第一章集合知識點整理

第一章集合§1.1集合基礎知識點:集合的定義：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，也簡稱集。表示方法：集合通常用大括號｛｝或大寫的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小寫的拉丁字母a,b,c…表示。集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。常用的數(shù)集及記法：非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N；N內(nèi)排除0的集.整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q;實數(shù)集，記作R;5.關于集合的元素的特征⑴確定性：⑵互異性:⑶無序性:即集合中的元素無順序,可以任意排列、調(diào)換。練1：判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：⑴大于3小于11的偶數(shù)；⑶非負奇數(shù)；⑸徐州藝校校2011級新生；5.關于集合的元素的特征⑴確定性：⑵互異性:⑶無序性:即集合中的元素無順序,可以任意排列、調(diào)換。練1：判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：⑴大于3小于11的偶數(shù)；⑶非負奇數(shù)；⑸徐州藝校校2011級新生；⑺著名的數(shù)學家；⑵我國的小河流；⑷方程X2+1=0的解；⑹血壓很高的人；⑻平面直角坐標系內(nèi)所有第三象限的點6.元素與集合的關系：（元素與集合的關系有“屬于e”及“不屬于W”兩種）⑴若a是集合A中的元素，⑵若a不是集合A的元素，則稱a屬于集合A，記作agA；則稱a不屬于集合A，記作aWA。例如，（1）A表示“1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合，則有3EA，4右A，等等。(2)A={2，4，8,16}，則4eA，8eA，32冬A.典型例題例1.用隹”或“右”符號填空:⑴8—N；⑵0N；⑶-3Z；(4E2Q；如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）?！爸袊糯拇蟀l(fā)明”（造紙，印刷，火藥，指南針）可以構(gòu)成集合，其元素具有確定性；而“比較大的數(shù)”，“平面點P周圍的點”一般不構(gòu)成集合，因為組成它的元素是不確定的.一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的。.如:方程（x-2）（x-1）2=0的解集表示為｛1,2｝，而不是｛1,1,2｝⑸設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國—，美國—A，印度—，英國—A。例2.巳知集合P的元素為1，m，m2-m-3,若2UP且-1史P，求實數(shù)m的值。第二課時基礎知識點一、集合的表示方法1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號，，｛｝，,括起來表示集合的方法叫列舉法。如：第二課時1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號，，｛｝，,括起來表示集合的方法叫列舉法。如：｛1,2,3,4,5｝,｛容,3x+2,5y3-x,X2+y2｝,…；說明：⑴書寫時，元素與元素之間用逗號分開；⑵一般不必考慮元素之間的順序；⑶在表示數(shù)列之類的特殊集合時，通常仍按慣用的次序；⑷集合中的元素可以為數(shù)，點，代數(shù)式等；⑸列舉法可表示有限集，也可以表示無限集。當元素個數(shù)比較少時用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示。⑹對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號，象自然數(shù)集N用列舉法表示為｛123,4,5,......｝例1.用列舉法表示下列集合：小于5的正奇數(shù)組成的集合；能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；從51到100的所有整數(shù)的集合；小于10的所有自然數(shù)組成的集合；方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合；⑹由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法。。方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。一般格式：｛xeAP(x)｝如：｛x|x-3>2｝,｛(x,y)|y=X2+1｝,｛x|直角三角形｝,???；說明：描述法表示集合應注意集合的代表元素，如｛(x,y)|y=x2+3x+2｝與｛y|y=x2+3x+2｝是不同的兩個集合，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：｛整數(shù)｝,即代表整數(shù)集Z。辨析：這里的｛｝巳包含“所有”的意思，所以不必寫｛全體整數(shù)｝。寫法｛實數(shù)集｝，｛R｝也是錯誤的。用符號描述法表示集合時應注意：1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數(shù)還是點、還是集合、還是其他形式？2、元素具有怎么的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2.用描述法表示下列集合：由適合x2-x-2>0的所有解組成的集合；方程x2-2=°的所有實數(shù)根組成的集合由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。說明：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。練習:由方程x2—2x—3=0的所有實數(shù)根組成的集合;大于2且小于6的有理數(shù)；

