人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(四)（含答案解析）

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(四)旋轉(zhuǎn)中的常見模型類型一“手拉手”模型1.如圖,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=40°,將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°,得到△DBE,連接AD,CE交于點(diǎn)F.(1)求證:△ABD≌△CBE;(2)求∠AFC的度數(shù).2.如圖,△ABD,△AEC都是等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°.(1)BE與DC有什么關(guān)系?你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由嗎?(2)連接AO,試判斷∠AOD與∠AOE的大小關(guān)系,并說明理由.類型二“半角”模型3.(1)【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是BC、CD邊上的動(dòng)點(diǎn),且∠EAF=45°,求證:EF=DF+BE.小明發(fā)現(xiàn),當(dāng)把△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG的位置,能夠證明EF=DF+BE,請(qǐng)你給出證明過程.(2)【類比引申】①如圖2,四邊形ABCD是正方形,如果點(diǎn)E、F分別是CB、DC的延長線上的動(dòng)點(diǎn),且∠EAF=45°,那么(1)中的結(jié)論還成立嗎?如果不成立,請(qǐng)寫出正確的結(jié)論,并證明.②如圖3,四邊形ABCD是正方形,如果點(diǎn)E、F分別是BC、CD的延長線上的動(dòng)點(diǎn),且∠EAF=45°,那么EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是(不要求證明).

(3)【聯(lián)想拓展】如圖1,若正方形ABCD的邊長為6,AE=35,求AF的長. 圖1 圖2 圖34.如圖,點(diǎn)M、N分別在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在的直線上,點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn),且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD.(1)如圖1,點(diǎn)M、N在邊AB、AC上,BM=CN=2,求MN的長;(2)如圖2,點(diǎn)M、N在邊AB、AC上,BM≠CN,試猜想BM,CN,MN之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在AB、CA的延長線上時(shí),若等邊△ABC的周長為l,AN的長為n,則△AMN的周長為(用含有l(wèi),n的代數(shù)式表示).

圖1 圖2

答案全解全析解析(1)證明:∵將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°,得到△DBE,∴∠ABC=∠DBE=40°,∠ABD=∠CBE=100°,AB=DB,CB=EB,又∵BA=BC,∴AB=BC=BD=BE,在△ABD與△CBE中,BA∴△ABD≌△CBE(SAS).(2)∵∠ABD=∠CBE=100°,BA=BC=BD=BE,∴∠BAD=∠ADB=∠BCE=∠BEC=40°.∵∠ABE=∠ABD+∠DBE=140°,∴∠AFE=360°-∠ABE-∠BAD-∠BEC=140°,∴∠AFC=180°-∠AFE=40°.2.解析(1)BE=DC,BE⊥DC.理由:∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,∴AB=AD,AE=AC.∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.∴將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后會(huì)與△ADC完全重合,即△ABE≌△ADC,∴BE=DC,∠ABE=∠ADC.又∵∠BFO=∠DFA,∠ADF+∠DFA=90°,∴∠ABE+∠BFO=90°,∴∠BOF=90°,即BE⊥DC.(2)∠AOD=∠AOE.理由:如圖,作AM⊥DC于點(diǎn)M,AN⊥BE于點(diǎn)N,∵△ABE≌△ADC,∴S△ABE=S△ACD,∴12DC·AM=1∵AM⊥DC,AN⊥BE,∴∠AOD=∠AOE.3.解析(1)證明:∵把△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG的位置,∴∠BAE=∠DAG,BE=DG,AE=AG,∠B=∠ADG=90°,∵∠ADF=90°,∴∠ADF+∠ADG=180°,∴F、D、G三點(diǎn)共線.∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠FAD=45°,∴∠DAG+∠FAD=45°,即∠FAG=45°,∴∠EAF=∠FAG.∵AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS),∴EF=FG=DF+DG=DF+BE.(2)①不成立,結(jié)論:EF=DF-BE.證明:如圖,將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM的位置,∴∠EAB=∠MAD,AE=AM,∠EAM=90°,BE=DM,∵∠EAF=45°,∴∠MAD+∠BAF=∠EAB+∠BAF=45°,∵∠BAD=90°,∴∠FAM=45°,∴∠EAF=∠FAM,∵AF=AF,∴△EAF≌△MAF(SAS),∴EF=FM=DF-DM=DF-BE.②BE=EF+DF.(3)由(1)可知AG=AE=35,∵正方形ABCD的邊長為6,∴DC=BC=AD=6,∴DG=AG2-∴BE=DG=3,∴CE=BC-BE=6-3=3.設(shè)DF=x,則EF=FG=x+3,CF=6-x,在Rt△EFC中,CF2+CE2=EF2,∴(6-x)2+32=(x+3)2,解得x=2.∴DF=2,∴AF=AD2+DF2解析(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠BDC=120°,BD=CD,∴∠DBC=∠DCB=30°.∴∠DBM=∠DCN=90°.在△BDM和△CDN中,BD∴△BDM≌△CDN(SAS).∴∠BDM=∠CDN,DM=DN.∵∠MDN=60°,∴△DMN是等邊三角形,∠BDM=12在Rt△BDM中,DM=2BM=4,∵△DMN為等邊三角形,∴MN=DM=4.(2)BM+CN=MN.證明:如圖,將△DCN繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△DBP的位置.則DP=DN,BP=CN,∠DBP=∠DCN,∠BDP=∠CDN,由(1)知,∠DBM=∠DCN=90°,∴∠DBP=90°,∴∠DBM+∠DBP=180°,∴M、B、P三點(diǎn)共線,∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDP=60°,即∠