數(shù)字濾波器設(shè)計課件

第六講數(shù)字濾波器設(shè)計浙江大學(xué)光電信息工程學(xué)系胡慧珠huhuizhu2000@第六講浙江大學(xué)光電信息工程學(xué)系1

預(yù)備知識IIR濾波器設(shè)計雙線性變換低通IIR濾波器設(shè)計高通、帶通、帶阻IIR數(shù)字濾波器設(shè)計IIR濾波器的譜變換FIR濾波器設(shè)計基于加窗傅立葉級數(shù)的FIR濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的計算機輔助設(shè)計用Matlab進行數(shù)字濾波器設(shè)計主要內(nèi)容預(yù)備知識主要內(nèi)容2確定傳輸函數(shù)G(z)的過程稱為數(shù)字濾波器設(shè)計.在大多數(shù)應(yīng)用中，關(guān)鍵的問題是用一個可實現(xiàn)的傳輸函數(shù)去逼近給定的濾波器幅度響應(yīng)指標(biāo)，而濾波器的相位響應(yīng)可以通過級聯(lián)全通濾波器來校正。一種廣泛應(yīng)用的IIR濾波器設(shè)計方法是將一個模擬的原型傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個數(shù)字的傳輸函數(shù)。FIR濾波器的設(shè)計則是基于對指定幅度響應(yīng)的直接逼近。在設(shè)計數(shù)字傳輸函數(shù)G(z)之前，有兩個關(guān)鍵的問題需要考慮：分析使用數(shù)字濾波器的整個系統(tǒng)的需求，確定合理的濾波器頻率響應(yīng)指標(biāo)。確定所設(shè)計的濾波器是FIR還是IIR數(shù)字濾波器。7.1預(yù)備知識確定傳輸函數(shù)G(z)的過程稱為數(shù)字濾波器設(shè)計.7.1預(yù)311+p1-psps低通數(shù)字濾波器的典型幅度指標(biāo)7.1.1數(shù)字濾波器指標(biāo)11+p1-psps4數(shù)字濾波器指標(biāo)通帶0p阻帶sp:通帶截止頻率s:阻帶截止頻率p:通帶峰值波紋s:阻帶峰值波紋p:峰值通帶波紋s:最小阻帶衰減數(shù)字濾波器指標(biāo)通帶0p阻帶s511/Aps歸一化的數(shù)字低通濾波器幅度響應(yīng)指標(biāo)11/Aps歸一化的數(shù)字低通6最大通帶衰減:設(shè)FT為采樣頻率（Hz），F(xiàn)p和Fs分別為通帶和阻帶截止頻率（Hz），則歸一化截止角頻率為：最大通帶衰減:設(shè)FT為采樣頻率（Hz），F(xiàn)p和Fs分7兩個參數(shù)：過渡比或選擇性參數(shù)分辨參數(shù)幅度平方函數(shù)與模擬傳輸函數(shù)之間的關(guān)系：兩個參數(shù)：過渡比或選擇性參數(shù)分辨參數(shù)幅度平方函數(shù)與模擬傳輸函8FIR濾波器可以設(shè)計為線性相位，并且總是穩(wěn)定的。在多數(shù)情況下，F(xiàn)IR濾波器的階數(shù)NFIR顯著大于具有等效幅度響應(yīng)的IIR濾波器階數(shù)NIIR。NFIR/NIIR通常為10的量級或更高.IIR濾波器通常計算更簡便。在很多應(yīng)用中，并不要求濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，在這些情況下，通常會因計算簡便而選擇IIR濾波器。7.1.2濾波器類型的選擇FIR濾波器可以設(shè)計為線性相位，并且總是穩(wěn)定的。7.1.9IIR濾波器設(shè)計:在設(shè)計IIR濾波器時，通常將數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)化成模擬低通原型濾波器的設(shè)計指標(biāo)，從而確定滿足這些指標(biāo)的模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)，然后再將它變換成所需要的數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)G(z)將模擬原型傳輸函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，從而使數(shù)字濾波器能保持模擬濾波器的基本頻率響應(yīng)特性，因此，這種映射函數(shù)必須滿足以下要求：s平面的虛軸（jΩ）必須映射到z平面的單位圓上。

穩(wěn)定的模擬傳輸函數(shù)能變換為穩(wěn)定的數(shù)字傳輸函數(shù)。

7.1.3數(shù)字濾波器設(shè)計的基本方法IIR濾波器設(shè)計:7.1.3數(shù)字濾波器設(shè)計的基本方法10FIR濾波器設(shè)計:

FIR濾波器的設(shè)計是基于對指定幅度響應(yīng)的直接逼近，通常還需加上線性相位的條件限制一個N+1階的FIR濾波器可以通過利用脈沖響應(yīng)序列或頻率響應(yīng)的N+1個采樣點來實現(xiàn)兩種直接的FIR濾波器設(shè)計方法是加窗傅立葉級數(shù)法和頻率采樣法一些研究者提出了一些先進的方法估計給定性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器的階數(shù)FIR濾波器設(shè)計:11對通帶寬度適中的FIR濾波器對通帶寬度較窄的FIR濾波器對通帶寬度較寬的FIR濾波器這樣設(shè)計出來的FIR濾波器的頻率響應(yīng)特性可能滿足也可能不滿足給定的指標(biāo)，如果不滿足指標(biāo)，建議逐漸增加濾波器階數(shù)直到滿足指標(biāo)為止。7.1.4濾波器階數(shù)估計對通帶寬度適中的FIR濾波器對通帶寬度較窄的FIR濾波器對通12IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak,bk或零極點ck，dk和A，以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種方法：1）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器先設(shè)計一個合適的模擬濾波器；然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因為模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，模擬濾波器具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式，并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了，另外，還有一些典型的濾波器類型可供使用，設(shè)計起來既方便又準(zhǔn)確。2）計算機輔助設(shè)計——最優(yōu)化設(shè)計法7.2IIR濾波器設(shè)計IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak,bk或零極點13由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器步驟：1、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo)；2、模擬低通濾波器設(shè)計；（設(shè)計出符合要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，可以選擇多種類型的濾波器）3、映射實現(xiàn)：從模擬低通濾波器再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器G(z)；（利用一定的映射方法，把模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字化，如雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法）由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器步驟：14

