第3章-一維隨機變量課件

第3章一維隨機變量

隨機變量的概念一維隨機變量及其分布一維離散型隨機變量二項分布泊松分布幾何分布一維連續(xù)型隨機變量均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布一維隨機變量函數(shù)的分布第3章一維隨機變量3.1隨機變量的概念

樣本空間Ω太任意，難以把握，需要將其數(shù)量化，從而便于處理。要求問題涉及的隨機事件與變量相關(guān)(某變量是一個事件)，這樣可以將概率和函數(shù)建立聯(lián)系(可以用概率去度量變量)。正如隨機事件是“其發(fā)生與否隨機會而定”的事件；

隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量。其機會表現(xiàn)為試驗結(jié)果，一個隨機試驗有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個要看機會，即有一定的概率。3.1隨機變量的概念

如擲骰子，擲出的點數(shù)X是一個隨機變量，它可以取1，…，6這6個值中的1個，到底是哪一個，要等擲了骰子后才知道。因此，隨機變量是試驗結(jié)果的函數(shù)。

由此可知，隨機變量與通常的函數(shù)概念沒有什么不同，把握這個概念的關(guān)鍵在于試驗前后之分：在試驗前，無法預(yù)知隨機變量將取何值，這要憑機會，“隨機”的意思就在這里；一旦試驗完成后，隨機變量的取值就確定了。如擲骰子，擲出的點數(shù)X是一個隨機變量，它可以取1，…例1在某廠大批產(chǎn)品中隨機地抽出100個，其中所含廢品數(shù)X是隨機變量。全部可能結(jié)果為wi=“100個產(chǎn)品中有i個廢品”

(i=0,1,…,100)故樣本空間Ω={w0,w1,w2,…,w100}

隨機變量是可能結(jié)果的函數(shù)：X=X(w)wX=X(w0)=0,X=X(w1)=1,X=X(w2)=2,…,X=X(w100)=100所以，X=0,1,2,…,100

例1在某廠大批產(chǎn)品中隨機地抽出100個，其中所含廢品數(shù)X是事件“廢品數(shù)少于50”={w:X(w)＜50}={w0,w1,…,w49}={X＜50}事件{30≤X＜50}={w30,w31,…,w49}例2用天平秤量某物體重量的誤差X是隨機變量。可能結(jié)果w=“某物體重量的誤差為x”x(0,)X=X(w)=xw

所以，隨機變量X(0,)

隨機事件這個概念包含在隨機變量這個更廣的概念之內(nèi)。隨機事件從靜態(tài)的觀點研究隨機現(xiàn)象；隨機變量則是從動態(tài)的觀點去研究。概率論的基礎(chǔ)概念是隨機變量。事件“廢品數(shù)少于50”={w:X(w)＜50}隨機變量定義定義如果對任意實數(shù)x有{w:X(w)＜x}F，則稱定義在樣本空間上的單值實函數(shù)X=X(w)是隨機變量。其中w，F(xiàn)是事件域，{w:X(w)＜x}是一個基本事件的集合，描述一個隨機事件。通常用希臘字母X,Y來表示隨機變量，用英文字母x、y表示其取值。

隨機變量定義說明：

設(shè)X=X(w)，w，X是定義在樣本空間上的單值實函數(shù)，對于任一實數(shù)x，基本事件w的集合{w:X(w)＜x}都是一隨機事件，則稱X=X(w)為隨機變量。隨機變量X=X(w)是基本事件w的函數(shù)，w是自變量，在不必強調(diào)w時，簡記X(w)為X，而w的集合{w:X(w)＜x}所表示的事件簡記為{X＜x}。定義中要求對任一實數(shù)x，{X＜x}都是事件，表明{X＜x}是所討論問題的樣本空間上一個適當(dāng)確定的事件域F中的事件。說明：定義隨機變量后，隨機事件可以用隨機變量來描述。例如對任意實數(shù)x，x1，x2可以證明，形如{w:X(w)=x},{w:X(w)≤x},{w:X(w)>x},{w:X(w)≥x},{w:x1＜X(w)＜x2},{w:x1≤X(w)≤x2},等等，都是隨機變量。在不必強調(diào)w時，簡記{w:x1≤X(w)≤x2}為{x1≤X≤x2}。定義隨機變量后，隨機事件可以用隨機變量來描述。例如對任意實3.2一維隨機變量及其分布函數(shù)

我們不僅關(guān)心X取哪些值，更關(guān)心X以多大的概率取那些值，即關(guān)心X取值的概率規(guī)律(通稱為X的分布)。

根據(jù)隨機變量X的定義，對于每一個實數(shù)x，都有一個確定的隨機事件{w:X(w)＜x}與x對應(yīng)，因此，概率P{w:X(w)＜x}是x的函數(shù)，該函數(shù)在理論和應(yīng)用中都很重要，為此引進隨機變量的分布函數(shù)定義。定義設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)

F(x)=P{w:X(w)＜x}稱為隨機變量X的分布函數(shù)。X的分布函數(shù)也常簡記為

F(x)=P{X＜x}3.2一維隨機變量及其分布函數(shù)

任一隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，x(-,)，具有下列性質(zhì)：(1)單調(diào)不減性。若x1＜x2，則F(x1)≤F(x2)

。

證若x1＜x2,則有｛X＜x1｝｛X＜x2｝

根據(jù)概率的性質(zhì)，得P{X＜x1}≤P{X＜x2｝即F(x1)F(x2)(2)

(3)左連續(xù)性。對任意實數(shù)x0，有反之，如某實函數(shù)具有上述3個性質(zhì)，則它可作為某隨機變量的分布函數(shù)。任一隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，x(-,)由分布函數(shù)，可以計算如下概率：由分布函數(shù)，可以計算如下概率：3.3一維離散型隨機變量

隨機變量全部的可能值只有有限個或至多可列，則稱其為離散型隨機變量。對于離散型隨機變量，除了關(guān)心它全部的可能值之外，還要知道它以怎樣的概率取這些值。對于一個以為其全部不同可能值的離散型隨機變量X，若

則稱式(3-1)或稱{p1,p2,…}為X的概率分布(律)，簡稱分布律。3.3一維離散型隨機變量離散型隨機變量X的概率分布寫作稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱分布列。離散型隨機變量的概率分布{p1，p2，…，Pn，…｝必須滿足兩個條件：

(非負(fù)性條件)

(歸一化|規(guī)范性條件)離散型隨機變量X的概率分布寫作

說明：

這里的求和是對一切xi＜x進行的(如果這樣的xi不存在，便規(guī)定F(x)=0)，此時，F(xiàn)(x)等于X取小于x的所有xi的概率之和或累積，因此分布函數(shù)也叫累積概率。

