第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法

第二節(jié)二重積分的計(jì)算法教學(xué)目的：熟練掌握二重積分的計(jì)算方法教學(xué)重點(diǎn)：利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計(jì)算二重積分教學(xué)難點(diǎn)：化二重積分為二次積分的定限問(wèn)題教學(xué)內(nèi)容：利用二重積分的定義來(lái)計(jì)算二重積分顯然是不實(shí)際的，二重積分的計(jì)算是通過(guò)兩個(gè)定積分的計(jì)算(即二次積分)來(lái)實(shí)現(xiàn)的.一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分我們用幾何觀點(diǎn)來(lái)討論二重積分』J/(X，y)d。的計(jì)算問(wèn)題.c八D中3）<y<^3）表示,12討論中，我們假定f(x,y)>0；中3）在［a,b］上連續(xù).2y=9-S..^假定積分區(qū)域D可用不等式中3）<y<^3）表示,12中3）在［a,b］上連續(xù).2y=9-S..^10據(jù)二重積分的幾何意義可知，』Jf(x，y)加的值等于以D為底，以曲面“Dz=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積.在區(qū)間［i,b］上任意取定一個(gè)點(diǎn)x，作平行于yoz面的平面x=x，這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間［中(x),中(x)］為底0曲線1020z=f(x,y)為曲邊的曲邊梯形，其面積為0"2(x0)A(x)=jf(x,y)dy中1(x0)一般地，過(guò)區(qū)間［l,b］上任一點(diǎn)x且平行于yoz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為甲2(x)A(x)=jf(x,y)dy甲1(x)利用計(jì)算平行截面面積為已知的立體之體積的方法，該曲頂柱體的體積為dxV=bA(x)dx=j2jf(x,y)dy從而有jjf(x,y)d。=j中2(xdxjjf(x,y)d。=j中2(x)Jf(x,y)dydx中1(x)JL—,上述積分叫做先對(duì)Y,后對(duì)乂的二次積分，即先把x看作常數(shù)，f(x,y)只看作y的函數(shù)，對(duì)f(x,y)計(jì)算從中(x)到中(x)的定積分，然后把所得的結(jié)果(它是x的函數(shù))再對(duì)x從a到b計(jì)算定積分.2這個(gè)先對(duì)y,后對(duì)x的二次積分也常記作

jjf3,y)d=fdx%(x)在上述討論中，假定了f（x,y）>0，利用二重積分的幾何意義，導(dǎo)出了二重積分的計(jì)算公式（1）.但實(shí)際上，公式⑴并不受此條件限制，對(duì)一般的f（x,y）（在d上連續(xù)），公式（1）總是成立的.例如:計(jì)算I=』』(1一x2)dcD={(x,y)I-1<x<1,0<y<2}D解：I=jdxj(1-x2)dy=j[1-x2)y]dx01_8=3-1-10-1=/2(1-x2)dx=2x一—x3-1類似地，如果積分區(qū)域D可以用下述不等式c<y<d,Q（y）<x<。2（y）表示,且函數(shù)nJy）,、（y）在［c,d］上連續(xù)，f（x,y）在d上連續(xù)，則JLjjf(x,y)dc=jDc01_8=3-1jjf(x,y)dc=jDc*2",…，jf(x，y)dxdy=一蛔y)一dn2(y)jdyf(x,y)dxc加(y)二重積分化二次積分時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題1、積分區(qū)域的形狀前面所畫(huà)的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個(gè)共同點(diǎn)：對(duì)于I型（或II型）區(qū)域，用平行于y軸（x軸）的直線穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點(diǎn).如果積分區(qū)域不滿足這一條件時(shí)，可對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分，化歸為I型（或II型）區(qū)域的并集.2、積分限的確定二重積分化二次積分，確定兩個(gè)定積分的限是關(guān)鍵.這里，我們介紹配置二次積分限的方法--幾何法.畫(huà)出積分區(qū)域D的圖形(假設(shè)的圖形如下)■(電購(gòu)(0)爭(zhēng)補(bǔ))廠_~cxx在［a,b］上任取一點(diǎn)X,過(guò)X作平行于V軸的直線，該直線穿過(guò)區(qū)域D，與區(qū)域D的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)(x,中(x))與(x,中(x))，這里的中(x)、中(x)就是將X,看作常數(shù)而對(duì)V積分時(shí)的下限和上限；又因X是在區(qū)間此,b］上任意取的，所以再將X看作變量而對(duì)X積分時(shí)，積分的下限為a、上限為b.例1計(jì)算R3x2J2d，其中d是由X軸，V軸和拋物線J=1-x2在第一象D限內(nèi)所圍成的區(qū)域.解：D:0<x<1,0<y<l-x2y=]-x2TOC\o"1-5"\h\z11-爪’\o"CurrentDocument"Jj3x2y2do--\dxj3x2y2tfy；\□.00ori'i1—1=七，dx=\x2（l—x2^dx0L00S=血壽Ej￡成=（1）"一貝=鮑J9!!315類似地，D:0<JV1,0<X<（1一Vjj3x2v2d=]dJf3x2v2dx]L3J2]dy=]（1一J）2V2dy