巳知集合A={x|-3<x<3,xUZ},B={(x,y)|y=x2+1,x^A}，則集合B用列舉法表示是.3、文氏圖集合的表示除了上述兩種方法以外，還有文氏圖法，即,9,27}二、集合的分類觀察下列三個集合的元素個數(shù){4.8,7.3,3.1,-9};{xGR|0<x<3};{xWr,9,27}二、集合的分類觀察下列三個集合的元素個數(shù){4.8,7.3,3.1,-9};{xGR|0<x<3};{xWr|x2+1=0}由此可以得到'有限集：含有有限個元素的集合集合的分類<無限集：含有無限個元素的集合空集：不含有任何元素的集合0(empty-set)典型例題【題型一】元素與集合的關系1、設集合A={1,-2a+3},B={1,a2}，且A=B，求實數(shù)a的值。2、巳知集合A={a+2,(a+1)2}若1UA,求實數(shù)a的值。【題型二】元素的特征1、巳知集合M={x￡N|eZ}，求M鞏固練習，一選擇題：給出下列四個關系式：①'「3eR；②nwQ；③0eN；④0W其中正確的個數(shù)是()A.1r+_3B.2C.3D.4方程組]^y吊解組成的集合是()[x-y_1{2,1}B.{-1,2}C.(2,1)D.((2,1)}把集合{-3WxW3,xeN}用列舉法表示，正確的是()A.(3,2,1}B.(3,2,1,0}C.(-2,-1,0,1,2}D.(-3,-2,-1,0,1,2,3}巳知A={x|3—3x〉0},則下列各式正確的是()A.3eA1eA0￡AD.—11A二填空題：巳知集合A={1,澎},實數(shù)a不能取的值的集合是.巳知？=僅|2＜乂＜3,x^N},巳知集合P中恰有3個元素，則整數(shù)a=.集合M=（yeZ|y=,x^Z}，用列舉法表示是M=。3+x巳知集合A=（2a,a2-a},則a的取值范圍是。三、解答題：巳知集合A={x|ax2—3x—4=0,xeR}.（1）若A中有兩個元素，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.1.2集合間的基本關系基礎知識點比較下面幾個例子，試發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關系：（1）A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}；（2）C={北京一中高一一班全體女生},D={北京一中高一一班全體學生}；觀察可得:子集：對于兩個集合A,B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集（subset）o表示:記作：A^B（或BoA）讀作：A包含于B,或B包含A當集合A不包含于集合B時，記作AQB（或B豚）用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關系：表示:集合相等定義：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B中的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，即若aoB且BoA，則A=B。如:A={x|x=2m+1,m^Z},B={x|x=2n-1,n^Z},此時有A=B。真子集定義：若集合AoB，但存在元素xeB,且x冬A，則稱集合A是集合B的真子集。記作：A巨B（或啟A）讀作：A真包含于B（或B真包含A）幾個重要的結(jié)論：⑴空集是任何集合的子集；對于任意一個集合A都有8OAo⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一個集合是它本身的子集；⑷對于集合A,B,C,如果AoB，且BoC，那么AoCo練習：填空：⑴2_；{2}—N；8A;⑵巳知集合A={x|x2—3x+2=0},B={1,2},C={x|x＜8,xeN}，則AB；AC；{2}C；2C說明：⑴注意集合與元素是“屬于”“不屬于”的關系，集合與集合是“包含于”“不包含于”的關系;⑵在分析有關集合問題時，要注意空集的地位。典型例題【題型1】集合的子集問題寫出集合（a,b,c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。巳知集合M滿足（2,3}oMo（1,2,3,4,5}求滿足條件的集合M。巳知集合A=（x|x2-2x-3=0},B=（x|ax=1},若B巨A，則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合是（）