離散型隨機變量的分布函數(shù)F(x)的圖象為階梯狀，點x1,x2,…,xn都是F(x)的第一類(跳躍)間斷點。說明：隨機試驗１：接連進行兩次射擊，０表示未擊中目標(biāo)，１表示擊中目標(biāo)。樣本空間：現(xiàn)在我們設(shè)定隨機變量X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則隨機試驗２：觀察某程控電話交換機單位時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。樣本空間Ω={0,1,2,…}，以X表示接到的呼喚次數(shù)，那么，X=X(ω)=ω，ω∈Ω是離散型隨機變量。隨機試驗１：接連進行兩次射擊，０表示未擊中目標(biāo)，１表示擊中目例3

設(shè)射手進行計分打靶練習(xí)，有如下規(guī)定：射入?yún)^(qū)域e1得2分，射入?yún)^(qū)域e2得1分，否則就得0分）。一射手進行一次射擊的得分是隨機變量，其可能取得的值為0，1，2。不同的射手在射擊之前，他們進行一次射擊的得分值都是不可預(yù)知的，他們進行一次射擊的得分的概率不同。射手甲在一次射擊中得分X的概率分布為：射手乙在一次射擊中得分Y的概率分布為：例3設(shè)射手進行計分打靶練習(xí)，有如下規(guī)定：射入?yún)^(qū)域e1得2考慮射手甲的概率分布(列)：計算X的分布函數(shù)F(x)=P(X＜x):當(dāng)x≤0時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P()=0當(dāng)0＜x≤1時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P(X=0)=0當(dāng)1＜x≤2時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P(X=0)+P(X=1)=0.2當(dāng)2＜x時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0+0.2+0.8=1考慮射手甲的概率分布(列)：考慮射手乙的概率分布(列)：計算Y的分布函數(shù)F(y)=P(Y＜y):當(dāng)y≤0時，F(xiàn)(y)=P(Y＜y)=P()=0當(dāng)0＜y≤1時，F(xiàn)(y)=P(Y＜y)=P(Y=0)=0.6當(dāng)1＜y≤2時，F(xiàn)(y)=P(Y＜y)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.9當(dāng)2＜y時，F(xiàn)(y)=P(Y＜y)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=0.6+0.3+0.1=1考慮射手乙的概率分布(列)：雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的，但兩人取各可能值的概率完全不同，可以認(rèn)為這是兩個不同的隨機變量。

總值為1的概率，以不同的方式分布到各種可能的取值上，確定了不同的隨機變量。雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的，但兩人

0-1分布(兩點分布)：若隨機變量X只能取兩個值，其分布列為：退化分布(單點分布)：若隨機變量X只取常數(shù)值C，即實際上這時X并不是隨機變量，為了方便和統(tǒng)一起見，將其看作隨機變量。

離散型均勻分布：隨機變量X的分布列為0-1分布(兩點分布)：若隨機變量X只能取兩個值，其分布列例4

已知離散型隨機變量X的概率分布為試求出常數(shù)a。解由于例4已知離散型隨機變量X的概率分布為3.3.1二項分布

在1次試驗中事件A出現(xiàn)的概率是p，則n重伯努利試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)X是二項分布隨機變量，其可能取得的值是0,1,2,…,k,…,n

有分布律

這個值也被記作b(k;n，p)，它正是二項式(px+q)n的展開式中xk的系數(shù)，因而X得名“二項分布”。3.3.1二項分布

在1次試驗中事件A出現(xiàn)的概二項分布列是：

對不同的兩項分布隨機變量，其參數(shù)n，p的取值可以不一樣。常用X～B(n,p)表示X是參數(shù)n和p的二項分布隨機變量。二項分布列是：特別地，n=1時，二項分布為二值分布(兩點分布)，X～B(1,p)其分布列為若X～B(n,p)，由二項概率公式得定理1。特別地，n=1時，二項分布為二值分布(兩點分定理1

在n重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)在k1和k2之間的概率是

在n重伯努利試驗中，事件A至少發(fā)生r次的概率是

特別是在n重伯努利試驗中，事件A至少發(fā)生1次的概率是

定理1例5醫(yī)生對5個人作某疫苗接種試驗，設(shè)已知對試驗反映呈陽性的概率為p=0.45，且各人的反映相應(yīng)獨立。若以X表示反映為陽性的人數(shù)。(1)寫出X的分布律。(2)求恰有3人反映為陽性的概率；(3)求至少有2人反映為陽性的概率。解將觀察1人對該接種疫苗試驗的反映呈“陽性”(發(fā)生A)或“陰性”(發(fā)生)看作是1次伯努利試驗，對5個人試驗看作是5重伯努利試驗，則X～B(5,0.45)(1)X的分布律：例5醫(yī)生對5個人作某疫苗接種試驗，設(shè)已知對試驗反映呈陽性(2)求恰有3人反映為陽性的概率:

(3)求至少有2人反映為陽性的概率：

(2)求恰有3人反映為陽性的概率:例6

已知發(fā)射一枚地對空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.96，問在同樣條件下需發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中敵機的概率大于0.999?解設(shè)需要發(fā)射n枚導(dǎo)彈，則擊中敵機的導(dǎo)彈數(shù)是隨機變量X～B(n,0.96),則

取n=3，即需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈。例6已知發(fā)射一枚地對空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.9例7一個完全不懂阿拉伯語的人去參加一場阿拉伯語考試。假設(shè)考試有5道選擇題，每題給出n個結(jié)果供選擇，其中只有一個結(jié)果是對的。試問他居然能答對3題以上而及格的概率。解

每做1題是1次p=1/n的伯努利試驗，這里A是“答題正確”，則考試是p=1/n的5重伯努利試驗，在5題中恰好答對題數(shù)X～B(5,1/n),此人及格的概率為：

當(dāng)n=3時，此值=0.29當(dāng)n=4時，此值=0.10例7一個完全不懂阿拉伯語的人去參加一場阿拉伯語考試。假設(shè)考定理2

設(shè)X～B(n，p)，則當(dāng)k=ent((n+1)p)時，b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數(shù)，則b(k;n,p)=b(k-1;n,p)同為最大值。定理2設(shè)X～B(n，p)，則當(dāng)k=ent((n+1)p)證明：當(dāng)k＜(n+1)p時，r＞1,則b(k;n,p)＞b(k-1;n,p),概率隨k的增大而增大；當(dāng)(n+1)p是整數(shù)且等于k時,r=1,則b(k;n,p)=b(k-1;n,p);當(dāng)k＞(n+1)p時，r＜1,則b(k;n,p)＜b(k-1;n,p),概率隨k的增大而減??；證明：綜上所述，可得如下結(jié)論：(1)當(dāng)(n+1)p恰為正整數(shù)，記為k0，則b(k0;n,p)=b(k0-1;n,p）同為二項分布概率的最大值；(2)當(dāng)(n+1)p不是整數(shù)時，記k0=ent((n+1)p)，ent((n+1)p)表示取(n+1)p之整數(shù)部分；則b(k0;n,p)為二項分布概率的最大值。綜上所述，可得如下結(jié)論：例8（漁佬問題）漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。解

