激光原理第二章-華中科技大學(xué)課件

第二章光線的傳播及高斯光束第二章光線的傳播及高斯光束1第二章光線的傳播及高斯光束2.1光線傳播光線矩陣透鏡波導(dǎo)光線在反射鏡間的傳播光線在類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2光束傳播2.3高斯光束的變換第二章光線的傳播及高斯光束2.1光線傳播22.1光線的傳播光線？幾個前提幾何光學(xué)意義上的光線—λ→0近軸光線近似光學(xué)元件繞光軸旋轉(zhuǎn)對稱均勻介質(zhì)2.1光線的傳播光線？32.1光線的傳播坐標(biāo)系及方向的規(guī)定光線在光軸上方，r>0；反之，r<0;光線指向光軸上方，r’>0；反之，r’<0；2.1光線的傳播坐標(biāo)系及方向的規(guī)定42.1光線的傳播2.1.1光線矩陣1.通過厚度為d的均勻介質(zhì)2.1光線的傳播2.1.1光線矩陣5f>0，相對于凸透鏡f<0，相對于凹透鏡2.1光線的傳播2.通過焦距為f的薄透鏡f>0，相對于凸透鏡2.1光線的傳播2.通過焦距為f的薄透鏡62.1光線的傳播3.不同介質(zhì)介面（平面）2.1光線的傳播3.不同介質(zhì)介面（平面）72.1光線的傳播4.不同介質(zhì)介面(球面)2.1光線的傳播4.不同介質(zhì)介面(球面)8（1）R>0,凹反射鏡（2）R<0,凸反射鏡（3）R趨于無窮,平面鏡

一個曲率半徑為R的球面反射鏡對光線的作用相當(dāng)于一個焦距f=R/2的薄透鏡2.1光線的傳播5.球面反射鏡（1）R>0,凹反射鏡一個曲率半徑為R的球面反射鏡對光線的92.1光線的傳播例：求解通過長度為d的均勻介質(zhì)后，再透過一個薄透鏡的光線傳輸情況。思考：如何求得厚透鏡的光線矩陣?2.1光線的傳播例：求解通過長度為d的均勻介質(zhì)后，102.1光線的傳播2.1.2透鏡波導(dǎo):由焦距為f1和f2的透鏡相互間隔d周期性排列而成，稱為雙周期透鏡波導(dǎo)。f1f2SS+1MNf1d2.1光線的傳播2.1.2透鏡波導(dǎo):由焦距為f1和f2的透鏡11同理，從N面到S面的光線傳播情況2.1光線的傳播從S面到N面的光線傳播情況同理，從N面到S面的光線傳播情況2.1光線的傳播從S面到N面122.1光線的傳播綜合可得到從S面到S+1面的光線傳播情況2.1光線的傳播綜合可得到從S面到S+1面的光線傳播情況13將矩陣形式的傳播方程寫成方程組的形式可得到遞推關(guān)系2.1光線的傳播將矩陣形式的傳播方程寫成方程組的形式2.1光線的傳播14該式為決定光線在雙周期透鏡波導(dǎo)內(nèi)傳播規(guī)律的差分方程，等價于微分方程：該方程具有的解，用作為試探解對差分方程進(jìn)行試探，可得到：2.1光線的傳播2.1光線的傳播152.1光線的傳播雙周期透鏡波導(dǎo)的光線穩(wěn)定條件當(dāng)θ為實(shí)數(shù)時，光線與光軸的距離在rmax和-rmax之間振蕩；即光線傳播被約束在透鏡孔徑形成的波導(dǎo)之中，不會發(fā)生溢出。θ為實(shí)數(shù)等價于|b|≤1，即：由相同焦距的薄透鏡構(gòu)成的周期透鏡波導(dǎo)稱為相同周期透鏡波導(dǎo)，即f1=f2=f；相同周期透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定條件為：2.1光線的傳播雙周期透鏡波導(dǎo)的光線穩(wěn)定條件162.1光線的傳播2.1.3光線在球面反射鏡之間的傳播根據(jù)光線傳播矩陣可以寫出第2次反射后的光線狀態(tài)為：2.1光線的傳播2.1.3光線在球面反射鏡之間的傳播172.1光線的傳播在腔內(nèi)經(jīng)過N次往返之后的光線參數(shù)為：

其中Tn為光線矩陣，可以按照矩陣?yán)碚撉蟪觯?其中：

從推導(dǎo)過程可以看出，近軸光線在兩個反射鏡間傳輸?shù)膫鬏斁仃嚺c光線的初始位置無關(guān)，因此可以用傳輸矩陣來描述任意近軸光線的傳輸特性。2.1光線的傳播在腔內(nèi)經(jīng)過N次往返之后的光線參數(shù)為：182.1光線的傳播由前述可知一個半徑為R的球面反射鏡等效于一個焦距為F=R/2的透鏡,則上述的兩個球面反射鏡可以等效為由兩個焦距分別為R1/2和R2/2，距離為L的透鏡構(gòu)成的雙周期透鏡波導(dǎo)，由雙周期透鏡波導(dǎo)的光線穩(wěn)定性條件可以得到反射鏡系統(tǒng)的穩(wěn)定條件：2.1光線的傳播由前述可知一個半徑為R的球面反射鏡等效于一個192.1.4光線在類透鏡介質(zhì)中的傳播1.薄透鏡的聚焦機(jī)理一單色平面波，經(jīng)過薄透鏡后，產(chǎn)生一個與離軸距離r2成正比的相位超前量，補(bǔ)償了到達(dá)焦點(diǎn)幾何路徑的不同所引起的相位不同滯后量。到達(dá)焦點(diǎn)時間、相位相同，實(shí)現(xiàn)聚焦，此時的薄透鏡相當(dāng)于一個平面的相位變換器。離軸距離為r的相位提前量為經(jīng)過透鏡后的光場2.1光線的傳播2.1.4光線在類透鏡介質(zhì)中的傳播2.1光線的傳播202.1光線的傳播2.類透鏡介質(zhì)折射率滿足的介質(zhì)稱為類透鏡介質(zhì)。其中η0為介質(zhì)軸線上的折射率；k0是軸線上的波數(shù)；k2是與介質(zhì)、工作狀態(tài)以及外界泵浦能量有關(guān)的常數(shù)。在Nd：YAG固體激光器中，當(dāng)激光其處于運(yùn)行狀態(tài)時，由于發(fā)熱造成工作物質(zhì)內(nèi)部沿徑向產(chǎn)生溫度分布：在實(shí)驗(yàn)上和理論上都證實(shí)了工作物質(zhì)的折射率隨溫度發(fā)生變化：可見工作狀態(tài)下的Nd：YAG工作物質(zhì)是一種二次折射率介質(zhì)。2.1光線的傳播2.類透鏡介質(zhì)213.光線在均勻和非均勻各向同性介質(zhì)中的傳播程函(eikonal)方程：光線的傳播方向，就是程函變化最快的方向在討論光線和幾何光學(xué)的強(qiáng)度時，可以推導(dǎo)出光線的微分方程（光線方程），其中為光線上某點(diǎn)到另外一點(diǎn)的長度，而是該點(diǎn)的位置矢量：（1）均勻介質(zhì)解方程得：上式代表一個矢量直線方程，即直線沿著的方向并通過點(diǎn)，因此，在均勻通行介質(zhì)中，光線是直線傳播的2.1光線的傳播3.光線在均勻和非均勻各向同性介質(zhì)中的傳播2.1光線的傳播222.1光線的傳播（2）類透鏡介質(zhì)當(dāng)考慮近軸光線近似光線方程可以寫成：在二次折射率介質(zhì)中，由于η(x,y)沒有軸向分布，只有徑向分布，因此，而由類透鏡介質(zhì)的折射率表達(dá)式可得到：x,y都是獨(dú)立變量，因此有：為了簡化討論，取y-z平面上的光線討論，并以r代替y，得到近軸光線的微分方程2.1光線的傳播（2）類透鏡介質(zhì)23（1）k2>0