IIR濾波器設(shè)計的脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是設(shè)計IIR濾波器最簡單的一種近似方法?；舅悸罚簩⑦B續(xù)時間濾波器的單位脈沖響應(yīng)均勻采樣，作為離散時間濾波器的單位脈沖響應(yīng)。即：h[n]=Tdhc(nTd)(7.4)注意，此處的Td是轉(zhuǎn)換離散時間濾波器的采樣周期，不必等于信號的采樣周期T，盡管經(jīng)常會取相同的值。證明：離散時間濾波器頻響與連續(xù)時間濾波器頻響之間的關(guān)系為：

由于Hc(jΩ)=0,|Ω|≥π/Td

，則有：IIR濾波器設(shè)計的脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是設(shè)計IIR15脈沖響應(yīng)不變法的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變不失一般性地，假定連續(xù)時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：所對應(yīng)的時域脈沖響應(yīng)是：對Tdhc(t)采樣得到的離散時間濾波器的脈沖響應(yīng)是：離散時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：脈沖響應(yīng)不變法的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變不失一般性地，假定連續(xù)時間濾波器16脈沖響應(yīng)不變法的幾個要點由脈沖響應(yīng)不變法的全過程，可以看出除了比例系數(shù)Td，其與z變換過程相同，所以這種方法有叫做常規(guī)z變換法對比Hc(s)和H(z)可以知道，連續(xù)時間濾波器的極點按照的關(guān)系映射成z平面的極點，但零點一般需要重新計算脈沖響應(yīng)不變法，需要滿足采樣定理來避免混疊。解決的辦法是提高技術(shù)指標(biāo)。因此脈沖響應(yīng)不變法經(jīng)常適用于帶限的窄帶濾波器，如低通或帶通濾波器，而不常用于通帶向高頻帶延伸太寬的高通和帶阻濾波器。脈沖響應(yīng)不變法的幾個要點由脈沖響應(yīng)不變法的全過程，可以看出17脈沖響應(yīng)不變法舉例利用脈沖響應(yīng)不變法，設(shè)計一個Butteworth離散時間低通濾波器。技術(shù)指標(biāo)：3dB帶寬的截止頻率ωc=0.2π30dB阻帶邊界頻率ωs=0.5π采樣周期Td=10πμs第一步：將給定指標(biāo)按照Ω=ω/Td轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的連續(xù)時間低通指標(biāo)；得到：第二步：根據(jù)連續(xù)時間低通指標(biāo)設(shè)計歸一化連續(xù)時間低通濾波器；得到：脈沖響應(yīng)不變法舉例利用脈沖響應(yīng)不變法，設(shè)計一個Buttewo18例(續(xù))取N=4。四階歸一化Butterworth低通濾波器傳遞函數(shù)為：第三步：利用頻率轉(zhuǎn)換求得滿足給定指標(biāo)的實際連續(xù)時間低通濾波器；即：第四步：利用脈沖響應(yīng)不變法求得滿足給定技術(shù)指標(biāo)的離散時間濾波器傳輸函數(shù)。得：例(續(xù))取N=4。第三步：利用頻率轉(zhuǎn)換求得滿足給定指標(biāo)的實際19將模擬原型傳輸函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，從而使數(shù)字濾波器能保持模擬濾波器的基本頻率響應(yīng)特性，因此，這種映射函數(shù)必須滿足以下要求：s平面的虛軸（jΩ）必須映射到z平面的單位圓上。

穩(wěn)定的模擬傳輸函數(shù)能變換為穩(wěn)定的數(shù)字傳輸函數(shù)。有很多種變換方法可以將一個模擬傳輸函數(shù)Ha(s)變換成一個數(shù)字傳輸函數(shù)G(z)，從而使z域的數(shù)字傳輸函數(shù)保留s域的模擬傳輸函數(shù)的基本性質(zhì)。在這些變換中，更多地使用雙線性變換法來設(shè)計基于模擬原型濾波器變換的IIR數(shù)字濾波器。

7.2.1IIR濾波器設(shè)計的雙線性變換法

將模擬原型傳輸函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)20雙線性變換法(Bilineartransformation

)：是從頻域出發(fā)，使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。雙線性變換定義：以上變換是一個一一映射，它將s平面上的一點映射為z平面上的一點，或?qū)平面上的一點映射為s平面上的一點。數(shù)字傳輸函數(shù)G(z)和原型模擬傳輸函數(shù)Ha(s)之間的關(guān)系為:雙線性變換法(Bilineartransformation21雙線性變換是通過應(yīng)用梯形數(shù)值積分方法來從Ha(s)的微分方程得到G(z)的差分方程的一種變換。參數(shù)T表示數(shù)值積分的步長

雙線性變換的推導(dǎo)（梯形積分）雙線性變換是通過應(yīng)用梯形數(shù)值積分方法來從Ha(s)的微分方程22雙線性變換主要用在:用反雙線性變換來將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬原型濾波器的性能指標(biāo)用雙線性變換來從模擬傳輸函數(shù)得到所希望的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)G(z)參數(shù)T對G(z)的表達式?jīng)]有影響,可以選擇T=2來簡化設(shè)計的過程雙線性變換主要用在:230jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射關(guān)系：0jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射關(guān)系：24令：雙線性變換扭曲了數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系。臨界頻率預(yù)畸變ωΩΩ模擬原型濾波器Ha(s)Ha(s)

