運(yùn)動學(xué)點(diǎn)的運(yùn)動及剛體的簡單運(yùn)動課件

理論力學(xué)TheoreticalMechanicsTuesday,January3,2023運(yùn)動學(xué)篇綜合實(shí)驗(yàn)樓508Tel516827241/3/2023運(yùn)動學(xué)引論運(yùn)動學(xué)的研究對象——幾何點(diǎn)，稱為“動點(diǎn)”；剛體。運(yùn)動學(xué)的研究任務(wù)——

研究物體的空間位置隨時間變化的幾何性質(zhì)。包括運(yùn)動方程，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，速度方程，加速度方程。表征運(yùn)動幾何性質(zhì)的基本物理量

t、

r、v、a、j、w、a1/3/2023點(diǎn)(point)剛體(rigidbody)運(yùn)動學(xué)模型及運(yùn)動形式模型點(diǎn)：不計(jì)幾何形狀和尺寸的理想物體，此時轉(zhuǎn)動和變形對運(yùn)動的影響忽略不計(jì)。1/3/2023剛體的運(yùn)動形式：A、平移(Translation)其上任一直線永遠(yuǎn)平行于自己的初始位置剛體上或拓展空間內(nèi)有一直線始終保持不動，其上各點(diǎn)均繞此直線作圓周運(yùn)動。B、定軸轉(zhuǎn)動：(Fixed-axisrotation)1/3/2023C、平面運(yùn)動：（Planarmotion）剛體上各點(diǎn)到某一平面距離相同。D、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動：RotationaroundaFixedPoint其上有一點(diǎn)永遠(yuǎn)保持不動。剛體的復(fù)雜運(yùn)動。F、一般運(yùn)動：Generalmotion1/3/2023運(yùn)動的轉(zhuǎn)換關(guān)系剛體的運(yùn)動包含點(diǎn)的運(yùn)動點(diǎn)的運(yùn)動是剛體運(yùn)動的組成部分剛體的復(fù)雜運(yùn)動可以分解為若干個基本運(yùn)動1/3/2023

物體的運(yùn)動是相對于不同的觀察者而言的。 運(yùn)動學(xué)中對參照系的選取無任何要求，但不同的坐標(biāo)系下對同一物體運(yùn)動的數(shù)學(xué)描述則完全不同。故應(yīng)選取最易進(jìn)行數(shù)學(xué)描述的參照系。參考系和參照體1/3/2023第1章點(diǎn)的運(yùn)動及剛體的簡單運(yùn)動§1-1點(diǎn)的運(yùn)動§1-2剛體的平動§1-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動1/3/2023加速度(acceleration)M點(diǎn)的速度矢端圖(hodographofvelocities)描述點(diǎn)的速度矢量對時間的變化率即點(diǎn)在該瞬間速度的大小和方向的變化率將點(diǎn)在不同瞬時速度平移至O點(diǎn)，連接速度矢端構(gòu)成的連續(xù)曲線；

描述速度大小和方向變化的圖像。1/3/20233.點(diǎn)的速度:(定參考系)

點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)zOxyva1/3/2023速度合成速度大小方向余弦1/3/2023

4點(diǎn)的加速度：矢量大小方向余弦a在直角坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)速度投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于動點(diǎn)各對應(yīng)坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。1/3/2023解：建立圖示直角坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系可得M點(diǎn)的運(yùn)動方程為：例1橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動，其端點(diǎn)C與規(guī)尺AB的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，A、B端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動。已知：OC=CB=CA=l，MC=a，

=t。試求規(guī)尺上點(diǎn)M的運(yùn)動方程、運(yùn)動軌跡、速度和加速度。1/3/2023消去參數(shù)t可以得到顯函數(shù)形式的軌跡方程：經(jīng)求導(dǎo)后可得M點(diǎn)的速度和加速度方程：橢圓合成速度與加速度：P1181/3/2023三、自然坐標(biāo)法★自然法適用于描述非自由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動OMs(+)(-)運(yùn)動方程(沿軌跡的運(yùn)動規(guī)律) 利用點(diǎn)的運(yùn)動軌跡建立弧坐標(biāo)及自然坐標(biāo)系，描述和分析點(diǎn)的運(yùn)動特征。弧坐標(biāo)s（arccoordinate）弧長為代數(shù)量1/3/2023密切面與自然軸系M密切面(osculatingplane)t’M’Mt1/3/2023以M點(diǎn)為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，三軸稱為自然軸。

