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實變函數(shù)論主要知識點(diǎn)第一章集合集合的并、交、差運(yùn)算;余集和DeMorgan公式;上極限和下極限;練習(xí):①證明;②證明;對等與基數(shù)的定義及性質(zhì);練習(xí):①證明;②證明;可數(shù)集的定義與常見的例;性質(zhì)“有限個可數(shù)集合的直積是可數(shù)集合”與應(yīng)用;可數(shù)集合的基數(shù);練習(xí):①證明直線上增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)最多只有可數(shù)多個;②證明平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體所成的集合為一可數(shù)集;③;④[0,1]中有理數(shù)集的相關(guān)結(jié)論;不可數(shù)集合、連續(xù)基數(shù)的定義及性質(zhì);練習(xí):①;②(P為Cantor集);第二章點(diǎn)集度量空間,n維歐氏空間中有關(guān)概念度量空間(MetricSpace),在數(shù)學(xué)中是指一個集合,并且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。n維歐氏空間:設(shè)V是實數(shù)域R上的線性空間(或稱為向量空間),若V上定義著正定對稱雙線性型g(g稱為內(nèi)積),則V稱為(對于g的)內(nèi)積空間或歐幾里德空間(有時僅當(dāng)V是有限維時,才稱為歐幾里德空間)。具體來說,g是V上的二元實值函數(shù),滿足如下關(guān)系:(1)g(x,y)=g(y,x);(2)g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z);(3)g(kx,y)=kg(x,y);(4)g(x,x)>=0,而且g(x,x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時成立。這里x,y,z是V中任意向量,k是任意實數(shù)。,聚點(diǎn)、界點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)的概念、性質(zhì)及判定(求法);開核,導(dǎo)集,閉包的概念、性質(zhì)及判定(求法);聚點(diǎn):有點(diǎn)集E,若在復(fù)平面上的一點(diǎn)z的任意鄰域都有E的無窮多個點(diǎn),則稱z為E的聚點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn):如果存在點(diǎn)P的某個鄰域U(P)∈E,則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)。3、開集、閉集、完備集的概念、性質(zhì);直線上開集的構(gòu)造;4、Cantor集的構(gòu)造和性質(zhì);5、練習(xí):①,,;②=;第三章測度論外測度的定義和基本性質(zhì)(非負(fù)性,單調(diào)性,次可數(shù)可加性);可測集的定義與性質(zhì)(可測集類關(guān)于可數(shù)并,可數(shù)交,差,余集,單調(diào)集列的極限運(yùn)算封閉);可數(shù)可加性(注意條件);零測度集的例子和性質(zhì);可測集的例子和性質(zhì);練習(xí):①,;②零測度集的任何子集仍為零測度集;③有限或可數(shù)個零測度集之和仍為零測度集;④[0,1]中有理數(shù)集的相關(guān)結(jié)論;5、存在不可測集合;第四章可測函數(shù)1、可測函數(shù)的定義,不可測函數(shù)的例子;練習(xí):①第四章習(xí)題3;2、可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系;可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系(魯津定理);3、葉果洛夫定理及其逆定理;練習(xí):①第四章習(xí)題7;4、依測度收斂的定義、簡單的證明;5、具體函數(shù)列依測度收斂的驗證;6、依測度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系,兩者互不包含的例子;第五章積分論1、非負(fù)簡單函數(shù)L積分的定義;練習(xí):①Direchlet函數(shù)在上的L積分2、可測函數(shù)L積分的定義(積分確定;可積);基本性質(zhì)(§5.4定理1和定理2諸條);3、Lebesgue控制收斂定理的內(nèi)容和簡單應(yīng)用;4、L積分的絕對連續(xù)性和可數(shù)可加性(了解);5、Riemann可積的充要條件;練習(xí):①上的Direchlet函數(shù)不是R-可積的;6、Lebesgue可積的充要條件:若是可測集合上的有界函數(shù),則在上L-可積在上可測;練習(xí):①上的Direchlet函數(shù)是L-可積的;②設(shè),則在上是否可積,是否可積,若可積,求出積分值。例1、求由曲線所圍圖形公共部分的面積解:兩曲線的交點(diǎn)+例2.邊長為a和b(a>b)的矩形薄片斜置
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