第六章廣義積分及定積分應(yīng)用

第六章廣義積分與定積分的應(yīng)用I、廣義積分一、內(nèi)容提要(一)廣義積分的收斂定義1、無窮積分(積分限為無窮的廣義積分)定義設(shè)對任意A(A>a),函數(shù)f(x)在［a,A］上可積，如果極限limJAf(x)dxA—?+3a存在，則稱此極限值為f(x)在［a,+3］上的無窮積分，記J+3f(x)dx=lijAfx(dx)aA—?+3a此時(shí)稱無窮積分收斂，否則稱無窮積分發(fā)散。同樣可定義無窮積分：Jbf(x)dx=limJbf(x)dx-3BT—3BJ+3f(x)dx=limJCf(x)dx+limJAf(x)dx-3BT—3BAT+3C2、瑕積分(無界函數(shù)的廣義積分)定義對任意8(0<8<b-a)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b-&］上可積，且在(b-8,b)上無界(b為瑕點(diǎn))。如果極限imJb-8fxdx存在。則稱此極限值為f(x)在［a,b］上的瑕積分，記作Jbf(x)dx=li』b-8fx(dx)axT0+a此時(shí)稱瑕積分收斂，否則稱瑕積分發(fā)散。同樣可以定義瑕積分：Jbf(x)dx=limJbf(x)dx,(a為唯一瑕點(diǎn)，xTa+時(shí)，f(x)T3)aJbf(x)dx-limJc-8f(x)dx+limJbf(x)dxa8T0+a門T0+c+門(c為區(qū)間內(nèi)唯一瑕點(diǎn)，xTc時(shí)，f(x)T3)3、絕對收斂與條件收斂(1)絕對收斂：若廣義積分J+3If(x)dx(或JbIf(x)1dx)收斂，則aa稱f(x)在［a,+3)(或［a,b］)上絕對收斂(絕對收斂的廣義積分，

則f(X)本身的廣義積分收斂)。(2)條件收斂：若J*"f(x)dx(或Jbf(x)dx)收斂，但「"If(x)\dx(或JbIf(x)Idx)發(fā)散，則稱f(x)在［a,+")(或［a,b］)上條a件收斂。(二)收斂判別法1、比較判別法(對被積函數(shù)不變號的廣義積分或絕對收斂的廣義積分有效)(1)無窮積分；①設(shè)f(x)當(dāng)x>a時(shí)，為非負(fù)函數(shù)，且f(x)<g(x)，貝01)J+"g(x)dx收斂nJ+"f(x)dx收斂;aa2)J+"f(x)dx發(fā)散nJ+"g(x)dx發(fā)散;②比較判」別法的常用形式；a1)若If(x)I<—,p>1時(shí)，則J+"If(x)Idx收斂xPa2)若If(x)I<業(yè)-,p<1時(shí)，則J+"If(x)Idx發(fā)散xpa③極限形式：若f(x)在［a,+")上連續(xù)，且limxpIf(x)I=l，那么xT+3當(dāng)0<l<+",p>1時(shí)，則JbIf(x)Idx收斂；a當(dāng)0<l<+",p>1時(shí)，則JbIf(x)Idx發(fā)散。a(2)瑕積分(為b唯一瑕點(diǎn))M①若If(x)I<,(M>0),0<p<1，則JIf(x)dx收斂；(b-x)paMb若If(x)I>,(M>0),p>1，則JIf(x)Idx發(fā)散。(b-x)pa