G(z)數(shù)字濾波器設(shè)計思路：令：雙線性變換扭曲了數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系。臨界頻率預(yù)25穩(wěn)定性不變，但形狀發(fā)生變化映射高度非線性，由此引起的頻率軸失真稱為頻率畸變穩(wěn)定性不變，但形狀發(fā)生變化26例:模擬濾波器傳輸函數(shù)為-3dB頻率為2000弧度/秒(318.31Hz)，求對應(yīng)的數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)，采樣率為1500Hz例:模擬濾波器傳輸函數(shù)為-3dB頻率為2000弧度/秒(327數(shù)字濾波器設(shè)計課件28頻率響應(yīng)之間的差異見上圖，數(shù)字濾波器的滾降比模擬濾波器要陡，且?guī)捯膊煌?，這種誤差是由于雙線性變換的畸變造成的?；冋`差可以通過對-3dB頻率的預(yù)畸變來克服。頻率響應(yīng)之間的差異見上圖，數(shù)字濾波器的滾降比模擬濾波器要陡，29二階模擬帶阻濾波器（陷波器）的傳輸函數(shù)為7.2.2IIR低階濾波器的設(shè)計二階模擬帶阻濾波器（陷波器）的傳輸函數(shù)為7.2.2IIR低30令陷波頻率0和-3dB陷波帶寬Bw與常數(shù)和

相關(guān)//則令陷波頻率0和-3dB陷波帶寬Bw與常數(shù)和31設(shè)計一個低通IIR數(shù)字濾波器G(z)，性能指標(biāo)如下:7.3低通IIR濾波器設(shè)計設(shè)計一個低通IIR數(shù)字濾波器G(z)，性能指標(biāo)如下:7.332將數(shù)字截止頻率預(yù)畸變?yōu)槟M截止頻率將數(shù)字截止頻率預(yù)畸變?yōu)槟M截止頻率33k：過渡比k1：分辨率巴特沃茲逼近的階數(shù)估計：頻率解歸一化：k：過渡比巴特沃茲逼近的階數(shù)估計：頻率解歸一化：34三階歸一化低通Butterworth傳輸函數(shù):三階歸一化低通Butterworth傳輸函數(shù):35第一種方法分為以下幾個步驟：

7.4高通、帶通和帶阻IIR數(shù)字濾波器設(shè)計Step1：用式預(yù)畸變所求數(shù)字濾波器GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)，從而得到一個等價的模擬濾波器HD(s)的頻率指標(biāo)。Step2：選取一種合適的頻率變換，將HD(s)的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型低通濾波器HLP(s)的頻率指標(biāo)。（附錄B）Step3:設(shè)計模擬低通濾波器HLP(s).（附錄A）Step4:

用步驟2中頻率變換的逆變換將傳輸函數(shù)HLP(s)轉(zhuǎn)換為HD(s)。（附錄B）Step5:對傳輸函數(shù)HD(s)進行雙線性變換，從而得到所求的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)GD(z)第一種方法分為以下幾個步驟：7.4高通、帶通和帶阻IIR36第二種方法分為以下幾個步驟：

步驟1：用式預(yù)畸變所求數(shù)字濾波器GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)，從而得到一個等價的模擬濾波器HD(s)的頻率指標(biāo)。

步驟2：選取一種合適的頻率變換，將HD(s)的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型低通濾波器HLP(s)的頻率指標(biāo)。步驟3：設(shè)計模擬低通濾波器HLP(s)。步驟4：對傳輸函數(shù)HLP(s)進行雙線性變換，將其轉(zhuǎn)換為IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)GLP(z)。步驟5：選取一種合適的譜變換將GLP(z)轉(zhuǎn)換成所求的數(shù)字傳輸函數(shù)GD(z)。第二種方法分為以下幾個步驟：步驟1：用式37GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)與HD(s)相同類型的模擬濾波器頻率指標(biāo)原型低通濾波器HLP(s)的頻率指標(biāo)DesigningofHLP(s)HD(s)GD(z)GLP(z)GD(z)GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)與HD(s)相同類型的模擬濾波器頻率38譜變換可以用來將給定的低通數(shù)字IIR傳輸函數(shù)GL(z)轉(zhuǎn)換成另一個低通、高通、帶通或帶阻濾波器的數(shù)字傳輸函數(shù)GD(z).

7.5IIR濾波器的譜變換譜變換可以用來將給定的低通數(shù)字IIR傳輸函數(shù)GL(z)轉(zhuǎn)換39為了把一個有理的GL(z)變換成一個有理的，必須為的一個有理函數(shù)

另外，為了保證的穩(wěn)定性，應(yīng)該將z平面單位圓的內(nèi)部映射到平面的單位圓的內(nèi)部.為了保證將低通幅度響應(yīng)映射成四種基本類型的幅度響應(yīng)之一，z平面單位圓上的點必須映射成平面單位圓上的點.為穩(wěn)定的全通函數(shù)實數(shù)或是以復(fù)共軛對的形式出現(xiàn)，并且以保持傳輸函數(shù)的穩(wěn)定為了把一個有理的GL(z)變換成一個有理的40要把一個截止頻率為ωc的原型低通濾波器GL(z)變換成另一個截止頻率為的低通濾波器，我們會用到變換

為實數(shù)=-0.6=0=+低通濾波器到低通濾波器的變換要把一個截止頻率為ωc的原型低通濾波器GL(z)變換成另一41利用低通濾波器到低通濾波器的變換同樣可以：把截止頻率為ωc的高通濾波器變換成截止頻率為的另一個高通濾波器把中心頻率為ω0的帶通濾波器變換成另一個中心頻率為的帶通濾波器把中心頻率為ω0的帶阻濾波器變換成另一個中心頻率為的帶阻濾波器

利用低通濾波器到低通濾波器的變換同樣可以：42譜變換表濾波器類型

變換設(shè)計參數(shù)低通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器7.5.2其他譜變換譜變換表濾波器類型43當(dāng)?shù)屯ㄔ蜑V波器的帶寬與變換后帶通濾波器帶寬相同，即將這個限制條件加到表9.1中的頻譜變換，可以得到修正的頻譜變換為當(dāng)?shù)屯ㄔ蜑V波器的帶寬與變換后帶通濾波器帶寬相同，即44一種直觀的設(shè)計方法是基于對指定頻率響應(yīng)的傅立葉級數(shù)進行截短來設(shè)計——加窗傅立葉級數(shù)法N點離散傅立葉變換由其頻率響應(yīng)的N個等間隔的不同頻率樣本組成，因此該數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)序列可以利用它的頻率樣本上的離散傅立葉逆變換來計算——頻率抽樣法基于計算機的輔助設(shè)計方法7.6FIR濾波器設(shè)計一種直觀的設(shè)計方法是基于對指定頻率響應(yīng)的傅立葉級數(shù)進行截短45Kaiser方程Bellanger方程Hermann方程δp、δs