微分方程的解為若考慮光線入射初始條件為，則可以求出，因此微分方程的解可以寫成：2.1光線的傳播如右圖的曲線可以代表在類透鏡介質(zhì)中傳播的光線，只是在幅度上作了夸大。從該方程可以得出結(jié)論：當(dāng)k2>0時，類透鏡介質(zhì)對光線起匯聚作用，相當(dāng)于正透鏡。（1）k2>02.1光線的傳播如右圖的曲線可以代表在類透鏡介242.1光線的傳播(2)k2<0當(dāng)k2<0時，光線微分方程的解可以表示為： 從方程可以得出結(jié)論，隨著z的不斷增加，r(z)不斷增大，當(dāng)，因此k2<0的類透鏡介質(zhì)對光線具有發(fā)散性，類似于負(fù)透鏡的作用。練習(xí)：證明2-1-39式2.1光線的傳播(2)k2<0252.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.1類透鏡介質(zhì)中的波動方程在各向同性、無電荷分布的介質(zhì)中，Maxwell方程組的微分形式為：對2式求旋度：且由3式：在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即綜合上三式可以得到假設(shè)折射率n的空間變化很小，即n(r)滿足慢變近似，此時可以將電磁場表示為：代入(4)式波動方程也稱亥姆霍茲方程2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.1類透鏡介質(zhì)262.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播當(dāng)考慮到介質(zhì)中存在增益和損耗的情況時，上式最后一項可以表示為：當(dāng)代表吸收介質(zhì)，代表增益介質(zhì)上式表示復(fù)數(shù)波數(shù)，我們考慮波數(shù)表示形式為其中k0、k2都可以是復(fù)數(shù)，這個表達(dá)式可以理解為波數(shù)與位置r和介質(zhì)的特性k2都有關(guān)系。由波數(shù)的定義：可以得到n(r)的表達(dá)式：的情況該表達(dá)式就是類透鏡介質(zhì)的折射率表達(dá)式，證明我們考慮的k(r)表達(dá)式代表的正是在類透鏡介質(zhì)中的情況。級數(shù)展開2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播當(dāng)考慮到介質(zhì)中存在增272.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播下面我們研究類透鏡介質(zhì)中波動方程的解，考慮在介質(zhì)中傳播的是一種近似平面波，即能量集中在光軸附近，沿光軸方向傳播?？梢约僭O(shè)光場的橫向分布只與有關(guān)，因此波動方程中的算符可以表示為：我們假設(shè)，其中a為集中大部分能量的橫截面半徑，這一假設(shè)說明衍射效應(yīng)很弱，因此可以將推導(dǎo)局限于單一的橫向場分量，其單色平面波的表達(dá)式為：其中e-ikz表示波數(shù)為k的嚴(yán)格平面波，為了研究修正平面波，我們引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正兩部分。該修正因子滿足慢變近似：將這些相關(guān)假設(shè)帶入波動方程可以得到：令修正因子取以下形式：為什么取這種形式？這是對波動方程進(jìn)行長期研究得到的解，既滿足方程，又有明確的、能夠被實(shí)驗(yàn)證實(shí)的物理意義。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播下面我們研究類透鏡介282.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播通過將修正因子帶入被假設(shè)修正過的波動方程，可以得到：該方程對不同r都成立，因此r的各次項系數(shù)應(yīng)該為零，整理得到：該式稱為類透鏡介質(zhì)中的簡化的波動方程。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播通過將修正因子帶入被292.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.2均勻介質(zhì)中的高斯光束均勻介質(zhì)可以認(rèn)為是類透鏡介質(zhì)的一種特例，即k2=0時的類透鏡介質(zhì)，此時簡化波動方程為：引入一中間函數(shù)S，使代入上式得到得出該微分方程的解為，a、b為復(fù)常數(shù)則由p與q的關(guān)系得到C1不影響振幅和相位的分布，因此可以設(shè)C1=0。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.2均勻介質(zhì)中302.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播將上述結(jié)果代入到的表達(dá)式中有：滿足該表達(dá)式的q0有很多形式，但對其研究發(fā)現(xiàn)純虛數(shù)形式的q0可以得到有物理意義的波，因此假設(shè)q0具有如下表達(dá)形式：將q0的表達(dá)式帶入（1）式中，其指數(shù)的兩項可以分別表示為：2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播將上述結(jié)果代入到312.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播人為定義以下參數(shù)：將上述參數(shù)帶入到光場的表達(dá)式，整理可以得到光場的表達(dá)式：該式所表示的是均勻介質(zhì)中波動方程的一個解，稱為基本高斯光束解，其橫向依賴關(guān)系只包含r，而與方位角無關(guān)。那些與方位角相關(guān)的分布是高階高斯光束解。上面最后一個表達(dá)式中的兩項，前一項是振幅項，后一項是相位項。為什么是這個解？還有其他解嗎？2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播人為定義以下參數(shù)：將322.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯分布：在統(tǒng)計學(xué)中更多的被稱為正態(tài)分布，它指的是服從以下概率密度函數(shù)的分布：JohannCarlFriedrichGauss(1777–1855)2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯分布：Johan332.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束基本特性振幅分布特性 由高斯光束的表達(dá)式可以得到：

在z截面上，其振幅按照高斯函數(shù)規(guī)律變化，如圖所示。 將在光束截面內(nèi)，振幅下降到最大值的1/e時，離光軸的距離定義為該處的光斑半徑。由的定義可以得到：即光束半徑隨傳輸距離的變化規(guī)律為雙曲線，在z=0時有最小值，這個位置被稱為高斯光束的束腰位置。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束基本特性由342.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播等相位面特性從高斯光束解的相位部分可以得到傳輸過程中的總相移為：將上式同標(biāo)準(zhǔn)球面波的總相移表達(dá)式比較：可以得出結(jié)論，在近軸條件下高斯光束的等相位面是以R(z)為半徑的球面，球面的球心位置隨著光束的傳播不斷變化，由R(z)的表達(dá)式可知：z=0時，,此時的等相位面是平面；時，， 此時等相位面也是平面；時，， 此時的等相位面半徑最??；2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播等相位面特性352.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播瑞利長度當(dāng)光束從束腰傳播到處時，光束半徑，即光斑面積增大為最小值的兩倍，這個范圍稱為瑞利范圍，從束腰到該處的長度稱為高斯光束的瑞利長度，通常記作。在實(shí)際應(yīng)用中，一般認(rèn)為基模高斯光束在瑞利長度范圍內(nèi)是近似平行的，因此也把瑞利距離長度稱為準(zhǔn)直距離。從瑞利長度表達(dá)式可以得出結(jié)論，高斯光束的束腰半徑越小，其準(zhǔn)直距離越長，準(zhǔn)直性越好。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播瑞利長度362.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束的孔徑從基模高斯光束的光束半徑表達(dá)式可以得到截面上振幅的分布為：則其光強(qiáng)分布為：考慮垂直于高斯光束傳播方向上存在一無限大平面，以光軸為中心開一半徑為a的孔，則透過該孔徑的光功率與總功率的比值為左下式，通過計算可以得到不同孔徑的功率透過率。在激光應(yīng)用中，高斯光束總要通過各種光學(xué)元件，從上面推導(dǎo)可知，只要光學(xué)元件的孔徑大于3ω/2，即可保證高斯光束的絕大部分功率有效透過。孔徑半徑aω/2ω3ω/22ω功率透過比39.3%86.5%98.89%99.99%2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束的孔徑孔徑半372.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播遠(yuǎn)場發(fā)散角從高斯光束的等相位面半徑以及光束半徑的分布規(guī)律可以知道，在瑞利長度之外，高斯光束迅速發(fā)散，定義當(dāng)時高斯光束振幅減小到最大值1/e處與z軸夾角為高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角（半角）：包含在全遠(yuǎn)場發(fā)散角內(nèi)的光束功率占 高斯光束總功率的86.5%高斯光束在軸線附近可以看成一種非均勻高斯球面波，在傳播過程中曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯分布，強(qiáng)度集中在軸線及其附近，且等相位面保持球面。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播遠(yuǎn)場發(fā)散角382.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.3類透鏡介質(zhì)中的高斯光束類透鏡介質(zhì)中k2≠0，此時的簡化波動方程為：