②極限形式(唯一瑕點(diǎn)b)若f(x)在［a,b］上連續(xù)，另外，對瑕點(diǎn)X=a或x=c有類似的結(jié)論。且lim(且lim(b一x)pIf(x)I=lxTb一當(dāng)0<l<+",p<1時(shí)當(dāng)0<l<+",p>1時(shí)那么，則JbIf(x)dx收斂;，則JbIf(x)Idx發(fā)散。2、其他形式的判別法(下面兩個判別法常用于判定條件收斂)(1)阿貝爾判別法：若f(x)在［a,+8］上可積，g(x)單調(diào)有界，則J+8f(x)?g(x)dx收斂。a(2)狄里克萊判別法：若f(x)有有界的原函數(shù)F(x)=Jxf(t)dt(即存在aM>0，使得IJxf(t)dtl<M)，g(x)單調(diào)且當(dāng)x-+8時(shí)趨于零，則aJ+8f(x)g(x)dx收斂。a對瑕積分也有相應(yīng)的兩個定理。二、典型例題1、廣義積分的收斂性通常利用定義或用判別法來判別廣義積分的收斂性。判別如下積分的收斂性J+8xe-x2dx;-8r1arcsinxJ1dx0\；1-x2解用定義。(a對瑕積分也有相應(yīng)的兩個定理。二、典型例題1、廣義積分的收斂性通常利用定義或用判別法來判別廣義積分的收斂性。判別如下積分的收斂性J+8xe-x2dx;-8r1arcsinxJ1dx0\；1-x2解用定義。(1)J+8xe-x2dx-8(1)(2)Jc+J+8-8J'xe-x2=lim-8BT-8cxe-x2dxBlime-x2lc=e-c2B2BT-82=—limJce-xd(x2)2BT-8B(2)x=1為瑕點(diǎn)。.]arcsinx,EarcsinxJ,dx=limJ；dx0v'1一x2et0+0\.'1一x2Jiarcsinxd(arcsinx)01—(arcsinx)2l1-E2=limET0-=limET0-1—[arcsin(12=limET0-故瑕積分收斂。例2判別下面積分的收斂性dx

（人為常數(shù)）1(ln2)1-xX-1dx故由比較判別法知無窮積分J1(ln2)1-xX-1dx故由比較判別法知無窮積分J+8（x岫x）x收斂。又「2dx(x-1)(lnx)X為常義積11因?yàn)楫?dāng)xD時(shí)，＞E若入=1，則「+8dxJ=lim［ln（lnx）］a=+8，由比較判別法知原積分發(fā)散TOC\o"1-5"\h\z2xlnxat+8(x一(x一1)(lnx)入若"1，則j+8——dx=\lim[(lnx)1-x]a=+82x(lnx)入1一人at+82原積分也發(fā)散。若人〉1，而』+8dx=J3+J+8。又當(dāng)x>3時(shí)，有(x—1)(lxnX)2311(x-1)(lnx)X(x-1)[ln(x-1)]x分（函數(shù)可積），從而積分存在。因此，原積分收斂。例3、討論j+3—1—dx的斂散性（X,R為常數(shù)）0xX+xR解x=0可能是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，于是1dx1xX+xRj+3dx=j1dx+j+30xX+x1dx1xX+xR對右端第二個積分，設(shè)max{人，R}1limxpxT+3xX+xR由于=lim11xT+3+xp~Xxp-R故當(dāng)p故當(dāng)p>1時(shí)積分收斂；當(dāng)p時(shí)積分發(fā)散。對右端第一個積分，設(shè)min{人對右端第一個積分，設(shè)min{人,R}=q1由于limxq=limxT0+xX+xRxT0+xX-q+xR-q故當(dāng)q<1時(shí)，積分收斂；當(dāng)q>1時(shí)積分發(fā)散。綜上所述，當(dāng)max{X綜上所述，當(dāng)max{X,日}>1，且min{X,R}<1時(shí)，積分收斂，其余情況皆發(fā)散。例4證明j八xcos*dx條件收斂0x+3且當(dāng)xT+3時(shí)，證明先在證積分收斂，對任意A>0，因?yàn)镮j人cos且當(dāng)xT+3時(shí)，x單調(diào)趨于零，由狄里克萊判別法知積分x+3+3\'xcosxJdx收斂下面證明積分不絕對收斂。因?yàn)?/p>