設(shè)魚的總數(shù)為N，漁佬先從塘中網(wǎng)起100條魚做上記號后放回塘里，過一段時間(使其均勻)再從中網(wǎng)起100條，發(fā)現(xiàn)其中有記號者為2條，由此可估計魚的總數(shù)N，若每條魚2斤，每斤5元，則可估其收入。在第二次打魚時，由于塘中有記號的魚有100條，在漁佬所網(wǎng)起的魚中可能有記號，也可能沒有記號。設(shè)有記號的條數(shù)為X，則X服從二項分布。例8（漁佬問題）漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。

由定理2，當(dāng)X=k0=ent((n+1)p)時，其概率最大。此時認(rèn)為

是合理的。這里n=100，p=100/N,k0=2，解得N=5050(條)，由此，魚佬的收入可估計為

5050×2×5≈5(萬元)

值得注意的是：X=2時取得最大概率只有:

由定理2，當(dāng)X=k0=ent((n+1)p)時，其概率最大3.3.2泊松（Poisson）分布

若隨機變量X以全體自然數(shù)為其一切可能值，X=0,1,2,…，其分布律為

其中參數(shù)＞0為強度。則稱X服從參數(shù)的泊松分布，記為X～P()。3.3.2泊松（Poisson）分布因為＞0，故有P(X=k)＞0。(k=0,1,2,…)

即泊松分布的分布律，具備概率函數(shù)的兩個性質(zhì)。因為＞0，故有P(X=k)＞0。(k=0,1,2,

在實際問題中，有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如:

在任給一段固定的時間間隔內(nèi)，來到公共設(shè)施(公共汽車站、商店、電話交換臺等)要求給予服務(wù)的顧客個數(shù)；炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個數(shù)；顯微鏡下看到的某種細(xì)菌的生長個數(shù)。在實際問題中，有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如

n=10,p=0.4,=np=4n=40,p=0.1=np=4隨著n增大，若np不變,則二項分布與泊松分布逐漸接近。泊松分布與二項分布的關(guān)系n=10,p=0.4,=np=4定理(泊松定理)

設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n,p)(p(0,1)，并與n有關(guān))，且滿足,則

證明定理(泊松定理)第3章-一維隨機變量課件用泊松分布代替兩項分布的條件

在實際應(yīng)用中，當(dāng)ｎ很大(n≥10)，ｐ很小時(ｐ≤0.1)，有下面的泊松近似公式其中λ=np。用泊松分布代替兩項分布的條件例9

設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為0.001，且各次射擊是否中目標(biāo)可看作相互無影響，若射擊5000次，試求：(１)擊中12彈的概率；(２)至少擊中12彈的概率。解設(shè)X為擊中目標(biāo)的彈數(shù)，則X～B(5000,0.001)，下面用近似公式計算。其中λ=np=5000×0.001=5（１）擊中12彈的概率為：（２）至少擊中12彈的概率為：例9設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為0.001，且各次射擊是否中目例10由商店的銷售記錄知，某商品的月售出量X服從=10的泊松分布。為能以95%以上的概率保證不脫銷，問在無庫存的情況下月底應(yīng)進貨多少？解商店備貨過多將明顯地提高成本，而長期貨源不足則會影響商譽。因此需用概率方法確定合適的備貨量，依照問題的要求，若月底進貨量為Q，則應(yīng)使

P(X≤Q)≥0.95

例10由商店的銷售記錄知，某商品的月售出量X服從=10的

P(X≤14)＜0.95P(X≤15)＞0.95應(yīng)取Q=15故月底進貨該商品15件，可有95%以上的把握使該商品在下個月的經(jīng)營中不會脫銷。

例11（合作問題）設(shè)有同類設(shè)備80臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理，試求：(1)由1個人負(fù)責(zé)維修指定的20臺設(shè)備，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；(2)由3個人共同負(fù)責(zé)維修80臺設(shè)備時，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。解(1)由一個人負(fù)責(zé)維修20臺設(shè)備時，設(shè)X表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù),則X～B(20,0.01)。因為一個人在同一時刻只能處理1臺發(fā)生故障的設(shè)備，所以設(shè)備發(fā)生故障而不能及時處理，即是在同一時刻至少有2臺設(shè)備發(fā)生故障，于是所求概率為例11（合作問題）設(shè)有同類設(shè)備80臺，各臺工作是相互獨立的

也可用泊松公式近似：=np=200.01=0.2

(2)

由3個人共同負(fù)責(zé)維修80臺設(shè)備時，設(shè)80臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為X，則X～B(80,0.01)。當(dāng)同一時刻至少有4臺設(shè)備發(fā)生故障時，故障不能及時維修。由泊松近似公式=np=800.01=0.8，所求概率為

可見，由三個人共同負(fù)責(zé)維修80臺，即每人平均約維修27臺，比一個人單獨維修20臺更好，既節(jié)約了人力又提高了工作效率。(2)由3個人共同負(fù)責(zé)維修80臺設(shè)備時，設(shè)80臺設(shè)備中發(fā)生3.3.3幾何分布

如果隨機變量的分布律為則稱隨機變量服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X～G(p)。幾何分布主要描述這樣的情形：獨立地連續(xù)做試驗，直到事件A首次出現(xiàn)為止。此時首次出現(xiàn)A時的試驗次數(shù)為隨機變量X，P(A)=p,則X服從參數(shù)為p的幾何分布。如：某射手的命中率為p，此射手向一目標(biāo)獨立地連續(xù)進行射擊，直到命中目標(biāo)為止。若用X表示首次命中目標(biāo)時的射擊次數(shù)，則X服從參數(shù)為p的幾何分布。3.3.3幾何分布這是p=0.3的幾何分布：第3章-一維隨機變量課件例12

在石頭、剪子、布的游戲中，問：(1)甲方提出“若一次能決出勝負(fù)，則甲方贏；否則乙方贏”，乙方能同意嗎？(2)比賽三次能決出勝負(fù)嗎？解(1)P(甲方贏)=P(第一次就能決出勝負(fù))=P(甲勝或乙勝)=P(甲勝)+P(乙勝)=1/3+1/3=2/3

P(乙方贏)=1-P(甲方贏)=1/3故乙方不能同意。例12在石頭、剪子、布的游戲中，問：比賽三次能決出勝負(fù)嗎？設(shè)X為決出勝負(fù)所需的比賽次數(shù)，則X的取值為｛1,2,3,…｝，此為獨立連續(xù)試驗。P(在1次比賽中能決出勝負(fù))=2/3，于是X服從p=2/3的幾何分布。即