其解仍可以采用與均勻介質(zhì)中相類似的處理方式得到，最終可以求出：2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.3類透鏡介質(zhì)392.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播類透鏡介質(zhì)中的基本高斯光束解仍然可以采取 的形式，如果我們只討論其中包含r2的指數(shù)部分： 仍取，則q(z)可以表示成：

將(2)式代入(1)式可以得到： 其中ω(z)是光斑半徑，R(z)是等相位面曲率半徑，其物理意義同均勻介質(zhì)中的基本高斯光束解相同，然而數(shù)學(xué)表達(dá)式比較復(fù)雜。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播類透鏡介質(zhì)中的基本高402.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播前面得到了類透鏡介質(zhì)中高斯光束參數(shù)q(z)的復(fù)數(shù)表達(dá)形式：q0是由邊界條件求出的光束初始條件，將上式同前面得到的光線矩陣比較：2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播前面得到了類透鏡介質(zhì)412.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.4高斯光束的ABCD法則按照光線矩陣規(guī)則，ABCD矩陣元構(gòu)成的光線矩陣是表示輸出平面上和輸入平面上光線參數(shù)之間的關(guān)系，因此我們?nèi)。涸撌奖硎玖祟愅哥R介質(zhì)中傳播的高斯光束的傳輸變換規(guī)則，可以證明，高斯光束在其他光學(xué)元件上透射或反射都遵循這一規(guī)則，則以規(guī)則稱為高斯光束q參數(shù)變換法則，簡稱ABCD法則。需要注意的是ABCD法則同光線傳播規(guī)則雖然都是用光線矩陣來描述，但是高斯光束的ABCD法則不同于光線傳輸?shù)木仃嚦朔ā８咚构馐?jīng)過變換之后仍然為高斯光束2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.4高斯光束的422.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播例：以焦距為f的薄透鏡為例薄透鏡的光線矩陣為則由ABCD法則可以得到考慮到：代入到(1)式中，并且比較實(shí)部與虛部得到：上面的第一個公式表明薄透鏡兩面的高斯光束光斑半徑相同，這與薄透鏡的特性是一致的；第二個公式表明薄透鏡兩面等相位面的曲率半徑滿足成像公式，即球面中心是關(guān)于該透鏡的共軛像點(diǎn)，這與薄透鏡對球面波成像的規(guī)律是一致的。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播例：以焦距為f的薄透432.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播我們比較一下下面兩個公式：由這兩個公式我們可以看出高斯光束參數(shù)q(z)與球面波曲率半徑R(z)之間的相似性，稱q(z)為高斯光束的復(fù)曲率半徑，其表達(dá)式為：當(dāng)時，上式可以得出而此時我們討論的對象已經(jīng)從波動光學(xué)過渡到了幾何光學(xué)。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播我們比較一下下面兩個442.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播經(jīng)過兩個光學(xué)元件的高斯光束設(shè)兩個光學(xué)元件的光線矩陣為入射高斯光束參數(shù)為q1，經(jīng)過第一個光學(xué)元件后有：經(jīng)過第二個光學(xué)元件后：其中：其規(guī)律同光線傳輸規(guī)律相同，可以推廣到任意個光學(xué)元件的傳輸情況。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播經(jīng)過兩個光學(xué)元件的高452.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.5高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播光線通過雙周期透鏡波導(dǎo)單元的光線矩陣為（ABCD），那么經(jīng)過S個周期后，聯(lián)系S＋1面和第1面的光線矩陣是：其中：用數(shù)學(xué)歸納法可以證明2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.5高斯光束在462.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束通過透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定性條件由光束參數(shù)變換法則：要使得上式中qs+1為有限值，即光束約束在透鏡波導(dǎo)內(nèi)傳播，就要求

θ為實(shí)數(shù)，即

，由此可得到光束穩(wěn)定性條件：如果θ為虛數(shù)，不妨設(shè)θ=ia，則會隨著S的增加而增加，qs+1沒有確定值，不穩(wěn)定。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束通過透鏡波導(dǎo)472.2.6均勻介質(zhì)中傳播的高階高斯光束前面推導(dǎo)均勻介質(zhì)中的基模高斯光束解時曾假設(shè)振幅橫向分布與方位角無關(guān)，如果考慮方位角的變化，則算符可以表示為：此時波動方程的特解為：代入波動方程，分離變量后解得：2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.6均勻介質(zhì)中傳播的高階高斯光束2.2光束在均勻介質(zhì)和48其解為厄米多項式仍為基本高斯光束解，所以總的解為其中的m、n為x、y方向上的零點(diǎn)數(shù)，此時高階高斯光束分布為厄米-高斯光束，表示為TEMmn模式。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播其解為厄米多項式2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播492.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播幾種高階高斯光束的光強(qiáng)分布圖TEM0TEM1TEM2Hm(x)Hm(x)FI∝H2m(x)F22.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播幾種高階高斯光束的光502.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播512.3高斯光束的變換2.3.1高斯光束的特征參數(shù)1、由(1)、(2)式可知，只要確定了束腰的位置和半徑ω0，就可以確定任何位置的光束半徑和等相位面半徑等參數(shù)；2、當(dāng)確定了某一確定位置z處的ω(z)和R(z)后，也可以通過(1)、(2)式求出束腰位置及大??；2.3高斯光束的變換2.3.1高斯光束的特征參數(shù)522.3高斯光束的變換3、用q參數(shù)表示由q參數(shù)的定義：可知q參數(shù)將R(z)和ω(z)聯(lián)系在一起了，可以求得：令q0=q(0)，則：通過這些公式，我們可以用高斯光束的q參數(shù)來描述高斯光束。以上三組參數(shù)都可以用來確定高斯光束的具體結(jié)構(gòu)，需要根據(jù)實(shí)際問題來靈活選擇使用哪種參數(shù)。2.3高斯光束的變換3、用q參數(shù)表示532.3高斯光束的變換2.3.2高斯光束通過薄透鏡的傳輸普通球面波波前曲率半徑的傳播規(guī)律當(dāng)球面波通過焦距為F的薄透鏡時，其波前曲率半徑滿足：將上面兩式與光線矩陣相比較可以得到球面波的傳播規(guī)律：2.3高斯光束的變換2.3.2高斯光束通過薄透鏡的傳輸542.3高斯光束的變換高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律高斯光束在近軸部分可以看作一系列非均勻、曲率中心不斷改變的球面波，也具有類似于普通球面波的曲率半徑R的參數(shù)，即q參數(shù)：通過整理q的表達(dá)式可以得到：可以得到通過長度為L的均勻介質(zhì)后的q參數(shù)為：其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分別為z1和z2面處的q參數(shù)；其中2.3高斯光束的變換高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律其中552.3高斯光束的變換透過薄透鏡傳播的高斯光束q參數(shù)變換由薄透鏡性質(zhì)可知，在緊靠薄透鏡的M1和M2兩個面上的光斑大小和強(qiáng)度分布是一樣的，即：可以證明經(jīng)過薄透鏡變換后在像方繼續(xù)傳輸?shù)墓馐詾楦咚构馐膓參數(shù)表達(dá)式以及1式可以得到：R2為等相位面曲率半徑，由球面波球率半徑的變換公式可得：2.3高斯光束的變換透過薄透鏡傳播的高斯光束q參數(shù)變換562.3高斯光束的變換通過將上面推出的公式同球面波的傳播特性公式相比較，可以看到無論是在對自由空間的傳播或?qū)νㄟ^光學(xué)系統(tǒng)的變換，高斯光束的q參數(shù)都起著和普通球面波的曲率半徑R相同的作用，因此有時將q參數(shù)稱作高斯光束的復(fù)曲率半徑；高斯光束通過光學(xué)元件時q參數(shù)的變換規(guī)律可以類似的用光線矩陣表示出來：由前面的討論我們知道可以用q參數(shù)描述一個高斯光束的具體特征，而且可以通過q參數(shù)和ABCD法則很方便的描述一個高斯光束在通過光學(xué)元件時的傳輸規(guī)律，因此我們將主要采用q參數(shù)來分析薄透鏡高斯光束傳輸問題。2.3高斯光束的變換通過將上面推出的公式同球面波的傳播特性公57

