用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式-課件

22.1.4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式九年級上冊22.1.4用待定系數(shù)法九年級上冊1回顧：用待定系數(shù)法求解析式已知一次函數(shù)經(jīng)過點（1，3）和（-2，-12），求這個一次函數(shù)的解析式。解：設這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,因為一次函數(shù)經(jīng)過點（1，3）和（-2，-12），所以k+b=3-2k+b=-12解得k=3，b=-6一次函數(shù)的解析式為y=3x-6.回顧：用待定系數(shù)法求解析式已知一次函數(shù)經(jīng)過點（1，3）和（-2解：設所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此：所求二次函數(shù)是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5例1已知一個二次函數(shù)的圖象過點（－1，10）、（1，4）、（2，7）三點，求這個函數(shù)的解析式.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式解：設所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由已知得：a-b+3求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a，b，c的值。由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個點的坐標）列出關(guān)于a，b，c的方程組，并求出a，b，c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a4解：因為拋物線的頂點為（-1，-3），所以，設所求的二次函數(shù)的解析式為y=a(x＋1)2-3例2已知拋物線的頂點為（－1，－3），與y軸的交點為（0，－5），求拋物線的解析式。因為點（0，-5）在這個拋物線上，所以a-3=-5，解得a=-2故所求的拋物線解析式為y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式設所求的二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k解：因為拋物線的頂點為（-1，-3），所以，設所求的二次函數(shù)5練習：已知拋物線的頂點是（1，2）且過點（2，3)，求出對應的二次函數(shù)解析式練習：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，－3），并且當x=3時有最大值4，求出對應的二次函數(shù)解析式；又過點（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1解：設所求的二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k∵頂點是（1，2）∴y=a(x-1)2+2，∴y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，通常設為頂點式已知條件中的當x=3時有最大值4也就是拋物線的頂點坐標為（3,4），所以設為頂點式較方便y=-7(x-3)2+4也就y=-7x2+42x-59練習：已知拋物線的頂點是（1，2）且過點（2，3)，求出對應6頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù)a≠0).1.若已知拋物線的頂點坐標和拋物線上的另一個點的坐標時，通過設函數(shù)的解析式為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k.2.特別地，當拋物線的頂點為原點是，h=0,k=0,可設函數(shù)的解析式為y=ax2.3.當拋物線的對稱軸為y軸時，h=0,可設函數(shù)的解析式為y=ax2+k.4.當拋物線的頂點在x軸上時，k=0，可設函數(shù)的解析式為y=a(x-h)2.頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù)a≠0).7所以設所求的二次函數(shù)為y=a(x＋1)(x－1)例3

已知拋物線與X軸交于A（－1，0），B（1,0）并經(jīng)過點M（0,1），求拋物線的解析式？又∵點M(0,1)在拋物線上∴a(0+1)(0-1)=1解得：a=-1故所求的拋物線解析式為y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式解：因為拋物線與x軸的交點為A(－1，0)，B(1，0)，所以設所求的二次函數(shù)為y=a(x＋1)(x－1)例3已8交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)a≠0）當拋物線與x軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以轉(zhuǎn)化為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).因此當拋物線與x軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，可設函數(shù)的解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一個點的坐標代入其中，即可解得a，求出拋物線的解析式。

交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).x1和x2分別是拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，這兩個交點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則直線就是拋物線的對稱軸.交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)9課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三對的對應值，通常選擇一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;已知圖象的頂點坐標＊對稱軸和最值）通常選擇頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，已知圖象與x軸的兩個交點的橫x1、x2，通常選擇交點式（兩根式）y=a(x-x1)(x-x2)

。yxo確定二次函數(shù)的解析式時，應該根據(jù)條件的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式，課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或10充分利用條件合理選用以上三式例4已知拋物線的頂點為A(-1，-4)，又知它與x軸的兩個交點B、C間的距離為4，求其解析式。yxo····-3

–2

–1

12

·······ABC···5-3-4分析：先求出B、C兩點的坐標，然后選用頂點式或交點式求解。

充分利用條件合理選用以上三式例4已知拋物線的頂點為11應用例5有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．解：設拋物線的解析式為y=ax2＋bx＋c，根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和(40，0)三點可得方程組通過利用給定的條件列出a、b、c的三元一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定函數(shù)的解析式．過程較繁雜，應用例5有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度12設拋物線為y=a(x-20)2＋16

