高中數(shù)學(xué)(人教A版 選修2-2)Word版活頁訓(xùn)練：1-5-1～3定積分的概念(Word有詳解答案)

1.5定積分的概念1．5.1曲邊梯形的面積1．5.2汽車行駛的路程1．5.3定積分的概念eq\a\vs4\al\co1(雙基達標(biāo)限時20分鐘)1．函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上，()．A．f(x)的值變化很小B．f(x)的值變化很大C．f(x)的值不變化D．當(dāng)n很大時，f(x)的值變化很小解析當(dāng)n很大時，區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))的長度eq\f(1,n)越來越小，f(x)的值變化很小，故選D.答案D2．當(dāng)n很大時，函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上的值可以用下列哪個值近似代替()．A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))D．f(0)解析當(dāng)n很大時，f(x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上的值可用該區(qū)間上任何一點的函數(shù)值近似代替，也可以用左端點或右端點的函數(shù)值近似代替，故選C.答案C3．已知定積分∫60f(x)dx＝8，且f(x)為偶函數(shù)，則∫6－6f(x)d()．A．0B．16C．12D．8解析偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故，故選B.答案B4．如圖所示陰影部分的面積用定積分表示為________．答案5．若，則eq\o(lim,\s\do14(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)eq\f(b－a,n)＝________.解析由定積分的定義可得．答案66．利用定積分定義計算∫10x3dx.解(1)分割：0<eq\f(1,n)<eq\f(2,n)<…<eq\f(n－1,n)<eq\f(n,n)＝1.(2)求和：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))3·eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))3·eq\f(1,n)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n)))3·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))3·eq\f(1,n).(因為x3連續(xù)，所以ξi可隨意取而不影響極限，故我們此處將ξi取為[xi，xi＋1]的右端點也無妨)(3)取極限：eq\o(lim,\s\do14(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,i)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))3·eq\f(1,n)＝eq\o(lim,\s\do14(n→∞))eq\f(1,n4)eq\i\su(i＝1,n,i)3＝eq\o(lim,\s\do14(n→∞))eq\f(1,n4)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝eq\f(1,4).此處用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2，因此∫10x3dx＝eq\f(1,4).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．下列等式成立的是()．解析由定積分的幾何意義，選C.答案C8．下列式子中不成立的是()．解析分析被積函數(shù)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx在各區(qū)間的圖象，由定積分的幾何意義，易得只有C選項不成立，故選C.答案C9．設(shè)f(x)是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則的值為________．解析因為定積分與符號無關(guān)，所以.答案010．利用定積分的幾何意義計算eq\i\in(1,3,)(x＋2)dx的值是________．解析由定積分的幾何意義知eq\i\in(1,3,)(x＋2)dx就是如圖所示陰影部分的面積．答案811．已知汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)＝－t2＋2t(單位：km/h)，求它在1≤t≤2這段時間行駛的路程是多少？解將時間區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))，在第i個時間段的路程近似為Δsi＝veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))Δt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))))·eq\f(1,n)，i＝1,2，…，n.所以sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))))·eq\f(1,n)＝－eq\f(1,n3)[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋eq\f(2,n2)[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＝－eq\f(1,n3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n2n＋14n＋1,6)－\f(nn＋12n＋1,6)))＋eq\f(2,n2)·eq\f(nn＋1＋2n,2)＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,n)))＋eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋3＋eq\f(1,n)，s＝Sn＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,n)))＋eq\f(1,6)1＋eq\f(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋3＋eq\f(1,n)＝eq\f(2,3)，所以這段時間行駛的路程為eq\f(2,3)km.12．(創(chuàng)新拓展)求直線x＝0，x＝2，y＝0與二次函數(shù)曲線f(x)＝4x2＋2x＋1所圍成的曲邊梯形的面積．解(1)分割：將[0,2]n等分，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2i－1,n)，\f(2i,n)))(i＝1,2，…，n)的區(qū)間長度Δx＝eq\f(2,n)，原曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，如圖所示．(2)用feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2i－1,n)))作為第i個小曲邊梯形的高作成小矩形，并用小矩形面積近似替代相應(yīng)小曲邊梯形面積．(3)n個小矩形面積之和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)[eq\f(2i－1,n)]Δx＝eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(16i－12,n2)＋eq\f(4i－1,n)＋1]eq\f(2,n)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,n2)[12＋22＋…＋n－12]＋\f(4,n)[1＋2＋…＋n－1]＋n))eq\f(2,n)＝eq\f(32,n3)·eq\f(1,6)n(n－1)(2n－1)＋eq\f(8,n2)·eq\f(1,2)n(n－1)＋2＝eq\f(16,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,n)))＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＋2(4)所求曲邊梯形面積S＝eq\o(lim,\s\up6(,n→∞))Sn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\v