2.3高斯光束的變換已知入射高斯光束束腰半徑為ω0，束腰位置與透鏡的距離為l，透鏡的焦距為F，各參數(shù)相互關(guān)系如下圖，則有：z=0處，在A面處：在B面處：在C面處：2.3高斯光束的變換已知入射高斯光束束腰半徑為ω0，束腰位58

2.3高斯光束的變換由上面的q(C)可以確定經(jīng)過薄透鏡傳輸后的高斯光束特性，下面分情況討論薄透鏡的變換規(guī)律。當(dāng)C面取在像方束腰處，此時，由上一頁的方程聯(lián)立可以求出：由得出：得到的式子是高斯光束束腰的變換關(guān)系式。2.3高斯光束的變換由上面的q(C)可以確定經(jīng)過薄透鏡傳輸59

2.3高斯光束的變換當(dāng)滿足條件時，由束腰位置關(guān)系公式：由束腰半徑的關(guān)系公式：束腰半徑是高斯光束所有光斑半徑的最小值，可以將其類比為幾何光學(xué)中光束的焦點(diǎn)，在滿足假設(shè)條件的情況下，物方、像方高斯光束經(jīng)過薄透鏡后束腰位置和半徑的變換規(guī)律與幾何光學(xué)中的物、像規(guī)律相符，由此可見當(dāng)滿足條件時可以用幾何光學(xué)的方法粗略的研究近軸高斯光束。當(dāng)不滿足以上條件時，則不能套用幾何光學(xué)的結(jié)論，例如當(dāng)時，可以求出 此時物方、像方高斯光束的束腰都位于焦點(diǎn)處，這與幾何光學(xué)中平行光成像于無窮遠(yuǎn)處的結(jié)論不相符。幾何光學(xué)薄透鏡成像垂軸放大率公式幾何光學(xué)薄透鏡成像公式2.3高斯光束的變換當(dāng)滿足60

2.3高斯光束的變換如果令，即像方高斯光束束腰位于透鏡前焦面，可以利用前面的公式求出束腰的半徑：其中：2.3高斯光束的變換如果令，即像方高61

2.3高斯光束的變換2.3.3高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦，指的是通過適當(dāng)?shù)墓鈱W(xué)系統(tǒng)減小像方高斯光束的束腰半徑，從而達(dá)到對其進(jìn)行聚焦的目的。1、F一定時，ω’0隨著l變化的情況

我們將通過前面得到的高斯光束通過薄透鏡變換時束腰半徑變換規(guī)律研究其規(guī)律：2.3高斯光束的變換2.3.3高斯光束的聚焦62

2.3高斯光束的變換A、當(dāng)l<F時，ω’0將隨著l的減小而減小，因此當(dāng)l=0時有最小值：

此時像方高斯光束束腰位置： 而垂軸放大率： 可見當(dāng)l=0時，不論F為何值，都可以對高斯光束進(jìn)行聚焦，且像方束腰位置在前焦點(diǎn)以內(nèi)；如果進(jìn)一步滿足條件，則，此時像方束腰位于透鏡前焦面上，而且聚焦效果隨著F的減小而增強(qiáng)。2.3高斯光束的變換A、當(dāng)l<F時，ω’0將隨著l的減小而63

2.3高斯光束的變換B、當(dāng)l>F時，ω’0隨著l的增大而單調(diào)的減小，當(dāng)時，由公式可以得出結(jié)論 更進(jìn)一步的，如果滿足時，有：

若同時滿足則

可以得出結(jié)論，當(dāng)物方高斯 光束束腰遠(yuǎn)離透鏡時，距離l

的增加以及焦距F的減小都會 引起像方高斯光束束腰半徑 的減小，即聚焦效果的增強(qiáng)。 以上的討論都沒有考慮透鏡孔 徑引起的衍射效應(yīng)。根據(jù)高斯光束參數(shù)定義此時2.3高斯光束的變換B、當(dāng)l>F時，ω’0隨著l的增大而64

2.3高斯光束的變換C、當(dāng)l=F時，ω’0有極大值：

而且可以得出：l’=F，從ω’0的公式可以看出，只有在F<f時，才有聚焦的作用。綜合以上三點(diǎn)的討論，我們可以用下圖來總結(jié)F為定值時ω’0隨l變化的規(guī)律：2.3高斯光束的變換C、當(dāng)l=F時，ω’0有極大值：65

2.3高斯光束的變換2、l一定時，ω’0隨F的變化情況

由薄透鏡變換公式： 若要求ω0=ω’0，則 當(dāng)ω0和l一定時，ω’0隨F的變化規(guī)律如圖所示： 從結(jié)果可知，l一定時，只有當(dāng)滿足條 件時，才能對高斯光束起聚 焦作用，且F值越小，聚焦效果越好。高斯光束等相位面曲率半徑的定義2.3高斯光束的變換2、l一定時，ω’0隨F的變化情況高斯66

2.3高斯光束的變換從上面的討論可以得出結(jié)論，要獲得盡可能好的聚焦效果，可以采取的方法有：盡量采用短焦距的透鏡；使高斯光束束腰位置遠(yuǎn)離透鏡的焦平面，滿足條件；使高斯光束束腰位置位于透鏡上，即l=0，并設(shè)法滿足條件：；2.3高斯光束的變換從上面的討論可以得出結(jié)論，要獲得盡可能67

2.3高斯光束的變換2.3.4高斯光束的準(zhǔn)直準(zhǔn)直：利用光學(xué)系統(tǒng)壓縮高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角。1、單透鏡對高斯光束的發(fā)散角的影響 高斯光束發(fā)散角為：透過焦距為F的薄透鏡后，發(fā)散角為：

由薄透鏡傳輸變換公式可得到： 若要，則要求，然而從表達(dá)式得出結(jié)論，當(dāng)ω0為有限值時，無論F、l取何值，都不可能滿足這一條件，因此得到結(jié)論：單透鏡不能將高斯光束轉(zhuǎn)換為平面波。如何才能實(shí)現(xiàn)發(fā)散角的壓縮呢？從高斯光束發(fā)散角表達(dá)式可知，當(dāng) 時，有，即在一定條件下如果ω’0有最大值時，θ’有最小值。2.3高斯光束的變換2.3.4高斯光束的準(zhǔn)直68

2.3高斯光束的變換前面的討論中曾經(jīng)得到結(jié)論，當(dāng)l=F時，ω’0有最大值：此時，故有故此可以得到在物方高斯光束束腰位于焦面上時：F越大，像方發(fā)散角越小，反之亦然；ω0越小，像方發(fā)散角越小，反之亦然；時，有較好的準(zhǔn)直效果；由此可以得出結(jié)論，可以用一個透鏡先壓縮高斯光束的束腰半徑，再用一個長焦透鏡壓縮高斯光束的發(fā)散角。2.3高斯光束的變換前面的討論中曾經(jīng)得到結(jié)論，當(dāng)l=F時，69

2.3高斯光束的變換2、利用望遠(yuǎn)鏡將高斯光束準(zhǔn)直按照前面的構(gòu)想，構(gòu)造如下圖的系統(tǒng)，該系統(tǒng)實(shí)際上是一倒置的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)。F1為短焦透鏡，滿足，它將物方高斯光束聚焦于焦面，此時物方束腰半徑有極小值：若ω’0在l2的后焦面上，滿足l=F條件，可進(jìn)行準(zhǔn)直，發(fā)散角的壓縮率為：其中M幾何光學(xué)中放大鏡的準(zhǔn)直倍率。可見當(dāng)l、f一定時，可以通過提高M(jìn)壓縮發(fā)散角。這些討論都是基于，即不考慮衍射效應(yīng)，當(dāng)不滿足這一條件時，提高M(jìn)不能無限壓縮發(fā)散角，此時的發(fā)散角大小還與望遠(yuǎn)鏡孔徑有關(guān)。2.3高斯光束的變換2、利用望遠(yuǎn)鏡將高斯光束準(zhǔn)直其中M幾何70

2.3高斯光束的變換望遠(yuǎn)鏡有透射、反射或者折-反射幾種形式，如下圖所示：各種形式的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)有各自的特點(diǎn)和應(yīng)用。2.3高斯光束的變換望遠(yuǎn)鏡有透射、反射或者折-反射幾種形式71

