2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何85垂課件

8.5

垂直關(guān)系8.5垂直關(guān)系知識梳理雙基自測231自測點(diǎn)評451.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何

一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個平面垂直.

知識梳理雙基自測231自測點(diǎn)評451.直線與平面垂直知識梳理雙基自測231自測點(diǎn)評45(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理雙基自測231自測點(diǎn)評45(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231452.直線與平面的夾角平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的投影的夾角叫該直線與此平面的夾角,角的范圍是

.知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231452.直線與平面的夾角知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231453.二面角的有關(guān)概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面

所組成的圖形叫二面角.

(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于

棱的兩條射線,這兩射線所成的角叫二面角的平面角.

知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231453.二面角的有關(guān)概念知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231454.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義:兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角

,就說這兩個平面互相垂直.

知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231454.平面與平面垂直知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評23145(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評23145(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231455.常用結(jié)論(1)線面平行或垂直的有關(guān)結(jié)論①若兩平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.②若一條直線垂直于一個平面,則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).③垂直于同一條直線的兩個平面平行.④一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這一條直線與另一個平面也垂直.⑤兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.(2)證明線面垂直時,易忽視平面內(nèi)兩條線為相交線這一條件.知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231455.常用結(jié)論2知識梳理雙基自測3415自測點(diǎn)評1.下列結(jié)論正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)已知直線a,b,c;若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(

)(2)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.(

)(3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α是一個平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(

)(4)若兩平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(

)(5)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線,則α⊥β.(

)答案答案關(guān)閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×2知識梳理雙基自測3415自測點(diǎn)評1.下列結(jié)論正確的畫“√”知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234152.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是(

)A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1答案解析解析關(guān)閉由題易知,A1C1⊥平面BB1D1D,又OB1?平面DD1B1B,所以A1C1⊥B1O.答案解析關(guān)閉D知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234152.如圖,O為正方體ABC知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234153.將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體A-BCD(如圖2),則在空間四面體A-BCD中,AD與BC的位置關(guān)系是(

)圖1 圖2A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.異面且垂直 D.異面但不垂直答案解析解析關(guān)閉在題圖1中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則AD⊥BC,翻折后如題圖2,AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段與AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.答案解析關(guān)閉C知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234153.將圖1中的等腰直角三角知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234154.P為△ABC所在平面外一點(diǎn),O為P在平面ABC內(nèi)的射影.(1)若P到△ABC三邊距離相等,且O在△ABC的內(nèi)部,則O是△ABC的

心;

(2)若PA⊥BC,PB⊥AC,則O是△ABC的

心;

(3)若PA,PB,PC與底面所成的角相等,則O是△ABC的

心.

答案解析解析關(guān)閉(1)P到△ABC三邊距離相等,且O在△ABC的內(nèi)部,可知O到△ABC三邊距離相等,即O是△ABC的內(nèi)心;(2)由PO⊥平面ABC且BC?平面ABC,得PO⊥BC,又PA⊥BC,PO與PA是平面POA內(nèi)兩條相交直線,所以BC⊥平面POA,從而BC⊥AO.同理AC⊥BO,所以O(shè)是△ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC與底面所成的角相等,易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,從而OA=OB=OC,所以O(shè)是△ABC的外心.答案解析關(guān)閉(1)內(nèi)

(2)垂

(3)外知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234154.P為△ABC所在平面外知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234155.如圖,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上一點(diǎn),AE⊥PC,AF⊥PB,給出下列結(jié)論:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命題的序號是

.

答案解析解析關(guān)閉①因?yàn)锳E?平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正確;②因?yàn)锳E⊥PC,AE⊥BC,PB?平面PBC,所以AE⊥PB,又AF⊥PB,EF?平面AEF,所以EF⊥PB,故②正確;③因?yàn)锳F⊥PB,若AF⊥BC,則AF⊥平面PBC,則AF∥AE,與已知矛盾,故③錯誤;由①可知④正確.答案解析關(guān)閉①②④知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234155.如圖,PA⊥☉O所在平知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評1.在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,還有可能異面、相交等.2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理,不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,就垂直于這個平面”.3.判斷線面關(guān)系時最容易漏掉線在面內(nèi)的情況.知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評1.在空間中垂直于同一直線的兩條直線考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1(2016浙江,文18)如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF⊥平面ACFD;(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.思考證明線面垂直的常用方法有哪些?

