雙曲線題型分類綜合講義- 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選修2-1

第第頁(yè)雙曲線題型分類綜合講義一、知識(shí)梳理1.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2(|F1F2|＝2c＞0)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：(1)若a<c，則集合P為雙曲線；(2)若a＝c，則集合P為兩條射線；(3)若a>c，則集合P為空集.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2知識(shí)拓展：1、通經(jīng)：過(guò)雙曲線焦點(diǎn)作垂直于虛軸的直線，交雙曲線于、兩點(diǎn)，稱線段為雙曲線的通徑，且.2、漸近線雙曲線的漸近線為，即，或.①與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可以設(shè)為；②漸近線為的雙曲線方程可以設(shè)為；③共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.共軛雙曲線具有相同的漸近線.④等軸雙曲線：實(shí)軸與虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線.⑤離心率：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).3、焦半徑雙曲線上任意一點(diǎn)到雙曲線焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑.若為雙曲線上的任意一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，，其中.4、焦點(diǎn)三角形為雙曲線上的任意一點(diǎn)，，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形.若，則焦點(diǎn)三角形的面積為：.5、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線，雙曲線：，則與相交；與相切；與相離.6、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（虛半軸長(zhǎng)）.7、平行于（不重合）漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).【注】過(guò)平面內(nèi)一定點(diǎn)作直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線可以為4條、3條、2條，或者0條.8、雙曲線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)為雙曲線上的任意兩點(diǎn)，且，則.【推廣1】直線過(guò)雙曲線的中心，與雙曲線交于兩點(diǎn)，為雙曲線上的任意一點(diǎn)，則（均存在）.【推廣2】設(shè)直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則.9、焦點(diǎn)弦焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：(為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角)，通徑：(最短焦點(diǎn)弦)。焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成兩部分，則(定值)(取通徑即可)。焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為兩段、,，則有(為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角)?！鶊A錐曲線中簡(jiǎn)答題中已知(為直線與曲線兩交點(diǎn)。)條件時(shí)，答題模板。步驟1：設(shè)(或?qū)懗?直線的方程；步驟2：直線方程與曲線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程(如果P為x軸上的點(diǎn)，則整理成關(guān)于y的一元二次方程，反之整理成關(guān)于x的一元二次方程。)；步驟3：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系；步驟4：利用，找(或)的關(guān)系，代入根與系數(shù)的關(guān)系中，消去(或)，建立關(guān)于參數(shù)的方程。10、已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.11、已知雙曲線的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)任作一直線與雙曲線左支相交于兩點(diǎn)，且為定值，則的周長(zhǎng)為。12、過(guò)橢圓的焦點(diǎn)任作一弦，則過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)任作一弦，則過(guò)拋物線的焦點(diǎn)任作一弦，則二、經(jīng)典題型題型一：雙曲線的概念及方程1、寫(xiě)出下列雙曲線頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，離心率和漸近線方程。2、動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)、滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．雙曲線的漸近線方程為，焦距為，這雙曲線的方程為_(kāi)________.若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是_________.5、到兩定點(diǎn)．的距離之差的絕對(duì)值等于的點(diǎn)的軌跡（）A．橢圓 B．線段 C．雙曲線 D．兩條射線6、雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，則雙曲線的方程為_(kāi)____________．7、經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________，漸近線方程為_(kāi)________．8、離心率為，且與雙曲線有公共焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．9、若雙曲線的漸近線方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是______．10、雙曲線的左、右焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)，則雙曲線的方程是______________；它的漸近線的方程是__________．11、已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)___________.12、已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.13、已知?jiǎng)訄A與兩個(gè)定圓和都外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.14、的頂點(diǎn)為,，的內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)的軌跡方程是_________.15、已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程.題型二：雙曲線的性質(zhì)1、雙曲線的兩條漸近線的夾角為_(kāi)________.2、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則等于（）A．B． C． D．3、設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則（）A．1或5 B．6 C．7 D．94、設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的同支于兩點(diǎn)，如果，則的周長(zhǎng)的最大值是（）．A．B．C．D．5、設(shè)、為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上滿足，則的面積是（）Ａ．1Ｂ．Ｃ．2Ｄ．6、已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則到軸的距離為（）A． B． C． D．7、如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與左支交于兩點(diǎn)，若且實(shí)軸長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為．8、雙曲線的兩焦點(diǎn)為，若雙曲線上一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到軸的距離為9、已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．10、是雙曲線的右支上一點(diǎn)，、分別是圓：和：上的點(diǎn)，則的最大值為．11、設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),若點(diǎn)在雙曲線上，且，則=_________.12、已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為()A.eq\r(2) B.2 C.eq\f(3\r(2),2) D.2eq\r(2)13、已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(3,2)，過(guò)右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為M.若△FOM的面積為eq\r(5)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的方程為()A.x2－eq\f(4y2,5)＝1 B.eq\f(x2,2)－eq\f(2y2,5)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝114、已知F2，F(xiàn)1是雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)B，A，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為()A.y＝±eq\r(2)x B.y＝±eq\f(\r(2),2)xC.y＝±eq\r(6)x D.y＝±eq\f(\r(6),6)x15、過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的弦，則（為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)為_(kāi)________.16、如圖，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過(guò)點(diǎn)F1且與雙曲線C的一條漸近線垂直，與兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，若|NF1|＝2|MF1|，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(\r(3),3)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x題型三：離心率1、若雙曲線的離心率為2，則等于（）A．2 B． C． D．12、設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，使且，則雙曲線的離心率等于（）A．B．C． D．3、設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．4、雙曲線的離心率，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5、設(shè)是等腰三角形，，則以，為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6、雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．7、已知點(diǎn)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若為銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8、雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過(guò)作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9、設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 （）A． B．2 C． D．10、已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，若，則雙曲線的離心率等于（）A．B．C． D．11、直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，斜率k=2.若與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是（）A.e>B.1<e<C.1<e<D.e>12、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為，直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．13、以雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)上一點(diǎn)M為圓心作圓，該圓與x軸相切于C的一個(gè)焦點(diǎn)，與y軸交于P，Q兩點(diǎn)．若△MPQ為正三角形，則該雙曲線的離心率等于()A．B．C．2D．14、已知（1）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，且，若的中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，則雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．15、設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與雙曲線在第一、三象限的漸近線的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為（）A．B．2C．D．16、已知點(diǎn)分別為雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，有，則該雙曲線的離心率為()A．B．C．2D．17、已知點(diǎn)、分別是雙曲線：的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A．2B．4C．D．18、已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的左支上，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．19、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．20、已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為，若，，且為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．21、如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq\f(π,3)，則C1與C2的離心率之和為()A．2eq\r(3)B．4C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)題型四：最值與范圍問(wèn)題1、設(shè)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|＋|AF2|的最小值為_(kāi)_______．2、已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是A.B. C. D.3、已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))4、已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為．