分布列與其他知識綜合運用 新高考 數(shù)學 一輪復習專項提升 精講精練

8.6分布列與其他知識綜合運用（精練）（提升版）題組一題組一與數(shù)列綜合1．（2022·重慶市模擬）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據(jù)相關法律宣布從2020年6月8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測結果為陽性的旅客人數(shù)達到一定數(shù)量的民航局對其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運行（達到5個暫停運行1周，達到10個暫停運行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調整用于其他航線，“熔斷期”結束后，航空公司方可恢復每周1班航班計劃.已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是.一條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為.（1）求；（2）證明：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項和，并說明的實際意義.2．（2021·高州模擬）為落實《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育“健康知識＋基本運動技能＋專項運動技能”教學模式，建立“校內競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學期望；（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；②規(guī)定，且有，請根據(jù)①中，，的值求出、，并求出數(shù)列的通項公式．3．（2022·廊坊模擬）有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結束.設棋子跳到第n站概率為.（1）求，，的值；（2）求證：，其中，；（3）求及的值.4．（2022·太原二模）足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳球是足球訓練中的兩個重要訓練項目．（1）假設發(fā)點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時有的可能將球撲出球門外．在一次點球戰(zhàn)中，求守門員在前三次點球中，把球撲出球門外的個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；（2）某次傳球訓練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進行傳接球訓練，從甲開始傳球，等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進行．假設每個球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為．求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求．5．（2022·湖北模擬）2022年2月日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇.（1）撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)的分布列和期望；（2）好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲?乙?丙?丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知，.①試證明為等比數(shù)列；②設第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小.題組二題組二與函數(shù)綜合1．（2022北京）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款紀念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：心理價位（元/件）90100110120人數(shù)10205020假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規(guī)定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售價格為x（單位：元/件），，且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.（1）若，試估計消費者購買該紀念品的概率；已知某時段有4名消費者進店，X為這一時段該紀念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學期望；（2）假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？2．（2022高三上·濰坊期中）2020年10月16日，是第40個世界糧食日.中國工程院院士袁隆平海水稻團隊迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當?shù)鼐用袷杖?某企業(yè)引進一條先進食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質量指標值為，其質量指標等級劃分如下表：質量指標值質量指標等級良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟效益并及時調整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了1000件，將其質量指標值的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）若從質量指標值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質量指標值的件數(shù)的分布列及數(shù)學期望；（3）若每件產(chǎn)品的質量指標值與利潤（單位：元）的關系如下表：質量指標值利潤（元）試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤達到最大（參考數(shù)值：，）.3．（2021高三上·通州期中）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個市場銷售某種蔬菜（兩個市場的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計該蔬菜在甲、乙兩個市場以往100個周期的市場需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場需求量的頻率代替需求量的概率．設批發(fā)商在下個銷售周期購進噸該蔬菜，在甲、乙兩個市場同時銷售，以（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總需求量，（單位：元）表示下個銷售周期兩個市場的銷售總利潤．（1）求變量概率分布列；（2）當時，求與的函數(shù)解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應選用哪一個．題組三題組三與導數(shù)綜合1．（2022·湖南模擬）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快.以新能源汽車?機器人?增材制造?醫(yī)療設備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質量差服從正態(tài)分布，并把質量差在內的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質量差在內的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，記質量差，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)（2）假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；②設抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值，并求出最大值.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，.2（2022·齊齊哈爾二模）為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽張三取勝的概率均為.（1）比賽結束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三取勝的概率為.①求出的最大值點；②若以作為的值，這輪比賽張三所得積分為，求的分布列及期望.3．（2022·葫蘆島模擬）葫蘆島市礦產(chǎn)資源豐富，擁有煤、鉬、鋅、鉛等51種礦種，采礦業(yè)歷史悠久，是葫蘆島市重要產(chǎn)業(yè)之一．某選礦場要對即將交付客戶的一批200袋鉬礦進行品位（即純度）檢驗，如檢驗出品位不達標，則更換為達標產(chǎn)品，檢驗時；先從這批產(chǎn)品中抽20袋做檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有鉬礦做檢驗，設每袋鉬礦品位不達標的概率都為，且每袋鉬礦品位是否達標相互獨立．（1）若20袋鉬礦中恰有2袋不達標的概率為，求的最大值點；（2）已知每袋鉬礦的檢驗成本為10元，若品位不達標鉬礦不慎出場，對于每袋不達標鉬礦要賠付客戶110元．現(xiàn)對這批鉬礦檢驗了20袋，結果恰有兩袋品位不達標．①若剩余鉬礦不再做檢驗，以（1）中確定的作為p的值．這批鉬礦的檢驗成本與賠償費用的和記作，求；②以①中檢驗成本與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對余下的所有鉬礦進行檢驗？4．（2022·河南月考）隨著中國經(jīng)濟的迅速發(fā)展，市場石料需求急增．西部某縣有豐富的優(yōu)質石料，當?shù)卣疀Q定有序開發(fā)本縣石料資源．因建立石料廠會破壞生態(tài)，該縣決定石料開發(fā)走“開發(fā)治理結合，人類生態(tài)友好”的路線.當?shù)卣垏噎h(huán)保機構每年對該縣與石料開發(fā)相關的生態(tài)（以下簡稱生態(tài)）進行評估．若生態(tài)開始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)（本問題中，時間以整數(shù)年為單位），生態(tài)友好后復產(chǎn)．該縣在建石料廠之初投入巨資進行與之有關的生態(tài)建設，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入（以下簡稱生態(tài)投入）將逐年減少（a是常數(shù)，）億元．該縣從2021年起，若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為．模型顯示，生態(tài)變差的概率不大于0.16683時，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結束．（1）若2021年該縣生態(tài)變差的概率為，求該縣2022年生態(tài)友好的概率；（2）若2021年該縣生態(tài)變差概率為，生態(tài)投入是40億元，a為何值時，從2021年開始到生態(tài)投入結束，對該縣總生態(tài)投入額最?。坎⑶蟪銎渥钚≈担?．（2022·濰坊模擬）某學校組織數(shù)學，物理學科答題競賽活動，該學校準備了100個相同的箱子，其中第個箱子中有個數(shù)學題，個物理題．每一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品．（1）已知學生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數(shù)學題，1個物理題，且甲答對每一個數(shù)學題的概率為，答對每一個物理題的概率為．①求學生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；②已知，學生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時、的值．（2）若學生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率．．題組四題組四與其他知識綜合1．（2021高三上·濰坊期中）2021年7月18日第屆全國中學生生物學競賽在浙江省蕭山中學隆重舉行．為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，，分成組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名學生成績的中位數(shù)；（2）在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在，，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記的分布列和數(shù)學期望；（3）轉化為百分制后，規(guī)定成績在的為A等級，成績在的為等級，其它為等級．以樣本估計總體，用頻率代替概率，從所有參加生物競賽的同學中隨機抽取100人，其中獲得等級的人數(shù)設為，記等級的人數(shù)為的概率為，寫出的表達式，并求出當為何值時，最大？2．（2022·福州模擬）某種疾病可分為，兩種類型，為了解該疾病的類型與患者性別是否相關，在某地區(qū)隨機抽取了若干名該疾病的患者進行調查，發(fā)現(xiàn)女性患者人數(shù)是男性患者的2倍，男性患型疾病的人數(shù)占男性患者的，女性患型疾病的人數(shù)占女