較小時，三個方程都比較準(zhǔn)確δp、δs較大時，Hermann方程更準(zhǔn)確FIR階數(shù)的估計Kaiser方程FIR階數(shù)的估計46表示要求的頻率響應(yīng)函數(shù)恰好是相應(yīng)的沖激響應(yīng)樣本給定一個頻率響應(yīng)指標(biāo)Hd(ej),可以利用上式計算hd(n),從而確定傳輸函數(shù)Hd(z)。然而在大多數(shù)實際應(yīng)用中，要求的頻率響應(yīng)是分段的常數(shù)，并且各個頻帶之間有陡峭的過渡帶，在這種情況下，相應(yīng)的沖激響應(yīng)序列是無限長并且非因果的。我們的目標(biāo)是找一個長度為2M+1的有限沖激響應(yīng)序列{ht[n]}，它的離散時間傅立葉變換Ht(ej)在某種程度上逼近所求的Hd(ej)

。7.7.1FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計7.7加窗傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器表示要求的頻率響應(yīng)函數(shù)恰好是相應(yīng)的沖激響應(yīng)47

一種常用的逼近準(zhǔn)則是最小積分平方誤差Parseval’s關(guān)系當(dāng)-MnM時，ht[n]=hd[n]，則積分平方誤差最小，或者換句話來說，在均方誤差準(zhǔn)則下，理想無限長沖激響應(yīng)的最佳和最簡單的有限長逼近是通過截短來得到的沖激響應(yīng)為h[n]的因果FIR可以通過將ht[n]延時M個樣本后得到:一種常用的逼近準(zhǔn)則是最小積分平方誤差Parseval’s487.7.2理想濾波器的沖激響應(yīng)7.7.2理想濾波器的沖激響應(yīng)49

理想L帶數(shù)字濾波器HML(z)的零相位頻率響應(yīng):1234A1A2A3A4A5理想L帶數(shù)字濾波器HML(z)的零相位頻率響應(yīng):1250理想Hilbert變換器，也稱為90度相移器理想的離散時間差分器，用于在離散時間域上對連續(xù)時間信號的抽樣值進行差分運算理想Hilbert變換器，也稱為90度相移器理想的離散時間差51對于給定的理想濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)進行簡單截短，得到的因果FIR濾波器的幅度響應(yīng)呈現(xiàn)振動的現(xiàn)象，通常稱為Gibbs現(xiàn)象隨著濾波器長度的增加，通帶和阻帶的波紋數(shù)增加，而波紋的寬度相應(yīng)減小，但是在截止頻率兩邊出現(xiàn)的最大波紋的高度仍然保持不變，它與濾波器的長度無關(guān)，并且近似等于理想濾波器通帶和阻帶幅度差的11%在其他類型的理想濾波器沖激響應(yīng)的截短頻率響應(yīng)中，同樣可以觀察到類似的現(xiàn)象產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象的原因可以解釋為：截短運算可以認(rèn)為是將無限長沖激響應(yīng)系數(shù)與一個有限長的窗序列w[n]相乘的結(jié)果7.7.3Gibbs現(xiàn)象對于給定的理想濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)進行簡單截短，得到的因果52Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/濾波器長度21濾波器長度61Normalizedfrequency/Normaliz53Normalizedfrequency/w[n],N=21矩形窗Normalizedfrequency/w[n],N=54數(shù)字濾波器設(shè)計課件55-0.40.4*Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/N=21-0.40.4*Normalizedfrequency56-0.40.4*N=61Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/-0.40.4*N=61Normalizedfrequ57Normalizedfrequency/矩形窗的頻率響應(yīng)：Normalizedfrequency/矩形窗的頻率響應(yīng)58