2.3高斯光束的變換2.3.5高斯光束的匹配問題：如何將一個穩(wěn)定腔產(chǎn)生的高斯模與另一個穩(wěn)定腔的高斯模相匹配？匹配：在空間中，兩個同軸的高斯光束相對于透鏡護(hù)衛(wèi)物像共軛關(guān)系，則這兩個高斯光束是匹配的。高斯光束匹配，或者稱為模式匹配有重要的意義，例如在多極放大式激光器中，要把前一個穩(wěn)定腔中產(chǎn)生的高斯光束注入到另一個穩(wěn)定腔中進(jìn)行放大，如果兩個高斯光束的模式能夠匹配，那么就不會發(fā)生能量損失；如果不能匹配，那么能量將在第二個腔中激發(fā)不同的模式，造成能量的損失或者輸出模式的變壞；或者不能產(chǎn)生激光，而僅以熱擴(kuò)散和熒光的形式消耗掉了。2.3高斯光束的變換2.3.5高斯光束的匹配72

2.3高斯光束的變換已知物方束腰ω0和像方束腰ω’0， 求使之匹配的透鏡的F以及束腰 與透鏡的距離。 由薄透鏡對高斯光束變換公式： 由(1)、(2)式聯(lián)立解得：2.3高斯光束的變換已知物方束腰ω0和像方束腰ω’0，73

2.3高斯光束的變換1、如果給定一個F值，可以計算出一組l、l’，就可以解決問題，為了保證解的合理性，即l、l’為實(shí)數(shù)，F(xiàn)必須滿足F>f0；2、兩個腔的相對位置固定，即l0=l+l’為固定值，要兩個模式匹配，對F有一定的限制，將得到的兩個等式相加得到：令，可以得到：A，l0為已知值，當(dāng)指定F的值時，可以根據(jù)上式解出l和l’。2.3高斯光束的變換1、如果給定一個F值，可以計算出一組l74

2.3高斯光束的變換2.3.6高斯光束的自再現(xiàn)變換如果一個高斯光束通過透鏡后其結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，即參數(shù)不發(fā)生變化，稱這種變換為高斯光束的自再現(xiàn)變換。1、焦距為F的薄透鏡對高斯光束的自再現(xiàn)變換由自再現(xiàn)的定義和薄透鏡變換公式可以求出：將F的表達(dá)式帶入薄透鏡變換關(guān)系可以求出則物方高斯光束在薄透鏡表面上等相位面的曲率半徑為：這就是高斯光束薄透鏡自再現(xiàn)變換的條件。2.3高斯光束的變換2.3.6高斯光束的自再現(xiàn)變換75

2.3高斯光束的變換2、球面反射鏡對高斯光束的自再現(xiàn)變換由球面反射鏡和薄透鏡的等效性可知所有公式都適用于球面反射鏡，可以得到球面反射鏡自再現(xiàn)變換條件：R球=R(l)=2F即當(dāng)入射在球面鏡上的高斯光束的等相位面曲率半徑正好等于球面鏡的曲率半徑時，可以實(shí)現(xiàn)對入射高斯光束的自再現(xiàn)變換，這種情況也稱為反射鏡與高斯光束波前匹配。2.3高斯光束的變換2、球面反射鏡對高斯光束的自再現(xiàn)變換76

2.3高斯光束的變換3、高斯光束自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔由ABCD法則有：要ω為實(shí)數(shù)：光線穩(wěn)定條件2.3高斯光束的變換3、高斯光束自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔要ω77

2.3高斯光束的變換任何滿足該條件的模式，都是腔的自再現(xiàn)模。唯象地考慮：高斯光束的等相位面在光軸附近的區(qū)域內(nèi)可以近似看作球面，只要光腔的反射鏡曲率半徑和等相位面曲率半徑相等，則高斯光束被其反射后參數(shù)不發(fā)生變化，即實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)。此處為考慮衍射，而是在嚴(yán)格傍軸近似條件下到處的結(jié)論。2.3高斯光束的變換任何滿足該條件的模式，都是腔的自再現(xiàn)模78小結(jié)光線傳播光線矩陣雙周期透鏡波導(dǎo)光線穩(wěn)定條件光束傳播均勻介質(zhì)中的高斯光束高階高斯光束高斯光束變換ABCD法則聚焦、準(zhǔn)直匹配、自再現(xiàn)變換小結(jié)光線傳播792.1光線的傳播初始條件是平行光入射，因此r0’=0;根據(jù)類透鏡介質(zhì)中的光線傳播方程：2.1光線的傳播初始條件是平行光入射，因此r0’=0;根據(jù)類80第二章光線的傳播及高斯光束第二章光線的傳播及高斯光束81第二章光線的傳播及高斯光束2.1光線傳播光線矩陣透鏡波導(dǎo)光線在反射鏡間的傳播光線在類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2光束傳播2.3高斯光束的變換第二章光線的傳播及高斯光束2.1光線傳播822.1光線的傳播光線？幾個前提幾何光學(xué)意義上的光線—λ→0近軸光線近似光學(xué)元件繞光軸旋轉(zhuǎn)對稱均勻介質(zhì)2.1光線的傳播光線？832.1光線的傳播坐標(biāo)系及方向的規(guī)定光線在光軸上方，r>0；反之，r<0;光線指向光軸上方，r’>0；反之，r’<0；2.1光線的傳播坐標(biāo)系及方向的規(guī)定842.1光線的傳播2.1.1光線矩陣1.通過厚度為d的均勻介質(zhì)2.1光線的傳播2.1.1光線矩陣85f>0，相對于凸透鏡f<0，相對于凹透鏡2.1光線的傳播2.通過焦距為f的薄透鏡f>0，相對于凸透鏡2.1光線的傳播2.通過焦距為f的薄透鏡862.1光線的傳播3.不同介質(zhì)介面（平面）2.1光線的傳播3.不同介質(zhì)介面（平面）872.1光線的傳播4.不同介質(zhì)介面(球面)2.1光線的傳播4.不同介質(zhì)介面(球面)88（1）R>0,凹反射鏡（2）R<0,凸反射鏡（3）R趨于無窮,平面鏡

一個曲率半徑為R的球面反射鏡對光線的作用相當(dāng)于一個焦距f=R/2的薄透鏡2.1光線的傳播5.球面反射鏡（1）R>0,凹反射鏡一個曲率半徑為R的球面反射鏡對光線的892.1光線的傳播例：求解通過長度為d的均勻介質(zhì)后，再透過一個薄透鏡的光線傳輸情況。思考：如何求得厚透鏡的光線矩陣?2.1光線的傳播例：求解通過長度為d的均勻介質(zhì)后，902.1光線的傳播2.1.2透鏡波導(dǎo):由焦距為f1和f2的透鏡相互間隔d周期性排列而成，稱為雙周期透鏡波導(dǎo)。f1f2SS+1MNf1d2.1光線的傳播2.1.2透鏡波導(dǎo):由焦距為f1和f2的透鏡91同理，從N面到S面的光線傳播情況2.1光線的傳播從S面到N面的光線傳播情況同理，從N面到S面的光線傳播情況2.1光線的傳播從S面到N面922.1光線的傳播綜合可得到從S面到S+1面的光線傳播情況2.1光線的傳播綜合可得到從S面到S+1面的光線傳播情況93將矩陣形式的傳播方程寫成方程組的形式可得到遞推關(guān)系2.1光線的傳播將矩陣形式的傳播方程寫成方程組的形式2.1光線的傳播94該式為決定光線在雙周期透鏡波導(dǎo)內(nèi)傳播規(guī)律的差分方程，等價于微分方程：該方程具有的解，用作為試探解對差分方程進(jìn)行試探，可得到：2.1光線的傳播2.1光線的傳播952.1光線的傳播雙周期透鏡波導(dǎo)的光線穩(wěn)定條件當(dāng)θ為實(shí)數(shù)時，光線與光軸的距離在rmax和-rmax之間振蕩；即光線傳播被約束在透鏡孔徑形成的波導(dǎo)之中，不會發(fā)生溢出。θ為實(shí)數(shù)等價于|b|≤1，即：由相同焦距的薄透鏡構(gòu)成的周期透鏡波導(dǎo)稱為相同周期透鏡波導(dǎo)，即f1=f2=f；相同周期透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定條件為：2.1光線的傳播雙周期透鏡波導(dǎo)的光線穩(wěn)定條件962.1光線的傳播2.1.3光線在球面反射鏡之間的傳播根據(jù)光線傳播矩陣可以寫出第2次反射后的光線狀態(tài)為：2.1光線的傳播2.1.3光線在球面反射鏡之間的傳播972.1光線的傳播在腔內(nèi)經(jīng)過N次往返之后的光線參數(shù)為：