自然軸系是沿曲線而變動的游動坐標(biāo)系。1/3/2023M密切面tnb3.速度：M’Dr弧長為Dsvv>0，點(diǎn)沿軌跡的負(fù)向運(yùn)動.v<0，點(diǎn)沿軌跡的正向運(yùn)動；1/3/2023大小全加速度a為at與an的矢量和vtnanataq方向：一般由a與主法線間夾角表示tanq=atanan：指向軌跡的凹側(cè)——主法線正向at：當(dāng)tanq>0時，at與t同向；tanq<0時，at與t反向.atqa1/3/2023如果v>0,at>0，點(diǎn)該如何運(yùn)動?如果v>0,at<0，點(diǎn)該如何運(yùn)動?如果v<0,at

>0，點(diǎn)該如何運(yùn)動?如果v<0,at<0，點(diǎn)該如何運(yùn)動?如果v0,at=0，點(diǎn)該如何運(yùn)動?vtnanataqatqa討論1/3/2023下面曲線上哪些點(diǎn)的運(yùn)動是可能的運(yùn)動？哪些是不可能的運(yùn)動？討論av

=0AvBavCavDavEavFaGav

=01/3/2023特殊運(yùn)動的特點(diǎn)直線運(yùn)動圓周運(yùn)動r=R=常數(shù)勻速運(yùn)動at=常數(shù)勻變速運(yùn)動1/3/2023點(diǎn)沿著一螺旋線自外向內(nèi)運(yùn)動。點(diǎn)所走過的弧長與時間的一次方成正比。請判斷點(diǎn)的運(yùn)動性質(zhì)：越跑越快；越跑越慢；加速度越來越大；加速度越來越小。問題1/3/2023例1列車沿半徑為800m的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度達(dá)到54km/h。求起點(diǎn)和末點(diǎn)的加速度。起點(diǎn)：法向加速度等于零，列車只有切向加速度解：1/3/2023終點(diǎn)：1/3/2023例2：炮彈射出時，直角坐標(biāo)下的運(yùn)動方程為求t=0時炮彈的切向加速度和法向加速度，以及這時軌跡的曲率半徑。1/3/2023解：當(dāng)t=0時1/3/2023將加速度沿切線和法線方向分解有當(dāng)t=0時，由得當(dāng)t=0時1/3/2023例3半徑為R的輪子沿直軌道無滑動地滾動，設(shè)輪子轉(zhuǎn)角=t（為常值）。求弧坐標(biāo)法表示的輪緣上任一點(diǎn)M的運(yùn)動方程，并求該點(diǎn)的切向加速度、法向加速度及軌跡線的曲率半徑。1、先利用直角坐標(biāo)法求點(diǎn)的運(yùn)動軌跡、速度、加速度；2、再利用自然法求解本題。1/3/2023解：取=0時點(diǎn)M與直線軌道的接觸點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系Oxy。由于純滾動，有：OC=MC=R則M點(diǎn)的運(yùn)動方程為：上式實(shí)際上也是以t為參數(shù)的軌跡方程，為旋輪線（擺線）。1/3/2023M點(diǎn)的速度方程為：j

2=cot方向當(dāng)t=2kp/w時即

j=2kp

輪軌接觸點(diǎn)C

vC=0

vM

CM

沿地面作純滾動的輪子與地面接觸點(diǎn)的速度為零y+=90j2tan(v

,

x)=vy

vx=tany大小1/3/2023M點(diǎn)的加速度方程為：方向a永指向輪心tan(a

,

x)

=ay

ax=cotwt=tan(90-j)(當(dāng)wt=2kp時)常量沿地面作純滾動的輪子與地面接觸點(diǎn)的加速度不為零大小1/3/2023？已知：半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動（只滾不滑）。輪心速度u=常數(shù)。 求：輪緣一點(diǎn)M的運(yùn)動方程式、軌跡、速度與加速度。1/3/2023取=0時點(diǎn)M與直線軌道的接觸點(diǎn)O為弧坐標(biāo)系原點(diǎn)，軌跡線為自然軸線?；∽鴺?biāo)法求點(diǎn)M的運(yùn)動方程：積分速度方程1/3/2023求點(diǎn)M的切向加速度、法向加速度和曲率半徑：1/3/2023課堂小結(jié)觀察物體的運(yùn)動必須相對