主瓣寬度定義為中心頻率點=0兩側(cè)的兩個最近的零值點之間的距離：4/(2M+1)，它決定了主瓣的性質(zhì)。頻率響應(yīng)中的其他波紋成為旁瓣隨著M的增大，主瓣和旁瓣的寬度都隨之減小。但是主瓣和旁瓣下的面積都保持不變。這表明隨著M的增加，波紋的振幅沒有減小當(dāng)M增加到某一程度，主瓣非常窄，Ht(ej)將會很接近Hd(ej)，但這會增加運算的復(fù)雜度矩形窗在-MnM以外的范圍有陡峭的下降沿，它是加窗理想濾波器沖激響應(yīng)序列出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象的原因Gibbs現(xiàn)象可以通過采用兩邊都逐漸平滑減少到零的窗函數(shù)，或從通帶到阻帶有平滑的過渡帶的方法來減少。使用漸變的窗函數(shù)可以使旁瓣的高度減小，但使主瓣的寬度相應(yīng)地增加，結(jié)果在不連續(xù)點間出現(xiàn)了更寬的過渡帶矩形窗的頻率響應(yīng)的最小零值點：主瓣寬度定義為中心頻率點=0兩側(cè)的兩個最近的零值點之間59Hann:7.7.4固定窗函數(shù)Hann:7.7.4固定窗函數(shù)60Hamming:Hamming:61Blackman:Blackman:62Rectangular:Rectangular:63一個窗函數(shù)的性能主要取決于它的兩個參數(shù)，即主瓣寬度和相對旁瓣級。相對旁瓣級是最大旁瓣與主瓣以dB為單位的幅度差值。最大通帶偏移和最小阻帶值之間的距離近似等于窗的主瓣寬度，過渡帶寬小于主瓣寬度。為了保證從通帶快速過渡到阻帶，窗函數(shù)應(yīng)該有一個非常小的主瓣寬度，另一方面，為了減小通帶和阻帶波紋，旁瓣下的面積也要求非常小。遺憾的是，這兩個要求是相互矛盾的。矩形窗、Hann窗、Hamming窗的波紋與濾波器長度和截止頻率無關(guān)，為一常數(shù)。過渡帶寬近似為：c為一常數(shù)一個窗函數(shù)的性能主要取決于它的兩個參數(shù)，即主瓣寬度和相對旁64數(shù)字濾波器設(shè)計課件65RectangularWindowHammingWindowht(n)Ht(ejw)RectangularWindowHammingWind66HanningWindowBlackmanWindowht(n)Ht(ejw)HanningWindowBlackmanWindowh67TypeofwindowsMainlobewidthRelativesidelobelevelMinimumstopbandattenuationTransitionbandwidthRectangular4/(2M+1)13.3dB20.9dB0.92/MHann8/(2M+1)31.5dB43.9dB3.11/MHamming8/(2M+1)42.7dB54.5dB3.32/MBlackman12/(2M+1)58.1dB75.3dB5.56/M固定窗函數(shù)的特性TypeofwindowsMainlobewidth68固定窗函數(shù)設(shè)計的濾波器的波紋是固定的一些可變窗函數(shù)提供了額外的參數(shù)以控制波紋多爾夫-切比雪夫窗凱澤窗——使用最廣泛Tk(x)為k階切比雪夫多項式I(x)為修正0階貝塞爾函數(shù)7.7.5可調(diào)窗函數(shù)固定窗函數(shù)設(shè)計的濾波器的波紋是固定的多爾夫-切比雪夫窗凱澤窗69另一種消除Gibbs現(xiàn)象的方法是修正數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的指標(biāo)，從而使該濾波器在通帶和阻帶之間出現(xiàn)一個過渡帶，使各頻帶之間平滑過渡0-ps-p-s7.7.6具有平滑過渡帶的FIR濾波器的沖激響應(yīng)另一種消除Gibbs現(xiàn)象的方法是修正數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的指70數(shù)字濾波器設(shè)計課件71h[n]的N點DFT可由其DTFT進行等間隔的N點抽樣得到數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)序列h[n]可以利用它的頻率樣本上的IDFT來計算——頻率抽樣法7.8頻率抽樣法h[n]的N點DFT可由其DTFT進行等間隔的N點抽樣得到72由于用來使計算機設(shè)計的濾波器與要求的頻率響應(yīng)之間的誤差最小化的迭代最優(yōu)化技術(shù)的提出，出現(xiàn)了很多基于該最優(yōu)化技術(shù)的濾波器設(shè)計方法需設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)期望的頻率響應(yīng)某種準(zhǔn)則下的逼近7.9數(shù)字濾波器的計算機輔助設(shè)計在商業(yè)上有很多可供選擇的軟件包，它們使得數(shù)字濾波器的計算機設(shè)計相當(dāng)簡單——FDATools@Matlab由于用來使計算機設(shè)計的濾波器與要求的頻率響應(yīng)之間的誤差最小73第六講數(shù)字濾波器設(shè)計浙江大學(xué)光電信息工程學(xué)系胡慧珠huhuizhu2000@第六講浙江大學(xué)光電信息工程學(xué)系74

預(yù)備知識IIR濾波器設(shè)計雙線性變換低通IIR濾波器設(shè)計高通、帶通、帶阻IIR數(shù)字濾波器設(shè)計IIR濾波器的譜變換FIR濾波器設(shè)計基于加窗傅立葉級數(shù)的FIR濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的計算機輔助設(shè)計用Matlab進行數(shù)字濾波器設(shè)計主要內(nèi)容預(yù)備知識主要內(nèi)容75確定傳輸函數(shù)G(z)的過程稱為數(shù)字濾波器設(shè)計.在大多數(shù)應(yīng)用中，關(guān)鍵的問題是用一個可實現(xiàn)的傳輸函數(shù)去逼近給定的濾波器幅度響應(yīng)指標(biāo)，而濾波器的相位響應(yīng)可以通過級聯(lián)全通濾波器來校正。一種廣泛應(yīng)用的IIR濾波器設(shè)計方法是將一個模擬的原型傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個數(shù)字的傳輸函數(shù)。FIR濾波器的設(shè)計則是基于對指定幅度響應(yīng)的直接逼近。在設(shè)計數(shù)字傳輸函數(shù)G(z)之前，有兩個關(guān)鍵的問題需要考慮：分析使用數(shù)字濾波器的整個系統(tǒng)的需求，確定合理的濾波器頻率響應(yīng)指標(biāo)。確定所設(shè)計的濾波器是FIR還是IIR數(shù)字濾波器。7.1預(yù)備知識確定傳輸函數(shù)G(z)的過程稱為數(shù)字濾波器設(shè)計.7.1預(yù)7611+p1-psps低通數(shù)字濾波器的典型幅度指標(biāo)7.1.1數(shù)字濾波器指標(biāo)11+p1-psps77數(shù)字濾波器指標(biāo)通帶0p阻帶sp:通帶截止頻率s:阻帶截止頻率p:通帶峰值波紋s:阻帶峰值波紋p:峰值通帶波紋s:最小阻帶衰減數(shù)字濾波器指標(biāo)通帶0p阻帶s7811/Aps歸一化的數(shù)字低通濾波器幅度響應(yīng)指標(biāo)11/Aps歸一化的數(shù)字低通79最大通帶衰減:設(shè)FT為采樣頻率（Hz），F(xiàn)p和Fs分別為通帶和阻帶截止頻率（Hz），則歸一化截止角頻率為：最大通帶衰減:設(shè)FT為采樣頻率（Hz），F(xiàn)p和Fs分80兩個參數(shù)：過渡比或選擇性參數(shù)分辨參數(shù)幅度平方函數(shù)與模擬傳輸函數(shù)之間的關(guān)系：兩個參數(shù)：過渡比或選擇性參數(shù)分辨參數(shù)幅度平方函數(shù)與模擬傳輸函81FIR濾波器可以設(shè)計為線性相位，并且總是穩(wěn)定的。在多數(shù)情況下，F(xiàn)IR濾波器的階數(shù)NFIR顯著大于具有等效幅度響應(yīng)的IIR濾波器階數(shù)NIIR。NFIR/NIIR通常為10的量級或更高.IIR濾波器通常計算更簡便。在很多應(yīng)用中，并不要求濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，在這些情況下，通常會因計算簡便而選擇IIR濾波器。7.1.2濾波器類型的選擇FIR濾波器可以設(shè)計為線性相位，并且總是穩(wěn)定的。7.1.82IIR濾波器設(shè)計:在設(shè)計IIR濾波器時，通常將數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)化成模擬低通原型濾波器的設(shè)計指標(biāo)，從而確定滿足這些指標(biāo)的模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)，然后再將它變換成所需要的數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)G(z)將模擬原型傳輸函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，從而使數(shù)字濾波器能保持模擬濾波器的基本頻率響應(yīng)特性，因此，這種映射函數(shù)必須滿足以下要求：s平面的虛軸（jΩ）必須映射到z平面的單位圓上。

