的過(guò)大，則達(dá)不到通過(guò)阿爾蒙多項(xiàng)式變換減少解釋變量個(gè)數(shù)從而提高自由度的目的。阿爾蒙估計(jì)法的最大優(yōu)點(diǎn)就是解決了自由度不足的問(wèn)題，由于模型中解釋變量和待估參數(shù)都減少了，因此，一般不會(huì)有自由度不足的問(wèn)題。此外，阿爾蒙估計(jì)法具有較大的靈活性。為了使參數(shù)結(jié)構(gòu)假定更好地符合的實(shí)際變化形式，可以通過(guò)改變多項(xiàng)式(12.1.6)的階數(shù)m，從而提高逼近的精度。阿爾蒙估計(jì)法也存在著一些缺陷。其一，滯后期數(shù)k數(shù)如何確定，阿爾蒙估計(jì)法本身并沒(méi)有解答；其二，多項(xiàng)式(12.1.6)階數(shù)m的確定往往具有主觀性。83對(duì)于(12.1.7)式，滿足經(jīng)典假定的條件，故使用OLS§12.2自回歸分布滯后模型所謂自回歸分布滯后模型，就是模型中的解釋變量包含被解釋變量的滯后項(xiàng)，如

(12.2.1)由于自回歸分布滯后模型描述了被解釋變量相對(duì)于它的過(guò)去值的時(shí)間路徑，故又稱之為動(dòng)態(tài)模型(Dynamicmodel)，下面介紹幾種常見(jiàn)的自回歸模型。84§12.2自回歸分布滯后模型所謂自回歸分布滯后模型，就是模一、適應(yīng)性預(yù)期模型適應(yīng)性預(yù)期模型基于經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)，認(rèn)為經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體是根據(jù)他們對(duì)某些經(jīng)濟(jì)變量的“預(yù)期”做出決策的。其核心思想是：影響yt的因素不是xt，而是對(duì)xt的預(yù)期，即：

(12.2.2)其中，yt為被解釋變量，為解釋變量預(yù)期值，ut為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。85一、適應(yīng)性預(yù)期模型適應(yīng)性預(yù)期模型基于經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)，認(rèn)為經(jīng)濟(jì)活由于預(yù)期變量不可直接觀測(cè)，如何獲取解釋變量的預(yù)期值，是適應(yīng)性預(yù)期模型的難點(diǎn)。因此，實(shí)際應(yīng)用中需要對(duì)預(yù)期的形成機(jī)理做出某種假定，從而將不可直接觀測(cè)的預(yù)期變量用可觀測(cè)的變量xt表述出來(lái)。適應(yīng)性預(yù)期模型假定：(12.2.3)其中，參數(shù)稱之為預(yù)期系數(shù)或調(diào)整系數(shù)。(12.2.3)式的含義是：如果，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體對(duì)解釋變量xt的當(dāng)期預(yù)期值等于前一期預(yù)期值加上一個(gè)修正量，該修正量是前一期預(yù)期誤差的一部分。顯然，的值越接近1，調(diào)整幅度也越大，這一調(diào)整過(guò)程也叫做自適應(yīng)調(diào)整過(guò)程；如果，則，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體對(duì)xt的當(dāng)期預(yù)期值和實(shí)際值完全相同，即預(yù)期是立即全部實(shí)現(xiàn)的；如果，則，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體將前期的預(yù)期值作為當(dāng)期預(yù)期值。86由于預(yù)期變量不可直接觀測(cè)，如何獲取解釋變量的預(yù)期值，將(12.2.3)式改寫(xiě)為：

(12.2.4)(12.2.4)式表明當(dāng)期預(yù)期值是前一期預(yù)期值和本期實(shí)際值xt的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)分別為和。如果等于0，說(shuō)明本期實(shí)際值被忽略，預(yù)期沒(méi)有進(jìn)行修正。如果等于1，則以本期實(shí)際值作為預(yù)期值，本期預(yù)期與前一期預(yù)期無(wú)關(guān)。在一般情況下，0<<1。87將(12.2.3)式改寫(xiě)為：將(12.2.4)式代入(12.2.2)式，可以得到：

(12.2.5)將(12.2.2)式滯后一期，并乘以得到：

(12.2.6)用(12.2.5)式減去(12.2.6)式，得到：

(12.2.7)

(12.2.8)(12.2.8)式顯然是一個(gè)一階自回歸分布滯后模型。88將(12.2.4)式代入(12.2.2)式，可以得到：二、部分調(diào)整模型部分調(diào)整模型(Partialadjustmentmodel)首先是由尼洛夫(Nerlove)基于這樣的事實(shí)提出的：為了適應(yīng)解釋變量的變化，被解釋變量有一個(gè)預(yù)期的最佳值與之對(duì)應(yīng)。例如，一個(gè)企業(yè)本期商品庫(kù)存量的最佳庫(kù)存值取決于當(dāng)期實(shí)際銷售量；為了保持一定的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)水平，央行應(yīng)該有一個(gè)預(yù)期的最佳貨幣供應(yīng)量。因此，部分調(diào)整模型核心思想是考察自變量觀測(cè)值與同期因變量希望達(dá)到的最佳值之間的關(guān)系，用模型表述就是：

(12.2.9)其中，為被解釋變量的預(yù)期最佳值，xt為解釋變量的現(xiàn)值。89二、部分調(diào)整模型部分調(diào)整模型(Partialadjustm由于被解釋變量的預(yù)期最佳值是不可直接觀測(cè)的，尼洛夫提出被解釋變量的實(shí)際變化僅僅是預(yù)期變化的一部分，即所謂部分調(diào)整假設(shè)：