1A.{-1,0,-}B.1A.{-1,0,-}B.{-1,0}-2<x<5},B=4.巳知集合A=11C.{-1,-}D.{-,0}X-m+1<x<2m-1}且AoB,求實數(shù)m的取值范圍。鞏固練習1、判斷下列集合的關系.NZ;(2)NQ;(3)RZ;(4)RQ;A={x|(x-1)2=0},B={y|y2-3y+2=0};A={1,3},B={x|x2-3x+2=0};A={-1,1},B={x|x2-1=0};2、設A={0,1},B={-1,0,1,2,3}，問A與B什么關系?3、巳知集合A={x|a<x<5},B={xIxN2}，且滿足AoB，求實數(shù)a的取值范圍。4、xx2+x-6=0},N={x|(x-2)(x-a)=0}，且MoN,求實數(shù)a的值.4、1.1.3集合間的基本運算基礎知識點考察下列集合，說出集合C與集合A,B之間的關系：（1）A={1,3,5}，B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}；（2）A={尤卜是有理數(shù)},B={尤卜是無理數(shù)},C={x|x是實數(shù)};并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與集合B的并集，即A與B的所有部分，記作AUB,Venn圖表示:讀作：A并B即AUB={x|x￡A或x^B}。記作AUB,Venn圖表示:說明：定義中要注意“所有”和“或”這兩個條件。討論：AUB與集合A、B有什么特殊的關系？AUA=,AUe=,AUBBUAAUB=An,AUB=Bn鞏固練習（口答）：.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8}，則AUB=一;?設A={銳角三角形}，B={鈍角三角形},IJAUB=..A={x|x>3},B={x|x<6},則AUB=。2.交集定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset）,記作：AAB讀作：A記作：AAB讀作：A交B即：ACB={x|xUA,且x^B}Venn圖表示:（陰影部分即為A與B的交集）常見的五種交集的情況:說明：當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集討論：AAB與A、B、BAA的關系？AAA=AA4=AABBAAAAB=說明：當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集討論：AAB與A、B、BAA的關系？AAA=AA4=AABBAAAAB=A習AAB=B習鞏固練習（口答）：.A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，則AAB=一;.A={等腰三角形}，B={直角三角形}，則AAB=;.A={x|x>3}，B={x|x<6}，則AAB=。3.一些特殊結(jié)論⑴若AUB，則AAB=A；⑵若BUA，則ADB=A；⑶若A，B兩集合中，B=4，，則AA。=4,AD。=A。典型例題【題型一】并集與交集的運算【例1】設A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},匕解：AUB={x|T<x<2}U{x|1<x<3T=B。-1【例2】設A={x|x>-2}，B={x|x<3},求AAB。解：在數(shù)軸上作出A、B對應部分如圖AAB={x|x>-2}A{x|x<3}={x|-2<x<3}。-23【例3】已知集合A={y|y=x2-2x-3,x^R},B={y|y=-x2+2x+13,x^R}求AAB、AUB【題型二】并集、交集的應用例：.巳知{3,4，m2-3m-1}A{2m，-3}={-3}，則m=鞏固練習1、設A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，則AAB=2、設A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}，則AUB=3、設A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，則AUB=。4、巳知集合M={x|x-2<0},N={x|x+2>0},則MAN等于。5、設A={不大于20的質(zhì)數(shù)}，B={x|x=2n+1,nUN*}，用列舉法寫出集合AAB=。6、若集合A={1，3，x},B={1,x2},AUB={1，3，x}，則滿足條件的實數(shù)x=7、滿足條件MU{1}={1，2,3}的集合M的個數(shù)是。8、巳知集合A={x|-1WxW2},B={x|2a<x<a+3}，且滿足AAB=4，則實數(shù)a的取值范圍是集合的基本運算㈡基礎知識占思考1.U=｛全班同學｝、A=｛全班參加足球隊的同學｝、B=｛全班沒有參加足球隊的同學｝,則U、A、B有何關系？集合B是集合U中除去集合A之后余下來的集合。（一）.全集、補集概念及性質(zhì)：全集的定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，記作U,是相對于所研究問題而言的一個相對概念。補集的定義：對于一個集合A,由全集U集合的基本運算㈡基礎知識占思考1.U=｛全班同學｝、A=｛全班參加足球隊的同學｝、B=｛全班沒有參加足球隊的同學｝,則U、A、B有何關系？集合B是集合U中除去集合A之后余下來的集合。（一）.全集、補集概念及性質(zhì)：全集的定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，記作U,是相對于所研究問題而言的一個相對概念。補集的定義：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集合A相對于全集U的補集，記作：cA,讀作：A在U中的補集，即CA=lx|xeU,且X史A）Venn圖表示：（陰影部分即為A在全集U中的補集）說明：補集的概念必須要有全集的限制討論：集合A與CuA之間有什么關系？一借助Venn圖分析AcCA=0,CU=0,鞏固練習（口答）：AuCA=U,

