高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)配套課時訓(xùn)練：第九篇 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與獨立性檢驗(含答案)

第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與獨立性檢驗課時訓(xùn)練練題感提知能【選題明細(xì)表】知識點、方法題號相關(guān)關(guān)系的判定1、14回歸直線2、3、5、7、10、14、15獨立性檢驗8、11綜合應(yīng)用4、6、9、12、13、16A組一、選擇題1.(2013衡水中學(xué)模擬)對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計,獲得以下散點圖,關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較,正確的是(A)(A)r2<r4<0<r3<r1 (B)r4<r2<0<r1<r3(C)r4<r2<0<r3<r1 (D)r2<r4<0<r1<r3解析:由題圖知(1)(3)為正相關(guān),(1)中的點大致集中在一條直線附近,(3)較分散,所以r1>r3>0,又(2)(4)為負(fù)相關(guān)且(2)較集中在直線附近,(4)較分散,所以r2<r4<0.綜上得r2<r4<0<r3<r1.故選A.2.(2013韶關(guān)市調(diào)研)已知回歸直線斜率的估計值為1.23,樣本點的中心為點(4,5),則回歸直線的方程為(C)(A)y＾=1.23x+4 (B)y(C)y＾=1.23x+0.08 (D)y解析:由題意可知回歸直線y＾=1.23x+a過點(4,5),代入解得a=0.08,所以回歸方程為y3.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)表可得回歸方程y＾=b＾x+a＾(A)63.6萬元 (B)65.5萬元(C)67.7萬元 (D)72.0萬元解析:樣本點的中心是(3.5,42),則a＾=y-b＾x所以回歸方程是y＾把x=6代入得y＾故選B.4.設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是變量x和y的n個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖),以下結(jié)論正確的是(A)(A)直線l過點(x,y)(B)x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率(C)x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間(D)當(dāng)n為偶數(shù)時,分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同解析:樣本點的中心(x,y)必在回歸直線上.故選A.5.(2013合肥一中質(zhì)量檢測)某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析,所得數(shù)據(jù)如表:x681012y2356則y對x的線性回歸方程為(C)(A)y＾=2.3x-0.7 (B)y(C)y＾=0.7x-2.3 (D)y解析:由題中表格,x=9,y=4,∑i=14xiyi∴b＾=158-4×9∴回歸直線方程為y＾6.(2013東北三校聯(lián)考)下列說法:①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,方差恒不變;②設(shè)有一個回歸方程y＾③回歸方程y＾=b＾x+a＾必過(x④有一個2×2列聯(lián)表中,由計算得K2=13.079,則有99%的把握確認(rèn)這兩個變量間有關(guān)系.其中錯誤的個數(shù)是(B)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3本題可以參考獨立性檢驗臨界值表:P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635解析:一組數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù),數(shù)據(jù)的平均數(shù)有變化,方差不變(方差是反映數(shù)據(jù)的波動程度的量),①正確;回歸方程中x的系數(shù)具備直線斜率的功能,對于回歸方程y＾=3-5x,當(dāng)x增加一個單位時,y平均減少5個單位,②錯誤;由線性回歸方程的定義知,線性回歸方程y＾=b＾x+a＾必過點(x,y),③正確;因為K二、填空題7.某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進(jìn)行了5次試驗.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如表),由最小二乘法求得回歸方程y＾現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清,請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為.

解析:依題意,x=15×由于直線y＾=0.67x+54.9必過點(x,y于是有y=0.67×30+54.9=75,因此表中的模糊數(shù)據(jù)是75×5-(62+75+81+89)=68.答案:688.為了判斷高中三年級學(xué)生選修文科是否與性別有關(guān),現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生,得到2×2列聯(lián)表:理科文科合計男131023女72027合計203050已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到K2=50×(則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為.

解析:由K2=4.844>3.841.故認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為5%.答案:5%9.(2013濟南三模)某市居民2009～2013年家庭年平均收入x(單位:萬元)與年平均支出Y(單位:萬元)的統(tǒng)計資料如表所示:年份20092010201120122013年平均收入x11.512.11313.315年平均支出Y6.88.89.81012根據(jù)統(tǒng)計資料,居民家庭年平均收入的中位數(shù)是,家庭年平均收入與年平均支出有線性相關(guān)關(guān)系.

解析:5個x值是按從小到大的順序排列的,因此居民家庭年平均收入的中位數(shù)是13萬元.以家庭年平均收入x作為x軸,年平均支出Y作為y軸,描點得到散點圖如圖所示:觀察散點圖可知,這些點大致分布在一條直線的附近,且總體呈上升趨勢,因此家庭年平均收入與年平均支出有正線性相關(guān)關(guān)系.答案:13萬元正10.某工廠經(jīng)過技術(shù)改造后,降低了能源消耗,經(jīng)統(tǒng)計該廠某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位:噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位:噸)有如下幾組樣本數(shù)據(jù):x3456y2.5344.5根據(jù)相關(guān)性檢驗,這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系,通過線性回歸分析,求得回歸直線的斜率為0.7.已知該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為10噸,則該工廠每年的生產(chǎn)能耗大約為噸.