解：根據(jù)題意可知∵點(0，0)在拋物線上，通過利用條件中的頂點和過原點選用頂點式求解，方法比較靈活評價∴所求拋物線解析式為例5

有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．應用設拋物線為y=a(x-20)2＋16解：根據(jù)題意可知通過利13設拋物線為y=ax(x-40）解：根據(jù)題意可知∵點(20，16)在拋物線上，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過程也較簡捷評價例5

有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．應用設拋物線為y=ax(x-40）解：根據(jù)題意可知選用兩根式求14練習：如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A和點B．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；（3）點P（m，m）與點Q均在該函數(shù)圖像上（其中m＞0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到x軸的距離．xyO3

－9－1－1AB圖13解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入得解得∴二次函數(shù)的表達式為．（2）對稱軸為直線x＝2；頂點坐標為（2，-10）．（3）將（m，m）代入，得，解得，∵m＞0，∴不合題意，舍去∴

m=6∵點P與點Q關(guān)于對稱軸x＝2對稱，∴點Q到x軸的距離為6．練習：如圖，已知二次函數(shù)15課堂練習課堂練習16課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三對的對應值，通常選擇一般式已知圖象的頂點坐標、對稱軸、最值和另一個點的坐標通常選擇頂點式已知圖象與x軸的兩個交點的橫x1、x2和另一個點的坐標通常選擇交點式

確定二次函數(shù)的解析式時，應該根據(jù)條件的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式，課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或17一般式：

例1求經(jīng)過有三點A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函數(shù)的解析式.xyo····-3

–2

–1

12

········ABC···5-3

分析：已知一般三點，用待定系數(shù)法設為一般式求其解析式.一般式：例1求經(jīng)過有三點xyo····-3–2–118頂點式：例2已知拋物線的頂點為D(-1，-4)，又經(jīng)過點C(2，5)，求其解析式。xyo····-3

–2

–1

12

········ABC···5-3-4分析：設拋物線的解析式為，再根據(jù)C點坐標求出a的值。頂點式：頂點式：例2已知拋物線的頂點為xyo····-3–2–19交點式：例3已知拋物線與x軸的兩個交點為A(-3，0)、B(1，0)，又經(jīng)過點C(2，5)，求其解析式。xyo····-3

–2

–1

12

········BC···5-3A分析：設拋物線的解析式為，再根據(jù)C點坐標求出a的值。交點式：···交點式：例3已知拋物線與x軸的兩個交xyo····-320充分利用條件合理選用以上三式例4已知拋物線的頂點為A(-1，-4)，又知它與x軸的兩個交點B、C間的距離為4，求其解析式。yxo····-3

–2

–1

12

·······ABC···5-3-4分析：先求出B、C兩點的坐標，然后選用頂點式或交點式求解。

充分利用條件合理選用以上三式例4已知拋物線的頂點為21（南通市）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，當時，其圖象如圖所示。求拋物線的解析式，寫出頂點坐標。245-3ABCxy（南通市）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，22用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式-課件2322.1.4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式九年級上冊22.1.4用待定系數(shù)法九年級上冊24回顧：用待定系數(shù)法求解析式已知一次函數(shù)經(jīng)過點（1，3）和（-2，-12），求這個一次函數(shù)的解析式。解：設這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,因為一次函數(shù)經(jīng)過點（1，3）和（-2，-12），所以k+b=3-2k+b=-12解得k=3，b=-6一次函數(shù)的解析式為y=3x-6.回顧：用待定系數(shù)法求解析式已知一次函數(shù)經(jīng)過點（1，3）和（-25解：設所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此：所求二次函數(shù)是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5例1已知一個二次函數(shù)的圖象過點（－1，10）、（1，4）、（2，7）三點，求這個函數(shù)的解析式.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式解：設所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由已知得：a-b+26求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a，b，c的值。由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個點的坐標）列出關(guān)于a，b，c的方程組，并求出a，b，c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a27解：因為拋物線的頂點為（-1，-3），所以，設所求的二次函數(shù)的解析式為y=a(x＋1)2-3例2已知拋物線的頂點為（－1，－3），與y軸的交點為（0，－5），求拋物線的解析式。因為點（0，-5）在這個拋物線上，所以a-3=-5，解得a=-2故所求的拋物線解析式為y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式設所求的二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k解：因為拋物線的頂點為（-1，-3），所以，設所求的二次函數(shù)28練習：已知拋物線的頂點是（1，2）且過點（2，3)，求出對應的二次函數(shù)解析式練習：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，－3），并且當x=3時有最大值4，求出對應的二次函數(shù)解析式；又過點（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1解：設所求的二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k∵頂點是（1，2）∴y=a(x-1)2+2，∴y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，通常設為頂點式已知條件中的當x=3時有最大值4也就是拋物線的頂點坐標為（3,4），所以設為頂點式較方便y=-7(x-3)2+4也就y=-7x2+42x-59練習：已知拋物線的頂點是（1，2）且過點（2，3)，求出對應29頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù)a≠0).1.若已知拋物線的頂點坐標和拋物線上的另一個點的坐標時，通過設函數(shù)的解析式為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k.2.特別地，當拋物線的頂點為原點是，h=0,k=0,可設函數(shù)的解析式為y=ax2.3.當拋物線的對稱軸為y軸時，h=0,可設函數(shù)的解析式為y=ax2+k.4.當拋物線的頂點在x軸上時，k=0，可設函數(shù)的解析式為y=a(x-h)2.頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù)a≠0).30所以設所求的二次函數(shù)為y=a(x＋1)(x－1)例3