Cu0=UCu(CA)=ACB=①.U=｛2,3,4｝,A=｛4,3｝,B=e，則CuA=②.設U=｛x|x<8，且x^N｝,A=｛x|（x-2）（x-4）（x-5）=0｝，則CUA—③.設U=｛三角形｝，A=｛銳角三角形｝,則CUA=。典型例題【題型1】求補集【例1】.設全集U=|x是小于9的正整數(shù)｝,A=｛1，2,3），B=｛3,4,5,6），求CUA,CB.【例2】設全集U={x|x<4},集合A={x\AcB，AuB,C(AcB),(CA)c(CB),(CA)u(CB),C(AuB)。(結(jié)論：C〃(AcB)=CA)u(CuB),Cu(AuB)=七〃A)茶匕8，x2+px+12=0},B=-2<X<3},B={X|-3<X<3}，求C^A，x2-5x+q=0}，若(CuA)cB={2},Ac(CuB)={4}，求AuB。(答案：{2,3,4})【例3】設全集U為R,A=鞏固練習TOC\o"1-5"\h\z若S={2,3,4},A={4,3},則CA=；S若S={三角形}，B={銳角三角形},則CsB=-若S={1,2,4,8},A=0,則CA=；S若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CA={5},則a=；U巳知全集U=R,集合A={x|0<x-1<5},求C世=;巳知集合MG{4,7,8},且M中至多有一個偶數(shù)，則這樣的集合為提高內(nèi)容：A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且AB={3,7},求B.巳知M={1},N={1,2},設A={(x,y)|x^M,y￡N},B={(x,y)|x^N,y^M}，求APB,AUB.高一數(shù)學必修集合單元綜合練習（I）一、填空題（本大題包括14小題；每小題5分，滿分70分）1、U={1,2,3,4,5},若APB={2},（*）準={4},（*）6（腭）={1,5},則下列結(jié)論正確的是錯誤!未指定書簽。①、3A且3B；②、3A且3B；③、3A且3B；④、3A且3B。2、設集合M={x|—1Wx<2},N={x|x—kW0}，若MPNN員，則k的取值范圍是3、巳知全集I={x|xR},集合A={x|xW1或xN3},集合B={x|k<x<k+1,kR},且（qA）PB=務，則實數(shù)k的取值范圍是4、巳知全集U=Z,A={—1,0,1,2},B={xIx2=x},則ACUB為5、設a,beR，集合{1，a+b,a}=\o,-,b],則b一^=、a‘6、設集合M={xIx=2+4,keZ},N={xIx=|+*keZ}，則M。（選填、、、^、=M*N7、設集合A=^114x—M-9,xe"},B="|—>0,xeR],則APB=x+38、設P和Q是兩個集合，定義集合P—Q={xlxeP,且x冬。},如果P={xllog2x<1},Q=lxI|x-2|<l},那么P—Q等于.9、巳知集合A={x|x—a|W1},B=lxx2—5x+4五0}.若AB=0，則實數(shù)a的取值范圍是10、設集合S={A,A,A,A},在S上定義運算金為：A金A=A，其中k為I+j被4除的余數(shù)，I,j=0,1,2,3.滿足關系式=(x金x)金A=A01231b20的x(xeS)的個數(shù)為11、集合A={(x,j)Ij>lx—2I,x>0},B={(x,j)lj<—x+b},AcB。0,b的取值范圍是12、定義集合運算：A*B=L|z=叫xeA,Jeb}.設A=l1,2},B={0，2}，則集合A*B的所有元素之和為13、設集合A={x|0<x<3且工en}的真子集的個數(shù)是???14、某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，巳知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數(shù)學和化學小組的有―人。二、解答題(本大題包括5小題；滿分90分)解答時要有答題過程！求實數(shù)的a,b值。15、(13分)巳知全集比Z,3,a2+2a一3},若入=lb，2}，十=l5}，16、（14分）若集合S={3,a2},T=lx10Vx+aV3,xeZ}且SnT=l1},P=SuT，求集合P的所有子集17、(16分)巳知集合入=lx\3<x<7}，B={x|2<x<10},C={x|x<a}，全集為實數(shù)集R.求實數(shù)的a,b值。17、求AUB,(CRA)nB；⑵如果AnCN@，求a的取值范圍。18、(18分)巳知集合A的元素全為實數(shù)，且滿足：若aeA，則^掃eA。1一a若a=—3，求出A中其它所有元素；0是不是集合A中的元素？請你設計一個實數(shù)aeA，再求出A中的所有元素?根據(jù)(1)(2)，你能得出什么結(jié)論19、（14分）集合A={xIx2-ax+a2-19=0},B={xIx2-5x+6=0},C={xIx2+2x-8=0}滿足Ab壬e,,ac=e,求實數(shù)a19、高一數(shù)學必修1集合單元綜合練習（ii）一、填空題（本大題包括14小題；每小題5分，滿分一、填空題（本大題包括14小題；每小題5分，滿分70分）1、集合｛a，b，c｝的真子集共有個2、以下六個關系式：0e^0｝，｛0｝目0，0.3WQ,0eN,{a,b}u{b,a}，{xIx2-2=0,xeZ}是空集中，錯誤的個數(shù)是3、若A={—2,2,3,4}，B={x|x=技/eA}，用列舉法表示b4、集合A={x|X2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若Bu入，則a=5、設全集U={2,3,a2+2a—3，