2023高考真題知識(shí)總結(jié)方法總結(jié)題型突破：38 圓錐曲線中的求值與證明問(wèn)題(學(xué)生版)

專題38圓錐曲線中的求值與證明問(wèn)題【高考真題】1．(2022·北京)已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．2．(2022·新高考Ⅰ)已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．3．(2022·新高考Ⅱ)已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【方法總結(jié)】證明問(wèn)題常用方法圓錐曲線中的證明問(wèn)題主要有兩個(gè)方面：(1)位置關(guān)系方面的(如證明相切、垂直、過(guò)定點(diǎn)等)；(2)數(shù)量關(guān)系方面的(如存在定值、恒成立等)．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接證明，但有時(shí)也會(huì)用反證法．【題型突破】1．(2019·全國(guó)Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|．2．已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|．3．已知橢圓C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．(1)若△F1AB的面積為eq\f(20\r(3),11)，求直線l的方程；(2)若eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2A,\s\up6(→))，求|AB|．4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>1)的焦距為2，過(guò)短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的面積為eq\f(4π,3)，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)P且垂直于AB的直線與x軸交于點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，0))，求k的值．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，且離心率e＝eq\f(\r(3),2)．(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為eq\f(1,2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝eq\r(5)，求直線l的方程．6．(2017·全國(guó)Ⅰ)設(shè)A，B為曲線C：y＝eq\f(x2,4)上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4．(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．7．(2021·天津)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，離心率為eq\f(2\r(5),5)，且|BF|＝eq\r(5)．(1)求橢圓的方程；(2)直線l與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M，與y軸的正半軸交于N，過(guò)N與BF垂直的直線交x軸于點(diǎn)P．若MP∥BF，求直線l的方程．8．(2020·全國(guó)Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(0＜m＜5)的離心率為eq\f(\r(15),4)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．9．(2020·北京)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)，且a＝2b．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)B(－4，0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別交直線x＝－4于點(diǎn)P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值．10．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A作斜率為eq\f(\r(3),3)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB⊥OB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的離心率e；(2)若b＝1，過(guò)點(diǎn)F作與直線AB平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，①求直線OP的斜率與直線OQ的斜率乘積；②點(diǎn)M滿足2eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))，直線MQ與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求eq\f(|NM|,|NQ|)的值．11．設(shè)橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是橢圓上任意一點(diǎn)，且△MF1F2的周長(zhǎng)是4＋2eq\r(3).(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)橢圓C1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)橢圓C1上的一點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，若點(diǎn)C滿足eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(OC,\s\up6(→))，連接AC交DE于點(diǎn)P，求證：|PD|＝|PE|.12．已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，其焦點(diǎn)為F.M為拋物線上除了原點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M的直線l與x軸，y軸分別交于A，B.(1)求拋物線C的方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若△BMF與△ABF的面積相等，求證：直線l是拋物線C的切線．13．如圖，已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為拋物線Γ上一點(diǎn)，直線AO與l交于點(diǎn)C，直線AF與拋物線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為B．(1)證明：直線BC∥x軸；(2)設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，連接BE，且BE⊥BF，證明：||AF|－|BF||＝8．14．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)A(1，0)，B(4，0)，過(guò)點(diǎn)A的任意一條直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求證：|MB|·|NA|＝|MA|·|NB|.15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓F：(x－1)2＋y2＝1外的點(diǎn)P在y軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng)，且P到圓F上的點(diǎn)的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離，記P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓D與平行于y軸的直線相切于點(diǎn)M，線段DM交E于點(diǎn)N，證明：△AMB的面積是△AMN的面積的四倍．16．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB．17．設(shè)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若橢圓E的離心率為eq\f(\r(2),2)，△ABF2的周長(zhǎng)為4eq\r(6)．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點(diǎn)C，D，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：O，M，N三點(diǎn)共線．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中取兩個(gè)定點(diǎn)A1(－eq\r(6)，0)，A2(eq\r(6)，0)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2．(1)求直線A1N1與A2N2的交點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過(guò)R(3，0)的直線與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)N，F(xiàn)為軌跡C的右焦點(diǎn)，若eq\o(RP,\s\up7(→))＝λeq\o(RQ,\s\up7())(λ＞1)，求證：eq\o(NF,\s\up7())＝λeq\o(FQ,\s\up7())．19．從圓C上任意一點(diǎn)P向橢圓T引兩條切線PM，PN．(1)求橢圓T的方程；(2)求證：PM⊥PN．20．如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)，過(guò)F