已知拋物線與X軸交于A（－1，0），B（1,0）并經(jīng)過點M（0,1），求拋物線的解析式？又∵點M(0,1)在拋物線上∴a(0+1)(0-1)=1解得：a=-1故所求的拋物線解析式為y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式解：因為拋物線與x軸的交點為A(－1，0)，B(1，0)，所以設所求的二次函數(shù)為y=a(x＋1)(x－1)例3已31交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)a≠0）當拋物線與x軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以轉(zhuǎn)化為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).因此當拋物線與x軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，可設函數(shù)的解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一個點的坐標代入其中，即可解得a，求出拋物線的解析式。

交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).x1和x2分別是拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，這兩個交點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則直線就是拋物線的對稱軸.交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)32課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三對的對應值，通常選擇一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;已知圖象的頂點坐標＊對稱軸和最值）通常選擇頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，已知圖象與x軸的兩個交點的橫x1、x2，通常選擇交點式（兩根式）y=a(x-x1)(x-x2)

。yxo確定二次函數(shù)的解析式時，應該根據(jù)條件的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式，課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或33充分利用條件合理選用以上三式例4已知拋物線的頂點為A(-1，-4)，又知它與x軸的兩個交點B、C間的距離為4，求其解析式。yxo····-3

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·······ABC···5-3-4分析：先求出B、C兩點的坐標，然后選用頂點式或交點式求解。

充分利用條件合理選用以上三式例4已知拋物線的頂點為34應用例5有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．解：設拋物線的解析式為y=ax2＋bx＋c，根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和(40，0)三點可得方程組通過利用給定的條件列出a、b、c的三元一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定函數(shù)的解析式．過程較繁雜，應用例5有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度35設拋物線為y=a(x-20)2＋16

解：根據(jù)題意可知∵點(0，0)在拋物線上，通過利用條件中的頂點和過原點選用頂點式求解，方法比較靈活評價∴所求拋物線解析式為例5

有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．應用設拋物線為y=a(x-20)2＋16解：根據(jù)題意可知通過利36設拋物線為y=ax(x-40）解：根據(jù)題意可知∵點(20，16)在拋物線上，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過程也較簡捷評價例5

有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．應用設拋物線為y=ax(x-40）解：根據(jù)題意可知選用兩根式求37練習：如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A和點B．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；（3）點P（m，m）與點Q均在該函數(shù)圖像上（其中m＞0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到x軸的距離．xyO3

－9－1－1AB圖13解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入得解得∴二次函數(shù)的表達式為．（2）對稱軸為直線x＝2；頂點坐標為（2，-10）．（3）將（m，m）代入，得，解得，∵m＞0，∴不合題意，舍去∴

m=6∵點P與點Q關(guān)于對稱軸x＝2對稱，∴點Q到x軸的距離為6．練習：如圖，已知二次函數(shù)38課堂練習課堂練習39課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三對的對應值，通常選擇一般式已知圖象的頂點坐標、對稱軸、最值和另一個點的坐標通常選擇頂點式已知圖象與x軸的兩個交點的橫x1、x2和另一個點的坐標通常選擇交點式

確定二次函數(shù)的解析式時，應該根據(jù)條件的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式，課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或40一般式：

例1求經(jīng)過有三點A（-2，-3），B（1，0）