v'x(1+cos2x)2(x+3)yfxIcosxI〉爪cos2xx+3x+3(農(nóng)yfx(cos2x))x+3x+1Vv'x(1+cos2x)2(x+3)1Vx而limx2=1xT+8x+3，故j+8'dx發(fā)散。又積分0x+3+8\；'xcos2xJdx+8<xcos收斂（證明同j+02x——dxx+3)。于是j*8cos2xdx發(fā)散。因此，積分VxIcosxIdxx+3發(fā)散。所以原積分條件收斂。2、廣義積分的計(jì)算計(jì)算(1)n計(jì)算(1)nj+8x201+xn+2dx(x>1);(2)j1cos(lnx)dx解（1）nj+8x20nj+8x20dx1+xn+2n2j+8dx2+11=x2+1j+8=^^arctann+201+12n+22兀11+8=lim(arctan11A)=0n+2凡t+80n+2j1cos(lnx)dx=xcos(lnx)I1+j1sin(lnx)dx(2)limxcos(lnx)I1+xsin(lnx)I1-j1cos(lnx(2)8T0+801-j1cos(lnx)dx0于是jlosQn01x)dx=—2例例6計(jì)算j+"0Inxdx1+x21Edx+j+"4dx01+x211+x2(x=0為瑕點(diǎn))lnxdx1+x21ln—1-^d1x1+(1)2