P(三次還不能決出勝負(fù))=P(X>3)=1-P(X≤3)比賽三次能決出勝負(fù)嗎？例13

一個人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把是能開此門的，現(xiàn)隨機地從中取出一把鑰匙來試開門，在試開時每一把鑰匙均以1/n的概率被取用，問此人直到第S次試開時方才成功的概率是多少？解A={試開門成功}例13一個人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把是能開此幾何分布具有如下特征：如X的分布律為g(k;p)，則對任意正整數(shù)s、t，有P(X＞s+t︱X＞s)=P(X＞t)稱幾何分布具有“無記憶”性。證明幾何分布具有如下特征：超幾何分布例14

在一箱N件裝的產(chǎn)品中混進了M件次品，今從中抽取n件(n≤M)，求從中查出次品的件數(shù)X的概率分布。解超幾何分布負(fù)二項分布在“成功”概率是p的貝努利試驗中，出現(xiàn)第r次成功時所作的試驗次數(shù)X所服從的分布稱為負(fù)二項分布。由于f(k;r,p)是負(fù)指數(shù)二項式展開式中的項，故X所服從的分布稱為負(fù)二項分布。由此也可以證明負(fù)二項分布證明證明例15

兩個同類型的系統(tǒng)，開始時各有N個備件，一旦出現(xiàn)故障，就要更換一個備件。假定兩個系統(tǒng)的運行條件相同，不同時發(fā)生故障。試求當(dāng)一個系統(tǒng)需用備件而發(fā)現(xiàn)備件已用光時，另一系統(tǒng)尚有r個備件的概率Pr。(r=0,1,…,N)解

只考慮出故障的時刻故障的出現(xiàn)看作是貝努利試驗，有例15兩個同類型的系統(tǒng)，開始時各有N個備件，一旦出現(xiàn)故障

要第一個系統(tǒng)缺備件而第二個系統(tǒng)剩r件，應(yīng)該是A出現(xiàn)N＋1次故障(前N次用去所有N個備件，最后一次故障發(fā)生時缺乏調(diào)換的備件)，而A出現(xiàn)N－r次，這事件的概率為：

對于第二個系統(tǒng)先缺備件的情況可同樣考慮，因此所求概率Pr為：要第一個系統(tǒng)缺備件而第二個系統(tǒng)剩r件，應(yīng)該是A3.4一維連續(xù)型隨機變量

當(dāng)一個隨機變量X的分布函數(shù)FX(x)可寫成“變上限積分”的形式：

稱X為連續(xù)型隨機變量，稱為fX(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。

可以證明，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

3.4一維連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)與分布函數(shù)的性質(zhì)：

(3)而分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)(在連續(xù)點上)就是其密度函

數(shù)，即

對任意類型的隨機變量均成立密度函數(shù)與分布函數(shù)的性質(zhì)：對任意類型的證明

(１)由定義知，顯然f(x)≥0。

(２)分布函數(shù)性質(zhì)知，由廣義積分概念與分布函數(shù)的定義知，證明(１)由定義知，顯然f(x)≥0。(5)密度函數(shù)f(x)并不直接表示概率值的大小。但在區(qū)間很小時，f(x)的數(shù)值還是能反映出隨機變量在x附近取值的概率大小的。

上式表明，在小區(qū)間[x-x,x]內(nèi)的概率值大約為密度值與區(qū)間長度x的乘積。(5)密度函數(shù)f(x)并不直接表示概率值的大小。但在區(qū)間(6)可見，連續(xù)型隨機變量X取一個固定值的概率為0。并且有

對任意類型的隨機變量均成立(6)對任意類型的例16

設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為(１)求常數(shù)Ａ、Ｂ；(２)判斷X是否是連續(xù)型隨機變量；(３)求P{-1≤X＜1/2}解(１)由分布函數(shù)性質(zhì)得例16設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為(2)因為所以F(x)不是連續(xù)函數(shù)，從而X不是連續(xù)型隨機變量。(2)因為例17

設(shè)已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)是(1)確定a的值；(2)求X的分布函數(shù)F(x)；(3)求概率P(X2＞1)。解(1)根據(jù)密度的性質(zhì)，有a＞0以及并稱該隨機變量服從柯西(Cauchy)分布。例17設(shè)已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)是(2)求X的分布函數(shù)F(x)：(3)求概率P(X2＞1)：(2)求X的分布函數(shù)F(x)：例18

向半徑為R的圓形靶射擊，假定不會發(fā)生脫靶的情況，彈著點落在以靶心O為中心，r為半徑(r≤R)的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比。設(shè)隨機變量X表示彈著點與靶心的距離，試求X的分布函數(shù)F(x)及其密度函數(shù)f(x)解因為不會發(fā)生脫靶，所以X的一切可能值是[0,R]，

當(dāng)x≤0時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P()=0，當(dāng)0＜x≤R時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=kx2，由于F(R)=P(X＜R)=1，kR2=1

例18向半徑為R的圓形靶射擊，假定不會發(fā)生脫靶的情況，彈

當(dāng)x＞R時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P(必然事件)=1

由于所以，密度函數(shù)為：當(dāng)x＞R時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P(必然事件)=13.4.1均勻分布最簡單的連續(xù)型隨機變量是密度函數(shù)在某有限區(qū)間取正的常數(shù)值，其余皆取零的隨機變量，稱為均勻分布。均勻分布密度函數(shù)f(x)為

3.4.1均勻分布其分布函數(shù)F(x)為其分布函數(shù)F(x)為第3章-一維隨機變量課件例19

隨機地向區(qū)間(-1,1)投擲點，X為其橫坐標(biāo)，試求關(guān)于t的二次方程t2+3Xt+1=0有實根的概率。解

X在(-1,1)上服從均勻分布，其密度函數(shù)為方程t2+3Xt+1=0有實根的的充要條件是9X2-40則方程有實根的概率為例19隨機地向區(qū)間(-1,1)投擲點，X為其橫坐標(biāo)，試求自測題某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客到達(dá)汽車站的任一時刻的可能性是相同的，求(1)乘客候車時間不超過3分鐘的概率；(2)若甲、乙、丙分別獨立等候1、2、3路汽車時，三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率。答案：(1)P=0.6；(2)設(shè)Y={三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘}，

P{Y≥2}=0.352自測題某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客到達(dá)3.4.2指數(shù)分布

若一個連續(xù)型隨機變量X具有概率密度函數(shù)：則稱X為帶參數(shù)a(a＞0)的指數(shù)分布隨機變量，記作X～E(a)。

其分布函數(shù)為

3.4.2指數(shù)分布指數(shù)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)圖像指數(shù)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)圖像例26

