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正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系?ABCcba兩等式間有聯(lián)系嗎?那么對于一般三角形,以上關(guān)系式是否仍然成立哪?BCAD當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí),設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)三角函數(shù)定義,CD=asinB,CD=bsinA所以,asinB=bsinA同理,在ABC中正弦定理、余弦定理向量的數(shù)量積,為向量a
與b的夾角.如何構(gòu)造向量及等式?jACB在銳角中,過A作單位向量j垂直于,
則有j
與的夾角為,j
與的夾角為.等式怎樣建立三角形中邊和角間的關(guān)系?即同理,過C作單位向量j
垂直于,可得正弦定理、余弦定理在鈍角三角形中,怎樣將三角形的邊用向量表示?怎樣引入單位向量?怎樣取數(shù)量積?jACB在鈍角中,過A作單位向量j垂直于,
則有j
與的夾角為,j
與的夾角為.等式.同樣可證得:正弦定理、余弦定理正弦定理在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即==asinAbsinBcsinC=2R.=2RbsinBB`ABCbOABCbOB`ABCbO正弦定理、余弦定理例題講解例1在中,已知,求b(保留兩個有效數(shù)字).
解:∵且正弦定理、余弦定理例2在中,已知,求。例題講解解:由
得
∵在中
∴A為銳角
正弦定理、余弦定理例題講解例3在中,,求的面積S.
hABC三角形面積公式解:∴由正弦定理得
正弦定理、余弦定理練習(xí):(1)在中,一定成立的等式是(
)
C(2)在中,若,則是()A.等腰三角形B.等腰直角三角形
C.直角三角形D.等邊三角形D正弦定理、余弦定理練習(xí):(3)在任一中,求證:
證明:由于正弦定理:令
左邊=
代入左邊得:
∴等式成立=右邊在例2中,將已知條件改為以下幾種情況,結(jié)果如何?(1)b=20,A=60°,a=20√3;(2)b=20,A=60°,a=10√3;(3)b=20,A=60°,a=15.60°ABCb(1)b=20,A=60°,a=20√3sinB==,bsinA
a12B=30°或150°,∵150°+60°>180°,∴B=150°應(yīng)舍去.60°2020√3ABC(2)b=20,A=60°,a=10√3sinB==1,bsinA
aB=90°.B60°AC20(3)b=20,A=60°,a=15.sinB==,bsinA
a2√332√33
∵>1,∴無解.60°20AC
思考:當(dāng)b=20,A=60°,a=?時(shí),有1解、2解、無解.√230°練習(xí)ABC中,(1)已知c=√3,A=45°,B=75°,
則a=____,(2)已知c=2,A=120°,a=2√3,
則B=____,(3)已知c=2,A=45°,a=,則
B=_____________.2√6375°或15°(1)A為銳角AbaBCAB2ba
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