xJo^dt三x11+t21lntj1dt01+t2所以1lnx原式=j-dx01+x21lnx

-jdxxndxI=j10V(1-x)(-1x(n為正整數(shù)))先證積分x=1為瑕點(diǎn)1J(1-x)(1+x)云所以積分收斂lim(1—XT1-1X)2xn令x=sint(0<，于是hsinntI=j2?costdt0IcostI=j2sinntdt0(2k-1)!!兀(2k)!!(2k-2)!!(2k-1)!!例8證明j2lnsinxdx0j2lncosxdx0兀ln2證明先證它們收斂1因?yàn)閘imx2?Insinx0,p=-<1，2瓦故j2sinxdx0收斂；同樣12)兀lim-K-2X—，12)2lncosx=0,p=—<21所以積分J2Incosdx也收斂0下面求積分的值。令t兀X2則有KKI。相加得J2lncosxdx=J2Insinxdx21=J2[Insinx+Incosx]dx0K1=J2[ln(—sin2x)]dx02TOC\o"1-5"\h\zKK=J2lnsin2xdx-ln2J2dxt=2x—JKlnsintdtln2^=202—(J2lnsintdt+JKlnsintdt}ln220K22lnsintdtln2=I-2KI。相加得lnsintdtln2=I-2K—ln22于是I=-—ln22J2lnsinxdx0J2lncosxdx=ln2II.定積分的應(yīng)用一、內(nèi)容提要幾何應(yīng)用平面圖形的面積1)直角坐標(biāo)系下計(jì)算面積:由連續(xù)曲線y=f(x),y=f(x)(f(x)<f(x))與直線x=a,x=b圍成圖形的面積1212(a<b)A=jb[f(x)一f(x)]dxa21由連續(xù)曲線y=g(x),y=g(x)(g(x)<g(x))與直線y=c,y=d圍成圖形的面1212積(cvd)A=jd[g^(xJ2lnsinxdx0J2lncosxdx=ln2由連續(xù)曲線Y=Y(0)與兩條半射線0=a,6=P圍成圖形的面積(av0)旋轉(zhuǎn)體的體積1)設(shè)y=f(x)為[a,b]上單值連續(xù)函數(shù)。由曲線0<y=f(x)(或0<fi(x)<y<f2(x),a<x<b)與直線x=a,x=b及x軸圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=Kjby2dx=Kjbf2(x)dx(或V=^jb[f2(x)一f2(x)]dx)aaa2)設(shè)x=g(y)為[c,d]上單值連續(xù)函數(shù)。由曲線0<x=g(y),c<y<d繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=Kjbx2dy=Kjbg2(y)dy'旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積光滑曲線y=f(x),a<x<b繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積S=2kjbyi：1+y'2dxa若光滑曲線由參數(shù)方程給出x=x(t),((a<t<0)y=y(t),它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積S=2kj0y(t)jx\t)]2+[yr(t)]2dx曲線的弧長公式1)設(shè)光滑曲線的方程為y=f(x)(a<x<b)，其弧長為l=jb\,：1+[y，(x)]2dx=jb氣〃+[f，(x)]2dx二、典型例題例10拋物線y2=-x將橢圓x2+4y2=8y分成兩部分，設(shè)小的部分面積為S，大的21面積為5，求七的值。2S2解畫草圖（圖1—2—2）拋物y2=1%與橢圓x2+4y2=8y的交點(diǎn)為（0，0）與（2,21）。由橢圓方程%2+4(y—1)2=4解出y(或x):?4-x2-—(1-七4—%2)]dx22=2H—j2寸4—%2dx320圖1—2—21x?4—F—[—4—x2+—arcsin222x—]22021兀+—x2?—322兀223S—22兀?！?22——)33兀22■+—3于是S—S2兀22——33兀—43兀22-+—39兀+4例11222求（1）由曲線x3+y3—a3所圍圖形的面積（2）由曲線（x2+y2）2—2a2xy所圍圖形的面積解——3）。（1）由于曲線關(guān)于x軸，y軸都對稱，故所求面積為第一象限面積的4倍（見圖1—2用參數(shù)方程的形式計(jì)算較方便。令x—acoSty—asint其中0<t<-對應(yīng)于第一象限的部分。故所求面積為2A=4jaydx04j0asin31(-3acos21sint)dt—2-12a2j2sin41cos2tdt0—12a2j2sin41(1一sin21)tdt=08（2）曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱（如圖1—2—4）,本題用極坐標(biāo)比較方便。曲線的極坐標(biāo)方程為y2=a2sin20當(dāng)0<0<-時(shí)，對應(yīng)于面積的四分之一。故所求面積為。4A=4?—j4a2sin20d0=a220圖1—圖1—2=f（X）=X3與直線X=-1圍成圖形的y例12X3求由曲線y=f(x)=lim,y1"+81+e-入X2例12曲線y（0，0）A=j01x3Idx一1,j1,曲線y（0，0）A=j01x3Idx一1,j1,1+j(X3-x3)dx圖1—2—51-341113=X40+—X3一-X4=—4一14440注：被積函數(shù)取絕對值，是因?yàn)閳D形的面積總是正值。1=X3與y=x3的交點(diǎn)為與（1，1）（見圖1—2—5）。所以圖形的面積1為一。求（1）切點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）過切點(diǎn)M的切線方程；（3）上述所圍平面圖形繞x軸3解設(shè)切點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,，那么過點(diǎn)M的切線方程是旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積；（4）所得旋轉(zhuǎn)體的表面積；（5）平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，（見圖1解設(shè)切點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,，那么過點(diǎn)M的切線方程是于是切線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為A=\:*02「.于是切線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為A=\:*02「.1x2x21xx—0—202V乙)dx+「0x_2。故x2—0—24x31又由題設(shè)條件知,=-243才0V2從而所圍平面圖形的面積是（1）（2）（3（1）（2）（3）2)2dxx5=———20x51+———0201-—x^xL(2x一2)32=14—15圖1—2—6點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）；過點(diǎn)M的切線方程是y=2x-2；旋轉(zhuǎn)體的體積為（繞x軸）x旋轉(zhuǎn)體的表面積為兩部分，設(shè)為S與S，S旋轉(zhuǎn)體的表面積為兩部分，設(shè)為S與S，S=S+SS.=2兀j2—\;1+x2dx=兀j2x2寸1+x2dxjx2p'1+jx2p'1+x2dx=—(x82+h)+1x——8xr+(+x12+c)所以-x好-1ln(2+右)]=9兀打-—ln(2+右)88」48S2是切線y=2x-2,1<x<2繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積