考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明

延長AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因?yàn)镋F∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明延長AD,BE,CF相交于一點(diǎn)考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理;三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面).2.解題時,注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化;另外,在證明線線垂直時,要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.證明線面垂直的方法:一是線面垂考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱C1D1的中點(diǎn),F為棱BC的中點(diǎn).(1)求證:AE⊥DA1;(2)在線段AA1上求一點(diǎn)G,使得AE⊥平面DFG.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在正方體ABCD-A1B1(1)證明

連接AD1,BC1.由正方體的性質(zhì)可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面ABC1D1.∵AE?平面ABC1D1,∴DA1⊥AE.(2)解

所求G點(diǎn)即為A1點(diǎn),證明如下:由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中點(diǎn)H,連接AH,EH,由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可得DF⊥平面AHE.∵AE?平面AHE,∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D,∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明連接AD1,BC1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.思考證明面面垂直的常用方法有哪些?考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情形.2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,即證明線面垂直.3.平面和平面垂直的判定定理的兩個條件:l?α,l⊥β,缺一不可.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.兩個平面互相垂直是兩個平面相交考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E,F分別是BC,CC1的中點(diǎn).證明:平面AEF⊥平面B1BCC1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,直三棱柱ABC-A1B1C考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明

如圖,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.因此,AE⊥平面B1BCC1.而AE?平面AEF,所以,平面AEF⊥平面B1BCC1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明如圖,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向一

平行與垂直關(guān)系的證明例3(2016江蘇,16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.思考處理平行與垂直關(guān)系的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是什么?考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向一平行與垂直關(guān)系的證明考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明

(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因?yàn)镈E?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因?yàn)锳1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因?yàn)锽1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二

探索性問題中的平行與垂直關(guān)系例4如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=45°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),且

點(diǎn)F為PD中點(diǎn).(1)若k=,求證:直線AF∥平面PEC;(2)是否存在一個常數(shù)k,使得平面PED⊥平面PAB?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.思考探索性問題的一般處理方法是什么?考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二探索性問題中的平行與垂直關(guān)系考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3又∵∠DAB=45°,∴AB⊥DE.又∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AB.又∵PD∩DE=D,∴AB⊥平面PDE.∵AB?平面PAB,∴平面PED⊥平面PAB.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3又∵∠DAB=45°,∴AB⊥DE.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向三

折疊問題中的平行與垂直關(guān)系例5(2016全國甲卷,文19)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';思考折疊問題的處理關(guān)鍵是什么?考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向三折疊問題中的平行與垂直關(guān)系考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的主要數(shù)學(xué)思想和處理策略:(1)處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化,要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化.(2)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明,探索點(diǎn)的存在問題,點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中的某一個,也可以根據(jù)相似知識找點(diǎn).(3)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系,尤其是隱含著的垂直關(guān)系.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的主要數(shù)學(xué)考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練3如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D為AC的中點(diǎn),AE⊥BD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D),延長AE交BC于點(diǎn)F,將△ABD沿BD折起,得到三棱錐A1-BCD,如圖2所示.圖1 圖2(1)若M是FC的中點(diǎn),求證:直線DM∥平面A1EF;(2)求證:BD⊥A1F.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練3如圖1,在Rt△ABC中,∠AB考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明