解析:由題知,x=3+4+5+64=4.5,y=2.5+3+4+4.53.5=0.7×4.5+a＾,解得a＾=0.35,故回歸方程為y＾=0.7x+0.35,所以當(dāng)x=10時,y答案:7.35三、解答題11.(2013湛江高考測試(二))某市甲、乙兩個學(xué)校高二年級學(xué)生分別有1100人和1000人,為了解這兩校全體高二年級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績情況,采用分層抽樣方法從兩所學(xué)校共抽取了105名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,并得到成績頻數(shù)分布表如下,規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀.甲校:分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻數(shù)231015分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)15x31乙校:分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻數(shù)1298分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)1010y3(1)求表中x與y的值;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表,問是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)?甲校乙?？傆媰?yōu)秀非優(yōu)秀總計解:(1)由分層抽樣可知,甲校抽取105×11002100所以x=6,y=7.(2)甲校乙?？傆媰?yōu)秀102030非優(yōu)秀453075總計5550105K2=105×(所以沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān).12.(2013年高考重慶卷)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得∑i=110xi=80,∑i=110yi=20,∑i(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a;(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.附:線性回歸方程y=bx+a中,b=∑i=1nxi其中x-,y-為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為y＾=b解:(1)由題意知n=10,x=8,y=2,又∑i=1nxi2-n∑i=1nxiyi-nx-y由此得b=∑i=1na=y-bx=2-0.3×8=-0.4,故所求回歸方程為y=0.3x-0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b=0.3>0),故x與y之間是正相關(guān).(3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y=0.3×7-0.4=1.7(千元).13.(2013大連一模)某工廠用甲、乙兩種不同工藝生產(chǎn)一大批同一種零件,零件尺寸均在[21.7,22.3](單位:cm)之間,把零件尺寸在[21.9,22.1)的記為一等品,尺寸在[21.8,21.9)∪[22.1,22.2)的記為二等品,尺寸在[21.7,21.8)∪[22.2,22.3]的記為三等品,現(xiàn)從甲、乙工藝生產(chǎn)的零件中各隨機抽取100件產(chǎn)品,所得零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示:(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表,根據(jù)此數(shù)據(jù)你是否有95%的把握認(rèn)為選擇不同的工藝與生產(chǎn)出一等品有關(guān)?甲工藝乙工藝合計一等品非一等品合計P(K2≥k0)0.050.01k03.8416.635(2)若一等品、二等品、三等品的單件利潤分別為30元、20元、15元,求出上述甲工藝所抽取的100件產(chǎn)品的單件利潤的平均數(shù).解:(1)2×2列聯(lián)表如表:甲工藝乙工藝合計一等品5060110非一等品504090合計100100200K2=200×(所以沒有95%的把握認(rèn)為選擇不同的工藝與生產(chǎn)出一等品有關(guān).(2)甲工藝抽取的100件產(chǎn)品中,一等品有50件,二等品有30件,三等品有20件,所以這100件產(chǎn)品單件利潤的平均數(shù)為1100(50×30+30×20+20×B組14.(2013年高考福建卷)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表:x123456y021334假設(shè)根據(jù)如表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y＾=b＾x+(A)b＾>b',a＾>a' (B)b＾>b',(C)b＾<b',a＾>a' (D)b＾<b',解析:由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求b'=2-a'=0-2×1=-2.利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù),可求得b＾=∑i=16xa＾=y-b＾x=136-57所以b＾<b',a＾>a15.已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)如表:x23456y34689對于表中數(shù)據(jù),現(xiàn)給出如下擬合直線:①y=x+1;②y=2x-1;③y=85x-25;④y=32x.則根據(jù)最小二乘法的思想求得擬合程度最好的直線是解析:由題意知x=4,y=6,∴b＾=∑i=1∴a＾=y-b＾x∴y＾=85x-∴填③.答案:③16.(2013韶關(guān)市高考模擬)以下四個命題:①在一次試卷分析中,從每個試室中抽取第5號考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計,這種抽樣方法是簡單隨機抽樣;②樣本數(shù)據(jù):3,4,5,6,7的方差為2;③對于相關(guān)系數(shù)r,|r|越接近1,則線性相關(guān)程度越強;④通過隨機詢問110名性別不同的行人,對過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:男女總計走天橋402060走斑馬線203050總計6050110由K2=n=110≈7.8.則有99%以上的