穩(wěn)定的模擬傳輸函數(shù)能變換為穩(wěn)定的數(shù)字傳輸函數(shù)。

7.1.3數(shù)字濾波器設(shè)計的基本方法IIR濾波器設(shè)計:7.1.3數(shù)字濾波器設(shè)計的基本方法83FIR濾波器設(shè)計:

FIR濾波器的設(shè)計是基于對指定幅度響應(yīng)的直接逼近，通常還需加上線性相位的條件限制一個N+1階的FIR濾波器可以通過利用脈沖響應(yīng)序列或頻率響應(yīng)的N+1個采樣點來實現(xiàn)兩種直接的FIR濾波器設(shè)計方法是加窗傅立葉級數(shù)法和頻率采樣法一些研究者提出了一些先進的方法估計給定性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器的階數(shù)FIR濾波器設(shè)計:84對通帶寬度適中的FIR濾波器對通帶寬度較窄的FIR濾波器對通帶寬度較寬的FIR濾波器這樣設(shè)計出來的FIR濾波器的頻率響應(yīng)特性可能滿足也可能不滿足給定的指標(biāo)，如果不滿足指標(biāo)，建議逐漸增加濾波器階數(shù)直到滿足指標(biāo)為止。7.1.4濾波器階數(shù)估計對通帶寬度適中的FIR濾波器對通帶寬度較窄的FIR濾波器對通85IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak,bk或零極點ck，dk和A，以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種方法：1）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器先設(shè)計一個合適的模擬濾波器；然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因為模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，模擬濾波器具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式，并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了，另外，還有一些典型的濾波器類型可供使用，設(shè)計起來既方便又準(zhǔn)確。2）計算機輔助設(shè)計——最優(yōu)化設(shè)計法7.2IIR濾波器設(shè)計IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak,bk或零極點86由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器步驟：1、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo)；2、模擬低通濾波器設(shè)計；（設(shè)計出符合要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，可以選擇多種類型的濾波器）3、映射實現(xiàn)：從模擬低通濾波器再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器G(z)；（利用一定的映射方法，把模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字化，如雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法）由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器步驟：87

IIR濾波器設(shè)計的脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是設(shè)計IIR濾波器最簡單的一種近似方法?；舅悸罚簩⑦B續(xù)時間濾波器的單位脈沖響應(yīng)均勻采樣，作為離散時間濾波器的單位脈沖響應(yīng)。即：h[n]=Tdhc(nTd)(7.4)注意，此處的Td是轉(zhuǎn)換離散時間濾波器的采樣周期，不必等于信號的采樣周期T，盡管經(jīng)常會取相同的值。證明：離散時間濾波器頻響與連續(xù)時間濾波器頻響之間的關(guān)系為：

由于Hc(jΩ)=0,|Ω|≥π/Td

，則有：IIR濾波器設(shè)計的脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是設(shè)計IIR88脈沖響應(yīng)不變法的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變不失一般性地，假定連續(xù)時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：所對應(yīng)的時域脈沖響應(yīng)是：對Tdhc(t)采樣得到的離散時間濾波器的脈沖響應(yīng)是：離散時間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：脈沖響應(yīng)不變法的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變不失一般性地，假定連續(xù)時間濾波器89脈沖響應(yīng)不變法的幾個要點由脈沖響應(yīng)不變法的全過程，可以看出除了比例系數(shù)Td，其與z變換過程相同，所以這種方法有叫做常規(guī)z變換法對比Hc(s)和H(z)可以知道，連續(xù)時間濾波器的極點按照的關(guān)系映射成z平面的極點，但零點一般需要重新計算脈沖響應(yīng)不變法，需要滿足采樣定理來避免混疊。解決的辦法是提高技術(shù)指標(biāo)。因此脈沖響應(yīng)不變法經(jīng)常適用于帶限的窄帶濾波器，如低通或帶通濾波器，而不常用于通帶向高頻帶延伸太寬的高通和帶阻濾波器。脈沖響應(yīng)不變法的幾個要點由脈沖響應(yīng)不變法的全過程，可以看出90脈沖響應(yīng)不變法舉例利用脈沖響應(yīng)不變法，設(shè)計一個Butteworth離散時間低通濾波器。技術(shù)指標(biāo)：3dB帶寬的截止頻率ωc=0.2π30dB阻帶邊界頻率ωs=0.5π采樣周期Td=10πμs第一步：將給定指標(biāo)按照Ω=ω/Td轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的連續(xù)時間低通指標(biāo)；得到：第二步：根據(jù)連續(xù)時間低通指標(biāo)設(shè)計歸一化連續(xù)時間低通濾波器；得到：脈沖響應(yīng)不變法舉例利用脈沖響應(yīng)不變法，設(shè)計一個Buttewo91例(續(xù))取N=4。四階歸一化Butterworth低通濾波器傳遞函數(shù)為：第三步：利用頻率轉(zhuǎn)換求得滿足給定指標(biāo)的實際連續(xù)時間低通濾波器；即：第四步：利用脈沖響應(yīng)不變法求得滿足給定技術(shù)指標(biāo)的離散時間濾波器傳輸函數(shù)。得：例(續(xù))取N=4。第三步：利用頻率轉(zhuǎn)換求得滿足給定指標(biāo)的實際92將模擬原型傳輸函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，從而使數(shù)字濾波器能保持模擬濾波器的基本頻率響應(yīng)特性，因此，這種映射函數(shù)必須滿足以下要求：s平面的虛軸（jΩ）必須映射到z平面的單位圓上。