其中Tn為光線矩陣，可以按照矩陣?yán)碚撉蟪觯?其中：

從推導(dǎo)過程可以看出，近軸光線在兩個反射鏡間傳輸?shù)膫鬏斁仃嚺c光線的初始位置無關(guān)，因此可以用傳輸矩陣來描述任意近軸光線的傳輸特性。2.1光線的傳播在腔內(nèi)經(jīng)過N次往返之后的光線參數(shù)為：982.1光線的傳播由前述可知一個半徑為R的球面反射鏡等效于一個焦距為F=R/2的透鏡,則上述的兩個球面反射鏡可以等效為由兩個焦距分別為R1/2和R2/2，距離為L的透鏡構(gòu)成的雙周期透鏡波導(dǎo)，由雙周期透鏡波導(dǎo)的光線穩(wěn)定性條件可以得到反射鏡系統(tǒng)的穩(wěn)定條件：2.1光線的傳播由前述可知一個半徑為R的球面反射鏡等效于一個992.1.4光線在類透鏡介質(zhì)中的傳播1.薄透鏡的聚焦機(jī)理一單色平面波，經(jīng)過薄透鏡后，產(chǎn)生一個與離軸距離r2成正比的相位超前量，補(bǔ)償了到達(dá)焦點(diǎn)幾何路徑的不同所引起的相位不同滯后量。到達(dá)焦點(diǎn)時間、相位相同，實(shí)現(xiàn)聚焦，此時的薄透鏡相當(dāng)于一個平面的相位變換器。離軸距離為r的相位提前量為經(jīng)過透鏡后的光場2.1光線的傳播2.1.4光線在類透鏡介質(zhì)中的傳播2.1光線的傳播1002.1光線的傳播2.類透鏡介質(zhì)折射率滿足的介質(zhì)稱為類透鏡介質(zhì)。其中η0為介質(zhì)軸線上的折射率；k0是軸線上的波數(shù)；k2是與介質(zhì)、工作狀態(tài)以及外界泵浦能量有關(guān)的常數(shù)。在Nd：YAG固體激光器中，當(dāng)激光其處于運(yùn)行狀態(tài)時，由于發(fā)熱造成工作物質(zhì)內(nèi)部沿徑向產(chǎn)生溫度分布：在實(shí)驗(yàn)上和理論上都證實(shí)了工作物質(zhì)的折射率隨溫度發(fā)生變化：可見工作狀態(tài)下的Nd：YAG工作物質(zhì)是一種二次折射率介質(zhì)。2.1光線的傳播2.類透鏡介質(zhì)1013.光線在均勻和非均勻各向同性介質(zhì)中的傳播程函(eikonal)方程：光線的傳播方向，就是程函變化最快的方向在討論光線和幾何光學(xué)的強(qiáng)度時，可以推導(dǎo)出光線的微分方程（光線方程），其中為光線上某點(diǎn)到另外一點(diǎn)的長度，而是該點(diǎn)的位置矢量：（1）均勻介質(zhì)解方程得：上式代表一個矢量直線方程，即直線沿著的方向并通過點(diǎn)，因此，在均勻通行介質(zhì)中，光線是直線傳播的2.1光線的傳播3.光線在均勻和非均勻各向同性介質(zhì)中的傳播2.1光線的傳播1022.1光線的傳播（2）類透鏡介質(zhì)當(dāng)考慮近軸光線近似光線方程可以寫成：在二次折射率介質(zhì)中，由于η(x,y)沒有軸向分布，只有徑向分布，因此，而由類透鏡介質(zhì)的折射率表達(dá)式可得到：x,y都是獨(dú)立變量，因此有：為了簡化討論，取y-z平面上的光線討論，并以r代替y，得到近軸光線的微分方程2.1光線的傳播（2）類透鏡介質(zhì)103（1）k2>0

微分方程的解為若考慮光線入射初始條件為，則可以求出，因此微分方程的解可以寫成：2.1光線的傳播如右圖的曲線可以代表在類透鏡介質(zhì)中傳播的光線，只是在幅度上作了夸大。從該方程可以得出結(jié)論：當(dāng)k2>0時，類透鏡介質(zhì)對光線起匯聚作用，相當(dāng)于正透鏡。（1）k2>02.1光線的傳播如右圖的曲線可以代表在類透鏡介1042.1光線的傳播(2)k2<0當(dāng)k2<0時，光線微分方程的解可以表示為： 從方程可以得出結(jié)論，隨著z的不斷增加，r(z)不斷增大，當(dāng)，因此k2<0的類透鏡介質(zhì)對光線具有發(fā)散性，類似于負(fù)透鏡的作用。練習(xí)：證明2-1-39式2.1光線的傳播(2)k2<01052.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.1類透鏡介質(zhì)中的波動方程在各向同性、無電荷分布的介質(zhì)中，Maxwell方程組的微分形式為：對2式求旋度：且由3式：在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即綜合上三式可以得到假設(shè)折射率n的空間變化很小，即n(r)滿足慢變近似，此時可以將電磁場表示為：代入(4)式波動方程也稱亥姆霍茲方程2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.1類透鏡介質(zhì)1062.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播當(dāng)考慮到介質(zhì)中存在增益和損耗的情況時，上式最后一項可以表示為：當(dāng)代表吸收介質(zhì)，代表增益介質(zhì)上式表示復(fù)數(shù)波數(shù)，我們考慮波數(shù)表示形式為其中k0、k2都可以是復(fù)數(shù)，這個表達(dá)式可以理解為波數(shù)與位置r和介質(zhì)的特性k2都有關(guān)系。由波數(shù)的定義：可以得到n(r)的表達(dá)式：的情況該表達(dá)式就是類透鏡介質(zhì)的折射率表達(dá)式，證明我們考慮的k(r)表達(dá)式代表的正是在類透鏡介質(zhì)中的情況。級數(shù)展開2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播當(dāng)考慮到介質(zhì)中存在增1072.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播下面我們研究類透鏡介質(zhì)中波動方程的解，考慮在介質(zhì)中傳播的是一種近似平面波，即能量集中在光軸附近，沿光軸方向傳播。可以假設(shè)光場的橫向分布只與有關(guān)，因此波動方程中的算符可以表示為：我們假設(shè)，其中a為集中大部分能量的橫截面半徑，這一假設(shè)說明衍射效應(yīng)很弱，因此可以將推導(dǎo)局限于單一的橫向場分量，其單色平面波的表達(dá)式為：其中e-ikz表示波數(shù)為k的嚴(yán)格平面波，為了研究修正平面波，我們引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正兩部分。該修正因子滿足慢變近似：將這些相關(guān)假設(shè)帶入波動方程可以得到：令修正因子取以下形式：為什么取這種形式？這是對波動方程進(jìn)行長期研究得到的解，既滿足方程，又有明確的、能夠被實(shí)驗(yàn)證實(shí)的物理意義。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播下面我們研究類透鏡介1082.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播通過將修正因子帶入被假設(shè)修正過的波動方程，可以得到：該方程對不同r都成立，因此r的各次項系數(shù)應(yīng)該為零，整理得到：該式稱為類透鏡介質(zhì)中的簡化的波動方程。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播通過將修正因子帶入被1092.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.2均勻介質(zhì)中的高斯光束均勻介質(zhì)可以認(rèn)為是類透鏡介質(zhì)的一種特例，即k2=0時的類透鏡介質(zhì)，此時簡化波動方程為：引入一中間函數(shù)S，使代入上式得到得出該微分方程的解為，a、b為復(fù)常數(shù)則由p與q的關(guān)系得到C1不影響振幅和相位的分布，因此可以設(shè)C1=0。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.2均勻介質(zhì)中1102.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播將上述結(jié)果代入到的表達(dá)式中有：滿足該表達(dá)式的q0有很多形式，但對其研究發(fā)現(xiàn)純虛數(shù)形式的q0可以得到有物理意義的波，因此假設(shè)q0具有如下表達(dá)形式：將q0的表達(dá)式帶入（1）式中，其指數(shù)的兩項可以分別表示為：2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播將上述結(jié)果代入到1112.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播人為定義以下參數(shù)：將上述參數(shù)帶入到光場的表達(dá)式，整理可以得到光場的表達(dá)式：該式所表示的是均勻介質(zhì)中波動方程的一個解，稱為基本高斯光束解，其橫向依賴關(guān)系只包含r，而與方位角無關(guān)。那些與方位角相關(guān)的分布是高階高斯光束解。上面最后一個表達(dá)式中的兩項，前一項是振幅項，后一項是相位項。為什么是這個解？還有其他解嗎？2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播人為定義以下參數(shù)：將1122.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯分布：在統(tǒng)計學(xué)中更多的被稱為正態(tài)分布，它指的是服從以下概率密度函數(shù)的分布：JohannCarlFriedrichGauss(1777–1855)2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯分布：Johan1132.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束基本特性振幅分布特性 由高斯光束的表達(dá)式可以得到：