設(shè)到某服務(wù)窗口辦事，需要排隊等候，若等待的時間X是指數(shù)分布隨機變量(單位：分鐘)，則其概率密度為

某人到此窗口辦事，在等待15分鐘后仍未能得到接待時，他就憤然離去，若此人在一個月內(nèi)共去該處10次，試求：(1)有2次憤然離去的概率；(2)最多有2次憤然離去的概率；(3)至少有2次憤然離去的概率。例26設(shè)到某服務(wù)窗口辦事，需要排隊等候，若等待的時間X是解

首先求出他在任一次排隊服務(wù)時，以憤然離去而告終的概率。

在10次排隊中憤然離去的次數(shù)Y～B(10,p)

有2次憤然離去的概率P(Y=2)=最多有2次憤然離去的概率

至少有2次憤然離去的概率P(Y2)

解首先求出他在任一次排隊服務(wù)時，以憤然離去而告終的概率。自測題設(shè)隨機變量X具有分布密度試確定λ，并求P(X≤0.1)。答案：λ=3

P(X≤0.1)=0.259自測題設(shè)隨機變量X具有分布密度3.5正態(tài)分布

在實際問題中，有許多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布，例如，測量誤差；各種產(chǎn)品的質(zhì)量指示(零件的尺寸、材料的強度、電子管的壽命…)；生物學(xué)中，同一群體的某種特征(某種動物的身長、體重；某種植物的株高、單位面積產(chǎn)量，…)等等。

在理論上可以證明，若X是某一隨機試驗的隨機變量，如果決定試驗結(jié)果的是大量的偶然因素的總和，各個偶然因素之間近乎相互獨立，并且每個偶然因素的單獨作用相對于作用的總和來說均勻地小，那么X就近似服從正態(tài)分布。

正態(tài)分布又叫高斯(Gauss)分布，它是最重要的連續(xù)型分布，在概率論中占有極其重要的地位，在實際中有著十分廣泛的應(yīng)用。

3.5正態(tài)分布稱概率密度為

的隨機變量X服從正態(tài)分布(或高斯分布)，記作X～N(,2)，其中，＞0，與是常數(shù)。正態(tài)分布的分布函數(shù)是稱概率密度為

特別地稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度常記為其分布函數(shù)記為特別地稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度常記為若X～N(2)，則結(jié)論當(dāng)a=-∞或b=+∞時也成立。證明若X～N(2)，則

一般正態(tài)分布的概率可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計算。若X～N(2),作標(biāo)準(zhǔn)變換：則新的隨機變量X*～N(01)一般正態(tài)分布的概率可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計算。正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)f(x)和F(x)處處大于零，且具有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(2)f(x)在區(qū)間(-∞,μ)內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間(μ,+∞)內(nèi)單調(diào)減少，在x=處取得最大值當(dāng)x→-∞或x→+∞時,f(x)→0,即x軸(y=0)是f(x)的漸近線。

f(x)的圖形關(guān)于直線x=對稱，即f(-x)=f(+x)。是X的數(shù)學(xué)期望(加權(quán)平均值)。

=0時，則有f(-x)=f(x)，即這時f(x)關(guān)于y軸(x=0)對稱。正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)有下列性質(zhì)：固定時，越小，密度曲線越是尖狹；固定時，越大，密度曲線越是平寬。是X的標(biāo)準(zhǔn)差(描述了X的發(fā)散程度)。固定時，越小，密度曲線越是尖狹；(3)F(-x)=1-F(+

x)特別有F(-x)=1-F(x)(Ф(-x)=1-

Ф(x))(4)(3)F(-x)=1-F(+x)(5)如果X～N(0,1),則P{|X|＜x}=2Φ(x)-1證明(6)如果X～N(0,1)，則P{|X|>x}=2

[1-Φ(x)]證明(5)如果X～N(0,1),則P{|X|＜x}=2Φ(x例20

設(shè)X～N(0,1)，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)的表計算：

(1)P{X<-1.24}(2)P{|X|<1.54}例20設(shè)X～N(0,1)，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ例21設(shè)X～N(0,1)，求使P{|X|＞x}=0.1的x。例21設(shè)X～N(0,1)，求使P{|X|＞x}=0.1的例22設(shè)X～N(-14

)，試求P(-5X1),P(-2X2),P(|X|＜1)，

P(|X|3/2)解=-1，2=4，=2

例22設(shè)X～N(-14)，試求P(-5X1),由于-x=1-(x)

由于-x=1-(x)

第3章-一維隨機變量課件例23

設(shè)已知測量誤差X～N(0,102)，現(xiàn)獨立重復(fù)進行100次測量，求誤差絕對值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率。解

這個問題既涉及正態(tài)分布，又涉及二項分布。第一步：以A表示一次測量中“誤差絕對值超過19.6”的事件，則有

例23設(shè)已知測量誤差X～N(0,102)，現(xiàn)獨立重復(fù)進行

第二步：以Y表示100次獨立重復(fù)測量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則Y～B(100,0.05)。誤差絕對值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率為

P(Y≥3)=1-P(Y＜3)第三步：由于n=100較大而p=0.05很小，故二項分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得

P(Y≥3)=1-P(Y＜3)

=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)第二步：以Y表示100次獨立重復(fù)測量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，例24

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.01以下來設(shè)計的。設(shè)男子身高X服從=170cm,=6cm的正態(tài)分布，即X～N(170，62)，試確定車門的高度。解

設(shè)車門的高度為hcm，根據(jù)設(shè)計要求應(yīng)有

P(X＞h)≤0.01則1-P(X≤h)≤0.01即P(X≤h)≥0.99由于X～N(170，62)，

例24公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.例25從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時間(單位為分鐘)服從正態(tài)分布N(50,100)，第二條沿環(huán)城公路走，路線較長，但意外堵塞較少，所需時間(單位為分鐘)服從正態(tài)分布N(60,16)。(1)如有70分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？(2)如只有65分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？例25從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車有兩條路線可走，解解第3章-一維隨機變量課件3.7一維隨機變量函數(shù)的分布

當(dāng)隨機變量X的分布已知時，怎樣求出它的函數(shù)Y＝g(X)的分布。為了使Y有分布，要求Y是隨機變量，因此對函數(shù)Y=g(x)也必須有一定的要求。為簡單起見，只討論g(x)是連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)的情形，在這些情形下，如果X是隨機變量，則Y＝g(X)也是隨機變量。在一些具體的分布中，可以了解解決這類問題的基本方法。3.7一維隨機變量函數(shù)的分布例27