穩(wěn)定的模擬傳輸函數(shù)能變換為穩(wěn)定的數(shù)字傳輸函數(shù)。有很多種變換方法可以將一個模擬傳輸函數(shù)Ha(s)變換成一個數(shù)字傳輸函數(shù)G(z)，從而使z域的數(shù)字傳輸函數(shù)保留s域的模擬傳輸函數(shù)的基本性質(zhì)。在這些變換中，更多地使用雙線性變換法來設(shè)計基于模擬原型濾波器變換的IIR數(shù)字濾波器。

7.2.1IIR濾波器設(shè)計的雙線性變換法

將模擬原型傳輸函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)93雙線性變換法(Bilineartransformation

)：是從頻域出發(fā)，使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。雙線性變換定義：以上變換是一個一一映射，它將s平面上的一點映射為z平面上的一點，或?qū)平面上的一點映射為s平面上的一點。數(shù)字傳輸函數(shù)G(z)和原型模擬傳輸函數(shù)Ha(s)之間的關(guān)系為:雙線性變換法(Bilineartransformation94雙線性變換是通過應(yīng)用梯形數(shù)值積分方法來從Ha(s)的微分方程得到G(z)的差分方程的一種變換。參數(shù)T表示數(shù)值積分的步長

雙線性變換的推導(dǎo)（梯形積分）雙線性變換是通過應(yīng)用梯形數(shù)值積分方法來從Ha(s)的微分方程95雙線性變換主要用在:用反雙線性變換來將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬原型濾波器的性能指標(biāo)用雙線性變換來從模擬傳輸函數(shù)得到所希望的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)G(z)參數(shù)T對G(z)的表達式?jīng)]有影響,可以選擇T=2來簡化設(shè)計的過程雙線性變換主要用在:960jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射關(guān)系：0jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射關(guān)系：97令：雙線性變換扭曲了數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系。臨界頻率預(yù)畸變ωΩΩ模擬原型濾波器Ha(s)Ha(s)

G(z)數(shù)字濾波器設(shè)計思路：令：雙線性變換扭曲了數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系。臨界頻率預(yù)98穩(wěn)定性不變，但形狀發(fā)生變化映射高度非線性，由此引起的頻率軸失真稱為頻率畸變穩(wěn)定性不變，但形狀發(fā)生變化99例:模擬濾波器傳輸函數(shù)為-3dB頻率為2000弧度/秒(318.31Hz)，求對應(yīng)的數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)，采樣率為1500Hz例:模擬濾波器傳輸函數(shù)為-3dB頻率為2000弧度/秒(3100數(shù)字濾波器設(shè)計課件101頻率響應(yīng)之間的差異見上圖，數(shù)字濾波器的滾降比模擬濾波器要陡，且?guī)捯膊煌@種誤差是由于雙線性變換的畸變造成的?；冋`差可以通過對-3dB頻率的預(yù)畸變來克服。頻率響應(yīng)之間的差異見上圖，數(shù)字濾波器的滾降比模擬濾波器要陡，102二階模擬帶阻濾波器（陷波器）的傳輸函數(shù)為7.2.2IIR低階濾波器的設(shè)計二階模擬帶阻濾波器（陷波器）的傳輸函數(shù)為7.2.2IIR低103令陷波頻率0和-3dB陷波帶寬Bw與常數(shù)和

相關(guān)//則令陷波頻率0和-3dB陷波帶寬Bw與常數(shù)和104設(shè)計一個低通IIR數(shù)字濾波器G(z)，性能指標(biāo)如下:7.3低通IIR濾波器設(shè)計設(shè)計一個低通IIR數(shù)字濾波器G(z)，性能指標(biāo)如下:7.3105將數(shù)字截止頻率預(yù)畸變?yōu)槟M截止頻率將數(shù)字截止頻率預(yù)畸變?yōu)槟M截止頻率106k：過渡比k1：分辨率巴特沃茲逼近的階數(shù)估計：頻率解歸一化：k：過渡比巴特沃茲逼近的階數(shù)估計：頻率解歸一化：107三階歸一化低通Butterworth傳輸函數(shù):三階歸一化低通Butterworth傳輸函數(shù):108第一種方法分為以下幾個步驟：

7.4高通、帶通和帶阻IIR數(shù)字濾波器設(shè)計Step1：用式預(yù)畸變所求數(shù)字濾波器GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)，從而得到一個等價的模擬濾波器HD(s)的頻率指標(biāo)。Step2：選取一種合適的頻率變換，將HD(s)的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型低通濾波器HLP(s)的頻率指標(biāo)。（附錄B）Step3:設(shè)計模擬低通濾波器HLP(s).（附錄A）Step4:

用步驟2中頻率變換的逆變換將傳輸函數(shù)HLP(s)轉(zhuǎn)換為HD(s)。（附錄B）Step5:對傳輸函數(shù)HD(s)進行雙線性變換，從而得到所求的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)GD(z)第一種方法分為以下幾個步驟：7.4高通、帶通和帶阻IIR109第二種方法分為以下幾個步驟：

步驟1：用式預(yù)畸變所求數(shù)字濾波器GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)，從而得到一個等價的模擬濾波器HD(s)的頻率指標(biāo)。

步驟2：選取一種合適的頻率變換，將HD(s)的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型低通濾波器HLP(s)的頻率指標(biāo)。步驟3：設(shè)計模擬低通濾波器HLP(s)。步驟4：對傳輸函數(shù)HLP(s)進行雙線性變換，將其轉(zhuǎn)換為IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)GLP(z)。步驟5：選取一種合適的譜變換將GLP(z)轉(zhuǎn)換成所求的數(shù)字傳輸函數(shù)GD(z)。第二種方法分為以下幾個步驟：步驟1：用式110GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)與HD(s)相同類型的模擬濾波器頻率指標(biāo)原型低通濾波器HLP(s)的頻率指標(biāo)DesigningofHLP(s)HD(s)GD(z)GLP(z)GD(z)GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)與HD(s)相同類型的模擬濾波器頻率111譜變換可以用來將給定的低通數(shù)字IIR傳輸函數(shù)GL(z)轉(zhuǎn)換成另一個低通、高通、帶通或帶阻濾波器的數(shù)字傳輸函數(shù)GD(z).

