垂徑定理課件

垂徑定理垂徑定理13.2圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是,它的對(duì)稱軸是什么?你能找到多少條對(duì)稱軸？●O你是用什么方法解決上述問題的?3.2圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是,它的對(duì)稱軸是什么?2圓是軸對(duì)稱圖形.圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.●O可利用折疊的方法即可解決上述問題.圓是軸對(duì)稱圖形.圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無(wú)數(shù)3圓的相關(guān)概念圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧.直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧ABC).連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦(如弦AB).●O經(jīng)過圓心的弦叫做直徑(如直徑AC).AB⌒以A,B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧.記作,讀作“弧AB”.AB⌒小于半圓的弧叫做劣弧,如記作(用兩個(gè)字母).⌒AmB大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,如記作(用三個(gè)字母).ABC⌒mD圓的相關(guān)概念圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧.直徑將圓分4③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.●O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?ABCDM└⌒AmB由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.題設(shè)結(jié)論③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些5垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB,●OABCDM└6垂徑定理三種語(yǔ)言定理:

垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論,三種語(yǔ)言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂徑定理三種語(yǔ)言定理:垂直于弦的直徑平分弦,老師提示:●7②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.過點(diǎn)M作直徑CD.●O右圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?CD由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.不是直徑．②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理AB是⊙O的一條弦,且AM=B8

如圖，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。E.ABO練一練：試金石解：連結(jié)OA。過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3厘米，AE＝BE?！逜B＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半徑為5厘米。如圖，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心9你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?垂徑定理的逆定理如圖,在下列五個(gè)條件中:只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論.●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?垂徑定理的逆定理如圖,在下列五個(gè)條件10垂徑定理及逆定理●OABCDM└條件結(jié)論命題①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂徑定理及逆定理●OABCDM└條件結(jié)論命11根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說。如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論注意根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說。如果具備（112試一試P9311駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫如圖,M為⊙O內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點(diǎn)M.并且AM=BM.●O●M試一試P9311駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫如圖,M為⊙O內(nèi)132、如圖4，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且AC＝BD求證：△OCD為等腰三角形。E2、如圖4，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)143、如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認(rèn)為AC與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？G3、如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在15∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d線段加減圓弧加減∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴16挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論

如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?老師提示:這兩條弦在圓中位置有兩種情況:隨堂練習(xí)P9210駛向勝利的彼岸●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論圓的兩條平行弦所夾的弧相等.挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦17垂徑定理的推論

如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?老師提示:

這兩條弦在圓中位置有兩種情況:●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論

圓的兩條平行弦所夾的弧相等.MM垂徑定理的推論如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧18

已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB?！逜B∥CD，∴MN⊥CD。則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON講解如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？圓的兩條平行弦所夾的弧相等已知：⊙O中弦AB∥CD?！小凶C明：作直徑M19如何找圓心？當(dāng)未知一個(gè)圓或一條弧的圓心時(shí)，如何把它找出來？如何找圓心？當(dāng)未知一個(gè)圓或一條弧的圓心時(shí)，如何把它找出來？20試一試P9312挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（）⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧.（）⑶經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧.（）試一試P9312挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：212.已知：如圖,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點(diǎn)F.圖中相等的線段有:

.圖中相等的劣弧有:

.2.已知：如圖,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,223、已知：如圖，⊙O中，AB為弦，C為弧AB的中點(diǎn)，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半徑OA.3、已知：如圖，⊙O中，AB為弦，C為234、如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA=10m，拱高為4m，求拱橋跨度AB的長(zhǎng)。

4、如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA=10m，241300多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4米，拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米)．1300多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的254.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長(zhǎng).·ABCD0EFGHMN4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,26已知：AB和CD是⊙O內(nèi)的兩條平行弦，，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半徑為5cm，思考題：（1）請(qǐng)根據(jù)題意畫出符合條件的圖形（2）求出AB、與CD間的距離。（1）（2）已知：AB和CD是⊙O內(nèi)的兩條平行弦，，AB=6cm，CD=27學(xué)生練習(xí)已知：AB是⊙O直徑，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD求證：EC＝DF.AOBECDF學(xué)生練習(xí)已知：AB是⊙O直徑，CD.AOBECDF28小結(jié):

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO小結(jié):解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂29垂徑定理垂徑定理303.2圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是,它的對(duì)稱軸是什么?你能找到多少條對(duì)稱軸？●O你是用什么方法解決上述問題的?3.2圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是,它的對(duì)稱軸是什么?31圓是軸對(duì)稱圖形.圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.●O可利用折疊的方法即可解決上述問題.圓是軸對(duì)稱圖形.圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無(wú)數(shù)32圓的相關(guān)概念圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧.直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧ABC).連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦(如弦AB).●O經(jīng)過圓心的弦叫做直徑(如直徑AC).AB⌒以A,B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧.記作,讀作“弧AB”.AB⌒小于半圓的弧叫做劣弧,如記作(用兩個(gè)字母).⌒AmB大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,如記作(用三個(gè)字母).ABC⌒mD圓的相關(guān)概念圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧.直徑將圓分33③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.●O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?ABCDM└⌒AmB由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.題設(shè)結(jié)論③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些34垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB,●OABCDM└35垂徑定理三種語(yǔ)言定理:

垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論,三種語(yǔ)言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂徑定理三種語(yǔ)言定理:垂直于弦的直徑平分弦,老師提示:●36②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.過點(diǎn)M作直徑CD.●O右圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?CD由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.不是直徑．②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理AB是⊙O的一條弦,且AM=B37

如圖，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。E.ABO練一練：試金石解：連結(jié)OA。過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3厘米，AE＝BE?！逜B＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半徑為5厘米。如圖，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心38你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?垂徑定理的逆定理如圖,在下列五個(gè)條件中:只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論.●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?垂徑定理的逆定理如圖,在下列五個(gè)條件39垂徑定理及逆定理●OABCDM└條件結(jié)論命題①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂徑定理及逆定理●OABCDM└條件結(jié)論命40根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說。如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論注意根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說。如果具備（141試一試P9311駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫如圖,M為⊙O內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點(diǎn)M.并且AM=BM.●O●M試一試P9311駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫如圖,M為⊙O內(nèi)422、如圖4，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且AC＝BD求證：△OCD為等腰三角形。E2、如圖4，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)433、如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認(rèn)為AC與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？G3、如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在44∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d線段加減圓弧加減∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴45挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論

如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?老師提示:這兩條弦在圓中位置有兩種情況:隨堂練習(xí)P9210駛向勝利的彼岸●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論圓的兩條平行弦所夾的弧相等.挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦46垂徑定理的推論

如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?老師提示:

這兩條弦在圓中位置有兩種情況:●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論

圓的兩條平行弦所夾的弧相等.MM垂徑定理的推論如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧47

已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON講解如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？圓的兩條平行弦所夾的弧相等已知：⊙O中弦AB∥CD?！小凶C明：作直徑M48如何找圓心？當(dāng)未知一個(gè)圓或一條弧的圓心時(shí)，如何把它找出來？如何找圓心？當(dāng)未知一個(gè)圓或一條弧的圓心時(shí)，如何把它找出來？49試一試P9312挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（）⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧.（）⑶經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧.（）試一試P9312挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：502.已知：如圖,⊙O中