設(shè)X的分布律為試求函數(shù)YX2，Z2X-1，W|X|+1的分布。解由X的分布律可列出下表：將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項，得YX2的分布律：X-2-1012P0.150.20.20.20.25X241014P0.150.20.20.20.25YX2014P0.20.40.4例27設(shè)X的分布律為X-2-1012P0.150.20.Z2X-1的分布律：W|X|+1：將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項，得W|X|+1的分布律為Z2X-1-5-3-113P0.150.20.20.20.25W|X|+132123P0.150.20.20.20.25W|X|+1123P0.20.40.4Z2X-1的分布律：Z2X-1-5-3-113P0.15一般情況下，已知離散型隨機變量X的分布律：則函數(shù)g(X)的分布（若某些g(xi)相等，合并同值項）：Xx1x2……xn……Pp1p2……pn……g(X)g(x1)g(x2)……g(xn)……Pp1p2……pn……一般情況下，已知離散型隨機變量X的分布律：Xx1x2……xn

對連續(xù)型隨機變量X，求其函數(shù)g(X)的分布。例28

設(shè)隨機變量X具有連續(xù)的分布密度fXx，試求Y=aX+b的(其中a，b是常數(shù)，且a0)密度函數(shù)fY(y)。解

設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)當(dāng)a＞0時，對連續(xù)型隨機變量X，求其函數(shù)g(X)的分布。當(dāng)a＜0時，當(dāng)a＜0時，例29設(shè)隨機變量X～N(,2),求的密度函數(shù)Y(y)。解由于X～N(,2)的密度函數(shù)是利用上例結(jié)果，得可見，當(dāng)X～N(,2)時，則,表明服從任一正態(tài)分布的隨機變量必定可以標(biāo)準(zhǔn)化(服從一般正態(tài)分布的隨機變量經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)變換后服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)。例29設(shè)隨機變量X～N(,2),求書面作業(yè)：P53～P56

3-4

3-53-73-153-183-223-27書面作業(yè)：P53～P56例30(習(xí)題3-28)設(shè)X～N(a,2)，求的密度函數(shù)。解

先求的分布函數(shù)FY(y)=P(Y＜y)=P(eX＜y)當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P(eX＜y)=P(不可能事件)=0當(dāng)y>0時,FY(y)=P(eX＜y)=P(X＜lny)例30(習(xí)題3-28)設(shè)X～N(a,2)，求則有密度函數(shù)：則有密度函數(shù)：證明證明作業(yè)評講1、解作業(yè)評講1、解第3章-一維隨機變量課件2、解2、解12、解12、解14、解14、解15、解15、解16、解16、解18、解19、解18、解19、解23、解23、解25、解25、解27、解27、解第3章-一維隨機變量課件28、解28、解29、解29、解30、解30、解第3章一維隨機變量

隨機變量的概念一維隨機變量及其分布一維離散型隨機變量二項分布泊松分布幾何分布一維連續(xù)型隨機變量均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布一維隨機變量函數(shù)的分布第3章一維隨機變量3.1隨機變量的概念

樣本空間Ω太任意，難以把握，需要將其數(shù)量化，從而便于處理。要求問題涉及的隨機事件與變量相關(guān)(某變量是一個事件)，這樣可以將概率和函數(shù)建立聯(lián)系(可以用概率去度量變量)。正如隨機事件是“其發(fā)生與否隨機會而定”的事件；

隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量。其機會表現(xiàn)為試驗結(jié)果，一個隨機試驗有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個要看機會，即有一定的概率。3.1隨機變量的概念

如擲骰子，擲出的點數(shù)X是一個隨機變量，它可以取1，…，6這6個值中的1個，到底是哪一個，要等擲了骰子后才知道。因此，隨機變量是試驗結(jié)果的函數(shù)。

由此可知，隨機變量與通常的函數(shù)概念沒有什么不同，把握這個概念的關(guān)鍵在于試驗前后之分：在試驗前，無法預(yù)知隨機變量將取何值，這要憑機會，“隨機”的意思就在這里；一旦試驗完成后，隨機變量的取值就確定了。如擲骰子，擲出的點數(shù)X是一個隨機變量，它可以取1，…例1在某廠大批產(chǎn)品中隨機地抽出100個，其中所含廢品數(shù)X是隨機變量。全部可能結(jié)果為wi=“100個產(chǎn)品中有i個廢品”

(i=0,1,…,100)故樣本空間Ω={w0,w1,w2,…,w100}

隨機變量是可能結(jié)果的函數(shù)：X=X(w)wX=X(w0)=0,X=X(w1)=1,X=X(w2)=2,…,X=X(w100)=100所以，X=0,1,2,…,100

例1在某廠大批產(chǎn)品中隨機地抽出100個，其中所含廢品數(shù)X是事件“廢品數(shù)少于50”={w:X(w)＜50}={w0,w1,…,w49}={X＜50}事件{30≤X＜50}={w30,w31,…,w49}例2用天平秤量某物體重量的誤差X是隨機變量?？赡芙Y(jié)果w=“某物體重量的誤差為x”x(0,)X=X(w)=xw

所以，隨機變量X(0,)

隨機事件這個概念包含在隨機變量這個更廣的概念之內(nèi)。隨機事件從靜態(tài)的觀點研究隨機現(xiàn)象；隨機變量則是從動態(tài)的觀點去研究。概率論的基礎(chǔ)概念是隨機變量。事件“廢品數(shù)少于50”={w:X(w)＜50}隨機變量定義定義如果對任意實數(shù)x有{w:X(w)＜x}F，則稱定義在樣本空間上的單值實函數(shù)X=X(w)是隨機變量。其中w，F(xiàn)是事件域，{w:X(w)＜x}是一個基本事件的集合，描述一個隨機事件。通常用希臘字母X,Y來表示隨機變量，用英文字母x、y表示其取值。

隨機變量定義說明：

設(shè)X=X(w)，w，X是定義在樣本空間上的單值實函數(shù)，對于任一實數(shù)x，基本事件w的集合{w:X(w)＜x}都是一隨機事件，則稱X=X(w)為隨機變量。隨機變量X=X(w)是基本事件w的函數(shù)，w是自變量，在不必強調(diào)w時，簡記X(w)為X，而w的集合{w:X(w)＜x}所表示的事件簡記為{X＜x}。定義中要求對任一實數(shù)x，{X＜x}都是事件，表明{X＜x}是所討論問題的樣本空間上一個適當(dāng)確定的事件域F中的事件。說明：定義隨機變量后，隨機事件可以用隨機變量來描述。例如對任意實數(shù)x，x1，x2可以證明，形如{w:X(w)=x},{w:X(w)≤x},{w:X(w)>x},{w:X(w)≥x},{w:x1＜X(w)＜x2},{w:x1≤X(w)≤x2},等等，都是隨機變量。在不必強調(diào)w時，簡記{w:x1≤X(w)≤x2}為{x1≤X≤x2}。定義隨機變量后，隨機事件可以用隨機變量來描述。例如對任意實3.2一維隨機變量及其分布函數(shù)