7.5IIR濾波器的譜變換譜變換可以用來將給定的低通數(shù)字IIR傳輸函數(shù)GL(z)轉(zhuǎn)換112為了把一個有理的GL(z)變換成一個有理的，必須為的一個有理函數(shù)

另外，為了保證的穩(wěn)定性，應(yīng)該將z平面單位圓的內(nèi)部映射到平面的單位圓的內(nèi)部.為了保證將低通幅度響應(yīng)映射成四種基本類型的幅度響應(yīng)之一，z平面單位圓上的點必須映射成平面單位圓上的點.為穩(wěn)定的全通函數(shù)實數(shù)或是以復(fù)共軛對的形式出現(xiàn)，并且以保持傳輸函數(shù)的穩(wěn)定為了把一個有理的GL(z)變換成一個有理的113要把一個截止頻率為ωc的原型低通濾波器GL(z)變換成另一個截止頻率為的低通濾波器，我們會用到變換

為實數(shù)=-0.6=0=+低通濾波器到低通濾波器的變換要把一個截止頻率為ωc的原型低通濾波器GL(z)變換成另一114利用低通濾波器到低通濾波器的變換同樣可以：把截止頻率為ωc的高通濾波器變換成截止頻率為的另一個高通濾波器把中心頻率為ω0的帶通濾波器變換成另一個中心頻率為的帶通濾波器把中心頻率為ω0的帶阻濾波器變換成另一個中心頻率為的帶阻濾波器

利用低通濾波器到低通濾波器的變換同樣可以：115譜變換表濾波器類型

變換設(shè)計參數(shù)低通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器7.5.2其他譜變換譜變換表濾波器類型116當(dāng)?shù)屯ㄔ蜑V波器的帶寬與變換后帶通濾波器帶寬相同，即將這個限制條件加到表9.1中的頻譜變換，可以得到修正的頻譜變換為當(dāng)?shù)屯ㄔ蜑V波器的帶寬與變換后帶通濾波器帶寬相同，即117一種直觀的設(shè)計方法是基于對指定頻率響應(yīng)的傅立葉級數(shù)進行截短來設(shè)計——加窗傅立葉級數(shù)法N點離散傅立葉變換由其頻率響應(yīng)的N個等間隔的不同頻率樣本組成，因此該數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)序列可以利用它的頻率樣本上的離散傅立葉逆變換來計算——頻率抽樣法基于計算機的輔助設(shè)計方法7.6FIR濾波器設(shè)計一種直觀的設(shè)計方法是基于對指定頻率響應(yīng)的傅立葉級數(shù)進行截短118Kaiser方程Bellanger方程Hermann方程δp、δs

較小時，三個方程都比較準(zhǔn)確δp、δs較大時，Hermann方程更準(zhǔn)確FIR階數(shù)的估計Kaiser方程FIR階數(shù)的估計119表示要求的頻率響應(yīng)函數(shù)恰好是相應(yīng)的沖激響應(yīng)樣本給定一個頻率響應(yīng)指標(biāo)Hd(ej),可以利用上式計算hd(n),從而確定傳輸函數(shù)Hd(z)。然而在大多數(shù)實際應(yīng)用中，要求的頻率響應(yīng)是分段的常數(shù)，并且各個頻帶之間有陡峭的過渡帶，在這種情況下，相應(yīng)的沖激響應(yīng)序列是無限長并且非因果的。我們的目標(biāo)是找一個長度為2M+1的有限沖激響應(yīng)序列{ht[n]}，它的離散時間傅立葉變換Ht(ej)在某種程度上逼近所求的Hd(ej)

。7.7.1FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計7.7加窗傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器表示要求的頻率響應(yīng)函數(shù)恰好是相應(yīng)的沖激響應(yīng)120

一種常用的逼近準(zhǔn)則是最小積分平方誤差Parseval’s關(guān)系當(dāng)-MnM時，ht[n]=hd[n]，則積分平方誤差最小，或者換句話來說，在均方誤差準(zhǔn)則下，理想無限長沖激響應(yīng)的最佳和最簡單的有限長逼近是通過截短來得到的沖激響應(yīng)為h[n]的因果FIR可以通過將ht[n]延時M個樣本后得到:一種常用的逼近準(zhǔn)則是最小積分平方誤差Parseval’s1217.7.2理想濾波器的沖激響應(yīng)7.7.2理想濾波器的沖激響應(yīng)122

理想L帶數(shù)字濾波器HML(z)的零相位頻率響應(yīng):1234A1A2A3A4A5理想L帶數(shù)字濾波器HML(z)的零相位頻率響應(yīng):12123理想Hilbert變換器，也稱為90度相移器理想的離散時間差分器，用于在離散時間域上對連續(xù)時間信號的抽樣值進行差分運算理想Hilbert變換器，也稱為90度相移器理想的離散時間差124對于給定的理想濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)進行簡單截短，得到的因果FIR濾波器的幅度響應(yīng)呈現(xiàn)振動的現(xiàn)象，通常稱為Gibbs現(xiàn)象隨著濾波器長度的增加，通帶和阻帶的波紋數(shù)增加，而波紋的寬度相應(yīng)減小，但是在截止頻率兩邊出現(xiàn)的最大波紋的高度仍然保持不變，它與濾波器的長度無關(guān)，并且近似等于理想濾波器通帶和阻帶幅度差的11%在其他類型的理想濾波器沖激響應(yīng)的截短頻率響應(yīng)中，同樣可以觀察到類似的現(xiàn)象產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象的原因可以解釋為：截短運算可以認(rèn)為是將無限長沖激響應(yīng)系數(shù)與一個有限長的窗序列w[n]相乘的結(jié)果7.7.3Gibbs現(xiàn)象對于給定的理想濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)進行簡單截短，得到的因果125Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/濾波器長度21濾波器長度61Normalizedfrequency/Normaliz126Normalizedfrequency/w[n],N=21矩形窗Normalizedfrequency/w[n],N=127數(shù)字濾波器設(shè)計課件128-0.40.4*Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/N=21-0.40.4*Norma