(12.2.10)其中，δ為調(diào)整系數(shù)，它代表調(diào)整速度。yt-yt-1表示實(shí)際變化，y*t-yt-1表示預(yù)期的理想變化。δ越接近1，表明調(diào)整到預(yù)期最佳水平的速度越快。若δ=1，則yt=y*t，表明實(shí)際變動(dòng)等于預(yù)期變動(dòng)，調(diào)整在當(dāng)期完全實(shí)現(xiàn)。若δ=0，則yt=yt-1，表明本期值與上期值一樣，完全沒(méi)有調(diào)整。通常情況下，0<δ<1。部分調(diào)整假設(shè)(12.2.10)式可以改寫(xiě)成：

(12.2.11)即被解釋變量yt的實(shí)際值是本期預(yù)期最佳值y*t與前一期實(shí)際值的yt-1加權(quán)，權(quán)重分別為δ和1-δ。90由于被解釋變量的預(yù)期最佳值是不可直接觀測(cè)的，尼洛夫提出被解釋將(12.2.9)式代入(12.2.11)式，可得部分調(diào)整模型的轉(zhuǎn)化形式：

(12.2.12)(12.2.12)式稱為部分調(diào)整模型，令，，，，(12.2.12)式可以改寫(xiě)成：

(12.2.13)(12.2.13)式表明部分調(diào)整模型本質(zhì)上也是一個(gè)自回歸分布滯后模型。91將(12.2.9)式代入(12.2.11)式，可得部分調(diào)整模三、自回歸分布滯后模型的估計(jì)1.自回歸分布滯后模型的OLS估計(jì)量的性質(zhì)我們已經(jīng)討論了兩種自回歸分布滯后模型：適應(yīng)性預(yù)期模型和部分調(diào)整模型，這些模型都有如下的共同形式：

(12.2.14)如前述，以上兩種自回歸模型由于包含了被解釋變量滯后項(xiàng)yt-1作為解釋變量，以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的形式發(fā)生了變化，導(dǎo)致yt-1與vt的相關(guān)，vt也可能存在自相關(guān)，因此，OLS估計(jì)量是有偏的。顯然，最重要的問(wèn)題是yt-1與vt的相關(guān)。92三、自回歸分布滯后模型的估計(jì)1.自回歸分布滯后模型的OLS估2.自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)為了解決自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)問(wèn)題，Durbin在1970年提出了一個(gè)新的檢驗(yàn)方法，即h檢驗(yàn)法，也稱之為德賓h檢驗(yàn)，其h統(tǒng)計(jì)量為：

(12.2.15)其中，n為樣本容量，為(12.2.14)式中系數(shù)的估計(jì)值的方差。為的一階自相關(guān)系數(shù)，通常取，d為通常意義下的DW統(tǒng)計(jì)量。這樣h統(tǒng)計(jì)量可以寫(xiě)成：

(12.2.16)932.自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)為了解決自回歸分布滯后模運(yùn)用德賓h檢驗(yàn)應(yīng)該注意的問(wèn)題（2）如果自回歸分布滯后模型中包含多個(gè)解釋變量和多個(gè)滯后被解釋變量，德賓h檢驗(yàn)仍然適用。（1）如果，h統(tǒng)計(jì)量無(wú)意義，德賓h檢驗(yàn)的檢驗(yàn)結(jié)果無(wú)效。94運(yùn)用德賓h檢驗(yàn)應(yīng)該注意的問(wèn)題（2）如果自回歸分布滯后模型中包3.自回歸分布滯后模型的工具變量估計(jì)法估計(jì)自回歸分布滯后模型必須處理的問(wèn)題是yt-1與vt的相關(guān)，常用的估計(jì)方法是工具變量(InstrumentVariable)估計(jì)。工具變量估計(jì)的核心思想是：既然yt-1與vt相關(guān)，如果能找到這樣一個(gè)代理(Proxy)變量，這個(gè)變量與yt-1高度相關(guān)，但與vt不相關(guān)，用代理變量代替，就可以消除yt-1與vt相關(guān)的問(wèn)題。953.自回歸分布滯后模型的工具變量估計(jì)法估計(jì)自回歸分布滯后模型在實(shí)際應(yīng)用中，工具變量有多種選擇方式。常見(jiàn)的方式是選用yt-1的估計(jì)值作工具變量，代替yt-1后進(jìn)行估計(jì)，其步驟是：第一步，先對(duì)模型(12.2.17)進(jìn)行OLS回歸：

(12.2.17)實(shí)際應(yīng)用時(shí)xt的滯后期k最多取3，假設(shè)估計(jì)結(jié)果為：

(12.2.18)滯后一期得到：

(12.2.19)第二步，以作為工具變量代替(12.2.14)式中的隨機(jī)解釋變量yt-1，可以得到：

(12.2.20)第三步，對(duì)(12.2.20)式進(jìn)行最小二乘回歸，得到參數(shù)的估計(jì)值。96在實(shí)際應(yīng)用中，工具變量有多種選擇方式。常見(jiàn)的方式是選用yt§12.3ARMA模型時(shí)間序列ARMA模型由Box-Jenkins(1976)年提出，在介紹ARIMA模型之前，為了分析的方便，我們先介紹時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念。97§12.3ARMA模型時(shí)間序列ARMA模型由Box-一、時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念1.隨機(jī)過(guò)程由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)程，記為