我們不僅關(guān)心X取哪些值，更關(guān)心X以多大的概率取那些值，即關(guān)心X取值的概率規(guī)律(通稱為X的分布)。

根據(jù)隨機變量X的定義，對于每一個實數(shù)x，都有一個確定的隨機事件{w:X(w)＜x}與x對應(yīng)，因此，概率P{w:X(w)＜x}是x的函數(shù)，該函數(shù)在理論和應(yīng)用中都很重要，為此引進隨機變量的分布函數(shù)定義。定義設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)

F(x)=P{w:X(w)＜x}稱為隨機變量X的分布函數(shù)。X的分布函數(shù)也常簡記為

F(x)=P{X＜x}3.2一維隨機變量及其分布函數(shù)

任一隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，x(-,)，具有下列性質(zhì)：(1)單調(diào)不減性。若x1＜x2，則F(x1)≤F(x2)

。

證若x1＜x2,則有｛X＜x1｝｛X＜x2｝

根據(jù)概率的性質(zhì)，得P{X＜x1}≤P{X＜x2｝即F(x1)F(x2)(2)

(3)左連續(xù)性。對任意實數(shù)x0，有反之，如某實函數(shù)具有上述3個性質(zhì)，則它可作為某隨機變量的分布函數(shù)。任一隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，x(-,)由分布函數(shù)，可以計算如下概率：由分布函數(shù)，可以計算如下概率：3.3一維離散型隨機變量

隨機變量全部的可能值只有有限個或至多可列，則稱其為離散型隨機變量。對于離散型隨機變量，除了關(guān)心它全部的可能值之外，還要知道它以怎樣的概率取這些值。對于一個以為其全部不同可能值的離散型隨機變量X，若

則稱式(3-1)或稱{p1,p2,…}為X的概率分布(律)，簡稱分布律。3.3一維離散型隨機變量離散型隨機變量X的概率分布寫作稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱分布列。離散型隨機變量的概率分布{p1，p2，…，Pn，…｝必須滿足兩個條件：

(非負(fù)性條件)

(歸一化|規(guī)范性條件)離散型隨機變量X的概率分布寫作

說明：

這里的求和是對一切xi＜x進行的(如果這樣的xi不存在，便規(guī)定F(x)=0)，此時，F(xiàn)(x)等于X取小于x的所有xi的概率之和或累積，因此分布函數(shù)也叫累積概率。

離散型隨機變量的分布函數(shù)F(x)的圖象為階梯狀，點x1,x2,…,xn都是F(x)的第一類(跳躍)間斷點。說明：隨機試驗１：接連進行兩次射擊，０表示未擊中目標(biāo)，１表示擊中目標(biāo)。樣本空間：現(xiàn)在我們設(shè)定隨機變量X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則隨機試驗２：觀察某程控電話交換機單位時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。樣本空間Ω={0,1,2,…}，以X表示接到的呼喚次數(shù)，那么，X=X(ω)=ω，ω∈Ω是離散型隨機變量。隨機試驗１：接連進行兩次射擊，０表示未擊中目標(biāo)，１表示擊中目例3

設(shè)射手進行計分打靶練習(xí)，有如下規(guī)定：射入?yún)^(qū)域e1得2分，射入?yún)^(qū)域e2得1分，否則就得0分）。一射手進行一次射擊的得分是隨機變量，其可能取得的值為0，1，2。不同的射手在射擊之前，他們進行一次射擊的得分值都是不可預(yù)知的，他們進行一次射擊的得分的概率不同。射手甲在一次射擊中得分X的概率分布為：射手乙在一次射擊中得分Y的概率分布為：例3設(shè)射手進行計分打靶練習(xí)，有如下規(guī)定：射入?yún)^(qū)域e1得2考慮射手甲的概率分布(列)：計算X的分布函數(shù)F(x)=P(X＜x):當(dāng)x≤0時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P()=0當(dāng)0＜x≤1時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P(X=0)=0當(dāng)1＜x≤2時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P(X=0)+P(X=1)=0.2當(dāng)2＜x時，F(xiàn)(x)=P(X＜x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0+0.2+0.8=1考慮射手甲的概率分布(列)：考慮射手乙的概率分布(列)：計算Y的分布函數(shù)F(y)=P(Y＜y):當(dāng)y≤0時，F(xiàn)(y)=P(Y＜y)=P()=0當(dāng)0＜y≤1時，F(xiàn)(y)=P(Y＜y)=P(Y=0)=0.6當(dāng)1＜y≤2時，F(xiàn)(y)=P(Y＜y)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.9當(dāng)2＜y時，F(xiàn)(y)=P(Y＜y)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=0.6+0.3+0.1=1考慮射手乙的概率分布(列)：雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的，但兩人取各可能值的概率完全不同，可以認(rèn)為這是兩個不同的隨機變量。

總值為1的概率，以不同的方式分布到各種可能的取值上，確定了不同的隨機變量。雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的，但兩人

0-1分布(兩點分布)：若隨機變量X只能取兩個值，其分布列為：退化分布(單點分布)：若隨機變量X只取常數(shù)值C，即實際上這時X并不是隨機變量，為了方便和統(tǒng)一起見，將其看作隨機變量。

離散型均勻分布：隨機變量X的分布列為0-1分布(兩點分布)：若隨機變量X只能取兩個值，其分布列例4

已知離散型隨機變量X的概率分布為試求出常數(shù)a。解由于例4已知離散型隨機變量X的概率分布為3.3.1二項分布

在1次試驗中事件A出現(xiàn)的概率是p，則n重伯努利試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)X是二項分布隨機變量，其可能取得的值是0,1,2,…,k,…,n

有分布律

這個值也被記作b(k;n，p)，它正是二項式(px+q)n的展開式中xk的系數(shù)，因而X得名“二項分布”。3.3.1二項分布

在1次試驗中事件A出現(xiàn)的概二項分布列是：

對不同的兩項分布隨機變量，其參數(shù)n，p的取值可以不一樣。常用X～B(n,p)表示X是參數(shù)n和p的二項分布隨機變量。二項分布列是：特別地，n=1時，二項分布為二值分布(兩點分布)，X～B(1,p)其分布列為若X～B(n,p)，由二項概率公式得定理1。特別地，n=1時，二項分布為二值分布(兩點分定理1