(1)因?yàn)镈,M分別為AC,FC的中點(diǎn),所以DM∥EF.又EF?平面A1EF,DM?平面A1EF,所以DM∥平面A1EF.(2)因?yàn)锳1E⊥BD,EF⊥BD且A1E∩EF=E,所以BD⊥平面A1EF.又A1F?平面A1EF,所以BD⊥A1F.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明(1)因?yàn)镈,M分別為AC,FC的中考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化2.在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化.2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注審題答題指導(dǎo)——立體幾何問題的審題技巧與解題步驟在高考數(shù)學(xué)試題中,問題的條件以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中給出的題目較多,因此在審題時,要善于觀察圖形,洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢,抓住圖形的特征,利用圖形所提供信息來解決問題.審題答題指導(dǎo)——立體幾何問題的審題技巧典例(12分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點(diǎn),求證:(1)直線BC1∥平面EFPQ;(2)直線AC1⊥平面PQMN.典例審題要點(diǎn)解題流程:第(1)問審題要點(diǎn)解題流程:解題步驟第一步:由圖形特征(正方體、中位線)推證AD1∥BC1,FP∥AD1,從而證FP∥BC1,可得結(jié)論.第二步:利用圖形特征A1C1⊥B1D1及AA1⊥平面A1B1C1D1推證B1D1⊥平面ACC1,從而得AC1⊥B1D1.第三步:利用平行性證明MN⊥AC1,同理PN⊥AC1,可證AC1⊥平面PQMN.證明(1)連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AD1∥BC1,因?yàn)镕,P分別是AD,DD1的中點(diǎn),所以FP∥AD1.從而BC1∥FP.(3分)而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,故直線BC1∥平面EFPQ.(4分)解題步驟第一步:由圖形特征(正方體、中位線)推證AD1∥BC(2)證明:連接A1C1,B1D1.由正方體性質(zhì)得,AA1⊥平面A1C1,∴AA1⊥MN.(6分)又MN∥B1D1,B1D1⊥A1C1,∴MN⊥A1C1,(8分)∴MN⊥平面AA1C1,∴MN⊥AC1.(10分)同理PN⊥AC1,∴AC1⊥平面MNPQ.(12分)失分警示1.易漏線面平行判定定理中的條件,導(dǎo)致失分.2.易漏“面內(nèi)相交線”這一條件,導(dǎo)致判定線面垂直失誤丟分.(2)證明:連接A1C1,B1D1.8.5

垂直關(guān)系8.5垂直關(guān)系知識梳理雙基自測231自測點(diǎn)評451.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何

一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個平面垂直.

知識梳理雙基自測231自測點(diǎn)評451.直線與平面垂直知識梳理雙基自測231自測點(diǎn)評45(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理雙基自測231自測點(diǎn)評45(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231452.直線與平面的夾角平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的投影的夾角叫該直線與此平面的夾角,角的范圍是

.知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231452.直線與平面的夾角知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231453.二面角的有關(guān)概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面

所組成的圖形叫二面角.

(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于

棱的兩條射線,這兩射線所成的角叫二面角的平面角.

知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231453.二面角的有關(guān)概念知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231454.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義:兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角

,就說這兩個平面互相垂直.

知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231454.平面與平面垂直知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評23145(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評23145(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231455.常用結(jié)論(1)線面平行或垂直的有關(guān)結(jié)論①若兩平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.②若一條直線垂直于一個平面,則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).③垂直于同一條直線的兩個平面平行.④一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這一條直線與另一個平面也垂直.⑤兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.(2)證明線面垂直時,易忽視平面內(nèi)兩條線為相交線這一條件.知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評231455.常用結(jié)論2知識梳理雙基自測3415自測點(diǎn)評1.下列結(jié)論正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)已知直線a,b,c;若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(

)(2)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.(

)(3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α是一個平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(

)(4)若兩平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(

)(5)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線,則α⊥β.(

)答案答案關(guān)閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×2知識梳理雙基自測3415自測點(diǎn)評1.下列結(jié)論正確的畫“√”知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234152.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是(

)A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1答案解析解析關(guān)閉由題易知,A1C1⊥平面BB1D1D,又OB1?平面DD1B1B,所以A1C1⊥B1O.答案解析關(guān)閉D知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234152.如圖,O為正方體ABC知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234153.將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體A-BCD(如圖2),則在空間四面體A-BCD中,AD與BC的位置關(guān)系是(

)圖1 圖2A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.異面且垂直 D.異面但不垂直答案解析解析關(guān)閉在題圖1中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則AD⊥BC,翻折后如題圖2,AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段與AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.答案解析關(guān)閉C知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234153.將圖1中的等腰直角三角知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234154.P為△ABC所在平面外一點(diǎn),O為P在平面ABC內(nèi)的射影.(1)若P到△ABC三邊距離相等,且O在△ABC的內(nèi)部,則O是△ABC的

心;

(2)若PA⊥BC,PB⊥AC,則O是△ABC的

心;

(3)若PA,PB,PC與底面所成的角相等,則O是△ABC的

心.

