數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)

關(guān)于數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，首先可通過(guò)該序列的時(shí)間路徑圖來(lái)粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過(guò)程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)一步的判斷:

檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形

隨著滯后階數(shù)的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來(lái)看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日例1

從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動(dòng)且逐漸收斂于0。因此，初步判斷，該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。

第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日例2：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時(shí)間的推移，則在0附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨勢(shì)。因此，初步判斷，該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)是非平穩(wěn)過(guò)程。

第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性除了通過(guò)圖形直觀判斷外，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則是更為準(zhǔn)確與重要的。

單位根檢驗(yàn)（unitroottest）是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。1、DF檢驗(yàn)我們已知道，隨機(jī)游走序列

Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型

Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形。第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日也就是說(shuō)，我們對(duì)式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說(shuō)隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過(guò)（**）式判斷是否有

=0。第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

一般地:

檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型

Xt=+Xt-1+t（*）中的參數(shù)是否小于1。

或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數(shù)是否小于0。

第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日因此，針對(duì)式Xt=+Xt-1+t

我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)H0：=0。

備擇假設(shè)H1：<0

上述檢驗(yàn)可通過(guò)OLS法下的t檢驗(yàn)完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗(yàn)無(wú)法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見表）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

因此，可通過(guò)OLS法估計(jì)

Xt=+Xt-1+t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，則拒絕ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

進(jìn)一步的問(wèn)題：在上述使用Xt=+Xt-1+t對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過(guò)程AR(1)生成的。但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過(guò)程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無(wú)效。另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問(wèn)題。為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗(yàn)。

2、ADF檢驗(yàn)第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日ADF檢驗(yàn)是通過(guò)下面三個(gè)模型完成的：

模型3中的t是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。

檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)H1:<0,檢驗(yàn)H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時(shí)檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時(shí)檢驗(yàn)停止。否則，就要繼續(xù)檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)完模型1為止。

檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對(duì)模型1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有各自相應(yīng)的臨界值。第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過(guò)ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)過(guò)程：第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

隨機(jī)游走序列

Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價(jià)地變形為

Xt=t

由于t是一個(gè)白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩(wěn)的。⒈單整第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如一些價(jià)格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過(guò)一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時(shí)間序列，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

⒉趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì)，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時(shí)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒有任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國(guó)的勞動(dòng)力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美國(guó)GDP時(shí)間序列作回歸，會(huì)得到較高的R2

，但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過(guò)它們有共同的趨勢(shì)罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢(shì)變量的時(shí)間，這樣包含有時(shí)間趨勢(shì)變量的回歸，可以消除這種趨勢(shì)性的影響。

然而這種做法，只有當(dāng)趨勢(shì)性變量是確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic），才會(huì)是有效的。換言之，如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過(guò)引入表示這一確定性趨勢(shì)的趨勢(shì)變量，而將確定性趨勢(shì)分離出來(lái)。第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機(jī)游走過(guò)程：

Xt=+Xt-1+t

（**）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為隨機(jī)性趨勢(shì)（stochastictrend）。

2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時(shí)間趨勢(shì)的隨機(jī)變化過(guò)程：

Xt=+t+t

（***）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為確定性趨勢(shì)（deterministictrend）。

考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過(guò)程：

Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時(shí)間趨勢(shì)。第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日3)如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機(jī)性兩種趨勢(shì)。

判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，它的趨勢(shì)是隨機(jī)性的還是確定性的，可通過(guò)ADF檢驗(yàn)中所用的第3個(gè)模型進(jìn)行。該模型中已引入了表示確定性趨勢(shì)的時(shí)間變量t，即分離出了確定性趨勢(shì)的影響。因此，(1)如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)不顯著異于零，則該序列顯示出隨機(jī)性趨勢(shì);

(2)如果沒有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著地異于零，