在n重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)在k1和k2之間的概率是

在n重伯努利試驗中，事件A至少發(fā)生r次的概率是

特別是在n重伯努利試驗中，事件A至少發(fā)生1次的概率是

定理1例5醫(yī)生對5個人作某疫苗接種試驗，設(shè)已知對試驗反映呈陽性的概率為p=0.45，且各人的反映相應(yīng)獨立。若以X表示反映為陽性的人數(shù)。(1)寫出X的分布律。(2)求恰有3人反映為陽性的概率；(3)求至少有2人反映為陽性的概率。解將觀察1人對該接種疫苗試驗的反映呈“陽性”(發(fā)生A)或“陰性”(發(fā)生)看作是1次伯努利試驗，對5個人試驗看作是5重伯努利試驗，則X～B(5,0.45)(1)X的分布律：例5醫(yī)生對5個人作某疫苗接種試驗，設(shè)已知對試驗反映呈陽性(2)求恰有3人反映為陽性的概率:

(3)求至少有2人反映為陽性的概率：

(2)求恰有3人反映為陽性的概率:例6

已知發(fā)射一枚地對空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.96，問在同樣條件下需發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中敵機的概率大于0.999?解設(shè)需要發(fā)射n枚導(dǎo)彈，則擊中敵機的導(dǎo)彈數(shù)是隨機變量X～B(n,0.96),則

取n=3，即需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈。例6已知發(fā)射一枚地對空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.9例7一個完全不懂阿拉伯語的人去參加一場阿拉伯語考試。假設(shè)考試有5道選擇題，每題給出n個結(jié)果供選擇，其中只有一個結(jié)果是對的。試問他居然能答對3題以上而及格的概率。解

每做1題是1次p=1/n的伯努利試驗，這里A是“答題正確”，則考試是p=1/n的5重伯努利試驗，在5題中恰好答對題數(shù)X～B(5,1/n),此人及格的概率為：

當(dāng)n=3時，此值=0.29當(dāng)n=4時，此值=0.10例7一個完全不懂阿拉伯語的人去參加一場阿拉伯語考試。假設(shè)考定理2

設(shè)X～B(n，p)，則當(dāng)k=ent((n+1)p)時，b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數(shù)，則b(k;n,p)=b(k-1;n,p)同為最大值。定理2設(shè)X～B(n，p)，則當(dāng)k=ent((n+1)p)證明：當(dāng)k＜(n+1)p時，r＞1,則b(k;n,p)＞b(k-1;n,p),概率隨k的增大而增大；當(dāng)(n+1)p是整數(shù)且等于k時,r=1,則b(k;n,p)=b(k-1;n,p);當(dāng)k＞(n+1)p時，r＜1,則b(k;n,p)＜b(k-1;n,p),概率隨k的增大而減??；證明：綜上所述，可得如下結(jié)論：(1)當(dāng)(n+1)p恰為正整數(shù)，記為k0，則b(k0;n,p)=b(k0-1;n,p）同為二項分布概率的最大值；(2)當(dāng)(n+1)p不是整數(shù)時，記k0=ent((n+1)p)，ent((n+1)p)表示取(n+1)p之整數(shù)部分；則b(k0;n,p)為二項分布概率的最大值。綜上所述，可得如下結(jié)論：例8（漁佬問題）漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。解

設(shè)魚的總數(shù)為N，漁佬先從塘中網(wǎng)起100條魚做上記號后放回塘里，過一段時間(使其均勻)再從中網(wǎng)起100條，發(fā)現(xiàn)其中有記號者為2條，由此可估計魚的總數(shù)N，若每條魚2斤，每斤5元，則可估其收入。在第二次打魚時，由于塘中有記號的魚有100條，在漁佬所網(wǎng)起的魚中可能有記號，也可能沒有記號。設(shè)有記號的條數(shù)為X，則X服從二項分布。例8（漁佬問題）漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。

由定理2，當(dāng)X=k0=ent((n+1)p)時，其概率最大。此時認(rèn)為

是合理的。這里n=100，p=100/N,k0=2，解得N=5050(條)，由此，魚佬的收入可估計為

5050×2×5≈5(萬元)

值得注意的是：X=2時取得最大概率只有:

由定理2，當(dāng)X=k0=ent((n+1)p)時，其概率最大3.3.2泊松（Poisson）分布

若隨機變量X以全體自然數(shù)為其一切可能值，X=0,1,2,…，其分布律為

其中參數(shù)＞0為強度。則稱X服從參數(shù)的泊松分布，記為X～P()。3.3.2泊松（Poisson）分布因為＞0，故有P(X=k)＞0。(k=0,1,2,…)

即泊松分布的分布律，具備概率函數(shù)的兩個性質(zhì)。因為＞0，故有P(X=k)＞0。(k=0,1,2,

在實際問題中，有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如:

在任給一段固定的時間間隔內(nèi)，來到公共設(shè)施(公共汽車站、商店、電話交換臺等)要求給予服務(wù)的顧客個數(shù)；炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個數(shù)；顯微鏡下看到的某種細(xì)菌的生長個數(shù)。在實際問題中，有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如

n=10,p=0.4,=np=4n=40,p=0.1=np=4隨著n增大，若np不變,則二項分布與泊松分布逐漸接近。泊松分布與二項分布的關(guān)系n=10,p=0.4,=np=4定理(泊松定理)

設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n,p)(p(0,1)，并與n有關(guān))，且滿足,則

證明定理(泊松定理)第3章-一維隨機變量課件用泊松分布代替兩項分布的條件

在實際應(yīng)用中，當(dāng)ｎ很大(n≥10)，ｐ很小時(ｐ≤0.1)，有下面的泊松近似公式其中λ=np。用泊松分布代替兩項分布的條件例9

設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為0.001，且各次射擊是否中目標(biāo)可看作相互無影響，若射擊5000次，試求：(１)擊中12彈的概率；(２)至少擊中12彈的概率。解設(shè)X為擊中目標(biāo)的彈數(shù)，則X～B(5000,0.001)，下面用近似公式計算。其中λ=np=5000×0.001=5（１）擊中12彈的概率為：（２）至少擊中12彈的概率為：例9設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為0.001，且各次射擊是否中目例10由商店的銷售記錄知，某商品的月售出量X服從=10的泊松分布。為能以95%以上的概率保證不脫銷，問在無庫存的情況下月底應(yīng)進貨多少？解商店備貨過多將明顯地提高成本，而長期貨源不足則會影響商譽。因此需用概率方法確定合適的備貨量，依照問題的要求，若月底進貨量為Q，則應(yīng)使

P(X≤Q)≥0.95

例10由商店的銷售記錄知，某商品的月售出量X服從=10的

P(X≤14)＜0.95P(X≤15)＞0.95應(yīng)取Q=15故月底進貨該商品15件，可有95%以上的把握使該商品在下個月的經(jīng)營中不會脫銷。

例11（合作問題）設(shè)有同類設(shè)備80臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理，試求：(1)