TOC\o"1-5"\h\zS=2兀f2(2x—2\)+12d芬兀252117兀寸5兀.■—ln(2+\：'5)48(5)拋物線y=三2上的點(diǎn)到直線x=2的距離為2=2-寸2y同樣切線V=2X-2上的點(diǎn)到x=2的距離為y+2d2=2-^-―故所圍圖形繞x=2旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積為V=(5)V=兀02兀f20y+22—-——22dy周所成的軸交于點(diǎn)==例14已知點(diǎn)A與B的直角坐標(biāo)分別為(1,0,1)與(0,1,0)線段AB繞z軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由S及兩平面z=0,z=1所圍成的立體體積。周所成的軸交于點(diǎn)解直線ab的方程為在z軸上截距為z的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面為一個圓，此截面與xQ(0,0z)與ab交于點(diǎn)M1(z,1-z,z)故圓截面半徑r(x)=七’(1-z2)+z從而截面面積S(z)=兀(1-2z+2z2)，旋轉(zhuǎn)體體積V=nf1(1—2z—2z)d=-冗032、物理應(yīng)用

例15一圓錐形蓄水池，蓄滿水，池深10米，上口直徑16米，將水全部抽完，求所作功。解（如圖1-2-7）建立坐標(biāo)系。用微元法。分割區(qū)間［0，10］，任取一小區(qū)間［x,x+dx］，因?yàn)锳OABAOCD，所以AB=—，從而~AB=-x。水在［x,x+dx］上的質(zhì)量81052dm=兀2dm=兀ABdx=兀16—x2dx2516功微元dW=(10-x)?！獂2dx，在［0，10］上積分25（噸X米）W=16^j10x2(10-x)dx=160^2503例16半徑為R的圓形溢水閘，水半滿，求作用在閘門上的水的壓力解建立坐標(biāo)系（如圖1—2—8），分割［0，R］，取小區(qū)間［x,x+dx］，其面積為dA=2\：R2-x2dx壓力微元dF=2x\：R2-x2dx在［0，R］上積分F=2jRR2-x2dx=jr\；R2-xd(x)22―一、3=(R2—x2)23三、補(bǔ)充練習(xí)題一、判別下列積分的斂散性+3sin2xdx(2)j+3dxx2

(4)xarctanx

jdx3+（噸X米）+3sin2xdx(2)j+3dxx2(4)xarctanx

jdx3+x3xm(5)jdx11+xn立(6)j2(tanx)adx0二、計(jì)算下列廣義積分(1)j1sin(lnx(1)j1sin(lnx)dx(2)0dxasinx(3)j2,,dx匚<1一cos2x2(4)dx/(b〉a)\：'(x-a)(b-x)三、判斷下列積分的絕對收斂性與條件收斂性(1)j：ln(si^^dx⑵j+”sin±dx(p〉0)0\x0xp四、設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間[a,A]上可積，j+"f2(x)dx與j+"g2(x)dx都收斂，證明j*"|f(x)g(x)|dx和j*"[f(x)g(x)]2dx都是收斂五、心土Idx-31+x4六、計(jì)算I=j+",,*dx七、在區(qū)間［a,b］上任意取一點(diǎn)&，使這點(diǎn)兩側(cè)對于曲線y=f五、心土Idx-31+x4(如圖1—2—9(a)所示)求&的位置。圖1—2—9圍成圖形的面積最小。九、如圖（1—2—9（b））所示之閘門所受之靜壓力。又閘門下沉多深，求所受靜壓力。由閘門下沉多深，八、在區(qū)間（2,6）內(nèi)求曲線y圍成圖形的面積最小。九、如圖（1—2—9（b））所示之閘門所受之靜壓力。又閘門下沉多深