在z截面上，其振幅按照高斯函數(shù)規(guī)律變化，如圖所示。 將在光束截面內(nèi)，振幅下降到最大值的1/e時，離光軸的距離定義為該處的光斑半徑。由的定義可以得到：即光束半徑隨傳輸距離的變化規(guī)律為雙曲線，在z=0時有最小值，這個位置被稱為高斯光束的束腰位置。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束基本特性由1142.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播等相位面特性從高斯光束解的相位部分可以得到傳輸過程中的總相移為：將上式同標(biāo)準(zhǔn)球面波的總相移表達(dá)式比較：可以得出結(jié)論，在近軸條件下高斯光束的等相位面是以R(z)為半徑的球面，球面的球心位置隨著光束的傳播不斷變化，由R(z)的表達(dá)式可知：z=0時，,此時的等相位面是平面；時，， 此時等相位面也是平面；時，， 此時的等相位面半徑最??；2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播等相位面特性1152.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播瑞利長度當(dāng)光束從束腰傳播到處時，光束半徑，即光斑面積增大為最小值的兩倍，這個范圍稱為瑞利范圍，從束腰到該處的長度稱為高斯光束的瑞利長度，通常記作。在實(shí)際應(yīng)用中，一般認(rèn)為基模高斯光束在瑞利長度范圍內(nèi)是近似平行的，因此也把瑞利距離長度稱為準(zhǔn)直距離。從瑞利長度表達(dá)式可以得出結(jié)論，高斯光束的束腰半徑越小，其準(zhǔn)直距離越長，準(zhǔn)直性越好。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播瑞利長度1162.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束的孔徑從基模高斯光束的光束半徑表達(dá)式可以得到截面上振幅的分布為：則其光強(qiáng)分布為：考慮垂直于高斯光束傳播方向上存在一無限大平面，以光軸為中心開一半徑為a的孔，則透過該孔徑的光功率與總功率的比值為左下式，通過計算可以得到不同孔徑的功率透過率。在激光應(yīng)用中，高斯光束總要通過各種光學(xué)元件，從上面推導(dǎo)可知，只要光學(xué)元件的孔徑大于3ω/2，即可保證高斯光束的絕大部分功率有效透過。孔徑半徑aω/2ω3ω/22ω功率透過比39.3%86.5%98.89%99.99%2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束的孔徑孔徑半1172.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播遠(yuǎn)場發(fā)散角從高斯光束的等相位面半徑以及光束半徑的分布規(guī)律可以知道，在瑞利長度之外，高斯光束迅速發(fā)散，定義當(dāng)時高斯光束振幅減小到最大值1/e處與z軸夾角為高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角（半角）：包含在全遠(yuǎn)場發(fā)散角內(nèi)的光束功率占 高斯光束總功率的86.5%高斯光束在軸線附近可以看成一種非均勻高斯球面波，在傳播過程中曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯分布，強(qiáng)度集中在軸線及其附近，且等相位面保持球面。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播遠(yuǎn)場發(fā)散角1182.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.3類透鏡介質(zhì)中的高斯光束類透鏡介質(zhì)中k2≠0，此時的簡化波動方程為：

其解仍可以采用與均勻介質(zhì)中相類似的處理方式得到，最終可以求出：2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.3類透鏡介質(zhì)1192.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播類透鏡介質(zhì)中的基本高斯光束解仍然可以采取 的形式，如果我們只討論其中包含r2的指數(shù)部分： 仍取，則q(z)可以表示成：

將(2)式代入(1)式可以得到： 其中ω(z)是光斑半徑，R(z)是等相位面曲率半徑，其物理意義同均勻介質(zhì)中的基本高斯光束解相同，然而數(shù)學(xué)表達(dá)式比較復(fù)雜。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播類透鏡介質(zhì)中的基本高1202.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播前面得到了類透鏡介質(zhì)中高斯光束參數(shù)q(z)的復(fù)數(shù)表達(dá)形式：q0是由邊界條件求出的光束初始條件，將上式同前面得到的光線矩陣比較：2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播前面得到了類透鏡介質(zhì)1212.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.4高斯光束的ABCD法則按照光線矩陣規(guī)則，ABCD矩陣元構(gòu)成的光線矩陣是表示輸出平面上和輸入平面上光線參數(shù)之間的關(guān)系，因此我們?nèi)。涸撌奖硎玖祟愅哥R介質(zhì)中傳播的高斯光束的傳輸變換規(guī)則，可以證明，高斯光束在其他光學(xué)元件上透射或反射都遵循這一規(guī)則，則以規(guī)則稱為高斯光束q參數(shù)變換法則，簡稱ABCD法則。需要注意的是ABCD法則同光線傳播規(guī)則雖然都是用光線矩陣來描述，但是高斯光束的ABCD法則不同于光線傳輸?shù)木仃嚦朔?。高斯光束?jīng)過變換之后仍然為高斯光束2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.4高斯光束的1222.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播例：以焦距為f的薄透鏡為例薄透鏡的光線矩陣為則由ABCD法則可以得到考慮到：代入到(1)式中，并且比較實(shí)部與虛部得到：上面的第一個公式表明薄透鏡兩面的高斯光束光斑半徑相同，這與薄透鏡的特性是一致的；第二個公式表明薄透鏡兩面等相位面的曲率半徑滿足成像公式，即球面中心是關(guān)于該透鏡的共軛像點(diǎn)，這與薄透鏡對球面波成像的規(guī)律是一致的。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播例：以焦距為f的薄透1232.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播我們比較一下下面兩個公式：由這兩個公式我們可以看出高斯光束參數(shù)q(z)與球面波曲率半徑R(z)之間的相似性，稱q(z)為高斯光束的復(fù)曲率半徑，其表達(dá)式為：當(dāng)時，上式可以得出而此時我們討論的對象已經(jīng)從波動光學(xué)過渡到了幾何光學(xué)。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播我們比較一下下面兩個1242.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播經(jīng)過兩個光學(xué)元件的高斯光束設(shè)兩個光學(xué)元件的光線矩陣為入射高斯光束參數(shù)為q1，經(jīng)過第一個光學(xué)元件后有：經(jīng)過第二個光學(xué)元件后：其中：其規(guī)律同光線傳輸規(guī)律相同，可以推廣到任意個光學(xué)元件的傳輸情況。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播經(jīng)過兩個光學(xué)元件的高1252.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.5高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播光線通過雙周期透鏡波導(dǎo)單元的光線矩陣為（ABCD），那么經(jīng)過S個周期后，聯(lián)系S＋1面和第1面的光線矩陣是：其中：用數(shù)學(xué)歸納法可以證明2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.5高斯光束在1262.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束通過透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定性條件由光束參數(shù)變換法則：要使得上式中qs+1為有限值，即光束約束在透鏡波導(dǎo)內(nèi)傳播，就要求