答案解析解析關(guān)閉(1)P到△ABC三邊距離相等,且O在△ABC的內(nèi)部,可知O到△ABC三邊距離相等,即O是△ABC的內(nèi)心;(2)由PO⊥平面ABC且BC?平面ABC,得PO⊥BC,又PA⊥BC,PO與PA是平面POA內(nèi)兩條相交直線,所以BC⊥平面POA,從而BC⊥AO.同理AC⊥BO,所以O(shè)是△ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC與底面所成的角相等,易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,從而OA=OB=OC,所以O(shè)是△ABC的外心.答案解析關(guān)閉(1)內(nèi)

(2)垂

(3)外知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234154.P為△ABC所在平面外知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234155.如圖,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上一點(diǎn),AE⊥PC,AF⊥PB,給出下列結(jié)論:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命題的序號是

.

答案解析解析關(guān)閉①因?yàn)锳E?平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正確;②因?yàn)锳E⊥PC,AE⊥BC,PB?平面PBC,所以AE⊥PB,又AF⊥PB,EF?平面AEF,所以EF⊥PB,故②正確;③因?yàn)锳F⊥PB,若AF⊥BC,則AF⊥平面PBC,則AF∥AE,與已知矛盾,故③錯誤;由①可知④正確.答案解析關(guān)閉①②④知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234155.如圖,PA⊥☉O所在平知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評1.在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,還有可能異面、相交等.2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理,不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,就垂直于這個平面”.3.判斷線面關(guān)系時最容易漏掉線在面內(nèi)的情況.知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評1.在空間中垂直于同一直線的兩條直線考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1(2016浙江,文18)如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF⊥平面ACFD;(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.思考證明線面垂直的常用方法有哪些?

考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明

延長AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因?yàn)镋F∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明延長AD,BE,CF相交于一點(diǎn)考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理;三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面).2.解題時,注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化;另外,在證明線線垂直時,要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.證明線面垂直的方法:一是線面垂考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱C1D1的中點(diǎn),F為棱BC的中點(diǎn).(1)求證:AE⊥DA1;(2)在線段AA1上求一點(diǎn)G,使得AE⊥平面DFG.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在正方體ABCD-A1B1(1)證明

連接AD1,BC1.由正方體的性質(zhì)可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面ABC1D1.∵AE?平面ABC1D1,∴DA1⊥AE.(2)解

所求G點(diǎn)即為A1點(diǎn),證明如下:由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中點(diǎn)H,連接AH,EH,由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可得DF⊥平面AHE.∵AE?平面AHE,∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D,∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明連接AD1,BC1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.思考證明面面垂直的常用方法有哪些?考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情形.2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,即證明線面垂直.3.平面和平面垂直的判定定理的兩個條件:l?α,l⊥β,缺一不可.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.兩個平面互相垂直是兩個平面相交考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E,F分別是BC,CC1的中點(diǎn).證明:平面AEF⊥平面B1BCC1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,直三棱柱ABC-A1B1C考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明

如圖,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.因此,AE⊥平面B1BCC1.而AE?平面AEF,所以,平面AEF⊥平面B1BCC1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明如圖,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向一

平行與垂直關(guān)系的證明例3(2016江蘇,16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.思考處理平行與垂直關(guān)系的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是什么?考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向一平行與垂直關(guān)系的證明考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明

(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因?yàn)镈E?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因?yàn)锳1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因?yàn)锽1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二

探索性問題中的平行與垂直關(guān)系例4如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=45°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),且

點(diǎn)F為PD中點(diǎn).(1)若k=,求證:直線AF∥平面PEC;(2)是否存在一個常數(shù)k,使得平面PED⊥平面PAB?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.思考探索性問題的一般處理方法是什么?考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二探索性問題中的平行與垂直關(guān)系考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3又∵∠DAB=45°,∴AB⊥DE.又∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AB.又∵PD∩DE=D,∴AB⊥平面PDE.∵AB?平面PAB,∴平面PED⊥平面PAB.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3又∵∠DAB=45°,∴AB⊥DE.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向三

折疊問題中的平行與垂直關(guān)系例5(2016全國甲卷,文19)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';思考折疊問題的處理關(guān)鍵是什么?考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向三折疊問題中的平行與垂直關(guān)系考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的主要數(shù)學(xué)思想和處理策略:(1)處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化,要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化.(2)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明,探索點(diǎn)的存在問題,點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中的某一個,也可以根據(jù)相似知識找點(diǎn).(3)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系,尤其是隱含著的垂直關(guān)系.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的主要數(shù)學(xué)考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練3如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D為AC的中點(diǎn),AE⊥BD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D),延長AE交BC于點(diǎn)F,將△ABD沿BD折起,得