令y=sin2t2(4-1)!!(5-1)!!16f2cos4t-sin5tdt=2-_^=3],9!!令y=sin2t2(4-1)!!(5-1)!!16f2cos4t-sin5tdt=2-_^=3],9!!°,其中D是由拋物線y2=x及直線y=X—2所圍成的區(qū)域.解：￡i|:0<.>■<1,->/.r<y<-RL^.I<.r<4:r-2<y<-..(yJJxyda-JJxyda+JJxydaa0S1折4=IdxJxydy+fdxjxydy0—^Jx124dx=\*卜一U-2)-]j-21=1-i/a=。「技1XD:-1<y<2,y2<x<y+221^iy+2f2x2y-rffxyd。=jdyjxydx=D-1y212I"=-f頃y+2)2-y5-1dyy245百例3求由曲面z=x2+2》2及z=6-2X2-y2所圍成的立體的體積.解：1、作出該立體的簡(jiǎn)圖,....并確定它任x°y面上的投影區(qū)域了L—"H—1消去變量z得一垂直于xoy面的柱面x2+y2=2，立體鑲嵌在其中，立體在xoy面的投影區(qū)域就是該柱面在xoy面上所圍成的區(qū)域

D:x2+y2<22、列出體積計(jì)算的表達(dá)式V=J][(6-2x2->2)-(x2+2y2)]^=jj(6-3x2-3y3)心TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"DDDV=6jjdb-3jjx2db-3jjy2dbDD而jjdb=2兀D由x,yDV=6jjdb-3jjx2db-3jjy2dbDD而jjdb=2兀D由x,y的對(duì)稱性有r2—x22.x2dxjdy=2jx2、2-x2dx\o"CurrentDocument"2-、、2一x2-\2點(diǎn)兀，4sin20cos200兀2=4「x2、2-x2dx=4j0(2-1)!!(2-1)!!4sin20cos200兀2=16-(2+2)!!1-1兀=16--—4-22=兀所求立體的體積為V=12兀-6兀=6兀二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1、變換公式

按照二重積分的定義有jjf（x,y）dc-lim方f（：.，氣）Ac.dxtoi-10現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式.用以極點(diǎn)0為中心的一族同心圓r-常數(shù)以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線0-常數(shù)，將D剖分成個(gè)小閉區(qū)域.除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域Ac的面積可如下計(jì)算iTOC\o"1-5"\h\z1八1.1一Ac=_（r+Ar）2A0一_r2A0=_（2r+Ar）ArA02...o..o....iii2ii2iiiir+（r+Ar）—-i2—ArA0,=rArA0,其中，廠表示相鄰兩圓弧半徑的平均值.（數(shù)學(xué)上可以證明：包含邊界點(diǎn)的那些小閉區(qū)域所對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和的極限為零，因此，這樣的一些小區(qū)域可以略去不計(jì)）氣二七sin%在小區(qū)域Ac.上取點(diǎn)（匕,R）,設(shè)該點(diǎn)直角坐標(biāo)為（§,H.）,據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系有q-rcos??氣二七sin%于是-limLf（〒jcos曠,-limLf（〒jcos曠,〒isin曠）-〒iAr.A0.—0i-1'111即’—1jjf（x，》）d。-jjf（rcos0,rsin0）rdrd。由于jjf（x，y）dc也常記作jjf（x，y）dxdv,因此，上述變換公式也可以寫(xiě)DD成更富有啟發(fā)性的形式