θ為實(shí)數(shù)，即

，由此可得到光束穩(wěn)定性條件：如果θ為虛數(shù)，不妨設(shè)θ=ia，則會隨著S的增加而增加，qs+1沒有確定值，不穩(wěn)定。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播高斯光束通過透鏡波導(dǎo)1272.2.6均勻介質(zhì)中傳播的高階高斯光束前面推導(dǎo)均勻介質(zhì)中的基模高斯光束解時曾假設(shè)振幅橫向分布與方位角無關(guān)，如果考慮方位角的變化，則算符可以表示為：此時波動方程的特解為：代入波動方程，分離變量后解得：2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2.6均勻介質(zhì)中傳播的高階高斯光束2.2光束在均勻介質(zhì)和128其解為厄米多項式仍為基本高斯光束解，所以總的解為其中的m、n為x、y方向上的零點(diǎn)數(shù)，此時高階高斯光束分布為厄米-高斯光束，表示為TEMmn模式。2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播其解為厄米多項式2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播1292.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播幾種高階高斯光束的光強(qiáng)分布圖TEM0TEM1TEM2Hm(x)Hm(x)FI∝H2m(x)F22.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播幾種高階高斯光束的光1302.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播2.2光束在均勻介質(zhì)和類透鏡介質(zhì)中的傳播1312.3高斯光束的變換2.3.1高斯光束的特征參數(shù)1、由(1)、(2)式可知，只要確定了束腰的位置和半徑ω0，就可以確定任何位置的光束半徑和等相位面半徑等參數(shù)；2、當(dāng)確定了某一確定位置z處的ω(z)和R(z)后，也可以通過(1)、(2)式求出束腰位置及大?。?.3高斯光束的變換2.3.1高斯光束的特征參數(shù)1322.3高斯光束的變換3、用q參數(shù)表示由q參數(shù)的定義：可知q參數(shù)將R(z)和ω(z)聯(lián)系在一起了，可以求得：令q0=q(0)，則：通過這些公式，我們可以用高斯光束的q參數(shù)來描述高斯光束。以上三組參數(shù)都可以用來確定高斯光束的具體結(jié)構(gòu)，需要根據(jù)實(shí)際問題來靈活選擇使用哪種參數(shù)。2.3高斯光束的變換3、用q參數(shù)表示1332.3高斯光束的變換2.3.2高斯光束通過薄透鏡的傳輸普通球面波波前曲率半徑的傳播規(guī)律當(dāng)球面波通過焦距為F的薄透鏡時，其波前曲率半徑滿足：將上面兩式與光線矩陣相比較可以得到球面波的傳播規(guī)律：2.3高斯光束的變換2.3.2高斯光束通過薄透鏡的傳輸1342.3高斯光束的變換高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律高斯光束在近軸部分可以看作一系列非均勻、曲率中心不斷改變的球面波，也具有類似于普通球面波的曲率半徑R的參數(shù)，即q參數(shù)：通過整理q的表達(dá)式可以得到：可以得到通過長度為L的均勻介質(zhì)后的q參數(shù)為：其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分別為z1和z2面處的q參數(shù)；其中2.3高斯光束的變換高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律其中1352.3高斯光束的變換透過薄透鏡傳播的高斯光束q參數(shù)變換由薄透鏡性質(zhì)可知，在緊靠薄透鏡的M1和M2兩個面上的光斑大小和強(qiáng)度分布是一樣的，即：可以證明經(jīng)過薄透鏡變換后在像方繼續(xù)傳輸?shù)墓馐詾楦咚构馐膓參數(shù)表達(dá)式以及1式可以得到：R2為等相位面曲率半徑，由球面波球率半徑的變換公式可得：2.3高斯光束的變換透過薄透鏡傳播的高斯光束q參數(shù)變換1362.3高斯光束的變換通過將上面推出的公式同球面波的傳播特性公式相比較，可以看到無論是在對自由空間的傳播或?qū)νㄟ^光學(xué)系統(tǒng)的變換，高斯光束的q參數(shù)都起著和普通球面波的曲率半徑R相同的作用，因此有時將q參數(shù)稱作高斯光束的復(fù)曲率半徑；高斯光束通過光學(xué)元件時q參數(shù)的變換規(guī)律可以類似的用光線矩陣表示出來：由前面的討論我們知道可以用q參數(shù)描述一個高斯光束的具體特征，而且可以通過q參數(shù)和ABCD法則很方便的描述一個高斯光束在通過光學(xué)元件時的傳輸規(guī)律，因此我們將主要采用q參數(shù)來分析薄透鏡高斯光束傳輸問題。2.3高斯光束的變換通過將上面推出的公式同球面波的傳播特性公137

2.3高斯光束的變換已知入射高斯光束束腰半徑為ω0，束腰位置與透鏡的距離為l，透鏡的焦距為F，各參數(shù)相互關(guān)系如下圖，則有：z=0處，在A面處：在B面處：在C面處：2.3高斯光束的變換已知入射高斯光束束腰半徑為ω0，束腰位138

2.3高斯光束的變換由上面的q(C)可以確定經(jīng)過薄透鏡傳輸后的高斯光束特性，下面分情況討論薄透鏡的變換規(guī)律。當(dāng)C面取在像方束腰處，此時，由上一頁的方程聯(lián)立可以求出：由得出：得到的式子是高斯光束束腰的變換關(guān)系式。2.3高斯光束的變換由上面的q(C)可以確定經(jīng)過薄透鏡傳輸139

2.3高斯光束的變換當(dāng)滿足條件時，由束腰位置關(guān)系公式：由束腰半徑的關(guān)系公式：束腰半徑是高斯光束所有光斑半徑的最小值，可以將其類比為幾何光學(xué)中光束的焦點(diǎn)，在滿足假設(shè)條件的情況下，物方、像方高斯光束經(jīng)過薄透鏡后束腰位置和半徑的變換規(guī)律與幾何光學(xué)中的物、像規(guī)律相符，由此可見當(dāng)滿足條件時可以用幾何光學(xué)的方法粗略的研究近軸高斯光束。當(dāng)不滿足以上條件時，則不能套用幾何光學(xué)的結(jié)論，例如當(dāng)時，可以求出 此時物方、像方高斯光束的束腰都位于焦點(diǎn)處，這與幾何光學(xué)中平行光成像于無窮遠(yuǎn)處的結(jié)論不相符。幾何光學(xué)薄透鏡成像垂軸放大率公式幾何光學(xué)薄透鏡成像公式2.3高斯光束的變換當(dāng)滿足140

2.3高斯光束的變換如果令，即像方高斯光束束腰位于透鏡前焦面，可以利用前面的公式求出束腰的半徑：其中：2.3高斯光束的變換如果令，即像方高141

2.3高斯光束的變換2.3.3高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦，指的是通過適當(dāng)?shù)墓鈱W(xué)系統(tǒng)減小像方高斯光束的束腰半徑，從而達(dá)到對其進(jìn)行聚焦的目的。1、F一定時，ω’0隨著l變化的情況

我們將通過前面得到的高斯光束通過薄透鏡變換時束腰半徑變換規(guī)律研究其規(guī)律：2.3高斯光束的變換2.3.3高斯光束的聚焦142

2.3高斯光束的變換A、當(dāng)l<F時，ω’0將隨著l的減小而減小，因此當(dāng)l=0時有最小值：

此時像方高斯光束束腰位置： 而垂軸放大率： 可見當(dāng)l=0時，不論F為何值，都可以對高斯光束進(jìn)行聚焦，且像方束腰位置在前焦點(diǎn)以內(nèi)；如果進(jìn)一步滿足條件，則，此時像方束腰位于透鏡前焦面上，而且聚焦效果隨著F的減小而增強(qiáng)。2.3高斯光束的變換A、當(dāng)l<F時，ω’0將隨著l的減小而143

2.3高斯光束的變換B、當(dāng)l>F時，ω’0隨著l的增大而單調(diào)的減小，當(dāng)時，由公式可以得出結(jié)論 更進(jìn)一步的，如果滿足時，有：

若同時滿足則

可以得出結(jié)論，當(dāng)物方高斯 光束束腰遠(yuǎn)離透鏡時，距離l

的增加以及焦距F的減小都會 引起像方高斯光束束腰半徑 的減小