jjf(x,y)dxdy-jjf(rcos0,rsin0)rdrd。DD(1)式稱之為二重積分由直角坐標(biāo)變量變換成極坐標(biāo)變量的變換公式，其中，rdrd0就是極坐標(biāo)中的面積元素.jjf(xjjf(x,y)dxdyDx—rcos0y—rsin0dxdy^rdrdjjf(rcos0,rsin0)rdrdD2、極坐標(biāo)下的二重積分計(jì)算法極坐標(biāo)系中的二重積分，同樣可以化歸為二次積分來(lái)計(jì)算.【情形一】積分區(qū)域D可表示成下述形式^<0極坐標(biāo)系中的二重積分，同樣可以化歸為二次積分來(lái)計(jì)算.【情形一】積分區(qū)域D可表示成下述形式^<0<P%(0)<r眺(0)其中函數(shù)%0),中2(0)在［a,P］上連續(xù).則jjf(rcos0,rsin0)rdrd0f(rcos0,rsin0)rdr八平2(0)d0jDa甲］(0)【情形二】積分區(qū)域D為下述形式1rcos0,rsin0)rdr顯然，這只是情形一的特殊形式^1(0)三0(即極點(diǎn)在積分區(qū)域的邊界上).故jjf(rcos0,rsin0)rdrd0-jd0^^f(【情形三】積分區(qū)域rcos0,rsin0)rdrUr-(p\0\(極點(diǎn)包圍在積分區(qū)域D的內(nèi)部),D9很)f(rcos0,r(極點(diǎn)包圍在積分區(qū)域D的內(nèi)部),D9很)f(rcos0,rsin0)rdr0再過(guò)［a,p］內(nèi)任一點(diǎn)0作射線穿過(guò)區(qū)域，與區(qū)域的邊界有兩交點(diǎn),將它們用極坐標(biāo)表示，這樣就得到了極徑的變化范圍［9(0),9(0)］?JL乙D1:0<0<K,0<r<9(0)D2:n<0<2兀，0<r<9(0)故D:0<0<2丸,0<r<9(0)2及9(則JJf(rcos0,rsin0)rdrd0=Jd0JD0由上面的討論不難發(fā)現(xiàn)，將二重積分化為極坐標(biāo)形式進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)鍵之處在于：將積分區(qū)域D用極坐標(biāo)變量r,0表示成如下形式以<0<B,91(0)<r<92(0)JL乙下面通過(guò)例子來(lái)介紹如何將區(qū)域用極坐標(biāo)變量來(lái)表示.例4將下列區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示1、D］:x2+y2<2y2、D2:-R<x<R,R<y<R+預(yù)2—x2D3:x+y<1先畫(huà)出區(qū)域的簡(jiǎn)圖，據(jù)圖確定極角的最大變化范圍［a,P］【解11用極角射線去掃描區(qū)域，得到9的轉(zhuǎn)角為［o瑚L在［0,研內(nèi)作一射線穿過(guò)區(qū)域口，與邊界有兩個(gè)交點(diǎn),這兩點(diǎn)的極徑長(zhǎng)為r=啊（。）=0將直角坐標(biāo)方程了'+丁2=2尹化極坐標(biāo)方程(rcos0)2十(r血時(shí)=2rsinr2-2rsin9S從而有r二%(&)二2血。故口：0口9￡龍，0<r<2sin^■7T~'-TT［解2】8從一轉(zhuǎn)到——可以掃描完整個(gè)的區(qū)域44y=7?化成極坐標(biāo)方程?-nRrsin0=Rsr=sin^y=7?+Jit2-x2化成極坐標(biāo)方程(j-J?)2+^2=7?2x2^y2=2J?y(rcosff)24-(rsinff)2=2Rrsin8,r2=2Rrsin&2ftsill8故D2'.—<ff<—?<r<27?sin0^im3iD\0<^<im3iD\0<^<-,0<r<-

21sin合+cos6KA1—<&<ti,0<r<2sin^-cos^<e<—,0<r<.<e<—,0<r<.2sm+cos813汗——<&<<r<2cos。一sm8

【例5】計(jì)算We-^'^dxdy,其中D'.x2-^y2<a2.D解：Z):0<9<膈,0<r<a~y解：Z):0<9<膈,0<r<a~ydxdv=ffe~r-rdrd90<r<^a『-寸二決&1a2=|-(l-e~a)d&=<1-^-L3)o2注：本題不能利用直角坐標(biāo)下二重積分計(jì)算法來(lái)求其精確值.+80?4a利用此題結(jié)果可求出著名概率積分I=je-x20?4a設(shè)q={(、y)|疽+p七居NO}S={^y)\O<x<R^<y<R)叱+/箜就工河瑚河}TOC\o"1-5"\h\z顯然，玖uSu°五1a而被積函數(shù)滿足e-x2-y2>0，從而以下不等式j(luò)je-x2-y2dxdy<jje-x2-y2dxdy<jje-x2-y2dxdyD2、D1一■一，，，s,成立，再利用例二的結(jié)果有兀D2jje*-y2dxdy=_(1-e-R),D1兀jje*-y2dxdy=_(1-e-2R2),D2jje-x2-y2dxdy=jdxje-x2-y2dy=je-x2dxje-y2dy00je-y2dy*0)00je-y2dy*0)s心*=je-x2dx-*0)于是不等式可改寫(xiě)成下述形式j(luò)e-x2dx-je-x2dx=je-x2dx*0)

LA*^(1-eR2TOC\o"1-5"\h\z—V口一)<je-x2dx<一(1-e-2R)%故當(dāng)RT+3時(shí)有心8c￥LA*^(1-eR2故當(dāng)RT+3時(shí)有je~x2dx艮口I=je—x2dx—■兀.\o"CurrentDocument"023、使用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的原則、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧，直線段)；、被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單(含(x2+y2)a,a為實(shí)數(shù)).例6計(jì)算I=adx-a"72-x2.一一d(a〉0)0-x\；x2+>24a2-(x2+>2)解此積分區(qū)域?yàn)镈:0<x<a,一x<y<-a+、a2一x2區(qū)域的簡(jiǎn)圖為y=-x-a/—勺fy=-aA-E"-x"該區(qū)域在極坐標(biāo)下的表示形式為兀D:一<0<0,0<r<一2asin04IjjrdrdODr